Теория надежности радиоэлектронных средств

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций 

Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение 

высшего образования

«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

(СибГУТИ)

С.В. Воробьева

ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ 

РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СРЕДСТВ

Методические указания
к практическим занятиям

Новосибирск

2021

УДК [621.396:519.718](075)

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ

Рецензент: канд. техн. наук, доц. В.Л. Савиных

Воробьева 
С.В. 
Теория 
надежности 
радиоэлектронных 
средств: 

Методические указания к практическим занятиям / С. В. Воробьева; Сибирский 
государственный 
университет 
телекоммуникаций 
и 
информатики;
каф. 

радиотехнических систем. – Новосибирск, 2021. – 40 с.

В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения и 

задачи по базовым разделам курса «Теория надежности радиоэлектронных 
средств»: Основные определения и понятия, показатели надежности; Законы 
распределения случайных величин при анализе надежности РЭС;
Анализ 

структурных схем надежности РЭС. Приводятся контрольные вопросы для 
самостоятельной подготовки.

Методические указания предназначены для студентов очной и заочной форм 

обучения, изучающих дисциплину «Теория надежности радиоэлектронных 
средств», обучающихся по направлению 110301 «Радиотехника».

© Воробьева С.В., 2021
© Сибирский государственный университет 
телекоммуникаций и информатики, 2021

Содержание

Введение
4

1
Краткие теоретические сведения. Математические модели в 
теории надежности
5

1.1
Единичные показатели надежности
5

1.2
Комплексные показатели надежности
9

1.3
Законы распределения  СВ при анализе надежности РЭС
11

1.3.1
Биноминальный закон распределения 
11

1.3.2
Распределение Пуассона 
11

1.3.3
Экспоненциальное распределение
12

1.3.4
Нормальное распределение
13

1.3.5
Распределение Вейбулла
14

1.3.6
Гамма-распределение
15

1.3.7
Распределение Рэлея
16

1.4
Анализ структурных схем надёжности РЭС
16

1.4.1
Последовательная модель надежности 
17

1.4.2
Параллельная модель надежности
18

1.4.3
Метод преобразования сложной логической структуры по 
базовому элементу
19

2
2.1

Практикум
Практическое занятие №1 Тема: «Основные определения и 
понятия. Показатели надежности РЭС»

21

21

Контрольные вопросы                        
22

2.2
Практическое занятие №2 Тема: «Законы распределения 
случайных величин при анализе надежности РЭС»
23

Контрольные вопросы
26

2.3
Практическое занятие №3 Тема: «Анализ структурных схем 
надежности РЭС»
27

Контрольные вопросы
33

Список литературы
34

Приложение (справочное). Справочные данные по надёжности 
современной элементной базы

35

Введение

Растущие с каждым годом требования к работе технических средств и 

высокоскоростное развитие техники накладывает повышенные требования на 
работу радиоэлектронных средств (РЭС). С одной стороны, РЭС должны иметь 
относительно невысокую стоимость, с другой стороны, их срок службы должен 
быть максимально большим и безотказным. Безотказность – одно из главных 
требований, применяемых к любой технической системе. В то же самое время 
повышение надёжности РЭС сохраняет ресурсы на ремонт и замену 
испорченного РЭС. 

Недостаточное 
внимание,
уделяемое 
расчёту 
надёжности,
может 

привести к повышению затрат и даже потере РЭС. Примером могут служить 
потери 
спутников 
из-за 
сбоев 
связи 
или 
ошибочные 
команды 

радиоуправляемым техническим средствам во время разминирования и 
спасательных работах. Поэтому обеспечение надёжности является важной 
задачей на этапе проектирования и эксплуатации. 

Цель преподавания дисциплины состоит в том, чтобы научить студентов 

статистическим 
методам 
анализа 
и 
синтеза 
аппаратной 
надежности 

радиотехнических систем, формулировать требования к входящим в систему 
устройствам и их техническим параметрам, производить оценку эффективности 
принятых решений по обеспечению надежности системы.

