Математика для социологов

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ 
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»  
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Департамент математики

Л.Р. Борисова, Е.Ф. Олехова, Г.А. Постовалова

МАТЕМАТИКА  
ДЛЯ СОЦИОЛОГОВ
 

Учебное пособие
для самостоятельной работы
в компьютерной обучающей среде Moodle 
I семестр

Для студентов, обучающихся по направлению:  
39.03.01. «Социология»
(программа подготовки бакалавров)

Одобрено Советом Департамента математики

МОСКВА
2023

ISBN 978-5-00172-393-6

УДК 517(073)
ББК 22.161я73
 
Б 82

Авторы:
Борисова Л. Р., кандидат физико- математических наук, доцент, 
доцент департамента математики Финансового университета при Правительстве 
РФ
Олехова Е. Ф., кандидат технических наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве РФ
Постовалова Г. А., кандидат педагогических наук, доцент, доцент 
департамента математики Финансового университета при Правительстве 
РФ

Рецензенты:
Жукова Г. С., доктор физико- математических наук, профессор, профессор 
департамента анализа данных и машинного обучения Финансового 
университета при Правительстве Российской Федерации;
Бойков С. Н., кандидат экономических наук, доцент кафедры «Математика» 
Московского политехнического университета.

 

Б 82
Борисова Л.Р.
Математика для социологов: Учебное пособие для самостоя- 
тельной работы в компьютерной обучающей среде Moodle, I семестр / 
Л. Р. Борисова, Е. Ф. Олехова, Г. А. Постовалова. —  М.: Прометей, 
2023. —  216 с.

ISBN 978-5-00172-393-6
Цель пособия —  обеспечить студенту бакалавриата оптимальную 
организацию самостоятельной работы при изучении дисциплины 
«Математика» и подготовке к контрольной работе и зачету в I семестре. 
В пособии представлено содержание дисциплины, изучаемой в первом 
семестре, структура варианта аудиторной контрольной работы, являющейся 
основным элементом в текущем контроле знаний, и образец 
зачетной работы. Пособие содержит необходимый теоретический материал 
по изучаемым разделам математики, типовые примеры с решениями 
для самостоятельной работы в компьютерной обучающей среде 
Moodle.
Учебное пособие предназначено для бакалавриата направления подготовки 
39.03.01 «Социология».

©  Борисова Л.Р., Олехова Е.Ф., 
Постовалова Г.А., 2023
© Издательство «Прометей», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ 
ВВЕДЕНИЕ ..................................................................................................................................................... 5 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ............................................................................................................................... 9 

1. Комплексные числа и действия над ними ............................................................................................ 9 

Алгебраическая форма комплексного числа .............................................................................................. 9 

Тригонометрическая форма комплексного числа .................................................................................. 12 

Показательная форма комплексного числа ............................................................................................ 13 

2. Матрицы и определители ...................................................................................................................... 24 

Определители ............................................................................................................................................ 27 

Обратная матрица ................................................................................................................................... 29 

Ранг матрицы ............................................................................................................................................ 33 

Матричные уравнения .............................................................................................................................. 35 

3. Системы линейных алгебраических уравнений и линейное пространство ................................ 41 

Линейное пространство ........................................................................................................................... 51 

Геометрические векторы ......................................................................................................................... 55 

4. Применение линейной алгебры к решению экономических задач ............................................... 65 

Собственные значения и собственные векторы.................................................................................... 65 

5. Элементы аналитической геометрии .................................................................................................. 77 

Прямая на плоскости ................................................................................................................................ 77 

Плоскость .................................................................................................................................................. 81 

Прямая в пространстве ........................................................................................................................... 84 

Кривые второго порядка .......................................................................................................................... 87 

Поверхности второго порядка ................................................................................................................ 95 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ........................................................................................................... 112 

6. Предел и непрерывность функции одной переменной .................................................................. 112 

Числовые функции ................................................................................................................................... 112 

Предел последовательности и предел функции ................................................................................... 119 

