Детали машин

А. И. Смирнов 

Детали машин 

Учебное пособие 

Москва 
2022

УДК 621.81(075) 
ББК  34.44я73 
С50 

Смирнов, А. И. 
С50  
Детали машин : учебное пособие / А. И. Смирнов. — Москва : Директ-Медиа, 
2022. — 676 с. 

ISBN 978-5-4499-2763-7 

В учебную программу технических вузов введены новые дисциплины, отражающие состояние 
науки и техники. При ограниченном сроке обучения это привело к значительному 
сокращению количества лекционных часов по курсу «Детали машин». Восполнить 
появившийся недостаток в знаниях студентов можно за счет самостоятельного изучения 
необходимых разделов курса по предлагаемому учебному пособию. 
Учебное пособие состоит из трех основных частей: теории вопроса, примеров и задач. 
В теоретической части по большинству механических передач в конце раздела приводится 
алгоритм расчета. Все задачи пособия были предварительно решены, а к части из них 
даны ответы. Соотношение примеров и задач 1 : 1,5 (при общем числе более трехсот). 
Примеры и задачи носят практическую направленность. Некоторые примеры и предложенные 
методы их решения представляют интерес и для специалистов в области проектирования 
и конструирования деталей и узлов машин. Содержащийся в пособии 
справочный материал является достаточным, и пользователю не придется тратить время 
на поиск нужных данных. 
При решении некоторых задач по сварным соединениям с консольно расположенными 
нагрузками получаются биквадратные уравнения, которые не решаются в радикалах. Такие 
задачи автор предложил (примеры в пособии) решать графическим способом. Метод 
довольно прост, а точность результата расчетов всегда может быть согласована с точностью 
исходных данных. Кроме того, в пособии на примерах показано как правильно работать 
с числами. 
Пособие предназначено для студентов машиностроительных специальностей, а также 
начинающих конструкторов. Особенно оно окажется нужным студентам технических 
учебных заведений дневной, вечерней и заочной форм обучения, выполняющим домашние, 
контрольные задания и курсовой проект. Не исключаю, что окажется полезным всем, 
чья деятельность в той или иной степени связана с деталями машин. 

УДК 621.81(075) 
ББК  34.44я73 

ISBN 978-5-4499-2763-7
© Смирнов А. И., текст, 2022
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2022

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 

От автора ........................................................................................................................................................................... 9 

1. Расчет деталей при повторно-переменных напряжениях ........................................................... 10 

1.1. Общие сведения о прочности деталей .......................................................................................... 10 

1.2. Допускаемые напряжения материалов при статической нагрузке ............................. 12 

1.3. Переменные напряжения ..................................................................................................................... 14 

1.3.1. Циклы напряжений и их основные параметры ............................................................. 14 

1.3.2. Расчет на прочность при линейном и сложном напряженных  
состояниях ...................................................................................................................................................... 26 

Примеры .................................................................................................................................................................. 33 

Задачи ....................................................................................................................................................................... 46 

2. Фрикционные передачи ................................................................................................................................... 51 

2.1. Вращательное движение и его основные параметры .......................................................... 51 

2.2. Общие сведения о фрикционных передачах ............................................................................. 53 

2.3. Цилиндрическая фрикционная передача ................................................................................... 55 

2.3.1. Основные геометрические и кинематические соотношения. Силы, 
действующие в передаче ........................................................................................................................ 55 

2.3.2. Расчет цилиндрической фрикционной передачи на контактную 
выносливость ................................................................................................................................................ 56 

2.3.3. Алгоритм расчета цилиндрической фрикционной передачи ............................... 59 

2.4. Коническая фрикционная передача ............................................................................................... 60 

2.4.1. Основные геометрические и кинематические соотношения. Силы, 
действующие в передаче ........................................................................................................................ 60 

2.4.2. Расчет конической фрикционной передачи на контактную  
выносливость ................................................................................................................................................ 60 

2.4.3. Алгоритм расчета конической фрикционной передачи .......................................... 62 

2.5. Вариаторы ..................................................................................................................................................... 63 

Примеры .................................................................................................................................................................. 66 

Задачи ....................................................................................................................................................................... 81 

3. Ременные передачи ............................................................................................................................................ 83 

3.1. Общие сведения.......................................................................................................................................... 83 

3.2. Передачи плоскими и клиновыми ремнями .............................................................................. 88 

3.2.1. Кинематические и геометрические соотношения в плоскоременной 
передаче ........................................................................................................................................................... 88 

3.2.2. Расчет плоскоременной передачи по тяговой способности .................................. 91 

3.2.3. Расчет клиноременной передачи по тяговой способности .................................... 96 

3.2.4. Поликлиноременная передача и ее расчет ................................................................... 101 

