Математика для направления «Бизнес-информатика». Часть I

Федеральное государственное образовательное бюджетное 
учреждение высшего образования

«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»
(Финансовый университет)

Г.С. Жукова

МАТЕМАТИКА

для направления 
«БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА»

Часть I

Учебное пособие
для организации самостоятельной работы студентов 
в обучающей образовательной среде Moodle

Москва 2024

УДК 517(075.8) 
ББК 22.161я73
Ж86

Рецензенты:

Бободжанов А.А. — доктор физико-математических наук, профессор, 
профессор кафедры высшей математики Национального исследовательского 
университета «Московский энергетический институт»;
Коган Е.Б. — кандидат физико-математических наук, доцент, доцент 
кафедры «Математика» Московского политехнического университета.

Ж86 
Жукова Г.С.
Математика для направления «Бизнес-информатика». Часть I: Учебное 
пособие для организации самостоятельной работы в обучающей образовательной 
среде Moodle / Г.С. Жукова. — М.: Прометей, 2024. — 480 с.

ISBN 978-5-00172-586-2

Цель пособия — оказать помощь студентам бакалавриата наиболее 
качественно организовать самостоятельную подготовку и самоконтроль по 
освоению дисциплины «Математика» в течение всего периода ее изучения, 
включая подготовку к лекционным и семинарским занятиям, контрольным 
работам, компьютерному тестированиям в LMS Moodle, промежуточным 
аттестациям. 
Материал Части I пособия предполагается изучить в первом семестре. 
Здесь обсуждаются следующие разделы математики: числовые множества, 
линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, дифференциальное 
и интегральное исчисление функции одной переменной. Пособие 
содержит системное изложение необходимого теоретического материала, 
позволяющего овладеть основными приемами и методами исследования 
широкого круга практических задач, а также по каждой обсуждаемой теме 
предложено большое число примеров и задач с подробным анализом и решением. 
Кроме того, по каждой теме представлены типовые задания (с ответами) 
для организации студентами самоподготовки и самоконтроля качества 
знаний в среде Moodle. Большое внимание уделено исследованию математическими 
методами реальных практических задач.
Рекомендуется студентам бакалавриата вузов, изучающим Математику, 
преподавателям для организации учебного процесса, а также всем 
желающим, занимающимся самообразованием.

ISBN 978-5-00172-586-2

© Жукова Г.С., 2024
 Издательство «Прометей», 2024

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .............................................................................. 4
Глава 1 Числовые множества
§ 1. Операции над множествами ..........................................10
§ 2. Комплексные числа .....................................................17
Глава 2 Основы линейной алгебры
§ 3. Матрицы. Операции над матрицами ...............................31
§ 4. Определитель матрицы .................................................44
§ 5. Обратная матрица. Решение матричных уравнений ..........57
§ 6. Элементы векторной алгебры ........................................68
§ 7. Системы линейных алгебраических уравнений ................80
§ 8. Линейные пространства и линейные операторы ...............98
§ 9. Собственные значения и собственные векторы 
матрицы ........................................................................ 119
§ 10. Квадратичные формы ............................................... 134
Глава 3 Элементы аналитической геометрии
§ 11. Уравнения прямой и плоскости в пространстве ............ 146
§ 12. Кривые второго порядка ........................................... 167
Глава 4 Математический анализ функции одной 
переменной
§ 13. Функция одной переменной. Основные элементарные 
функции  ................................................................ 185
§ 14. Теория пределов ...................................................... 215
§ 15. Непрерывность функции. Классификация точек 
разрыва .................................................................. 246
§ 16. Асимптоты графика функции .................................... 260
§ 17. Производные и дифференциалы функции .................... 271
§ 18. Свойства дифференцируемых функций. 
Приложения производных ........................................ 303
§ 19. Исследование функции и построение графика .............. 326
§ 20. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования ..... 349
§ 21. Определенные и несобственные интегралы .................. 390
§ 22. Приложения определенного интеграла ........................ 428
Глава 5 Организация самоподготовки и самоконтроля 
в LMS Moodle
§ 23. Советы по организации самостоятельной работы .......... 447
§ 24. Организация самоконтроля в компьютерной среде 
LMS Moodle ............................................................. 453
Литература ....................................................................... 476

