Математическое моделирование

С. А. Осипенко 

Математическое моделирование 

Учебно-методическое пособие 

Москва 
Берлин 
2022 

УДК 57:519.673(075) 
ББК 28в631.0я73 

О74 

Осипенко, С. А. 

О74     Математическое моделирование : учебно-методическое пособие / 

С. А. Осипенко. – Москва : Директ-Медиа, 2022. – 144 с. 

ISBN 978-5-4499-3176-4 

   Учебно-методическое пособие  посвящено изучению  математических 
понятий и методов, использующихся в биологии, 
формированию навыков использования полученных знаний для 
решения профессиональных задач в соответствии с формируемыми 
компетенциями. Каждый раздел  разбит  на  небольшие  темы 
материала  с разобранными задачами.   Большинство  из  предложенных  
задач  имеет  профессионально  направленное  содержание 
и рассчитаны  на  выработку  у  студентов  умений  постановки  и  
решения  практических  задач  математического  моделирования  
различных  процессов. 

УДК 57:519.673(075) 
ББК 28в631.0я73 

ISBN 978-5-4499-3176-4
© Осипенко С. А., текст, 2022
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ 

ВВЕДЕНИЕ _____________________________________________________ 4 

Раздел 1. Статистический анализ биологических данных _______________ 5 

Тема 1. Пространство элементарных событий. Операции над событиями __ 5 

Вероятность событий _____________________________________________ 5 

Тема 2. Модель равновероятных элементарных событий ______________ 12 

Тема 3. Условная вероятность и независимость ______________________ 16 

Формулы Байеса, Бернулли, Пуассона ______________________________ 16 

Тема 4. Функция распределения случайной величины _________________ 30 

Дискретные случайные величины __________________________________ 30 

Тема 5. Непрерывные случайные величины _________________________ 38 

Раздел 2. Моделирование динамики биологических процессов _________ 47 

Тема 1. Исследование уравнения в окрестности стационарного состояния 47 

Тема 2. Непрерывные модели популяции ___________________________ 53 

Тема 3. Основные понятия моделей, описываемых системой 
дифференциальных уравнений. Исследование систем двух линейных 
уравнений _____________________________________________________ 63 

Тема 4. Системы двух нелинейных дифференциальных уравнений ______ 70 

Тема 5. Решение моделей методами линейного программирования (модель 
оптимизации структуры посевных площадей, модель оптимизации 
распределения минеральных удобрений, модель оптимизации рационов 
кормления сельскохозяйственных животных, модель оптимизации структуры 
кормопроизводства, модель оптимизации структуры стада 
сельскохозяйственных животных) _________________________________ 80 

Рекомендуемая литература и источники ___________________________ 139 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ______________________________________________ 141 

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 ______________________________________________ 142 

ПРИЛОЖЕНИЕ 3 ______________________________________________ 143 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Цель дисциплины – ознакомление студентов с основными математическими 
понятиями и методами, использующимися в биологии, формирование 
навыков использования, полученных знаний для решения профессиональных 
задач в соответствии с формируемыми компетенциями. 
Задачи дисциплины: 
- ознакомление с биологическими исследованиями, в которых получение 
и понимание результатов базировалось на математическом моделировании; 
- формирование у студентов системного представления об особенностях 
биологических систем, определяющих выбор математического аппарата для 
их моделирования; 
- формирование навыков построения и анализа математических моделей 
биологических систем.  
В результате освоения дисциплины «Математическое моделирование» у 
обучающихся должны быть сформированы следующие  компетенции: 
УК-1.1. Выполняет поиск информации, определяет критерии системного 
анализа поставленных задач 
УК-1.2. Использует критический анализ, систематизацию и обобщение 
информации для решения поставленных задач 
ПК-1.1. Обладает знаниями о методологии и этапах выполнения научно-
исследовательской работы; о методах решения научных задач; о методике 
подготовки отчета, в том числе выпускной квалификационной работы  
ПК-1.2. Демонстрирует умения: обрабатывать и анализировать научно-
техническую информацию и результаты исследований; выполнять под научным 
руководством научно-исследовательскую или опытно-конструкторскую 
разработку в конкретной области профессиональной деятельности.  
ПК-1.3. Имеет практический опыт (навыки): научной аргументации при 
анализе объекта научной и профессиональной деятельности; подготовки 
научных обзоров, публикаций, рефератов и библиографий по тематике проводимых 
исследований. 
 