3.2.5. Алгоритм расчета поликлиноременной передачи ................................................... 103 

3.3. Передача зубчатыми ремнями и ее расчет .............................................................................. 105 

3 

 
3.4. Шкивы ременных передач ................................................................................................................ 108 

Примеры ............................................................................................................................................................... 112 

Задачи .................................................................................................................................................................... 123 

4. Цепные передачи .............................................................................................................................................. 127 

4.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 127 

4.2. Цепи и звездочки .................................................................................................................................... 128 

4.3. Основные геометрические и кинематические соотношения в передаче .............. 132 

4.4. Силы в ветвях цепи ................................................................................................................................ 135 

4.5. Подбор и проверка цепей на долговечность .......................................................................... 137 

4.5.1. Роликовые (втулочные) цепи ............................................................................................... 137 

4.5.2. Алгоритм расчета роликовой цепной передачи ........................................................ 138 

4.6. Зубчатые цепи .......................................................................................................................................... 140 

Примеры ............................................................................................................................................................... 142 

Задачи .................................................................................................................................................................... 160 

5. Резьбовые соединения ................................................................................................................................... 163 

5.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 163 

5.2. Материалы, классы прочности и допускаемые напряжения ........................................ 167 

5.3. Силовые соотношения в кинематической паре «винт-гайка» ..................................... 168 

5.4. Расчет резьбовых соединений ........................................................................................................ 170 

5.4.1. Расчет крепежной резьбы ....................................................................................................... 170 

5.4.2. Расчет болтовых соединении ............................................................................................... 171 

5.4.3. Расчет клеммовых соединений ........................................................................................... 181 

Примеры ............................................................................................................................................................... 183 

Задачи .................................................................................................................................................................... 200 

6. Заклепочные соединения ............................................................................................................................. 205 

6.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 205 

6.2. Работа заклепочного соединения при статической нагрузке ...................................... 206 

6.3. Классификация заклепочных швов ............................................................................................. 207 

6.4. Расчет прочных заклепочных швов соединения, нагруженных осевой силой ... 209 

6.5. Работа заклепки на растяжение (отрыв головки) и при переменных  
нагрузках ............................................................................................................................................................. 212 

6.5.1. Отрыв головки заклепки при работе ее на растяжение ........................................ 212 

6.5.2. Работа заклепочного соединения при переменных нагрузках ......................... 213 

6.6. Особенности конструирования многорядных швов .......................................................... 213 

6.7. Расчет соединений, нагруженных силой и моментом в плоскости стыка 
соединяемых деталей ................................................................................................................................... 214 

Примеры ............................................................................................................................................................... 216 

Задачи .................................................................................................................................................................... 225 

4 

 
7. Сварные соединения ....................................................................................................................................... 228 

7.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 228 

7.2. Виды сварных соединений ............................................................................................................... 228 

7.3. Выбор допускаемых напряжений ................................................................................................. 231 

7.4. Расчет сварных соединений ............................................................................................................. 233 

7.4.1. Расчет стыковых соединений ............................................................................................... 233 

7.4.2. Расчет нахлесточных соединений ...................................................................................... 236 

7.4.3. Расчет тавровых соединений ................................................................................................ 238 

7.4.4. Расчет контактной сварки ...................................................................................................... 241 

Примеры ............................................................................................................................................................... 241 

Задачи .................................................................................................................................................................... 262 

8. Шпоночные и шлицевые соединения ................................................................................................... 267 

8.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 267 

8.2. Расчет шпоночных и шлицевых соединений ......................................................................... 273 

8.2.1. Расчет шпоночных соединений ........................................................................................... 273 

8.2.2. Расчет шлицевых соединений .............................................................................................. 275 

8.3. Выбор материала и допускаемых напряжений ..................................................................... 282 

Примеры ............................................................................................................................................................... 283 

Задачи .................................................................................................................................................................... 292 

9. Соединения деталей с натягом ................................................................................................................. 295 

9.1. Общие сведения....................................................................................................................................... 295 

9.2. Расчет на прочность соединений с натягом и подбор посадки ................................... 296 

Примеры ............................................................................................................................................................... 305 

Задачи .................................................................................................................................................................... 318 

10. Зубчатые передачи ........................................................................................................................................ 321 

10.1. Общие сведения .................................................................................................................................... 321 

10.2. Основы теории зубчатого эвольвентного зацепления .................................................. 321 

10.3. Геометрия цилиндрической зубчатой передачи с эвольвентным  
зацеплением....................................................................................................................................................... 326 

10.4. Корригирование зубчатых колес ............................................................................................... 327 

10.5. Силы, действующие в зацеплении ............................................................................................. 331 

10.6. Расчет цилиндрической прямозубой передачи на контактную  
выносливость .................................................................................................................................................... 332 

