Тензорные произведения. Классические локализации. Алгебры кватернионов

Национальный исследовательский университет «МЭИ»
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова




А.А. Туганбаев




ТЕНЗОРНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ АЛГЕБРЫ КВАТЕРНИОНОВ




Монография












Москва Издательство «ФЛИНТА» 2024

УДК 515.145.2
ББК 22.151.5
    Т81




Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 22-11-00052, https://rscf.ru/project/22-11-00052











    Туганбаев А.А.
Т81 Тензорные произведения. Классические локализации. Алгебры кватернионов: монография / А.А. Туганбаев. - Москва : ФЛИНТА, 2024. - 176 с. - ISBN 978-5-9765-5402-3. - Текст : электронный.



         В данной книге исследуются свойства тензорных произведений модулей, классических локализаций колец A и кольцевые свойства (обобщенных) алгебр кватернионов (aAb) над произвольными коммутативными кольцами A с обратимыми элементами a, b.
УДК 515.145.2
ББК 22.151.5





ISBN 978-5-9765-5402-3

         © Туганбаев А.А., 2024
© Издательство «ФЛИНТА», 2024

СОДЕРЖАНИЕ


Введение............................................. 6

1. Проективные и дистрибутивные модули .............. 16
1.1. Свободные и полупростые модули ................. 16
    1.1.1. Свободные модули и их базисы.............. 16
    1.1.2. Матричное представление гомоморфизмов .... 19
    1.1.3. Нётеровы и артиновы модули ............... 20
    1.1.4. Полупростые модули ....................... 23
1.2. Проективность и относительная проективность .... 42
    1.2.1. Относительно проективные модули .......... 42
    1.2.2. Проективные модули ....................... 43
1.3. Радикал ........................................ 46
    1.3.1. Свойства радикала, I ..................... 47
    1.3.2. Свойства радикала, II .................... 50
1.4. Локальные, полулокальные и полусовершенные кольца ... 55
    1.4.1. Локальные модули, кольца и идемпотенты ... 55
    1.4.2. Полулокальные кольца ..................... 57
    1.4.3. Подъем идемпотентов и полусовершенные кольца ... 59
1.5. Сингулярный подмодуль. Несингулярные модули .... 63
    1.5.1. Несингулярные и сингулярные модули ....... 63
    1.5.2. Несингулярные кольца и условия конечности. 66
1.6. Дистрибутивные модули и кольца.................. 70
    1.6.1. Дистрибутивные модули..................... 70
    1.6.2. Дистрибутивные кольца..................... 80

2. Тензорные произведения и плоские модули........... ⁸¹
2.1. Тензорные произведения.......................... 81
2.2. Плоские модули ................................. 83
    2.2.1. Модули без H-кручения..................... 83
    2.2.2. Свойства плоских модулей ................. 84

3

    2.2.3. Плоские подмодули и pf-кольца................ 90
    2.2.4. Плоские модули и проективность .............. 96
2.3. Совершенные кольца ............................... 101
    2.3.1. Полуартиновы модули и t-нильпотентность.... 101
    2.3.2. Полунётеровы модули и max-кольца........... 107
3. Классические локализации ........................... 113
3.1. Кольца частных и множества знаменателей .......... 113
    3.1.1. Кольца частных по множествам Оре ........... 113
    3.1.2. Кольца частных по множествам знаменателей . 125
    3.1.3. Локализуемые кольца ........................ 131
    3.1.4. Локализации по максимальным идеалам ........ 135
3.2. Модули частных по множествам знаменателей ........ 140
    3.2.1. Свойства модулей частных.................... 141
    3.2.2. S-насыщенные подмножества. S-насыщения..... 142
    3.2.3. Свойства модулей частных, II ............... 144
4. Алгебры кватернионов ............................... 147
4.1. Общие свойства алгебр кватернионов ............... 147
    4.1.1. Простейшие свойства ........................ 147
    4.1.2. Неделители нуля. Обратимые, центральные и радикальные элементы ........................... ¹⁴8
    4.1.3. (а, Ь)-кольца............................... 149
4.2. Идеалы алгебр кватернионов ....................... 151
    4.2.1. Свойства идеалов при 2⁻¹ G A................ 151
    4.2.2. Кольцевые свойства (aAb) при 2⁻¹ G A....... 151
    4.2.3. Теоремы об алгебрах (a A b) при 2⁻¹ G A .... 153
    4.2.4. Алгебра гамильтоновых кватернионов . 159 ⁵ * * *