Непрерывность функции в точке и на промежутке ........................................................................... 128 

Точки разрыва .......................................................................................................................................... 128 

Асимптоты графика функции ............................................................................................................... 129 

7. Производная функции одной переменной ........................................................................................ 162 

Эластичность функции .......................................................................................................................... 164 

Основные теоремы дифференциального исчисления ........................................................................... 168 

Производные высших порядков .............................................................................................................. 173 

Исследование функции и построение графиков ................................................................................... 175 

8. Применение производной функции одной переменной к решению экономических задач..... 192 

Аудиторная контрольная работа............................................................................................................ 200 

Зачетная работа ......................................................................................................................................... 212 

ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................................................... 214 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Первый семестр обучения математике в Финансовом университете на 

разных направлениях подготовки студентов в соответствии с утвержденными 

учебными программами включает в себя, в том числе, обучение студентов 

основам линейной алгебры и дифференциального исчисления функции одной 

переменной. В настоящее время проводится эксперимент по использованию 

компьютерной обучающей системы Moodle при обучении дисциплине и при 

контроле знаний.  

Пандемия коронавируса ускорила введение в процесс обучения 

дистанционных технологий. Необходимость в изменении традиционных форм 

обучения назрела еще по одной очень важной причине – массового 

использования интернета в процессе самостоятельной работы и, что совсем 

печально, при текущем и промежуточном контроле знаний.  

Большинство студентов с энтузиазмом восприняли идею смешанного 

обучения и использование электронного курса математики в учебном процессе. 

Особенно студентам понравилась возможность выполнения домашней работы с 

использованием компьютера. Тренинги и тесты предлагаются студентам для 

выполнения после каждого семинара, содержат задания разных уровней 

сложности, начиная с самых легких, которые проверяют, как студенты усвоили 

лекционный материал. Тесты разработаны таким образом, чтобы как можно 

меньше было неудовлетворительных оценок даже при неполном усвоении 

материала, так как предлагается при решении одного задания получить и 

написать в качестве ответа не одно число, а ответить на ряд вопросов, часть из 

которых не вычислительные, а теоретические.  

Основная цель данного пособия состоит в помощи студентам – будущим 

социологам в самостоятельной работе при изучении дисциплины «Математика» 

в первом семестре первого курса. Одним из методов повышения качества 

обучения, безусловно, является использование электронной системы Moodle 

особенно студентами, обучающимися на гуманитарных направлениях. Гибкое 

сочетание традиционного обучения на семинарах и лекциях, то есть в 

аудиториях, с самостоятельным освоением и закреплением полученных в 

аудиториях навыков с использованием электронных курсов позволяет студентам 

лучше приспособиться к обучению в вузе, так как учит самостоятельности и 

самоконтролю в овладении студентами учебным материалом, планированию и 

организации своего учебного и свободного времени.  

В данном пособии содержится необходимый теоретический материал и 

тестовые задания для самостоятельной работы в I семестре по дисциплине 

«Математика» для студентов, обучающихся по направлению 39.03.01. 

«Социология» (программа подготовки бакалавра). Пособие включает в себя 

методические материалы, примеры решения типовых задач, тестовые вопросы и 

задания, разработанные на платформе Moodle. 

Дисциплина «Математика» (I семестр) согласно рабочей программе по 

направлению подготовки 39.03.01. «Социология» включает в себя традиционные 

разделы и темы, основные из которых выделим. 

Тема 
1. 
Числовые 
множества. 
Множества 
натуральных, 
целых, 

рациональных и действительных чисел. Комплексные числа. Алгебраическая и 

тригонометрическая формы комплексных чисел. Показательная форма.  