10.7. Расчет цилиндрической прямозубой передачи на изгибную  
выносливость .................................................................................................................................................... 334 

10.8. Основные параметры и коэффициенты ................................................................................. 335 

10.9. Материалы зубчатых колес и термообработка .................................................................. 338 

10.10. Расчет допускаемых напряжений ............................................................................................ 339 

10.10.1. Расчет допускаемых напряжений на контактную выносливость .............. 339 

5 

 
10.10.2. Расчет допускаемых напряжений на изгибную выносливость ................... 342 

10.11. Непрямозубые цилиндрические передачи ........................................................................ 343 

10.11.1. Особенности косозубого зацепления ......................................................................... 343 

10.11.2. Основные геометрические и кинематические соотношения  
в косозубых и шевронных передачах ........................................................................................... 345 

10.11.3. Силы, действующие в зацеплении ............................................................................... 346 

10.11.4. Расчет косозубой передачи на контактную выносливость ........................... 347 

10.11.5. Расчет косозубой передачи на изгибную выносливость ................................. 348 

10.12. Конические зубчатые передачи ............................................................................................... 350 

10.12.1. Особенности конических передач ................................................................................ 350 

10.12.2. Геометрия конических передач с прямыми и кривыми зубьями .............. 351 

10.12.3. Силы в зацеплении ................................................................................................................ 356 

10.12.4. Расчет конических зубчатых передач ........................................................................ 358 

Примеры ............................................................................................................................................................... 361 

Задачи .................................................................................................................................................................... 396 

11. Червячные передачи .................................................................................................................................... 399 

11.1. Общие сведения .................................................................................................................................... 399 

11.2. Основные геометрические и кинематические соотношения в червячной 
передаче ............................................................................................................................................................... 400 

11.3. Расчет червячных передач ............................................................................................................. 405 

11.3.1. Силы, действующие в зацеплении, показаны на рис. 11.5 ................................. 405 

11.3.2. Проектировочный расчет передачи на контактную выносливость ........... 406 

11.3.3. Проверочный расчет передачи на контактную выносливость ...................... 407 

11.3.4. Проектировочный и проверочный расчеты передачи на изгибную 
выносливость ............................................................................................................................................. 407 

11.4. Материалы червяка и червячного колеса. Конструкции червячных колес ....... 408 

11.5. Допускаемые напряжения .............................................................................................................. 412 

11.5.1. Допускаемые напряжения на контактную выносливость ................................ 412 

11.5.2. Допускаемые напряжения на изгибную выносливость ..................................... 413 

11.6. Рекомендации по подбору основных расчетных параметров червячной 
передачи ............................................................................................................................................................... 413 

11.7. Проверка тела червяка на прочность и жесткость ........................................................... 414 

11.8. Расчет червячной передачи на нагрев .................................................................................... 416 

Примеры ............................................................................................................................................................... 418 

Задачи .................................................................................................................................................................... 456 

12. Оси и валы .......................................................................................................................................................... 461 

12.1. Общие понятия и классификация .............................................................................................. 461 

12.2. Расчет осей ............................................................................................................................................... 468 

12.3. Предварительный расчет и конструирование валов ..................................................... 471 

6 

 
12.4. Расчет валов на прочность и жесткость ................................................................................. 474 

12.4.1. Нагрузки на валы и расчетные схемы ........................................................................... 474 

12.4.2. Расчет валов и осей на статическую прочность ...................................................... 475 

12.4.3. Расчет валов и осей на жесткость .................................................................................... 478 

12.5. Расчет валов на сопротивление усталости ........................................................................... 481 

12.6. Расчет валов на колебания ............................................................................................................. 485 

Примеры ............................................................................................................................................................... 489 

Задачи .................................................................................................................................................................... 533 

13. Подшипники скольжения .......................................................................................................................... 539 

13.1. Общие сведения .................................................................................................................................... 539 

13.2. Расчет подшипников, работающих в режиме граничного  
и полужидкостного трения ....................................................................................................................... 542 

13.3. Основные условия возникновения гидродинамической смазки ............................. 546 

13.4. Характеристики режима работы подшипников скольжения .................................... 549 

13.5. Трение в подшипниках скольжения ......................................................................................... 553 

13.6. Определение диаметра подшипника и выбор отношения l/d................................... 555 

13.7. Эксплуатационный режим работы подшипников скольжения ................................ 557 

13.8. Тепловой расчет подшипников ................................................................................................... 558 

13.9. Алгоритм проектировочного расчета подшипника скольжения  
с оптимальным значением ξ = 0,3 .......................................................................................................... 560 

Примеры ............................................................................................................................................................... 560 

Задачи .................................................................................................................................................................... 569 

14. Подшипники качения .................................................................................................................................. 571 

14.1. Общие сведения .................................................................................................................................... 571 