5. Справочный материал .............................. 163

5.1. Полугруппы и моноиды ........................... 164

    5.1.1. Полугруппы и моноиды. Подполугруппы

    и подмоноиды ..................................... ¹⁶⁴

4

    5.1.2. Полугрупповые и моноидные гомоморфизмы .... 165
    5.1.3. Аддитивная и мультипликативная записи ..... 165
    5.1.4. Обратимость. Группы ....................... 166
5.2. Кольца, предкольца и подкольца. Тела и поля ..... 167
    5.2.1. Кольца, предкольца и подкольца ............ 167
    5.2.2. Тела и поля ............................... 168
5.3. Модули, подмодули, гомоморфизмы, алгебры ........ 168
    5.3.1. Модули и подмодули ........................ 168
    5.3.2. Гомоморфизмы. Алгебры ..................... 170

Предметный указатель ................................. ¹⁷²

                Введение




Все кольца предполагаются ассоциативными и (за исключением нильколец и некоторых оговоренных случаев) с ненулевой единицей, модули предполагаются унитарными. Слова типа «нётерово кольцо» означают, что соответствующие условия выполнены справа и слева.¹ Мы будем широко использовать следующую лемму Цорна.
Лемма Цорна. Если частично упорядоченное E содержит объединение любой возрастающей цепи своих элементов, то E содержит хотя бы один максимальный элемент.
В данной книге исследуются свойства классических локализаций колец относительно множеств знаменателей и кольцевые свойства (обобщенных) алгебр кватернионов ( aA b) над произвольными коммутативными кольцами C с обратимыми элементами a, b и обратимой двойкой.
a. Локализации. Алгебры кватернионов.
Пусть A - коммутативное кольцо. Для любого максимального идеала M кольца A через AM обозначается локализация² кольца A по идеалу M .
Если a, b - два обратимых элемента кольца A, то через ( aA b) обозначается алгебра кватернионов над A, т.е. A-алгебра с четырьмя образующими 1, i, j, k и определяющими соотношениями i² = a, j² = b, k² = -ab, ij = -ji = k, ik = -ki = aj, kj = -jk = bi.
Алгебра кватернионов ( aA b) является телом в точности тогда, когда A - поле, в котором равенство x² - ay² - bz² = 0 возможно только при x = y = z =0.³
b. Регулярные кольца.
Кольцо A называется регулярным, если каждый его главный правый

  ¹Необходимые определения и обозначения приводятся по ходу изложения, а также в конце введения и в конце книги.

  ²См. с. 148.

  ³См. с. 150.

6

(левый) правый идеал порождается идемпотентом⁴, т.е. a Е aAa для каждого элемента а Е А.
Ненулевое кольцо без собственных ненулевых идеалов называется простым кольцом.
Если А - коммутативное кольцо с обратимой двойкой и a,b - обратимые элементы кольца А, то равносильны условия:⁵
1) алгебра кватернионов ( aA b) - регулярное кольцо;
2)  A - регулярное кольцо;
3)  для любого максимального идеала M кольца A локализация AM является полем;
4)  алгебра кватернионов ( aA b) - простое артиново кольцо для любого максимального идеала M кольца A.
c. Строго регулярные кольца.
Кольцо A называется строго регулярным, если A - регулярное кольцо, у которого все идемпотенты центральны.
Если кольцо A строго регулярно, то непосредственно проверяется и хорошо известно, что все его правые (левые) идеалы являются идеалами, a Е a²A и a Е Aa² для каждого a Е A, и решетка его идеалов дистрибутивна, т.е. (X + Y) П Z = X П Z + Y П Z для всех его идеалов X, Y, Z.
Если A - коммутативное кольцо с обратимой двойкой и a, b - обратимые элементы кольца A, то равносильны условия:⁶
1) ( aA b) - строго регулярное кольцо;
2)  алгебра кватернионов (a AM b) над локализацией AM является телом для любого максимального идеала M кольца A;
3)  A - регулярное кольцо и для каждого его максимального идеала M и любых элементов x, y, z Е A/M равенство x² - ay² - bz² =0

  ⁴Элемент кольца, равный своему квадрату, называется идемпотентом.

