Числовые ряды

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций 

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(СибГУТИ)

Д. В. Воронин 

Числовые ряды

Учебное пособие

Новосибирск

2021

УДК 512.64+514.742.2+514.12

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензенты: канд. техн. наук., доц. И.В. Нечта,

канд. физ.-мат. наук, доц. Е.Б. Сибиряков

Воронин Д.В. Числовые ряды: Учебное пособие / Д. В. Воронин ; 

Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики ; 
каф. высшей математики. – Новосибирск, 2021. – 50 с.

В пособии излагается классический раздел математического анализа –

числовые ряды.
Предназначено для использования в учебном процессе 

преподавателями и студентами при изучении математики в соответствии с 
требованиями государственных образовательных стандартов по направлению 
подготовки бакалавров факультета ИВТ СибГУТИ 01.03.02 «Прикладная 
математика и информатика».

Работа подготовлена на кафедре высшей математики СибГУТИ.

© Воронин Д.В., 2021
© Сибирский государственный университет
телекоммуникаций и информатики, 2021

Содержание

Предисловие
4

§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на число, 
сложение рядов

1.1. Определения
5

1.2. Критерий Коши сходимости ряда
7

1.3. Свойства сходящихся рядов
7

1.4. Примеры числовых рядов
10

1.5. Задачи для самостоятельной работы
15

§ 2. Положительные числовые ряды. Признаки сходимости и расходимости 
положительных числовых рядов

2.1. Необходимое и достаточное условие сходимости 
положительного ряда 
16

2.2. Признаки сравнения
17

2.3. Достаточные признаки Даламбера и Коши
21

2.4. Достаточные признаки Раабе, Куммера, Бертрана, Гаусса
24

2.5. Интегральный признак Коши-Маклорена, 
”телескопический" признак Коши и признак Ермакова
27

2.6. Примеры применения признаков сходимости
30

2.7. Задачи для самостоятельной работы
35

§ 3. Знакопеременные числовые ряды

3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов
36

3.2. Знакочередующийся ряд. Признак Лейбница
41

3.3. Признаки сходимости произвольных числовых рядов
42

3.4. Примеры
45

3.5. Задачи для самостоятельной работы
48

Литература
49

Предисловие

В пособии излагается классический раздел математического анализа –

числовые ряды. Оно написано на основе лекционной и практической работы 
автора со студентами СибГУТИ, НГТУ и НГУ. Пособие состоит из трех 
разделов: 
понятие 
числового 
ряда, 
положительные 
числовые 
ряды, 

знакопеременные числовые ряды. Каждый раздел дополнен образцами решения 
задач по предварительно изложенному теоретическому материалу. Основные 
теоремы обычного вузовского курса теории числовых рядов в пособии 
доказаны. Некоторые дополнительные теоремы приведены без доказательств, с 
которыми, 
однако, 
можно 
ознакомиться 
с 
помощью 
монографий 

Г.М. Фихтенгольца [2] или Н.М. Абасова, А.С. Запреева [3]. Данное пособие 
является исправленным и дополненным изданием предыдущего пособия 
Д.В. Воронина [4]. В этом издании данного пособия исправлены некоторые 
неточности, а также добавлен практический материал. 

Учебное 
пособие 
представляется 
полезным 
для 
студентов 
и 

преподавателей при изучении курса математического анализа, решении 
типовых заданий и содержит ряд разделов, расширяющих обычный курс теории 
числовых рядов для инженерных специальностей вузов.

§ 1. Понятие числового ряда, сходимость ряда, умножение ряда на 

число, сложение рядов

1.1.    Определения
Будем обозначать через N множество натуральных чисел:



...
3,2,1

N

Определение 1. Числовым рядом называется бесконечная сумма чисел, 

расположенных в определенном порядке. Каждое число в этой сумме 
называется членом ряда.

Символическая запись:













1

2
1
...
...

n

n
n
a
a
a
a
.
(1.1)

Формула для числа an, с помощью которой можно получить любой член 

ряда в зависимости от его номера, называется формулой общего члена ряда или 
n-го члена ряда. Само множество {an} образует последовательность, каждый 
член которой является функцией целочисленного аргумента an = f(n).

Пример 1. 

Здесь

Замечание 1. Нумерацию членов ряда иногда удобнее начинать не с 

единицы, а с нуля или с некоторого натурального числа, большего единицы.

Определение 2. Рассмотрим последовательность конечных сумм членов 

ряда (1.1):


.
,...;
...
,...,
,
2
1
2
1
2
1
1
N
n
a
a
a
S
a
a
S
a
S
n
n








(1.2)

Члены последовательности  (1.2)  называются  частичными суммами ряда

(1.1), соответственно, число 






n

k

k
n
a
S

1

– n-ой частичной суммой ряда (1.1).

