Введение в теорию вероятностей

Введение в теорию вероятностей

2-е издание, исправленное

Чернова Н.И.

Национальный Открытый Университет “ИНТУИТ”
2016

2

Введение в теорию вероятностей/ Н.И. Чернова - М.: Национальный Открытый Университет
“ИНТУИТ”, 2016

В курсе лекций излагаются основы теории вероятностей. Курс включает основы теории меры,
основы комбинаторики, элементарную и аналитическую теорию вероятностей, предельные теоремы
теории вероятностей.
В курсе рассматриваются основные разделы теории вероятностей: случайные события и их
вероятности, случайные величины, распределения и числовые характеристики распределений,
основные предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. Курс предназначен для
студентов, не имеющих фундаментальной математической подготовки. Однако изложение материала
в курсе сделано по возможности строгим, корректным и доказательным.

(c) ООО “ИНТУИТ.РУ”, 2008-2016
(c) Чернова Н.И., 2008-2016

3

Предварительные сведения

Необходимые сведения об основных принципах и формулах комбинаторики. Основные
понятия элементарной теории вероятностей: пространство элементарных исходов,
события и операции над ними

Элементы комбинаторики

Научимся подсчитывать число “шансов”. О числе шансов говорят, когда возможно
несколько результатов какого-либо действия (выбор карты из колоды, подбрасывание
кубика или монетки). Формулы комбинаторики позволяют посчитать число способов
проделать действие или число его возможных результатов.

Теорема о перемножении шансов. Основной принцип комбинаторики заключается в
следующем: если первый элемент можно выбрать  способами, а второй элемент - 
способами, то упорядоченную пару элементов можно составить 
 способами.

Теорема 1. Пусть множество 
 состоит из  элементов, а множество

 - из 
 элементов. Тогда можно образовать ровно 
 пар 
 взяв

первый элемент из множества 
 а второй - из множества 
.

Доказательство. С элементом 
 мы можем образовать 
 пар: 

. Столько же пар можно составить с элементом 
 или с

любым другим из  элементов множества 
. Таким образом, всего возможно 
 пар,

в которых первый элемент выбран из множества 
 а второй - из множества 
.

Урновые схемы. Есть урна (ящик), содержащая  пронумерованных шаров. Мы
выбираем из урны  шаров; результат этого выбора - набор из  шаров. Нас
интересует, сколькими способами можно выбрать  шаров из  т. е. сколько
различных результатов возможно.

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не знаем:

1. как организован выбор;
2. что понимать под различными результатами выбора.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора.

1. Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый

следующий шар выбирается из полной урны. В полученном наборе из  номеров
шаров могут встречаться одни и те же номера.

2. Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном

наборе не могут встречаться одни и те же номера.

Условимся, какие результаты выбора (какие наборы номеров шаров) мы будем считать
различными. Есть ровно две возможности.

4

1. Выбор с учетом порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если

они отличаются составом или порядком номеров. Так, наборы 
 
 и 

 считаются различными наборами.

2. Выбор без учета порядка: два набора номеров шаров считаются различными, если

они отличаются составом. Так, наборы 
 и 
 различны, а наборы 

 и 
 не различаются.

Количество результатов в урновых схемах. Подсчитаем, сколько возможно различных
результатов для каждой из четырех схем выбора: с возвращением или без возвращения,
и в каждом из этих случаев - с учетом порядка или без учета.

Выбор без возвращения и с учетом порядка

Теорема 2. Общее количество различных наборов при выборе элементов из без
возвращения и с учетом порядка равняется

Число 
 называется числом размещений из  элементов по  элементов, а сами

результаты выбора - размещениями.

Доказательство. Первый шар можно выбрать  способами. При любом выборе первого
шара есть 
 способ выбрать второй шар, при любом выборе первых двух шаров

есть 
 способа выбрать третий шар и т. д. Применяя последовательно теорему 1,

получаем, что общее число возможных наборов из  шаров равно произведению 
сомножителей 
. Здесь последний сомножитель 
 есть

число способов выбрать  -й шар из оставшихся в урне шаров.

Следствие 1. В множестве из  элементов возможно ровно ! перестановок этих
элементов.

Доказательство. Перестановка - результат выбора без возвращения и с учетом порядка 

 элементов из . Их число равно 
!

Выбор без возвращения и без учета порядка

Теорема 3. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  без
возвращения и без учета порядка равняется

Число 
 называется числом сочетаний из  элементов по  элементов, а сами

результаты выбора - сочетаниями.

Доказательство. Упорядочить  различных номеров шаров можно ! способами.
Поэтому из каждого сочетания можно перестановками образовать ! размещений.