  ⁵См. с. 158.

  ⁶См. с. 159.

7

возможно только при x = y = z =0.
d. Арифметические модули и кольца.
Подмодуль X модуля M называется вполне инвариантным (в M), если f (X) С X для любого эндоморфизма f модуля M. Модуль M называется инвариантным, если все его подмодули вполне инвариантны в M. Кольцо является инвариантным справа (соотв., слева), если все его правые (соотв., левые) идеалы являются идеалами. Коммутативные кольца инванриантны.
Модуль M называется арифметическим, если решетка всех его вполне инвариантных подмодулей дистрибутивна, т.е X П (Y + Z) = X П Y + X П Z для любых вполне инвариантных подмодулей X, Y, Z в M. Кольцо с дистрибутивной решеткой идеалов называется арифметическим кольцом.
Поскольку идеалы кольца A совпадают с вполне инвариантными подмодулями в AA и с вполне инвариантными подмодулями в AA, то арифметичность кольца A равносильна как арифметичности модуля AA , так и арифметичности модуля AA.
Если A - коммутативное кольцо с обратимой двойкой и a,b — обратимые элементы кольца A, то отображение X ^ X П A задает изоморфизм решетки всех идеалов алгебры кватернионов ( aA b) на решетку всех идеалов коммутативного кольца A.
В частности, ( aA b) - арифметическое (соотв., цепное справа или слева) кольцо в точности тогда, когда A - дистрибутивное (соотв., цепное) кольцо.⁷
e. Собственные и максимальные подмодули.
Простые модули.
Подмодуль M модуля X называется собственным, если X = M.
Ненулевой модуль без собственных ненулевых подмодулей называется простым модулем.
Собственный подмодуль M модуля X называется максимальным, ес

    ⁷См. с. 151.

8

ли фактор-модуль X/M прост.
ei. Если X - ненулевой конечно порожденный модуль, то для любого собственного подмодуля Y в X (например, для Y = 0) существует хотя бы один максимальный подмодуль в X , содержащий Y .
В частности, каждый ненулевой конечно порожденный модуль X имеет хотя бы одним максимальный подмодуль, т.е. max(X) = 0.
◄ Пусть M = { Y.}ᵢₑz — непустое множество всех собственных подмодулей в X , содержащих Y . Так как X конечно порожден, то M содержит объединение любой возрастающей цепи своих элементов. По лемме Цорна M содержит хотя бы один максимальный элемент M, являющийся искомым максимальным подмодулем в X. ►
e₂ . Каждый ненулевой модуль имеет простой подфактор.
Утверждение следует из eᵢ и того, что каждый ненулевой модуль содержит ненулевой циклический⁸ подмодуль.
f. Дистрибутивные и цепные модули.
Модуль M называется дистрибутивным, если решетка всех его подмодулей дистрибутивна, т.е. (X + Y) П Z = X П Z + Y П Z для любых подмодулей X, V, Z в M. Кольцо A называется дистрибутивным справа (соотв., слева), если модуль AA (соотв., AA) дистрибутивен, т.е. решетка всех правых (соотв., левых) идеалов кольца A дистрибутивна. Ясно, что коммутативное кольцо A дистрибутивно справа (соотв., слева) в точности тогда, когда A - арифметическое кольцо.
Модуль называется цепным, если любые два его подмодуля сравнимы по включению, т.е. решетка всех его подмодулей - цепь. Все цепные модули дистрибутивны. Кольцо целых чисел Z - коммутивное дистрибутивное нецепное кольцо.
fi. M - цепной модуль О в M любые два циклических подмодуля сравнимы по включению О M не имеет подфакторов X ф Y, где модули X и Y просты.
Утверждение проверяется непосредственно.

   ⁸Модуль с одним модульным образующим, называется циклическим.