 
 
 
 
 
 

Раздел 1 Статистический анализ биологических данных 
 

Тема 1 Пространство элементарных событий. Операции над событиями. 

Вероятность событий 
Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате 

опыта (испытания) может произойти или не произойти. 

Случайные события обозначаются буквами А, В, С … и т.д. Приведем 

несколько примеров случайных событий: 

А – выпадение орла (герба) при подбрасывании стандартной монеты; 

В – рождение девочки в данной семье; 

С – рождение ребенка с заранее заданной массой тела; 

D – возникновение эпидемического заболевания в данном регионе в 

определенный период времени и т.д. 

Основной количественной характеристикой случайного события явля-

ется его вероятность. Пусть А – какое-то случайное событие. Вероятность 

случайного события А – это математическая величина, которая определяет 

возможность его появления. Она обозначается Р(А). 

Вероятностью  Р  появления  случайного  события  А  называют  вели-

чину,  равную  отношению  числа  благоприятствующих  исходов  для  дан-

ного  события  m  к  числу  равновозможных,  единственно  –  возможных  и  

несовместных  исходов  испытания  n.        

                            
n
m
A
p

)
(
 

Из  определения  вытекают  следующие  свойства  вероятности: 

1. Вероятность  появления  события  всегда  больше  0  и  меньше  1:  

0 ≤ Р(А) ≤ 1. 

2. Р (А) = 1,  если  А – достоверное. 

Событие  А  называется  достоверным,  если  в  результате  испытания  

оно  обязательно  произойдёт. 

Событие  А  заключающееся  в  том,  что  наудачу  выбранный  шар  из  

коробки,  в  которой  находятся  чёрные  шары,  будет  чёрным,  является  до-

стоверным.

3. Р (А) = 0,  если  А  – невозможное.
Событие А  называется  невозможным,  если  в  результате  испытания  
оно  обязательно  не  произойдет.
Событие,  что  из  коробки,  содержащей  одни  чёрные  шары,  достают  
наудачу  белый  шар  будет  невозможным,  т.к.  белых  шаров в коробке нет.

4. Р (А) + Р(А) = 1.

Событие  А,  заключающееся  в  не наступлении  события  А,  называют  
противоположным  событию  А. 
Например,  при  бросании  монеты,  вероятность  выпадения  цифры: 
Р (А) =  0,5    
 _  
при  выпадении  герба  Р (А) =  0,5   

Р (А) + Р(А) =  0,5 + 0,5   =  1.
Для вычисления вероятностей событий в задачах с применением клас-

сического определения вероятности иногда приходится использовать форму-

лы комбинаторики. Пусть множество X состоит из n элементов. 

ПЕРЕСТАНОВКИ – линейно упорядоченные наборы из n элементов 

множества X, отличающиеся порядком элементов. Таких различных наборов 

будет Pn = n! 

РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ – линейно упорядоченные наборы 

из k различных элементов множества X, причем важен их порядок. Таких 

различных наборов будет

= n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) = 

РАЗМЕЩЕНИЯ С ПОВТОРЕНИЯМИ – линейно упорядоченные набо-

ры из k элементов множества X, причем важен их порядок, а элементы могут 

повторяться. Таких различных наборов будет

СОЧЕТАНИЯ – линейно упорядоченные наборы из k различных эле-

ментов множества X, причем их порядок не важен. Таких различных наборов 

будет 

Относительной  частотой появления  события  называют  отношение  

числа  исходов,  когда  событие  произошло,  к  общему  числу  испытаний

n
A
m
А
)
(
)
(



Частота  появления  события  считается  после  испытания,  а  вероят-

ность  появления  события  – до  испытания. При  неограниченно  растущем  

числе  испытаний  n,  относительная  частота  появления  события стремится  

к  вероятности  появления  события

Р (А) = lim vn (А)

n→∞

Это  определение  вероятности  носит  название  статистического. Пе-

речисленные ранее свойства вероятности случайного события сохраняются и 

при статистическом определении данной величины

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь 

один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Опреде-

лите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение: по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n=4)

событию А (крыса находит пищу) благоприятствует только один, т.е. m = 1 

Тогда Р(А) = Р (крыса находит пищу) =
= 0,25 или 25%.