5

Следовательно, число наборов, порядок в которых не учитывается (сочетаний), в !
раз меньше числа наборов, отличающихся еще и порядком (размещений).

Выбор с возвращением и с учетом порядка

Теорема 4. Общее количество различных наборов при выборе  элементов из  с
возвращением и с учетом порядка равняется 
.

Доказательство. Первый шар можно выбрать  способами. При каждом из этих
способов второй шар можно выбрать также  способами, и так  раз. Общее число
наборов равно 
.

Выбор с возвращением и без учета порядка. Рассмотрим урну с двумя
пронумерованными шарами и перечислим результаты выбора двух шариков из этой
урны при выборе с возвращением. Если учитывать порядок, то исходов получится
четыре:

Если порядок не учитывать, то следует объявить два последних исхода одним и тем же
результатом эксперимента. Исходов окажется три:

Видим, что в схеме выбора без учета порядка получилось три различных результата,
тогда как при выборе с учетом порядка различных результатов было четыре. Ни каким
делением на “число каких-нибудь перестановок”, которое помогло избавиться от учета
порядка при выборе без возвращения, число 3 из числа 4 получить не удастся.Теорема
5. Общее количество различных наборов при выборе элементов из с возвращением и
без учета порядка равняется

Доказательство. Рассмотрим, чем отличаются друг от друга два разных результата
такой схемы выбора. Нам не важен порядок следования номеров, т. е. мы учитываем
только, сколько раз в нашем наборе из  номеров шаров появился каждый номер.
Поэтому результат выбора можно представить набором чисел 
, в котором 

 - число появлений шара номер  в наборе, 
. Два результата

выбора с возвращением и без учета порядка различаются, если соответствующие им
упорядоченные наборы 
 не совпадают.

Представим себе другой эксперимент, имеющий точно такие же результаты, и
посчитаем их количество. Есть  ящиков, в которых размещаются  шаров. Нас
интересует только число шаров в каждом ящике. Результатом эксперимента снова
является набор чисел 
, где 
 равно числу шаров в ящике с номером 

.

6

А теперь изобразим результат такого размещения в виде схемы, в которой
вертикальные линии обозначают перегородки между ящиками, а точки - находящиеся в
ящиках шары:

Мы видим результат размещения девяти шаров по семи ящикам. Первый ящик
содержит три шара, второй и шестой ящики пусты, третий ящик содержит один шар, в
четвертом и пятом ящиках лежит по два шара. Переложим один шар из первого ящика
во второй и изобразим таким же образом еще два результата размещения:

Видим, что все размещения можно получить, меняя между собой шары и перегородки
или расставляя  шаров на 
 местах. Число 
 получается так: у 

ящиков есть ровно 
 перегородка, считая крайние, но из них перемещать можно

лишь 
 внутреннюю перегородку. Таким образом, имеется 
 мест, которые

можно занять шарами либо внутренними перегородками. Перебрав все возможные
способы расставить  шаров на этих 
 местах, переберем и все нужные

размещения. Осталось заметить, что по теореме 3 существует 
способов выбрать места для  шаров на 
 местах.

События и операции над ними

Пространство элементарных исходов. Основным понятием теории вероятностей
является множество всех возможных результатов данного случайного эксперимента.

Определение 1. Пространством элементарных исходов называется множество ,
содержащее все возможные взаимоисключающие результаты данного случайного
эксперимента. Элементы множества  называются элементарными исходами и
обозначаются буквой .

Отметим сразу, что любое непустое множество  можно считать пространством
элементарных исходов какого-то случайного эксперимента.

Определение 2. Событиями называются подмножества множества . Говорят, что
произошло событие 
, если эксперимент завершился одним из элементарных исходов,

входящих в множество 
.

Замечание. Вообще говоря, можно называть событиями не любые подмножества
множества , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого
ограничения мы поговорим позднее.

Итак, элементарный исход - это мельчайший неделимый результат эксперимента, а
событие может состоять из одного или нескольких исходов.

Напомним, что конечные и счетные множества удобно задавать перечислением их

7

элементов. Например, 
 - множество, состоящее из первых ста

натуральных чисел. Несчетные множества обычно задают указанием свойства,
которым обладают все элементы множества. Так, 
 - множество

действительных чисел из интервала 
.

Пример 1. Один раз подбрасывают игральную кость. Рассмотрим пространство
элементарных исходов 
,
,
,
,
,

Элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Событие 
,
 произойдет, если выпадет одно или два очка;

событие 
,
,
 означает, что выпадет нечетное число очков.

Событие 
 состоит из одного элементарного исхода и означает

появление шести очков.