ВВЕДЕНИЕ

Основной задачей высшей школы остается подготовка 
компетентных высококвалифицированных специалистов, 
способных принимать самостоятельные решения, востребованные 
на рынке труда. Для успешной работы после окончания 
университета и карьерного роста выпускник должен 
владеть глубокими и прочными знаниями по избранной 
специальности, широким спектром сведений из смежных 
областей науки, умением постоянно пополнять свои профессиональные 
знания. 
Предметы, включенные в учебный план, различные 
виды и формы учебных занятий дают студенту необходимый 
запас знаний, формируют требуемые компетенции. При этом 
все дисциплины одинаково важны и необходимы современному 
молодому специалисту в его практической деятельности. 
Математика — одна из вузовских дисциплин. Математика 
изучает абстрактные свойства реальных процессов и 
явлений в самой общей форме. Поэтому студенту надо осознать, 
что без изучения математики нельзя рассчитывать на 
серьезные успехи в любой конкретной науке и профессиональной 
практической деятельности. Математика является 
для многих отраслей знаний не только инструментом для количественных 
расчетов, но методом точного исследования. 
При изучении математики следует помнить, что целью 
является развитие и стимулирование навыков логического 
мышления, приобретение определенных умений, владение 
изученным материалом, а не простое знание понятийного 
аппарата и формулировок теорем. Таким образом, математическое 
образование в системе высшей школы выполняет 
функции становления мышления у студентов, овладения 
методами формализации при постановке рассматриваемых 
задач и проблем в разных областях деятельности.
Трудно переоценить важность математики, математического 
образования и математической культуры в современном 
мире. Математика изучает абстрактные свойства 
реальных процессов и явлений в самой общей форме, позволяет 
точно выражать мысли и способствует самому процессу 
мышления. 

Без современной математики с развитым логическим 
и вычислительным аппаратом невозможен прогресс в науке 
и жизнедеятельности. Это универсальный язык науки, 
средство анализа и решения прикладных задач. Несомненно, 
дисциплина «Математика» служит формированию у студентов 
основ теоретических знаний и практических навыков 
по использованию математических методов, необходимых 
для анализа и исследования, моделирования различных технических 
и иных социально значимых процессов, решения 
прикладных задач, возникающих в профессиональной деятельности 
выпускников программ подготовки бакалавров. 
Требования к математической подготовке успешного 
специалиста постоянно возрастают. Кроме крепких знаний 
по своей специальности ему необходимо уметь использовать 
в практической деятельности современные математические 
методы, выбирать наиболее подходящие к анализу решаемой 
задачи комбинации существующих подходов, уметь 
обосновывать правильность и оптимальность выбора. Математическое 
образование в системе высшей школы выполняет 
функции становления мышления у студентов, овладения 
методами формализации разных уровней при постановке задач 
и проблем в разных областях деятельности.
Таким образом, современный специалист должен быстро 
и качественно анализировать с помощью математических 
методов и алгоритмов огромные по объему массивы 
различного рода информации, необходимой для его успешной 
профессиональной работы. 
Особенностью учебного процесса в вузе является то, 
что значительная часть учебной нагрузки переносится на 
самостоятельную работу. Умение учиться самостоятельно 
достигается повседневной целенаправленной аудиторной 
и внеаудиторной работой, проводимой планомерно и организованно. 
Чтобы хорошо учиться в вузе, получить глубокие 
знания, стать грамотным высококвалифицированными 
специалистом, востребованными на рынке труда, студенту 
надо с первого курса самообучаться, то есть больше и плодотворно 
работать самостоятельно.
В современных условиях особое значение приобретает 
проблема качества образования. Требования к качеству 
образования специалистов-выпускников вузов с каждым 

годом возрастает, что диктуется ускоряющимся развитием 
науки и техники, связанной с этим обязательной сменой через 
несколько лет основного объема знаний. Все это обосновывает 
потребность у студента развивать в себе способность 
непрерывно самостоятельно повышать свой специальный и 
культурный уровень, выработать чувство ответственности 
за личное соответствие растущим требованиям к специалистам-
профессионалам. Считается, что в результате обучения 
студент должен не только овладеть необходимым объемом 
знаний по данной специальности, но и выработать в себе 
устойчивую способность постоянно самостоятельно анализировать 
новые задачи, непрерывно повышать свой образовательный 
уровень. 
В настоящем учебном пособии дано системное изложение 
основных разделов вузовской математики, которые обязательно 
востребованы в полном объеме при анализе и решении 
задач профессиональной деятельности. Основная цель 
учебного пособия — помочь студентам бакалавриата изучить 
основные положения высшей математики, дать необходимую 
базу, позволяющую применять классические методы 
математики, строить математические модели прикладных 
задач; устойчиво овладеть математическими методами анализа 
большого круга практических задач.
Мы излагаем «Математику» как дисциплину, обучающую 
студентов навыкам логического мышления, умению не 
только осмыслить и высказать суждение по тому или иному 
вопросу, но проверить его правильность; осознанному использованию 
математических методов, в частности, количественных 
методов анализа, необходимых им при изучении 
спецкурсов, написании курсовых и выпускной квалификационной 
работ. Изучение представленного материала будет, 
несомненно, способствовать формированию требуемых компетенций: 
владение культурой мышления, способностью к 
обобщению, анализу, восприятию информации, постановке 
цели и выбору путей ее достижения; способность осуществлять 
сбор, анализ и обработку данных, необходимых для 
решении поставленных задач; способность выполнять расчеты, 
необходимые в профессиональной сфере, обосновывать 
их и представлять результаты; владение методами количественного 
анализа и моделирования, теоретического и экс-