Пример 2. При врачебном обследовании 500 человек у 5 из них обна-

ружили опухоль в легких (о.л.). Определите относительную частоту и веро-

ятность этого заболевания.

Решение: по условию задачи М = 5, N = 500, относительная часто-

та Р*(о.л.) = М/N = 5/500 = 0,01; поскольку N достаточно велико, можно с хо-

рошей точностью считать, что вероятность наличия опухоли в легких равна 

относительной частоте этого события:

Р(о.л.) = Р*(о.л.) = 0,01 или 1%.

Пример 3. Имеется 8 карточек; одна сторона каждой из них чистая, а 

на другой записаны буквы; И, Я, Л, З, Г, О, О, О. Карточки кладут на стол 

чистой стороной вверх, перемащивают, а затем последовательно одну за дру-

гой переворачивают. Какова вероятность того, что при последовательном по-

явлении букв будет составлено слово ЗООЛОГИЯ?

Решение: Обозначим событие: В – будет составлено слово ЗООЛО-

ГИЯ. Общее число исходов испытания равно n =
= 8! = 40320.

Пронумеруем все карточки в соответствии с местами, которые занима-

ют буквы в слове ЗООЛОГИЯ. Будем считать, что буквы З, Л, Г, И, Я напи-

саны соответственно на карточка 1, 4, 6, 7, 8. Буква О написана на карточках 

2, 3 и 5. Закрепим буквы З, Л, Г, И, Я на местах 1, 4, 6, 7, 8. А карточки 2, 3 и 

5 будем менять местами (варианты: 2 – 3 – 5; 2 – 5 – 3;  5 – 3 – 2; 5 – 2 – 3; 3 –

2 – 5; 3 – 5 – 2). В результате таких изменений будем получать слово ЗОО-

ЛОГИЯ. Таким образом, число исходов испытания, благоприятствующих со-

бытию В, равно m =
= 3! = 6.

Вероятность событий В равна Р(В) = 6/40320 = 1/6720

Пример 4. Сколько билетов можно составить из 25 вопросов, если би-

лет содержит 3 вопроса.

Решение: В билет произвольным образом отбирается 3 вопроса из 

списка в 25 вопросов, при этом порядок следования вопросов также произ-

вольный, поэтому

2300
6
25
24
23
!3
!
22
!
25
3
25






C
, т.о. можно составить 2300 билетов.

Пример 5. Сколько сигналов можно подать, вывешивая по 3 флага на 

мачте, если всего имеют 4 флага (белый, красный, синий, зеленый).

Решение:  Из 4-х различных по цвету флагов выбирают 3 флага, при 

этом, меняя последовательность следования флагов различных по цвету 

(например, красный-белый-зеленый и белый-красный-зеленый) передают 

различные сигналы, т.е. важен и состав и порядок расположения элементов, 

тогда 
24
2
3
4
3
4




A
, следовательно, используя только 3 флага из 4, можно 

передать 24 сигнала. 

Правило суммы. Если объект А может быть выбран из совокупности 

объектов n  способами, а объект В – m способами, то выбрать либо объект А, 

либо объект В можно 
m
n 
 способами.  

Пример 6. В вазе 5 груш и 4 яблока ( объект А – груша, объект В – яб-

локо). Сколько существует способов выбрать один из фруктов. 

Решение. Существует 5 способов выбрать грушу и 4 способа выбрать 

яблоко, поэтому выбрать либо грушу, либо яблоко можно 9 способами. 

Правило произведения. Если объект А может быть выбран из совокуп-

ности объектов n  способами, а объект В – m способами, то выбрать  сово-

купность объектов (АВ) можно  
m
n
  способами. 

Пример 7. В вазе 5 груш и 4 яблока. Выбрать одновременно грушу и 

яблоко  (совокупность объектов (АВ)) можно   
20
4
5


 способами. 

Пример 8. В ящике 50 деталей, из них 4 детали бракованных. Из ящика 

берут 10 деталей произвольным образом. Найти вероятность того, что среди 

извлеченных деталей: а) нет бракованных; б) две бракованных детали. 

Решение. 
Задача 
по 
классическому 
определению 
вероятностей  

n
m
A
p

)
(
. 

а) Из 50 деталей случайным образом отбираются 10 деталей, очевидно, 

что     
10
50
C
n 
.  Так как в 10 отобранных деталей не попадает ни одной брако-

ванной, то   
10
46
C
m 
.  