В результате изучения курса студент должен:
Знать основные методы анализа и синтеза аппаратной надежности РТС и 

РЭС, принципы построения РТС заданной надежности; основные методы 
резервирования РТС без восстановления и с восстановлением, оценки их 
надежности 
и 
эффективности 
резервирования; 
процедуры 
испытания 

надежности РТС и статистические методы оценки характеристик надежности;

Уметь выбирать и обосновывать соответствующую современному уровню 

теории и практики структурную схему надежности РТС и РЭС с учетом 
системного подхода к решению задачи надежности; проводить моделирование, 
теоретические современные методы математического анализа
и синтеза; 

анализировать и согласовывать техническое задание на проектирование 
надежности РТС;

Иметь навыки применения базовых положений курса для решения 

практических задач по определению параметров надежности радиосистем, 
синтеза 
структуры 
надежности 
по
заданным 
требованиям, 
оценки 

эффективности радиосистем, синтеза структуры надежности по заданным 
требованиям, оценки эффективности найденных решений, в том числе с 
применением ЭВМ.

Методические указания предназначены для студентов очной и заочной форм 

обучения, изучающих дисциплину «Теория надежности радиоэлектронных 
средств», обучающихся по направлению 110301 «Радиотехника».

1 Краткие теоретические сведения. Математические модели в теории 
надежности

Под надежностью понимают свойство изделия выполнять заданные 

функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в заданных пределах в 
течение требуемого промежутка времени или требуемой наработки при 
соблюдении режимов эксплуатации, правил технического обслуживания, 
хранения и транспортировки
[1]. Продолжительность работы РЭС
до 

предельного 
состояния, 
установленного 
в 
нормативно-технической 

документации, называют ресурсом изделия.

Надежность – это сложное комплексное понятие, с помощью которого 

оценивают такие важнейшие характеристики изделий, как работоспособность, 
долговечность, безотказность, ремонтопригодность, восстанавливаемость и др.

Объект –
техническое изделие определенного целевого назначения, 

рассматриваемое в периоды проектирования, производства, испытаний и 
эксплуатации. Объектами могут быть различные системы и их элементы.

Объект может находиться в одном из технических состояний (рисунок 

1.1):
-
исправное или неисправное;

-
работоспособное или неработоспособное;

-
состояние правильного или неправильного функционирования.

Рисунок 1.1 - Блок-схема состояния объекта

Количественно надежность характеризуется показателями надежности, 

отражающими те или иные ее свойства. В зависимости от того, какие свойства 
надежности РЭС отражают показатели, их подразделяют на единичные и 
комплексные.

1.1 Единичные показатели надежности

Если показатель надежности характеризует одно из свойств надежности, то 

он называется единичным, если же несколько свойств – комплексным 

показателем надёжности, включающим в себя, в зависимости от назначения 
объекта или условий его эксплуатации, ряд простых свойств:
-
безотказность;

-
долговечность;

-
ремонтопригодность;

-
сохраняемость.

К единичным показателям надёжности относится: 
-
вероятность безотказной работы;

-
средняя наработка до отказа;

-
гамма - процентная наработка до отказа;

-
средняя наработка на отказ;

-
интенсивность отказов;

-
параметр потока отказов.

Под вероятностью безотказной работы (ВБР) объекта понимается 

вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не 
возникнет.

ВБР является основной количественной характеристикой безотказности 

объекта на заданном временном интервале. 

𝑃(𝑡) = 𝑃{𝑇 ≥ 𝑡}, 𝑡 ≥ 0
(1.1)

где Т – время непрерывной исправной работы объекта от начала работы до 
первого отказа, t – время, за которое необходимо определить ВБР.