Тема 2. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. 2.1. Понятие 

матрицы, виды матриц. Операции над матрицами (сложение, умножение, 

транспонирование) и их свойства. 2.2. Определитель квадратных матриц 

первого, второго, третьего и n-порядка. Миноры и алгебраические дополнения 

элементов матрицы. Теорема Лапласа о разложении определителя. 2.3. Системы 

линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Совместные и несовместные 

системы, 
определенные 
и 
неопределенные 
системы, 
однородные 
и 

неоднородные системы. Матричная запись СЛАУ. Формулы Крамера решения 

СЛАУ с невырожденной квадратной матрицей. Ранг матрицы. Метод Гаусса 

решения СЛАУ. Базисное и общее решение СЛАУ. Теорема Кронекера-Капелли. 

Матричные уравнения. 2.4. Линейные пространства. Арифметические и 

геометрические векторы. Базис и размерность пространства. Линейные 

подпространства. Евклидово пространство. Скалярное произведение векторов. 

Ортогональный и ортонормированный базисы. 2.5. Линейные операторы. 

Собственные векторы и собственные значения матрицы линейного оператора. 

2.6. Введение в аналитическую геометрию. Прямая на плоскости и в 

пространстве. Параметрическое и каноническое уравнения прямой на плоскости 

и в пространстве. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и общее 

уравнение прямой на плоскости. Общее уравнение плоскости. Угол между 

прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью. Расстояние между точками. 

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми и 

плоскостями. 2.7. Кривые второго порядка. Общее уравнение. Классификация 

кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола, пары параллельных 

прямых. Фокус, эксцентриситет, директриса.  

Тема 3. Дифференциальное исчисление. 3.1. Общее понятие числовой 

функции. Область определения, множество значений функции. Основные 

свойства функций: четность и нечетность, периодичность, монотонность, 

ограниченность. График функции. Обратная и сложная функции. Числовая 

последовательность. Функция нескольких действительных переменных. 3.2. 

Предел 
числовой 
последовательности. 
Сходящиеся 
и 
расходящиеся 

последовательности. 
Арифметические 
действия 
над 
сходящимися 

последовательностями. Предел функции в точке и в бесконечности. Предел 

справа и предел слева. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их 

свойства. Предел функции двух действительных переменных. Признаки 

существования 
конечных 
пределов. 
Теорема 
Вейерштрасса. 
Основные 

неопределенности. Первый и второй замечательные пределы. Таблица 

эквивалентных бесконечно малых функций. 3.3. Определение непрерывности 

функции в точке и на промежутке. Свойства непрерывных на промежутке 

функций. Асимптоты функции одной действительной переменной. Точки 

разрыва первого и второго рода, точки устранимого разрыва. 3.4. Производная и 

дифференциал функции одной действительной переменной. Геометрический, 

физический и экономический смысл производной. Теоремы Ферма, Ролля, 

Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей 0/0, ∞/∞ по 

правилу Лопиталя. 3.5. Свойства дифференцируемых функций: экстремумы, 

монотонность, перегибы, выпуклость вверх и вниз. Исследование функции 

одной действительной переменной и построение графиков с использование 

компьютера и программных средств обеспечения. Тема 3 продолжается во II 

семестре. 

Таким образом, все задания, приведенные в пособии, полностью 

соответствуют рабочей программе дисциплины. В учебном пособии также 

представлены образцы вариантов аудиторной контрольной работы и зачетной 

работы, содержащие задания по всем основным темам математики, изучаемым в 

первом семестре.  

Теоретический материал по курсу и примеры решения типовых задач 

можно найти в учебниках и учебных пособиях [1], [2], [3], [4]. В учебных 

пособиях [5-11] содержатся дополнительные задачи по изучаемым темам, 

которые могут быть использованы для отработки полученных умений и навыков 

и углубления знаний по математике. 

При 
подготовке 
пособия 
использованы 
учебники, 
задачники 
и 

методические материалы, указанные в списке литературы. Рисунки выполнены 

с помощью программ Excel, R, Python, Graph. 