Числовой ряд (1.1) называется сходящимся, если существует конечный 

предел последовательности частичных сумм (1.2):











n

k

k
n
n
n
S
a
S

1

lim
lim
.
(1.3)

ряд
кий
гармоничес
n
n
n












1

1
...
1
...
3
1

2
1
1

,.....
100

1
,
5
1
,1
1

100
5
1





a
a
a
n
an

Если же предел S бесконечный (то есть, S = + или S = -), либо предела 

последовательности частичных сумм не существует, то ряд (1.1) называется 
расходящимся.

Конечный или бесконечный предел А называется суммой ряда (1.1) и 

символически записывают









1
n

n
a
S
,

а сумма










1
n
k

n
n
a
R
(1.4)

называется n-ым остатком ряда (1.1), понимая под этими записями (в отличие 
от понятия суммы конечного числа слагаемых) пределы последовательностей 
соответствующих частичных сумм вида (1.3).

Пример.
Рассмотрим бесконечную сумму членов арифметической 

прогрессии

Последовательность частичных сумм имеет вид:

Вывод: данный ряд расходится (при a1  0, d  0).

Теорема 1. Произвольное изменение первых n членов ряда не влияет на 

сходимость или расходимость этого ряда. 

Доказательство. 
Представим ряд в виде суммы двух слагаемых:

где                            ,  

Зафиксируем значение n. Тогда Sn – константа. Запишем новый ряд, где 

заменим величину А другим значением В (что соответствует произвольному 
изменению первых n слагаемых ряда).  Если исходный ряд сходится, то Rn и S = 
А + Rn – константы. Тогда В + Rn – константа, и новый ряд также сходится.




























0

1
1

1
1
1
1

.2
,1
,
)1
(
...
7
5
3
1
Например,

...
)
(
...
)
2
(
)
(

n

d
a
d
n
a

nd
a
d
a
d
a
a










n
при
n
n
d
a
n
a
a
S
n

n
2

)1
(
2

2

1
1

n
n

k

k
R
S
a
S






1

A
a
S

n

k

k
n

 

1









1
n
k

k
n
a
R

Пусть исходный ряд расходится, т.е. S не существует в виде константы 

(как и  Rn). Тогда В + Rn – не является константой, и новый ряд также 
расходится.

1.2. Критерий Коши сходимости ряда

Так как вопрос о сходимости ряда по определению 2 эквивалентен 

вопросу о сходимости последовательности его частичных сумм, то напомним 
критерий Коши сходимости последовательности.

Для сходимости последовательности {Sn} необходимо и достаточно, 

чтобы для любого положительного числа  > 0 нашелся номер М такой, что для 
всех номеров n, удовлетворяющих условию n  М, и для всех натуральных р 
N выполнялось условие

.


n
p
n
S
S

Как следствие из этого утверждения получаем основную теорему.

Теорема 2 (Критерий Коши). Для сходимости ряда 



1
n

n
a необходимо и 

достаточно, чтобы для любого положительного числа  > 0 нашелся номер М 
такой, что для всех номеров n удовлетворяющих условию n  М, и для всех 
натуральных р  N выполнялось условие

.

1









p
n

n
k

k
a
(1.5)

Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно заметить, что 

выражение, стоящее под знаком модуля в неравенстве (1.5), есть разность (n + 
р)-ой и n-ой частичных сумм ряда: Sn+p - Sn , и, следовательно, критерий Коши 
для рядов является просто переформулировкой критерия Коши для конкретной 
последовательности – последовательности частичных сумм. Заметим, что 
критерий Коши представляет в основном теоретический интерес, так как его 
использование для исследования конкретных рядов затруднительно. Поэтому 
ниже будут приведены более эффективные в практическом отношении 
признаки сходимости и расходимости рядов.

1.3 Свойства сходящихся рядов

В этом пункте рассмотрим свойства сходящихся числовых рядов, 

которые 
являются 
следствиями 
соответствующих 
свойств 
сходящихся 

числовых последовательностей.

Теорема 3. Если ряд 



1
k

k
a
сходится, то последовательность n-ых 

остатков ряда









1
n
k

k
n
a
r
является бесконечно малой.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что для 

любого  > 0 найдется номер М, такой, что для любого n  М имеет место 
неравенство:

,


nr

которое следует непосредственно из определения 2 сходимости ряда к своей 
сумме А и из определения предела последовательности. А именно, условие 
сходимости последовательности частичных сумм рассматриваемого ряда к 
пределу А означает, что для любого  > 0 найдется номер М такой, что

M
n
r
a
a
a
A
S
n

n
k

k

k

k

n

k

k
n






















,

1
1
1



Что и требовалось доказать.

Теорема 4 (Необходимый признак сходимости ряда).

Для сходимости ряда 



1
n

n
a
необходимо, чтобы последовательность {аn} 

была бесконечно малой, то есть, чтобы

0
lim




n
n
a
.
(1.6)

Доказательство.
Составим две частичные суммы:

и 
Пусть ряд сходится, тогда 

и 

Так как 

n
n
n
a
a
a
a
S





1
2
1
...