9

Для любого простого числа p е N через Qₚ обозначается подкольцо в поле Q, образованное всеми рациональными числами с не делящимися на p знаменателями, а через C(p'') или Z(p'') обозначается аддитивная группа Qₚ/Z, называемая квазициклической группой.
f₂. Пусть X = Qₚ/Z - квазициклическая группа, h: Qp ^ X - естественный эпиморфизм с ядром Z, Xn = h(p⁻ⁿZ) (n =0, 1, 2 ...). Тогда все собственные подмодули Z-модуля X являются конечными циклическими модулями и образуют бесконечную строго возрастающую цепь 0 = Xо С Xi С X2 С ... С X, объединение которой совпадает с X. Поэтому X - цепной артинов счетно порожденный Z-модуль, который изоморфен любому своему ненулевому гомоморфному образу, не является конечно порожденным модулем и не имеет максимальных подмодулей. Кроме того, каждый модуль Xₙ - вполне инвариантный циклический нётеров цепной непростой подмодуль в X и при n е N имеет единственный максимальный подмодуль Xₙ₋ᵢ.
Утверждение проверяется непосредственно.
f3. Если A - коммутативное кольцо с обратимой двойкой и a, b -обратимые элементы кольца A, то алгебра кватернионов ( aA b) -дистрибутивна справа (соотв., слева) в точности тогда, когда A -арифметическое кольцо и для любого его максимального идеала M и любых элементов x, y, z фактор-кольца A/M равенство x² - ay² -bz² = 0 возможно только при x = y = z =0.⁹
f4. Если A - коммутативное кольцо с обратимой двойкой и a, b -обратимые элементы кольца A, то (a л b) цепное справа (соотв., слева) кольцо в точности тогда, когда A - цепное кольцо и для любых x, y, z е A включение x² - ay² - bz² е J(A) возможно только при x е J(A), у е J(A), 2 е J(A).10
g. Некоторые свойства подмодулей.
Пусть X и Y - произвольные подмодули модуля M .
gi. Модулярный закон. X П (X' + Y) = X' + X П Y для любого * ¹⁰

  9См. с. 156.

 ¹⁰См. с. 154.

10

подмодуля X' в модуля X.
g2. Каждый подмодуль фактор-модуля M/X имеет вид X'/X, где X' - подмодуль в M и X С X' С M, причем правилом ^(m + X') = (m + X) + X'/Y задается модульный изоморфизм M/X' = (M/X) / (Y '/Y).
g3. Если X и Y - подмодули модуля M, то правило ф(x + y + X) = y + X П Y задает изоморфизм (X + Y)/X = Y/ (X П Y).
Утверждения g₁-g3 проверяются непосредственно.
g₄. Если X, Y, X', Y' - подмодули в M, X 'С X и Y 'С Y, то

(X' + (X П Y))/(X' + (X П Y')) = (Y' + (X П Y))/(Y' + (X'П Y)).

◄ Заметим, что (X' + (X П Y')) + (X П Y) = X' + (X П Y) и по модулярному закону g₁

(X' + (X П Y')) П (X П Y) = (X' П Y) + (X П Y').

Поэтому из g3 следует, что

(X' + (X П Y))/(X' + (X П Y')) = (X П Y)/((X' П Y) + (X П Y')),

(Y' + (X П Y))/(Y' + (X'П Y)) = (X П Y)/((X'П Y) + (X П Y')). ►

Если X0 С X1 С ... С Xₘ = M - конечная цепь подмодулей в M, то фактор-модули Xi/Xi-1 (i =1,...,m) называются факторами этой цепи (или подфакторами модуля M), а уплотнением этой цепи называется любая такая конечная цепь X0 С X0 С ... С X0 = M, что все модули Xi встречаются среди модулей Xjj.
g5 . Если модуль M содержит две конечные цепи подмодулей

0=X0 С X1 С ...С Xm = M,      0=Y0 С Y1 С ...С Yn = M,

то обе цепи имеют уплотнения одинаковой длины и (возможно, после перенумерации) с изоморфными факторами.


