Анализ и моделирование статистических рядов

Федеральное агентство связи 

 

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования 

«Сибирский государственный университет  

телекоммуникаций и информатики» 

(СибГУТИ) 

 
 

 
 
 

Н. Д. Гончарова 

Ю. С. Терехова 

 

 

 
Анализ и моделирование  

статистических рядов 

 

Учебное пособие 

 
 

Рекомендовано Сибирским региональным учебно-методическим центром 
высшего профессионального образования для межвузовского использования  

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся  

по экономическим направлениям и специальностям 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Новосибирск  

2016 

 
 

 

УДК 31.654(076) 

 

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ 

 

Рецензенты: д.э.н., профессор В.Н. Папелло,   
                       д.э.н., профессор А.С. Новоселов 

 
 
Гончарова Н.Д., Терехова Ю.С. Анализ и моделирование статистических рядов : 
Учебное пособие / Сибирский государственный университет телекоммуникаций 
и информатики. – Новосибирск, 2016. – 97 с. 
 
 
 
Для направлений подготовки 38.03.01 (080100), 38.03.02. (080200), 42.03.01. 
(031600) 
 
 
Кафедра производственного менеджмента и маркетинга 
 
 
 
 
 
 

© Гончарова Н.Д., Терехова Ю.С., 2016 
© Сибирский государственный университет  
 телекоммуникаций и информатики, 2016  

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение......................................................................................................

Cтр.
4

Глава 1 Изучение вариации.......................................................................
1.1 Вариационные ряды, их виды. Графическое изображение вариационных 
рядов.............................................................................................
1.2 Характеристики вариационных рядов.................................................
1.3 Правило сложения дисперсии...............................................................
1.4 Моделирование рядов распределения.................................................
Вопросы для самопроверки по главе 1.......................................................

5

5
8
15
17
22

Глава 2 Показатели анализа рядов динамики.....................................
2.1 Понятие рядов динамики и их виды...............................................
2.2 Аналитические показатели динамики.............................................
2.3 Средние показатели динамического ряда......................................
Вопросы для самопроверки по главе 2..................................................

23
23
26
27
31

Глава 3 Приемы обработки динамических рядов....................................
3.1 Выявление наличия тенденции в динамическом ряду.......................
3.2 Интерполяция в динамических рядах..................................................
Вопросы для самопроверки по главе 3.......................................................

32
32
38
40

Глава 4 Прогнозирование в динамических рядах...................................
4.1 Сущность и классификация статистических прогнозов....................
4.2 Прогнозирование на основе средних характеристик динамического 
ряда...........................................................................................................
4.3 Упрощенный прием прогнозирования. Прогнозирование на основе 
стационарного ряда................................................................................
4.4 Прогнозирование на основе экстраполяции.......................................
4.5 Уравнение тренда с использованием параболы второй степени.......
4.6 Уравнение показательной функции.....................................................
4.7 Выбор наилучшего уравнения тренда.................................................
4.8 Оценка точности и надежности прогнозов..........................................
Вопросы для самопроверки по главе 4.......................................................

41
41

45

47
51
54
56
58
62
67

Глава 5 Исследование связи в динамических процессах.....................
Вопросы для самопроверки по главе 5..................................................

68
82

Глава 6 Обработка статистических рядов в среде Excel.....................
83

Приложения..................................................................................................
88

Список рекомендуемой литературы........................................................... 96

 

Введение 

 

В системе экономического образования особое место отводится стати-

стике, которая является базовой научной дисциплиной, формирующей определенный 
уровень современного экономиста. 

Курс статистики дает представление о сущности статистического метода 

и особенностях его применения в изучении социально-экономических процессов 
и явлений. 

В практической деятельности используются различные методы стати-

стического исследования: статистическое наблюдение, сводка и группировка, 
расчет обобщающих показателей, выборочный метод, анализ рядов динамики, 
индексный метод анализа, основы корреляционно-регрессионного анализа. 
Особое место среди перечисленных методов занимает анализ и моделирование 
статистических рядов, а также анализ динамических рядов, который позволяет 
охарактеризовать закономерность изменения явления во времени. Данные анализа 
рядов динамики  создают базу для прогнозирования, то есть определение 
ориентировочных размеров явлений в будущем. 