Авторы выражают благодарность рецензентам, коллегам и всем читателям 

за отзывы, замечания и предложения, которые были учтены в работе над 

учебным пособием. 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА 
1. Комплексные числа и действия над ними 
 

Определение. 
Комплексными 
числами 
называются 
пары 
(
)
,x y  

действительных чисел x  и y , если для них определены понятие равенства и 

операции сложения, вычитания, умножения и деления следующим образом: 

Два комплексных числа (
)
1
1
,
x y  и (
)
2
2,
x
y
 называются равными, если 
1
2
x
x
=
 и 

1
2
y
y
=
. Суммой двух комплексных чисел (
)
1
1
,
x y  и (
)
2
2,
x
y
 называется 

комплексное число (
)
1
1
2
2,
х
x
y
y
+
+
. Разностью двух комплексных чисел (
)
1
1
,
x y  

и (
)
2
2,
x
y
 называется комплексное число (
)
1
1
2
2,
х
x
y
y
−
−
. Произведением двух 

комплексных чисел (
)
1
1
,
x y  и (
)
2
2,
x
y
 называется комплексное число 

(
)
1
2
1
2
1
2
1
2
,
x x
y y x y
y x
−
+
. Частным комплексных чисел (
)
1
1
,
x y  и (
)
2
2,
x
y
 

называется комплексное число 
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
x x
y y
y x
x y
x
y
x
y


+
−


+
+



. 

Комплексное число (
)
0,1  называется мнимой единицей и обозначается 

буквой i , то есть 
(
)
0,1
i =
. 

По определению 
(
)
(
)
2
2
0,1
0 0
1 1,0 1 1 0
1
i =
=
⋅
− ⋅
⋅ + ⋅
= − . 

 

Алгебраическая форма комплексного числа 

Каждое комплексное число может быть записано в алгебраической форме 

(
)
,x y
x
iy
=
+
. 

Проверка: комплексное число (
)
,x y  можно записать следующим образом  

(
)
(
)
(
)(
)
,
,0
0,1
,0
.
x y
x
y
x
iy
=
+
=
+
 

Комплексные числа (
)
0,
0
y
iy
=
+
 называются чисто мнимыми. Число 0 

одновременно и действительное и чисто мнимое. 

Комплексное число x
iy
+
 принято обозначать буквой z: z
x
iy
=
+
. 

Число x  называется действительной частью, а число y  называется 

мнимой частью комплексного числа z
x
iy
=
+
. Для этих чисел приняты 

следующие обозначения: 
(
)
Re
Re
x
x
iy
z
=
+
=
, 
(
)
Im
Im
y
x
iy
z
=
+
=
. В записи 

z
x
iy
=
+
 предполагается, что x  и y  – действительные числа. 

Комплексно-сопряженные числа. Комплексное число x
iy
−
 называется 

сопряженным с числом x
iy
+
 и обозначается z . 
.
z
x
iy
x
iy
=
+
=
−
 

Модуль комплексного числа. Число 
2
2
x
y
+
 называется модулем 

комплексного числа z
x
iy
=
+
 и обозначается z : z =|
|
x
iy
+
=
2
2
x
y
+
. 

Из этого определения следует, что модуль комплексного числа 

неотрицателен, причем модуль комплексного числа 
z равен нулю в 

единственном случае, когда 
0
z =
. Модуль действительного числа совпадает с 

абсолютной величиной действительного числа. 

1 2
1
2 ,|
| |
| ,
.
n
n
z z
z
z
z
z
n
N
=
⋅
=
∈
 

Пример 1.1. Для комплексных чисел 
1
3
5
z
i
=
+
 и 
2
3
4
z
i
= − +
 найдите 
1 2
z z . 

Решение. 

1 2
(3
5 )( 3
4 )
(3
5 )( 3
4 )
3 ( 3)
5 ( 3)
3 4
( 5 ) 4
z z
i
i
i
i
i
i
i
i
=
+
− +
=
−
− +
= ⋅ −
−
⋅ −
+ ⋅
+ −
⋅
=  





1

2

 
   
 
      

9
15
12
20
27
9
20 ( 1)
11
+  27
.