Пример 2. Подбрасываются две игральные кости. Будем считать их различимыми и
назовем одну из них первой, другую - второй. Пространством элементарных исходов
является множество пар чисел 
 где  - число очков, выпавших на первой кости, 

- на второй. 
. В этом множестве 
 элементарных

исходов:

(1.1)

Заметим, что для симметричных костей все эти 
 исходов равновозможны: ни одна из

этих комбинаций не имеет больше шансов выпасть, чем другая. Действительно, на
первой кости с равными шансами выпадает любая грань. Это означает, что результат
бросания двух костей имеет столько же шансов оказаться в первой строке матрицы ( 1
), что и во второй, в третьей и т. д. Но на второй кости снова с одинаковыми шансами
выпадает любая грань, поэтому и каждое место в строке равновозможно.

Событие “на первой кости выпадет одно очко” можно записать так: 

 ; событие “на второй кости выпадет одно

очко” запишется так: 
 ; событие 

 означает, что сумма выпавших очков равна четырем; событие 

 - на костях выпадет одинаковое число очков.

Пример 3. Подбрасываются две неразличимые игральные кости. Элементарными
исходами будем считать пары чисел 
 где 
. Например, элементарный исход 

 случается, если на одной из костей выпадает одно очко, на другой - два очка. В

множестве  двадцать один исход:

8

Для симметричных костей эти исходы равновозможными уже не будут: например,
исход 
 имеет вдвое больше шансов появиться, чем исход 
. Мы просто

перестали различать исходы из примера 2, симметричные друг другу относительно
главной диагонали матрицы (1).

Теперь событие “сумма выпавших очков равна четырем” состоит из двух
элементарных исходов 
 и 
. Событие “на костях выпадет одинаковое число

очков” по-прежнему включает шесть исходов. Слова “на первой кости выпадет одно
очко” никакого события уже не описывают, а событие 

 означает, что хотя бы на одной из костей

выпало одно очко (ср. с примером 2).

Пример 4. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно
считать положение центра монеты. Пространство элементарных исходов такого
эксперимента - множество всех точек стола. Оно бесконечно и несчетно. Событием
можно назвать, например, попадание центра монеты на лист бумаги, лежащий на
столе, в левую или правую половину стола.

Пример 5. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом.
Пространство элементарных исходов является бесконечным, но счетным множеством: 

, где  означает выпадение решки, а  -

выпадение герба при одном подбрасывании. Событие “герб выпал при броске с четным
номером” выглядит так:

Пример 6. В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают наугад
один шар.

Можно определить два разных пространства элементарных исходов. Первое из них
состоит из двух исходов 
 - мог появиться белый шар или черный. Эти

исходы, очевидно, не будут равновозможными: появление белого шара вдвое
вероятнее, чем появление черного.

Если мы хотим иметь дело с равновозможными элементарными исходами, шары
следует занумеровать (или различать как-нибудь иначе). Тогда множество 

 будет состоять из трех равновозможных элементарных исходов.

Пример 7. В коробке лежат один черный и два белых шара. Из коробки достают наугад
два шара. Порядок следования шаров нам безразличен. Занумеруем шары, чтобы
элементарные исходы были равновозможными (это может оказаться удобным).
Пространство элементарных исходов состоит из трех элементов:

Событие “вынуты два белых шара” включает один исход 
 а событие

“вынуты разноцветные шары” состоит из двух исходов: 
 
.

9

Можно, как в примере 6, рассмотреть пространство элементарных исходов, состоящее
из двух элементов: 
 - вынуты два белых шара или шары разных

цветов. Но в таком пространстве второй исход имеет вдвое больше шансов случиться,
чем первый.

Операции над событиями. В теории вероятностей рассматривают те же операции над
событиями (множествами), что и в теории множеств. Дадим определения новым
событиям - результатам этих операций.

Объединением 
 событий 
 и 
 называется событие, состоящее в том, что из

двух событий 
 и 
 случилось хотя бы одно. Это событие включает как

элементарные исходы из множества 
 так и элементарные исходы из множества 

(рис. 1.1).

Пересечением 
 событий 
 и 
 называется событие, состоящее в том, что

произошли сразу оба события 
 и 
., Это событие содержит элементарные исходы,

каждый из которых принадлежит и множеству 
 и множеству 
. Вместо 
 часто

пишут просто 
.

Рис. 1.1.  Объединение и пересечение событий

Дополнением 
 события 
 до 
 называется событие, состоящее в том, что

произошло 
, но не произошло 
. Событие 
 содержит элементарные исходы,

входящие в множество 
, но не входящие в 
.

Противоположным (или дополнительным) к событию 
 называется событие 

, состоящее в том, что 
 не произошло. Событие 
 состоит из

элементарных исходов, не входящих в множество 
 (рис. 1.2).

Рис. 1.2.  Дополнение и противоположное событие

Выделим среди подмножеств  два особых события.

10