Такие исследования и прогнозы в повседневной деятельности экономи-

стов являются наиглавнейшими. На предприятиях постоянно проводится анализ 
основных экономических показателей за ряд периодов, выявляются тенденции 
их изменений, определяются факторы, которые повлияли на эти изменения. 
На основании результатов анализа динамики показателей принимаются управленческие 
решения, и выполняется их прогнозирование на будущий период. 

В данном учебном пособии рассмотрены методы анализа статистиче-

ских рядов, динамических рядов и их прогнозирование, а также статистические 
методы изучения взаимосвязей в динамических рядах. 

Учебное пособие содержит шесть глав. Первая глава «Изучение вариа-

ции» посвящена вопросам анализа и моделирования вариационных рядов. 

Во второй главе «Показатели анализа рядов динамики» дается понятие 

рядов динамики, их виды; рассмотрена система показателей анализа динамических 
рядов. 

В третьей главе «Приемы обработки динамических рядов» рассмотрены 

методы выявления общей тенденции изменения показателей динамического ряда. 

Четвертая глава «Прогнозирование в динамических рядах» посвящена 

рассмотрению различных статистических методов определения показателей 
динамического ряда на предстоящий период. 

В пятой главе «Исследование связи в динамических процессах» рас-

сматривается использование регрессионных моделей для изучения взаимосвязи 
между показателями в динамике. 

В шестой главе «Обработка статистических рядов в среде Excel» приво-

дятся примеры решения статистических задач с помощью офисных программ 
персонального компьютера. 

Учебное пособие предназначено для студентов различных форм обуче-

ния по экономическим направлениям подготовки. 

Глава 1 Изучение вариации 

 

1.1 Вариационные ряды, их виды.  

Графическое изображение вариационных рядов 

 

Вариацией называется различие значений признака у отдельных единиц 

изучаемой совокупности в один и тот же период или момент времени. 

Статистический анализ вариации предполагает: 
1. Построение вариационного ряда. 
2. Графическое изображение вариационного ряда. 
3. Расчет основных характеристик вариационного ряда. 
Построение вариационного ряда (ряда распределения) – это упоря-

доченное распределение единиц совокупности по возрастающим или убывающим 
значениям признака. 

В составе любого вариационного ряда можно выделить три основных 

элемента: варианта, частота и частость. 

Варианта – это значения, которые принимает исследуемый признак, 

обозначается через x. 

Частоты вариационного ряда – абсолютная численность отдельных 

групп с различными значениями признака, обозначается через m. 

Частости вариационного ряда – удельные веса (доли) отдельных групп 

в общей совокупности. 

Вариационные ряды бывают двух видов:  
 дискретные; 
 интервально-вариационные. 
В дискретных рядах варианты представлены в виде целочисленных ве-

личин. Если варианты представлены в виде интервалов, то такие ряды называются 
интервально-вариационными. 

Для анализа вариационных рядов и определения формы распределения 

используются графики. При графическом изображении вариационного ряда в 
статистике используются полигон  распределения, гистограмма и кумулята.   

Чтобы построить полигон распределения, на оси абсцисс отмечают точ-

ки, соответствующие величине вариант значений признака, из них восстанавливаются 
перпендикуляры, длине которых соответствует частота этих вариант 
по принятому масштабу на оси ординат. Вершины перпендикуляров соединяются 
отрезками прямой. В таблице 1.1 приведен пример дискретного ряда распределения. 
 

Таблица 1.1. Распределение работников филиала по возрасту 

Возраст, лет
Количество работников, ед.

19
2

25
4

30
3

43
2

45
1

Итого
12

Графическое изображение дискретного ряда, приведенного в таблице, 

представлено на рисунке 1.1. 

 

 

 

Рис. 1.1.  Полигон распределения работников по возрасту 

 

Для графического изображения интервального ряда используется гисто-

грамма. 

Гистограмма – столбиковая диаграмма, для построения которой на оси 

абсцисс откладываются отрезки, равные величине интервалов вариационного 
ряда. На отрезках строят прямоугольники, высота которых в принятом масштабе 
по оси ординат соответствует частотам или частостям. Пример интервально-
вариационного ряда представлен в таблице 1.2. Графическое изображение ин-
тервально-вариационного ряда показано на рисунке 1.2. 