14.2. Классификация подшипников качения и их маркировка ............................................ 573 

14.3. Характеристика основных типов подшипников качения ............................................ 574 

14.4. Конструктивные соотношения подшипников качения ................................................ 578 

14.5. Статика подшипника качения...................................................................................................... 580 

14.6. Статическая грузоподъемность подшипника ..................................................................... 581 

14.7. Кинематика подшипников качения ......................................................................................... 585 

14.8. Выбор и расчет подшипников ...................................................................................................... 586 

14.9. Сдвоенные и строенные радиально-упорные шариковые подшипники  
и их применение .............................................................................................................................................. 594 

14.10. Расчет подшипников при повышенной надежности и типовых режимах 
нагружения ......................................................................................................................................................... 597 

14.11. Схемы установки подшипников качения ............................................................................ 599 

Примеры ............................................................................................................................................................... 606 

Задачи .................................................................................................................................................................... 630 

7 

15. Детали аппаратуры, работающей под давлением ....................................................................... 645

15.1. Общие сведения .................................................................................................................................... 645 

15.2. Расчет основных размеров сосуда ............................................................................................. 645 

15.3. Некоторые положения по расчету тонкостенных оболочек ...................................... 647 

15.4. Тонкая цилиндрическая стенка под внутренним давлением ................................... 648 

15.5. Цилиндрическая стенка под наружным давлением ........................................................ 651 

15.6. Конструктивные формы и расчет днищ ................................................................................. 652 

15.7. Конические днища .............................................................................................................................. 654 

15.8. Фланцевые соединения и их расчет ......................................................................................... 657 

15.9. Требования правил безопасности .............................................................................................. 663 

Примеры ............................................................................................................................................................... 664 

Задачи .................................................................................................................................................................... 669 

Библиографический список ............................................................................................................................. 672 

ОТ АВТОРА 

Курс «Детали машин» завершает цикл общеинженерных дисциплин и, являясь 
связующим, позволяет перейти к изучению специальных дисциплин. 
Целью изучения дисциплины является развитие у студентов инженерно-
технического мышления и расширение политехнического кругозора. Будущий специалист 
должен иметь навыки основ конструирования машин и механизмов, владеть 
упрощенными методами расчета деталей, узлов машин по заданным нагрузкам и условиям 
эксплуатации. 
Основные задачи курса: сформировать у студентов умение работать с технической 
литературой, проводить технические расчеты и работать с числами, оценивать 
правдоподобность полученного результата и разбираться в его физической сущности. 
Предлагаемое учебное пособие не является дополнением или приложением к какому-
либо известному учебнику по курсу «Детали машин», выпущенных как в последнее, 
так и более раннее время. 
Длительное чтение курса «Детали машин» в ВУЗе показало необходимость написания 
пособия, ибо «примеры не менее поучительны, чем правила». 
В пособии по каждому разделу даются краткая теория вопроса, примеры и задачи 
для самостоятельного решения. Все задачи пособия предварительно были решены, 
а к части из них даны ответы. Некоторые задачи для своего решения потребуют знания 
других дисциплин («Сопротивление материалов», «Теоретическая механика», «Основы 
взаимозаменяемости и технические измерения», «Физика», «Машиностроительное 
черчение»). 
Учебное пособие предназначено для студентов технических учебных заведений 
дневной и заочной форм обучения, выполняющих домашние, контрольные задания 
и курсовые проекты. 
Пособие содержит достаточный справочный материал, что позволяет пользователям 
не терять время на поиск нужных данных. Кроме того, в пособии на примерах 
показано, как правильно работать с числами. Практика показала, как при вычислениях 
простая задача переводится студентами в разряд сложных.  
Не исключаем также, что пособие окажется полезным и для тех, чья деятельность 
в той или иной степени, связана с деталями машин. 

 
1. РАСЧЕТ ДЕТАЛЕЙ  
ПРИ ПОВТОРНО-ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ 