11

◄ Вставим между Xi и Xi+1 подмодули Xi,j = Xi + (Xi+1 П Yj) (j = 0,...,n), а между Yj и Yj+1 подмодули Yj = Yj + (Yj+1 П Xi), i = 0 ,...,m .По g4 Xi,j+1 /Xij * Yi+1 j Yj (Xi = Xi, о, Xi+1 = Xi,n). ► h. Группы гомоморфизмов. Кольца эндоморфизмов.
Множество всех правых (соотв., левых) A -модульных гомоморфизмов из X в Y обозначается через Hom (XA, YA) (со-отв., Hom (AX,A Y)) и является подгруппой аддитивной группы HomZ(X,Y).
Аддитивная группа Hom (XA,XA) (соотв., Hom (AX,A X)) обозначается через End (XA) (соотв., End (AX)) и является кольцом, в котором произведение fg двух эндоморфизмов f и g совпадает с их композицией, т.е. fg(x) = f(g(x)) ((x)fg = ((x)f)g). Кольцо End (XA) (соотв., End (AX)) называется кольцом эндоморфизмов правого модуля XA (соотв., левого модуля AX).
Любое кольцо A изоморфно кольцам эндоморфизмов End AA и End aA, причем требуемые кольцевые изоморфизмы - отображения у: A ^ End Aa и ф: A ^ End aA, при которых ф(a): x ^ ax и ф (a): x ^ xa для всех x Е A.
Инъективный и сюръективный модульный (кольцевой) эндоморфизм называется модульным (кольцевым) автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов модуля (кольца) X обозначается через Aut X и является группой, в которой для любого автоморфизма f обратный автоморфизм f⁻¹ корректно задается правилом f ⁻¹(f (x)) = x для всех x Е X. Единица группы автоморфизмов -тождественный автоморфизм 1 х: x ^ x. Заметим, что группа автоморфизмов модуля M - группа обратимых элементов кольца эндоморфизмов End M.
Инъективные модульные (кольцевые) гомоморфизмы также назы-ватся модульными (кольцевыми) мономорфизмами, а сюръективные модульные гомоморфизмы - модульными эпиморфизмами.¹¹

 ¹¹Мы не затрагиваем здесь теоретико-категорные понятия эпиморфизма и мономорфизма. Отметим лишь, что в категории колец существуют несюръективные эпиморфизмы, но естественные кольцевые эпиморфизмы на фактор-кольца сюръективны, а в категории правых

12

i. Аннуляторы. Бимодули.
Если A и B - два кольца и X - правый A-модуль, являющийся также левым B-модулем, причем (bx)a = b(xa) для всех x Е X, a Е A и b Е B, то X называют (B, A)-бимодулем. Через BXA обозначают то, что X - (B, A)-бимодуль. Если Y является A-подмодулем и B-подмодулем в BXA, то Y называют подбимодулем бимодуля BXA.
Если R - кольцо и A - унитарное подкольцо в R, то R естественным образом превращается в правый A-модуль и левый A-модуль, где для любых элементов r Е R и a Е A мы берем произведение ra (соотв., ar) в кольце R в качестве модульного произведения элемента r Е RA (соотв., r Е aR) на элемент а Е A. Кроме того, R - (A, A)-бимодуль. Модульные аксиомы для RA и A R вытекают из кольцевых аксиом для R. В частности, A является (A, A)-бимодулем.
Подбимодули бимодуля AAA - это идеалы кольца A.
Пусть X и Y - подмножества правого (соотв., левого) модуля M над кольцом A, то обозначим (X...Y) = {а Е A | Xa С Y} (соотв., (Y(.•)X) = {a Е A | aX С Y}).
Обозначим через rA(X)=r(X) правый аннулятор {a Е A | Xa =0} (соотв., tA(X) = I(X) левый аннулятор {a Е A | aX = 0}) подмножества X .
Все правые (соотв., левые) аннуляторы - правые (соотв., левые) идеалы кольца, причем га(X) (соотв., ! A(X)) - идеал кольца A.
Модуль с нулевым аннулятором называется точным.
h1 . Каждый правый модуль M над кольцом A естественным образом превращается в точный правый модуль над кольцом A/r(M). Кроме того, если любому элементу m Е M сопоставить такой гомоморфизм fₘ Е Hom (AA,M), что fₘ(a) = ma для всех a Е A, то индуцируется End M-A-бимодульный изоморфизм M ^ Hom (Aa, M).
h2. Если A - подкольцо кольца A и X - подмножество в A, то

га ( 1a ( га (X))) = га (X), 1a ( га ( Ia (X))) = Ia (X),

(соотв., левых) A-модулей все эпиморфизмы (мономорфизмы) сюръективны (инъективны).

13