 

Таблица 1.2. Распределение работников структурного подразделения по заработной 
плате 

Заработная плата, тыс. руб.
Количество работников, ед.
Накопленные частоты

5-10
2
2

10-15
8
10

15-20
15
25

20-25
10
35

25-30
6
41

30-35
4
45

Итого
45

 
 
 
 
 
 
 

1

2

3

4

0
15
30
45

количество 
работников   

возраст работников (лет)

m

x

Рис. 1.2. Гистограмма распределения работников  

по величине заработной платы 

 
По гистограмме можно определить показатель центра распределения – 

моду (М0), который будет рассмотрен далее. 

Кумулята – распределение строится по накопленным частотам, они оп-

ределяются последовательным суммированием частот. 

    

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Рис. 1.3. Кумулята распределения работников по заработной плате 

 

Накопленные частоты показывают, сколько единиц совокупности имеют 

значения признака не больше, чем рассматриваемое значение. 

х

5         10          15    Mо   20           25         30         35 

15

10

5

Количество работников 

m

Заработная плата, тыс. руб.

Заработная плата, тыс.руб.

0        7,5      12,5       17,5       22,5       27,5     32,5

Накопленные 

частоты

5

10

40

15

25

20

30

35

45

Ме

Накопленные частоты по рассматриваемому предыдущему примеру 

(табл. 1.2) будут равны: 

1 группа (до 10 тыс. руб.) – 2; 
2 группа  (от 10-15) – 10; 
3 группа (от 15-20) – 25; 
4 группа (от 20-25) – 35; 
5 группа (от 25-30) – 41; 
6 группа (свыше 30) – 45. 
Кумулята распределения работников по заработной плате представлена 

на рисунке 1.3. 

По кумуляте можно определить еще один показатель центра распреде-

ления – медиану (Ме). 

 
 

1.2 Характеристики вариационных рядов 

 

Для проведения анализа вариационных рядов используются характери-

стики, которые делятся на следующие виды: 

 показатели центра распределения; 
 показатели вариации; 
 показатели формы распределения. 
Показатели центра распределения.  
К ним относятся средняя, мода и медиана. 
Средняя величина – статистический показатель, который дает обоб-

щающую характеристику изучаемого признака, отражающий его типичные 
размеры для рассматриваемого объекта наблюдения. В вариационных рядах 
используется средняя арифметическая взвешенная, которая имеет следующий 
вид: 

 

                                                     𝑥  =  𝑥𝑚

 𝑚 ,                                                                  (1.1) 

 

где x – индивидуальное значение признака;  
     m – количество единиц, имеющих данную величину признака (частота повторения 
признака). 

 
Мода – значение признака (варианта), наиболее часто встречающегося в 

изучаемой совокупности. 

Медиана – значение признака (варианта), которое делит ряд пополам.  
Рассмотрим определение моды и медиана в дискретном и интервально-

вариационных рядах.  

В дискретном ряду мода – это варианта, которая соответствует наи-

большей частоте. 

 

Медиана в дискретном ряду определяется следующим образом: 
а) сначала определяется следующее соотношение - порядковый номер 

медианы:  

 𝑚

2 + 0,5; 

 
б) далее рассчитываются накопленные частоты; 
в) устанавливается первая накопленная частота, которая превышает по-

ловину объема ряда. 

Пример 1.1. В одном из районов города было обследовано 100 семей. 

На основании обследования построен ряд распределения семей по количеству 
детей. Определить моду и медиану. 

 
Таблица 1.3 

Группа семей по числу детей, x
Число семей, m
Накопленные частоты 

0
1
2
3
4

4
12
64
18
2

4
16
80
98
100

Итого 
100

   
Наибольшая частота 64, ей соответствует значение варианты 2, значит, 

мода равна 2: 

Мо = 2 чел. 

Вывод: большинство семей имеет 2 детей. 
Для определения медианы определим накопленные частоты, их значения 

приведены в таблице 1.3. 

Рассматривается соотношение: 

 

100

2 + 0,5 = 50,5. 

Общее количество семей 100, следовательно, в середине ряда находится 

семья с порядковым номером 50,5. Первая накопленная частота, которая больше 
данного значения, равна 80 и соответствует варианте 2. Таким образом, 
Ме=2 чел. Это означает, что половина семей имеет в своем составе до 2 детей, а 
половина – больше. 