       

397
,0
)
(
10
50

10
46 

C

C
A
p

. 

б) Общее число исходов не меняется 
10
50
C
n 
. Число исходов, при кото-

рых среди 10 отобранных деталей 2 бракованных, равно 
152
,0
10
50

8
46
2
4



C
C
C
m
.  

Задачи для решения на практическом занятии: 

1.  Для  определения  всхожести  семян  взяли  пробу  из  1000  единиц.  

Из  отобранных  семян  115  не  взошло.  Какова  вероятность,  что  первое  

наудачу  взятое  семя  не  взойдёт?  Каков  процент  всхожести  семян? 

2.  В  ящике  250  яиц,  из  них  20  бракованных.  Какова  вероятность,  

взятое  из  ящика  яйцо  будет  бракованным? 

3.  В  бассейне  содержится  8  лещей  и  12  карпов.  Какова  вероят-

ность,  что  наудачу  выловленная  рыба  окажется  карпом?  Лещом?  Какую  

рыбу  вероятнее  всего  выловить? 

4.  Для  выяснения  качества  семян  было  отобрано  и  высеяно  в  ла-

бораторных  условиях  1000  штук.  980  семян  дали  нормальный  всход.  

Найдите  частоту  нормального  всхода  семян. 

5.  Среди  500  ампул,  проверенных  на  герметичность,  оказалось  10  

в  которых  имеются  трещины.   Определить  частоту  появления  ампул  

имеющих  трещины. 

6.  Среди  1000  яиц  250  бракованных.  Определить  частоту  появле-

ния  брака.  Сколько  будет  бракованных  яиц  в  повторной  выборке  объё-

мом  350  яиц? 

7.  В  клетке  содержат  6  белых  и  4  серых  мышей.  Какова  вероят-

ность  достать  из  клетки:  а)  1  белую  мышь;  б)  5  серых  мышей? 

8.  Вероятность  того,  что  завтра  день  будет  дождливый,  равна  0,7.  

Найти  вероятность  того,  что  день  будет  ясный. 

9.  На  5  из  15  участках  засорённость  выше  нормы.  Найти  вероят-

ность  того,  что  на  участке,  выбранном  наудачу,  засорённость  сорняками  

в  пределах  нормы. 

10.  Имеется  6  саженцев  1  сорта  и  4  саженца   2  сорта.  Наудачу  

берут  один  саженец.  Какова  вероятность  того,  что  он  окажется  1-ого  

сорта? 

 11. Сколькими способами можно разместить 12 мышей, занумерован-

ных от 1 до 12, в четырех клетках A, B, C, D по три мыши в каждой? 

12. 
В распоряжении агрохимика имеется шесть различных типов ми-

неральных удобрений. Ему необходимо провести эксперименты по изучению 

совместного влияния любой тройки минеральных удобрений. Сколько всего 

экспериментов ему придется провести, если: а) порядок внесения удобрений 

несущественен? б) существенен?  

13. Для лечения некоторой хронической болезни применяются пять ле-

карства a, b, c, d, e. Врач хочет провести сравнительное исследование трех из 

этих пяти лекарств. Три исследуемых лекарства врач отбирает из данных пя-

ти случайным образом. Чему равна вероятность того, что: а) лекарство a бу-

дет исследовано? б) будут исследованы лекарства a и b? в) будет исследовано 

по крайней мере одно из лекарств a и b? 

14. Классифицируются n особей r признакам, n ≥ r. Найдите вероят-

ность того, что никакие две особи не принадлежат к одному и тому же клас-

су. Все возможные распределения особей по классам равновероятны.  

15. На полке в почвенной лаборатории случайно смешаны бюксы с раз-

личными образцами почвы: 8 бюксов с влажной почвой и 6 – с сухой. Найти 

вероятность того, что 3 из 5 наудачу взятых с этой полки бюксов будут с су-

хой почвой.  

16. При определении в схожести партии семян взяли пробу из 1000 

единиц. Из отобранных семян не взошло 90. Какова относительная частота 

появления всхожего семени?  

17. Для проведения исследований на некотором поле взяли случайную 

выборку из 200 колосьев пшеницы. Относительная частота (частность) коло-

сьев, имеющих по 12 колосков в колосе, оказалось равной 0,125, а по 18 ко-