1
2
1
1
...






n
n
a
a
a
S

const
S
Sn
n





lim

S
S
l
n

l
n
S
l
l
n
n

















lim
1
lim
1




1
n
n
n
S
S
a

Следствие. Если

Теорема 5 (Алгебраические свойства рядов). Для сходимости ряда 





1
n

n
a
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд 



1
n

n
ca
, где с  0 —

произвольное число. Если ряд сходится, то:














1
1
n
n

n
n
a
c
ca
.
(1.7)

Доказательство. Обозначим через Sn частичные суммы первого ряда, а 

через 
n
S – частичные суммы второго. Тогда имеем

n

n

k

k

n

k

k
n
cS
a
c
ca
S








1
1
.

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что 

последовательности Sn и 
n
S
сходятся и расходятся одновременно. Кроме того, 

если предел последовательности 
n
S существует, то справедливо равенство

n
n
n
n
S
c
S







lim
lim
,

из которого и следует последнее утверждение данной теоремы.

Теорема 6 (Алгебраические свойства рядов). Если ряды 



1
n

n
a
и 





1
n

nb
сходятся, тогда сходится ряд 










1
n

n
n
b
a
и справедливо равенство























1
1
1
n
n

n

n

n
n
n
b
a
b
a
.
(1.7)

Доказательство. Обозначим символами Сn, Аn, Bn частичные суммы 

соответствующих рядов, тогда очевидны равенства


















n

k

n
n

n

k

k

n

k

k
k
k
n
B
A
b
a
b
a
C

1
1
1
.



0
lim
lim
1










S
S
S
S
a
n
n
n
n
n

расходится
ряд
an
n





0
lim

Из этого равенства и из свойств последовательностей следует, что предел 

последовательности {Сn} существует и, кроме того, выполняется равенство

n
n
n
n
n
n
B
A
C









lim
lim
lim
.

1.4.    Примеры числовых рядов

Пример 1

Простейшим примером бесконечного числового ряда является сумма 

бесконечного числа членов геометрической прогрессии

,...,
,...,
,
,
1
2

n
aq
aq
aq
a

то есть
















1

1
1
2
...
...

n

n
n
aq
aq
aq
aq
a
. 
(1.8)

Ниже будем называть ряд вида (1.8) рядом геометрической прогрессии. 

Ее 
n-ая 
частичная 
сумма 
легко 
находится, 
если 
воспользоваться 

непосредственно проверяемым тождеством:




n
n
n
n
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q

















1
...
1
...
1
1
1
2
2
1
2
.

Тогда при q  1 имеем






q
q
a
q
q
a
aq
aq
a
S

n

n
n

n














1
1
...
1
...
1
1
,
(1.9)

а при q = 1 имеем Sn = аn. Из этих выражений очевидно, что при 
1
q

последовательность 




1
n
n
S
имеет конечный предел (так как последовательность 

 



1
n

n
q
образует бесконечно малую последовательность):

q

a
Sn
n





1
lim
,

следовательно, ряд (1.8) сходится к сумме

q

a
aq

n

n











1
1

1
.
(1.10)

При 
1

q
— ряд (1.8) расходится. Действительно:

Если 
1

q
, 





n
n
S
lim
, в зависимости от знака числа a.

Если же 
1


q
, то последовательность 




1
n
n
S
не имеет предела. 

При 
1


q
, последовательность принимает значения 1,0,1,0,.... То есть из 

нее можно выбрать две подпоследовательности: 






1
1
2
k
k
S
и 




1
2
k
k
S
, которые 

имеют разные пределы: 1 и 0, что и означает отсутствие предела у данной 
последовательности.

Если 
1


q
, 
то 
обозначив: 
t
q


, 
1

t
, 
из 
(1.9) 
получим 

последовательность:




1

1
1

1









t

t
S

n
n

n
,

из которой выбираем две подпоследовательности:

1

1
1
2

1
2








t

t
S

k

k
,
1

1
2

2





t
t
S

k

k
,

имеющие разные пределы:






1
2
lim
k
k
S
,





k
k
S2
lim
.

Пример 2

Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение ряда 

геометрической прогрессии.

Очевидно, 
что 
следующий 
ряд 
является 
рядом 
геометрической 

прогрессии и его сумма равна:








































1
1

1

1

1

3
2

2
1
1

1

2
1

2
1

n
n

n

n

n

.

Пример 3

Нетрудно вычислить и сумму следующего ряда, воспользовавшись 

свойством (1.7) и формулой суммы ряда геометрической прогрессии:




4
3

4
1
1

3
1
1

3
1

2
1
1

2
1

3
1

2
1

3
1

2
1

1
1
1



























































n
n

n

n

n

n

n

n
.

Заметим, что свойство (1.7) применимо, так как соответствующие ряды 

являются сходящимися.

Пример 4

Рассмотрим ряд









1
1

1

n
n
n
.