Расчет моды и медианы в интервально-вариационном ряду производится 

по формулам. Мода определяется как: 

 

                                   Мо = 𝑥0 + 𝑖
𝑚2 − 𝑚1

 𝑚2 − 𝑚1 +  𝑚2 − 𝑚3 ,                                     (1.2) 

 

где 𝑥0 – нижняя граница модального интервала; 
       i – величина модального интервала;  
      𝑚2 – частота модального интервала; 

𝑚1 – частота интервала, предшествующего модальному; 

 𝑚3 – частота интервала, последующего за модальным. 

 
Рассчитаем моду для примера, представленного в таблице 1.2. 

 

                          Мо = 15 + 5
15 − 8

 15 − 8 +  15 − 10 = 17,9 тыс. руб.                              

 
Формула для определения медианы следующая: 
 

                                                           Ме = 𝑥0 + 𝑖

 𝑚

2 − 𝑆м
𝑚М

,                                   (1.3) 

 

где 𝑥0 – нижняя граница медианного интервала; 
       i – величина медианного интервала;  
      𝑆м – сумма частот до медианного интервала; 
      𝑚М – частота медиального интервала. 
 
Расчет медианы: 

                                                     Ме = 15 + 5

45
2 − 10

15
= 19,1 тыс. руб.                              

 

Показатели вариации 

При изучении вариационных рядов рассчитываются показатели, харак-

теризующие размер и интенсивность вариации. 

Для характеристики размера вариации рассчитываются абсолютные по-

казатели вариации: 

 размах вариации; 
 среднее линейное отклонение; 
 среднее квадратическое отклонение; 
 дисперсия. 

 

Размах вариации определяется по формуле: 

                                               𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ,                                                            (1.4) 

 

где  𝑥𝑚𝑎𝑥 , 𝑥𝑚𝑖𝑛  – максимальное и минимальное значение признака в                 
совокупности. 

 
Среднее линейное отклонение рассчитывается как: 

                                                               𝑑 =   𝑥 − 𝑥  𝑚

 𝑚
.                                              (1.5) 

 

Для определения среднего квадратического отклонения используется 

формула:  

                                                𝜎 =    𝑥 − 𝑥  2𝑚

 𝑚
 .                                                       (1.6) 

Данный показатель характеризует, насколько в среднем значения при-

знака отклоняются от средней величины. 

Дисперсия – это квадрат среднего квадратического отклонения: 

                                              𝜎2 =   𝑥 − 𝑥  2𝑚

 𝑚
.                                                          (1.7) 

 

Все рассмотренные показатели, исключая дисперсию, измеряются в тех 

же единицах, что и варианта. Дисперсия единицы измерения не имеет. 

Для оценки интенсивности вариации используется относительный пока-

затель – коэффициент вариации, рассчитываемый по формуле: 

 

                                                   𝑉 = 𝜎

𝑥 × 100%.                                                          (1.8) 

 
Он показывает, во-первых, на сколько процентов в среднем значения 

признака отклоняются от среднего, а во-вторых, характеризует степень однородности 
совокупности. 

Если коэффициент вариации < 33%, то означает, что совокупность од-

нородная, а средняя типична для данной совокупности, и ее можно использовать 
в дальнейших расчетах. В случае, если коэффициент получается   > 33%, 
необходимо изучаемую совокупность разделить на группы. Например, если 
изучается стаж или возраст работников предприятия, то совокупность можно 
поделить по полу работников или по профессиональной категории. Затем вариация 
будет изучаться уже в каждой типологической группе. 

 

Показатели асимметрии 

Асимметрия и эксцесс являются характеристиками формы распределе-

ния. 

В практике статистического исследования приходится встречаться с раз-

личными распределениями. Идеальным (нормальным) распределением является 
такое, у которого распределение признака в совокупности симметричное, 
при этом мода и средняя совпадают. 

Однако чаще всего встречается асимметрическое распределение. При 

правосторонней асимметрии средняя арифметическая больше моды, а при левосторонней – 
наоборот. Для оценки степени асимметричности применяют моментный 
и структурный коэффициент асимметрии. 

Моментный коэффициент асимметрии определяется по формуле: 

                                                  Ка = М3

𝜎3 ,                                                                 (1.9)