1.1. Общие сведения о прочности деталей 

К деталям машин предъявляют ряд требований в зависимости от условий их эксплуатации. 
Прежде всего, машина должна быть работоспособной, т. е. выполнять заданные 
функции согласно требованиям нормативно-технической и конструкторской 
документации. 
Работоспособность машин обеспечивается выполнением определенных критериев, 
к которым относят: прочность, жесткость, износостойкость и вибростойкость.  
В конкретных условиях эксплуатации машин отдельный критерий или одновременно 
несколько могут быть главными, а остальные — второстепенными. 
С понятием «работоспособность» тесно связано другое понятие — «надежность». 
Надежность — свойство изделия сохранять работоспособность в течение заданного 
времени. Надежность — комплексный показатель, который в зависимости от 
назначения изделия и условий его применения может включать безотказность, долговечность, 
или определенные сочетания этих свойств. Надежность оценивают в процентах 
или часах. 
Основным критерием работоспособности большинства деталей машин является 
прочность. Под прочностью понимают способность изделия в определенных условиях 
воспринимать внешние нагрузки, не разрушаясь при этом. 
Нагрузку, положение, направление и интенсивность которой принимают при расчете 
не зависящей от времени или изменяющейся во времени настолько медленно, что 
вызываемые силы инерции можно не учитывать, называют статической. 
Нагрузку, изменение величины, направления или положения которой происходит 
настолько быстро, что при расчете необходимо учитывать инерционные силы, называют 
динамической. 
При расчетах на прочность проводят два вида расчетов: 
а) проектировочный расчет проводят в случае, когда геометрические размеры изделия 
заранее неизвестны. С помощью главного критерия (допускаемого напряжения) 
находят базовый геометрический размер (обычно это межосевое расстояние передачи), 
а затем и другие размеры изделия; 
б) проверочный расчет проводят с целью определения расчетного напряжения с 
использованием базового размера. Сравнением расчетного напряжения с допускаемым 
напряжением или расчетного коэффициента с допускаемым коэффициентом безопасности 
оценивают прочность детали. 
Коэффициентом безопасности (коэффициентом запаса прочности) называют отношение 
предельных напряжений для детали 𝜎𝑙𝑖𝑚  и максимальным 𝜏𝑙𝑖𝑚 к расчетным 
напряжениям 𝜎, 𝜏 

𝑠𝜎  = 
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝜎 ;    𝑠𝜏 =  
𝜏𝑙𝑖𝑚
𝜏 , 
(1.1) 

где 𝜎𝑙𝑖𝑚, 𝜏𝑙𝑖𝑚 — соответственно нормальное и касательное предельные напряжения; 
𝜎, 𝜏 — расчетное нормальное и касательное напряжения. 
Условия прочности детали 

𝜎 ≤ 𝜎𝑙𝑖𝑚;   𝜏 ≤ 𝜏𝑙𝑖𝑚   или   𝑠𝜎 = 
𝜎𝑙𝑖𝑚
𝜎  ≥ [𝑠𝜎]; 

𝑠𝜏 =
𝜏𝑙𝑖𝑚
𝜏
≥ [𝑠𝜏], 
(1.2) 

где 𝑠𝜎, [𝑠𝜎] — расчетный и допускаемый коэффициенты безопасности по нормальным 
напряжениям; 
𝑠𝜏, [𝑠𝜏] — расчетный и допускаемый коэффициенты безопасности по касательным 
напряжениям. 

10 

 
Условия прочности детали при простых видах сопротивления материалов: 

• растяжение (сжатие) 
𝜎р,сж = ±
𝐹𝑥
𝐴 ≤ [𝜎р,сж]; 
(1.3) 

• смятие 
σсм = 
𝐹𝑥
𝐴 ≤ [𝜎см]; 
(1.4) 

• срез (сдвиг) 
𝜏ср = 
𝐹𝑦
𝐴 ≤ [𝜏ср]; 
(1.5) 

• изгиб 
𝜎𝐹 = 
𝑀

𝑊 ≤ [𝜎𝐹]; 
(1.6) 

• кручение 
𝜏 = 
𝑇

𝑊𝑝 ≤ [𝜏], 
(1.7) 

где 𝐹𝑥 — продольная сила, вызывающая растяжение (сжатие); 
𝐹𝑦 — поперечная сила в плоскости сечения 𝐴; 
𝐴 — площадь растяжения, сжатия, смятия, среза; 
𝑊, 𝑊𝑝 — моменты сопротивления сечения при изгибе, кручении; 
𝑀, 𝑇 — изгибающий и вращающий моменты. 
Прочность детали из условий контактной выносливости (материал деталей подчиняется 
закону Гука) 

𝜎𝐻 = 𝑞∙𝐸пр
2𝜋(1−𝜈2)𝜌пр ≤ 𝜎𝐻𝑃. 
(1.8) 

Начальный контакт в точке 

𝜎𝐻 = 𝑐 ∙ 𝐹𝐸пр
𝜌пр
2

3
, 
(1.9) 

где 𝐸пр — приведенный модуль упругости материалов взаимодействующих материалов; 

𝑞 — удельная нагрузка на единицу длины контактной линии; 
𝜈 — коэффициент Пуассона; 
𝜌пр — приведенный радиус кривизны контактируемых тел; 
c — коэффициент, зависящий от формы тел качения. 
При сложном сопротивлении, под которым понимают различные комбинации 
простых напряженных состояний (растяжения, смятия, сдвига, кручения, изгиба),  
в качестве расчетного принимается эквивалентное (приведенное) напряжение, полученное 
на основании одной из существующих теорий прочности. 
Для пластичных материалов, какими являются стали, наиболее пригодна IV теория 
прочности 