действительная мнимая часть
часть числа
числа

i
i
i
i
i

−
= − +
+
−
=
−
−
⋅ −
=
 

Пример 1.2. Для комплексных чисел 
1
4
3i
z =
+
 и 
2
3
4i
z =
−
 найдите 
1

2
.
z
z
  

Решение. Учтем, что 2
1
i = − . 

1
2
2
2

4
3
4
3
3
4
4 3
4 4
3 3
3 4
3
4
3
4
3
4
3
( 4)
z
i
i
i
i
i
i
i
z
i
i
i
i
+
+
−
⋅ −
⋅
+
⋅ −
⋅
=
=
⋅
=
=
+
+
−
−
 




2

 
   
 
      

12
16
9
12
12
7
12
24
7
24
7
.
9
16
25
25
25
5

действительная мнимая часть
часть числа
числа

i
i
i
i
i
i
−
+
−
−
+
−
=
=
=
=
−
+
 

Пример 1.3. Найдите значение выражения (2
5 )( 6
)
1
2
i
i
i
−
− +
− +

 и ответ 

представьте в алгебраической форме. 

Решение. 

(
)(
)



(
)
(
)

1

2
2
5
6
12
5
2
30
12
2
30
5
1
2  
1
2
1
2
i
i
i
i
i
i
i
i
i

−
−
− +
−
+
+
+
−
+
+
−
=
=
=
− +
− +
− +
 

(
)(
)
(
)(
)





1

2

2

1

7
32
1
2
7
32
7
14
32
64
1
2
1
2
1
2
1
4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

−

−

− +
− −
− +
+
−
−
=
=
=
=
− +
− +
− −
−
 

(
)
(
)



 
   
 
      

7
64
14
32
79
7
71
18
       
.
1
4
5
5
5

действительная мнимая часть
часть числа
числа

i
i
i
+
+
−
−
=
=
=
−
+


 

 

Геометрическая интерпретация комплексного числа 

Пусть 
на 
плоскости 
задана 
прямоугольная 
система 
координат. 

Комплексное число z
x
iy
=
+
 изображается точкой плоскости с координатами 

(
)
,x y  и эта точка обозначается той же буквой z. 

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости 

является взаимно однозначным. При этом действительные числа изображаются 

точками оси абсцисс, а чисто мнимые – точками оси ординат. Поэтому ось 

абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой осью. 

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется 

комплексной плоскостью (рис. 1.1). 

Точки z и z симметричны относительно действительной оси, а точки z и 

z
−  симметричны относительно начала координат: 

Если z
x
iy
=
+
, то  

(
)
(
)
z
x
iy
x
iy
x
iy
− =
+
= − −
= −
+
, 

(
).
z
x
iy
x
iy
x
i
y
=
+
=
−
=
+
−
 

Рис. 1.1. Комплексная плоскость 

 

Тригонометрическая форма комплексного числа 

 

Положение точки z
x
iy
=
+
 на комплексной плоскости (рис. 1.2) 

однозначно определяется не только декартовыми координатами x  и y , но и 

полярными координатами r  и ϕ , где 
|
|
r
z
=
 – расстояние от точки 0 до точки z, 

а ϕ  – угол между положительным направлением действительной оси и вектором 

z. Если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается 

положительной, если по часовой стрелке – то отрицательной. Этот угол 

называется аргументом комплексного числа (
0
z ≠
) и обозначается 
arg( ).
z
ϕ =
 

Если z
x
iy
=
+
, 
arg( )z
ϕ =
,  то 

2
2
2
2
cos
,  sin
x
y

x
y
x
y
ϕ
ϕ
=
=
+
+

. 

Эта система имеет бесконечно много решений, и все эти решения задаются 

формулой 
0
2 k
ϕ
ϕ
π
=
+
, где k  – любое целое число, 
0
ϕ – одно из решений 

системы. Таким образом, аргумент комплексного числа определяется