периментального исследования; умение использовать соответствующий 
математический аппарат и инструментальные 
средства для обработки, анализа и систематизации информации 
о теме исследования.
Настоящее учебное пособие содержит основные теоретические 
сведения и положения высшей математики. Включенный 
в пособие материал полностью соответствуют рабочей 
программе дисциплины «Математика» для бакалавров 
направления подготовки 38.03.05 — Бизнес-информатика. 
Объем дисциплины — 7 зачетных единиц, период изучения — 
первый и второй семестры. 
В части I пособия изучаются следующие разделы высшей 
математики; числовые множества; основы линейной 
и векторной алгебры; линейные пространства и линейные 
операторы; квадратичные формы; элементы аналитической 
геометрии на плоскости и в пространстве; дифференциальное 
исчисление функции одной переменной; интегральное 
исчисление функции одной переменной. Большое внимание 
уделяется в пособии приложениям математических методов 
к исследованию прикладных задач, в частности, экономики.
В части II пособия изучаются: дифференциальное исчисление 
функций нескольких переменных; кратные интегралы 
и их приложения; дифференциальные уравнения и 
системы; числовые и степенные ряды; основы дискретной 
математики; приложения. 
Деление учебного пособия по содержанию именно на 
такие две части предпринято в связи с тем, какой материал 
изучается в первом, а какой во втором учебном семестре.
Изучение представленного материала по дисциплине «Математика» 
будет, несомненно, способствовать формированию 
требуемых компетенций: владение культурой мышления, способностью 
к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке 
цели и выбору путей ее достижения; способность осуществлять 
сбор, анализ и обработку данных, необходимых для 
решении поставленных задач; способность выполнять расчеты, 
необходимые в профессиональной сфере, обосновывать их и 
представлять результаты; владение методами количественного 
анализа и моделирования, теоретического и экспериментального 
исследования; умение использовать соответствующий математический 
аппарат и инструментальные средства для обработки, 
анализа и систематизации информации о теме исследования.

В каждом параграфе настоящего учебного пособия 
главное внимание уделено обсуждению и разбору сложных 
ситуаций, возникающих при изучении этой темы. Отличительной 
особенностью пособия является тот факт, что в нем 
предложено большое число задач и примеров с анализом и 
подробным решением. В частности, обсуждаются все типы 
практических заданий, выносимых на контрольные работы 
и промежуточные аттестации. 
Тема каждого параграфа разбита на подтемы. Схема 
изложения подтемы включает краткий теоретический материал, 
необходимый для усвоения матери-ала, разбор практических 
задач (с анализом и подробным решением). В каждом 
параграфе пособия предложен перечень типовых заданий 
(с ответами) для самостоятельной проработки темы и выполнения 
самоконтроля качества приобретенных знаний. В пособии 
нумерация глав и параграфов сквозная. При этом нумерация 
определений, теорем, следствий, свойств, замечаний, 
формул, рисунков, подтем, примеров с решениями используется 
в каждом параграфе самостоятельная. Нумерация типовых 
примеров для самоподготовки и ответов к ним двойная: 
указан номер параграфа, потом через точку номер задания.
Изучение дисциплины требует систематического и последовательного 
накопления знаний. Пропуски отдельных 
тем не дают возможности студенту глубоко освоить предмет. 
Именно поэтому настоящее пособие позволит студенту, пропустившего 
какую-либо тему, быстро изучить ее самостоятельно.
Контроль над непрерывной самостоятельной работой 
студентов по освоению дисциплины «Математика» всегда 
должна находиться в центре внимания самого студента и 
преподавателя. Самостоятельная работа студентов проходит 
аудиторно и внеаудиторно. Она включает в себя выполнение 
различного рода заданий, которые ориентированы на 
более глубокое усвоение материала изучаемой дисциплины. 
Причем задания должны выполняться студентами регулярно, 
самостоятельно и представляться преподавателю на проверку 
в установленный срок по его требованию, а также должны соответствовать 
установленным требованиям по оформлению.
Мы придерживаемся мнения, что математическими приемами 
и методами анализа различных задач можно устойчиво овладеть 
только, решая достаточное число аналогичных примеров. 