𝜎эквIV = √𝜎2 + 3𝜏2  ≤ [𝜎]. 
(1.10) 

Для круглых валов, испытывающих одновременно изгиб и кручение, эквивалентные 
напряжения формула (1.10) с учетом главных напряжений 𝜎1 и 𝜎3  (𝜎2 = 0) получает 
вид 

𝜎𝐸 = 
1

𝑊 𝑀𝑥
2 + 𝑀𝑦
2 + 0,75𝑇2  ≤ [𝜎], 
(1.11) 

где 𝑊 — момент сопротивления круглого сечения; 
𝑇 — вращающийся момент; 
𝑀𝑥, 𝑀𝑦 — изгибающие моменты в горизонтальной (ox) и вертикальной (oy) плоскостях; 
[
𝜎] — допускаемое напряжение. 

11 

 
1.2. Допускаемые напряжения материалов  
при статической нагрузке 

Под допускаемыми напряжениями понимают такие напряжения, при которых 
прочность и долговечность детали обеспечена. Допускаемые напряжения находят как 
часть предельных напряжений, при которых происходит разрушение деталей или 
появления недопустимо больших остаточных деформаций, препятствующих нормальному 
режиму работы машины 

[𝜎] =
𝜎𝑙𝑖𝑚
[𝑠] ; 
(1.12) 

[𝜏] =
𝜏𝑙𝑖𝑚
[𝑠] . 
(1.12′) 

При статических нагрузках для пластичных материалов предельным напряжением 
является предел текучести (𝜎Т, 𝜏Т), хрупких — предел прочности (𝜎в, 𝜏в), табл. 1.1 и 1.2. 

Таблица 1.1 
Механические характеристики углеродистых сталей 

Марка 
стали

Предел 

прочности 𝜎в, МПа

Предел 

текучести 𝜎Т, МПа

Предел 

выносливости, МПа

08 (Ст1)
340…420
210
𝜎−1р = 120…150
𝜎−1 = 160…220
𝜏−1 = 80…120

10 (Ст2)
360…450
190…220
𝜎−1р = 120…160
σ−1 = 170…220
𝜏−1 = 80…130

15 (Ст3)
400…490
210…240
𝜎−1р = 120…160
𝜎−1 = 170…220
𝜏−1 = 100…130

20 (Ст4)
440…540
240…260
𝜎−1 = 190…250

30 (Ст5)
560…620
260…280
𝜎−1р = 170…220
𝜎−1 = 220…300
𝜏−1 = 130…180

12А
450…600
240
𝜎−1 = 180

35
500…660
320
𝜎−1 = 230…320
𝜏−1 = 140…190

40
600…720
340
𝜎−1р = 180…240
𝜎−1 = 230…320
𝜏−1 = 140…190

45
610…750
360
𝜎−1р = 190…250
𝜎−1 = 250…340
𝜏−1 = 150…200

50
640…800
380
𝜎−1р = 200…260
𝜎−1 = 270…350
𝜏−1 = 160…210

60
690…900
410
𝜎−1р = 220…280
𝜎−1 = 310…380
𝜏−1 = 180…220

20Г
480…580
280
–

40Г
640…760
360
–

50Г
730…850
400
𝜎−1 = 290…360

60Г
710
420
𝜎−1р = 250…320

40Г2
750…870
460
𝜎−1 = 310…400
𝜏−1 = 180…220

12 

 

Таблица 1.2 
Механические характеристики легированных сталей 

Марка 
стали

Предел 

прочности 𝜎в, МПа

Предел 

текучести 𝜎Т, МПа

Предел 

выносливости, МПа

15XCHD
640…660
390…420
𝜎−1 = 310
𝜏−1 = 160

15X
750
600
–

20X
720…850
400…650
𝜎−1 = 310…380
𝜏−1 = 170…230

40X
730…1050
650…900
𝜎−1р = 240…340
𝜎−1 = 320…480
𝜏−1 = 210…260

40ХС
1250
1100
–

45X
850…1050
700…950
𝜎−1 = 400…500

35ХГСА
1650
1400
𝜎−1 = 480…700
𝜏−1 = 280…400

40ХФА
900
750
𝜎−1 = 380…490

30ХЮ
950
800
–

30ХМ
740…1000
540…850
𝜎−1р = 370

𝜎−1 = 310…410

𝜏−1 = 230

38ХМЮА
1000
850
–

30ХН
900…1000
700
420

40ХН
1000…1450
800…1300
𝜎−1р = 310…420
𝜎−1 = 460…600

12ХНЗА
950…1400
700…1100
𝜎−1 = 420…640
𝜏−1 = 220…300

20ХНЗА
950…1450
850…1100
𝜎−1 = 430…650
𝜏−1 = 240…310

40ХНВА
1100
950
𝜎−1 = 600

40ХНМА
1100…1700
850…1600
𝜎−1 = 500…700
𝜏−1 = 270…380

15ХР
800
600
–

40ХР
1000
800
–

Примечание: в расчетах целесообразно использовать среднее значение параметра, как наиболее 
вероятное. Например, для стали 40Х:  𝜎в = (750 + 1050) 2
⁄
= 900 МПа. 

Учитывая масштабный фактор  𝜀 и эффективный коэффициент концентрации 
напряжений при статической нагрузке 𝐾𝑠𝜎, получим: 
• для пластичных материалов 

[𝜎] =
𝜎т∙𝜀

[𝑠]    или   [𝜏] =
𝜏т∙𝜀

[𝑠] ; 
(1.13) 

• для хрупких материалов 

[𝜎] =
𝜎в∙𝜀

[𝑠]∙𝑘𝑠𝜎. 
(1.14) 

Концентрация напряжений, связанная с резким изменением формы поперечного 
сечения деталей (галтели, шпоночные канавки, отверстия и т. д.), приводит к увеличе-
нию напряжений. Влияние формы детали на ее прочность учитывают теоретическим 
коэффициентом концентрации напряжений ����𝜎, ����𝜏 

����𝜎 =
𝜎𝑚𝑎𝑥
𝜎0
> 1;    ����𝜏 =
𝜏𝑚𝑎𝑥
𝜏0
> 1, 
(1.15) 

13 

 
где 𝜎𝑚𝑎𝑥, 𝜏𝑚𝑎𝑥 — максимальные нормальные и касательные напряжения в наиболее 
напряженной точке поперечного сечения детали; 
𝜎0, 𝜏0 — номинальные напряжения, найденные для этого же сечения по формулам 
сопротивления материалов. 
На рис. 1.1 показано распределение напряжений в сечении растягиваемой полосы 
при плоском напряженном состоянии, ослабленном отверстием, и график коэффици-
ентов концентрации напряжений. 

 
Рис. 1.1. График теоретических коэффициентов  
концентрации напряжений ����𝜎 при растяжении 

Касательные напряжения в данном случае отсутствуют (𝜏 = 0). 
Начальное нормальное напряжение в пластине  

𝜎0 =
𝐹

𝐴𝑚𝑖𝑛 =
𝐹

(𝑏−𝑑)∙𝑡 , 
(1.16) 

где 𝑏  — ширина пластины; 
���� — диаметр отверстия; 
𝑡 — толщина пластины. 
При определении максимального напряжения в зоне концентратора расчетным 
путем, коэффициенты концентрации, вычисленные по формуле (1.15), являются тео-
ретическими коэффициентами концентрации. 
В действительности коэффициент концентрации в реальной детали, определяе-
мый экспериментально, оказывается ниже теоретического ����𝜎 < ����. 
Эффективный коэффициент концентрации напряжений при статической нагрузке 

𝐾𝑠𝜎 = 1 + (����𝜎 − 1)𝑞𝑠, 
(1.17) 

где ����𝜎 — теоретический коэффициент концентрации напряжений; 
𝑞𝑠  — коэффициент чувствительности материала к концентрации напряжений 
при статической нагрузке. 
Для пластичных материалов 𝑞𝑠 ≈ 0; хрупких — чугун, некоторые виды цветного 
литья  𝑞𝑠 = 0,1…0,2; хрупких материалов с однородной структурой (закаленная сталь) 
𝑞𝑠 = 0,5…0,6. 

1.3. Переменные напряжения 

1.3.1. Циклы напряжений и их основные параметры 

При действии переменных напряжений концентрация напряжений приводит  
к возникновению и развитию усталостных трещин именно в зоне концентрации 
напряжений. Однако, из-за пластичных свойств материала, пики максимальных 

14 

 
напряжений будут сглаживаться и поэтому в расчет следует вводить эффективный 
коэффициент концентрации напряжений. 
Эффективный коэффициент концентрации напряжений равен отношению преде-
лов выносливости гладкой детали (без источников концентрации напряжений) 𝜎−1 
(или 𝜏−1) к пределу выносливости детали, изготовленной из того же материала, но с 
наличием какого-либо источника концентрации напряжений 𝜎−1
′  (𝜏−1
′ ) 

𝐾𝑠𝜎 =
𝜎−1
𝜎−1
′ ;    𝐾𝑠𝜏 =
𝜏−1
𝜏−1
′ . 
(1.18) 

Так как влияние материала сказывается только на превышении местных (макси-
мальных) напряжений над общими, т. е. на величинах (���� − 1) и (����𝑆 − 1), то введено 
понятие «чувствительности» материала к концентрации напряжений, оцениваемой 
коэффициентом чувствительности 𝑞. 