Поэтому в Финансовом университете при Правительстве Российской 
Федерации студентам по всем разделам дисциплины выдается 
сборник типовых заданий (с ответами), демоварианты работ 
всех аудиторных и домашних контрольных мероприятий.
Авторами настоящего учебного пособия также разработаны 
в электронном виде тесты и тренинги по всем изучаемым 
темам дисциплины. Любой студент может проходить тестирование 
по любой теме по нескольку раз, причем в удобное 
для него время, с получением результата сразу по окончании 
тестирования. Примеры типовых тестовых заданий в системе 
LMS Moodle приведены в соответствующей главе пособия. 
Все это (типовые задачи с анализом и решениями, задания 
для самоподготовки (с ответами), тесты для самоконтроля 
по каждой теме) в сочетании с материалом настоящего учебного 
пособия позволяют студентам организовать качественную 
самостоятельную работу по дисциплине «Математика», регулярно 
контролировать уровень своей подготовки, проходить 
самостоятельно контроль качества получаемых знаний.
Книга имеет многоадресное назначение. Она рекомендуется 
студентам всех форм обучения при выполнении 
домашних заданий, подготовке к самостоятельным и контрольным 
работам, промежуточным аттестациям. Она будет 
полезна преподавателям для организации образовательного 
процесса, а также всем желающим углубить свои знания по 
высшей математике.

Глава 1. 
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА

§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

1. Определения

Определение 1. Множество — это любая совокупность 
объектов, называемых элементами множества. Множество 
считается заданным, если о любом объекте можно 
сказать, принадлежит он этому множеству или нет.
Множества обозначают большими буквами: A, B, N,…. 
Элементы множества обозначают малыми буквами: a, b, 
n, …. Запись a ∈ A означает, что элемент a есть элемент множества 
A. В противном случае пишут: a ∉ A. 
Определение 2. Числовым называется такое множества, 
все элементы которого являются числами.
Определение 3. Пустым называется множество, не 
содержащее ни одного элемента, обозначается символом ∅.
Определение 4. Множество A называется конечным, 
если оно содержит конечное число n(A) элементов.
Определение 5. Два множества называются равными, 
если они состоят из одних и тех же элементов.
Определение 6. Множество A называется подмножеством 
множества B, если любой элемент множества A 
является элементом множества B. Используют запись A ⊂ B 
или B ⊃ A (отношения включения).
Определение 7. Множество А называется универсальным 
для данного рассуждения, если в ходе него участвуют 
только подмножества множества А.
Чтобы наглядно изображать множества и отношения 
между ними, на плоскости рисуют геометрические фигуры 
(как правило, круги), которые находятся между собой в этих 
отношениях. Универсальные множества отождествляют с 
плоскостью, изображая в виде квадрата, внутри которого 
рисуют все другие множества, участвующие в рассуждении. 
Изображение множества с помощью геометрической фигуры 
называется диаграммой множества (или диаграммой 
Эйлера-Венна).

Способы задания множеств
1) С помощью перечисления его элементов:

A = {a1; a2; …; an};

2) Описанием характеристического свойства элементов 
множества:
A = {x | P(x)}.

Читают: множество всех элементов х, для которых имеет 
место условие P(x).

Свойства отношения включения
1) A ⊂ A;
2) Если B ⊂ A и A ⊂ C, то B ⊂ C;
3) Если B ⊂ A и A ⊂ B, то A = B.

Обозначение некоторых числовых множеств
N — множество натуральных чисел: N = {1; 2; 3; …};
Z — множество целых чисел: Z = {0; ±1; ±2; …};
R — множество вещественных чисел: R = (-∞; +∞);
(a; b) — интервал: (a; b) = {x | a < x < b)};
[a; b] — отрезок: [a; b] = {x | a ≤ x ≤ b)};
(a; b] и [a; b) — полуинтервалы:
(a; b] = {x | a < x ≤ b)}, [a; b) = {x | a ≤ x < b)};
(a – δ; a + δ) — δ-окрестность точки x = a:
(a – δ; a + δ) = {x | a – δ < x < a + δ)}
Промежуток — общее название для интервала, отрезка 
и полуинтервала. 

2. Операции над множествами

Множества можно комбинировать друг с другом и получать 
другие множества. Для этого используются операции: объединение 
множеств, пересечение множеств, дополнение к подмножеству, 
разность множеств, прямое произведение множеств.
Определение 8. Объединением множеств A и B называется 
множество, обозначаемое A ∪ B, состоящее из 
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств 
A или B (Рис. 1):