𝑞 =
𝐾𝑠−1

𝛼−1. 
(1.19) 

Из формулы (1.19) получается формула (1.17). 
В деталях современных машин статические нагрузки встречаются как исключе-
ние. В большинстве случаев напряжения в деталях машин изменяются с течением 
времени по частоте (периоду), величине (амплитуде) и знаку, т. е. циклически. 

 
Рис. 1.2. Виды циклов изменения напряжений:  
а — симметричный; б — асимметричный, знакопеременный;  
в — отнулевой (пульсирующий); г — асимметричный,  
знакопостоянный; д — постоянная нагрузка 

Основные циклы напряжений (рис. 1.2): 
а) симметричный — наибольшие и наименьшие напряжения равны по величине и 
противоположны по знаку; 
б) асимметричный, знакопеременный — наибольшее и наименьшее напряжения 
противоположны по знаку и неодинаковые по величине; 
в) отнулевой (пульсирующий) — напряжения изменяются от нуля до максимума; 
г) асимметричный, знакопостоянный — наибольшее и наименьшее напряжения 
одинаковы по знаку. 
д) постоянная нагрузка. 
Основные параметры циклов: 
• период цикла T — продолжительность одного цикла; 
• частота цикла — число циклов в единицу времени, 𝜈 = 
1

𝑇 ; 

• 𝜎𝑚𝑎𝑥 (𝜏𝑚𝑎𝑥) — наибольшее по алгебраическому значению напряжение цикла. 
Растягивающее напряжение считается положительным, сжимающее напряжение — 
отрицательным; 
• наименьшее напряжение цикла 𝜎𝑚𝑖𝑛 (𝜏𝑚𝑖𝑛); 

15 

 
• средние напряжения цикла 

𝜎𝑚 = 0,5(𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛); 

𝜏𝑚 = 0,5(𝜏𝑚𝑎𝑥 + 𝜏𝑚𝑖𝑛); 
(1.20) 

• амплитуды напряжений цикла 

𝜎𝑎 = 0,5(𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛); 

𝜏𝑎 = 0,5(𝜏𝑚𝑎𝑥 − 𝜏𝑚𝑖𝑛). 
(1.21) 

Величину 2𝜎𝑎 называют размахом напряжений цикла; 
• коэффициент асимметрии цикла 

����𝜎 =
𝜎𝑚𝑖𝑛
𝜎𝑚𝑎𝑥;    ����𝜏 =
𝜏𝑚𝑖𝑛
𝜏𝑚𝑎𝑥. 
(1.22) 

Напряжения цикла принимают с их знаком. 
При симметричном цикле ���� = −1; отнулевом ���� = 0; при асимметричном знакопе-
ременном цикле 0 > ���� > −1; при знакопостоянном цикле 0 < ���� < 1. 
Пределы выносливости для симметричных циклов обозначают индексом «–1» 
(𝜎−1; 𝜏−1); отнулевых — индексом «0» (𝜎0; 𝜏0), асимметричного 𝜎𝑟 (𝜏𝑟). 
В качестве характеристики цикла можно использовать коэффициент амплитуды 

𝑎 = 
𝜎𝑎
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 
𝜎𝑚𝑎𝑥− 𝜎𝑚𝑖𝑛
2𝜎𝑚𝑎𝑥
= (0,5 − 0,5𝜎𝑟) = 0,5(1 − ����). 
(1.23) 

Параметр a колеблется от 1 (симметричные циклы) до 0 (статическая нагрузка)  
и имеет постоянный знак для всех циклов.  
До разрушения материал детали выдерживает определенное число циклов, ко-
торое зависит от максимального напряжения и интервала между крайними значения-
ми напряжений цикла. С уменьшением напряжения число циклов до разрушения 
увеличивается и при некотором достаточно малом напряжении становится неограни-
ченно большим. Это напряжение и называют пределом выносливости, который при-
нимают в качестве главного прочностного критерия расчета деталей при циклических 
нагрузках. 
На оси абсцисс откладывают число циклов N, на оси ординат — максимальное 
напряжение 𝜎 цикла, вызывающее разрушение за время, соответствующее данному 
числу циклов. 
Аналогичные испытания проводят также для получения предела выносливости 
касательных напряжений 𝜏. 
Кривые усталости строят в координатах 𝜎(𝜏) − 𝑁 (рис. 1.3, а), полулогарифмиче-
ских 𝜎(𝜏) − lg 𝑁 (рис. 1.3, б), логарифмических (рис. 1.3, в). Предел выносливости боль-
шинства конструкционных сталей определяют при 𝑁 = 106…107 циклов. Эти значения 
принимают за базу испытаний. 

 
Рис. 1.3. Кривые усталости сталей 

16