Функция ВБР наиболее полно определяет надежность объекта. Она 

обладает следующими свойствами:
-
0 ≤ P(t) ≥ 1

-
P(0) = 1

-
P (∞) = 0

Статистически ВБР равна:

𝑃(𝑡) =
lim
𝛥𝑡→0
𝑁0→∞

𝑁0−∑
𝑛𝑖

1/∆𝑡
𝑖=1
𝑁0
≈

𝑁(𝑡)

𝑁0 ,               
(1.2)

где Nо – число объектов в начале испытаний; ni – число отказавших объектов в 
интервале времени ∆ti; t – время, для которого определяется ВБР; N(t) – число 
объектов, исправно работающих на интервале [0,t].

Вероятность того, что отказ объекта 
произойдет за время, не 

превышающее заданной величины t, то есть что Т < t, как вероятность события, 
противоположного тому, при котором t ≤ T, равна:

𝑄(𝑡) = 𝑃{𝑇 < 𝑡} = 1 − 𝑃(𝑡), 0 ≤ 𝑡.
(1.3)

Функция Q(t) представляет собой интегральную функцию распределения 

случайной величины, то есть Q(t) = F(t). Если функция Q(t) дифференцируема, 
то 
производная 
от 
интегральной 
функции 
распределения 
есть 

дифференциальный закон (плотность) распределения случайной величины Т –
времени исправной работы:

𝑄(𝑡) =
lim
𝛥𝑡→0
𝑁0→∞

∑
𝑛𝑖

1/∆𝑡
𝑖=1
𝑁0
.
(1.4)

Статистически вероятность отказа равна:

𝑑𝐹(𝑡)

𝑑𝑡
=

𝑑𝑄(𝑡)

𝑑𝑡
= 𝑓(𝑡), 𝑓(𝑡) = −

𝑑𝑃(𝑡)

𝑑𝑡 .
(1.5)

Плотность вероятности f(t) статистически определяется по формуле:

𝑓(∆𝑡) =

∆𝑛(∆𝑡)

𝑁0∆𝑡 ,
(1.6)

где ∆n(∆t) – число отказов за интервал времени ∆t.

Очевидно, что

𝑄(𝑡) = ∫ 𝑓(𝜏)𝑑𝜏 и

𝑡
0
𝑃(𝑡) = ∫
𝑓(𝜏)𝑑𝜏.

∞
𝑡
(1.7)

Средняя наработка до отказа. Функции распределения (интегральная 

функция или плотность) полностью характеризуют случайную величину. 
Однако для решения некоторых задач достаточно знать только несколько 
моментов случайной величины. Моментом k-го порядка называют интеграл

𝑚𝑘 = ∫
𝑡𝑘𝑓(𝑡)𝑑𝑡.

∞
0
(1.8)

Момент первого порядка (математическое ожидание) наработки до 

первого отказа m1{T} обозначают Tср и называют средней наработкой до отказа 
(или средним временем безотказной работы):

Тср = ∫
𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡.

∞
0
(1.9)

Гамма-процентная наработка до отказа Tγ% – это наработка, в течение 

которой отказ объекта не возникнет с вероятностью γ, выраженной в процентах.
Гамма-процентная наработка определяется из уравнения:

1 − 𝐹(𝑡𝛾) = 1 − ∫
𝑓(𝑡)𝑑𝑡 =

𝛾

100 .

𝑡𝛾
0
(1.10)

При γ = 100% гамма-процентная наработка называется установленной 

безотказной наработкой, при γ = 50% гамма-процентная наработка называется 
медианной наработкой.

Средняя 
наработка 
на 
отказ
–
это 
отношение 
наработки 

восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в 
течение этой наработки:

𝑇0 =

1

𝑛 ∑
𝑡𝑐𝑝,
𝑛
𝑖=1
(1.11)

где tср i – время исправной работы между (i–1)-м и i-м отказами объекта; n –
число отказов объекта.

Интенсивность отказов – это отношение числа отказавших объектов в 

единицу времени к среднему числу объектов, продолжающих исправно 
работать в данный интервал времени:

𝜆(𝑡) =

∆𝑛(∆𝑡)

𝑁(𝑡)∆𝑡,
(1.12)

где ∆n(∆t) – число отказов объекта за промежуток времени от (t - ∆t/2) до (t + 
∆t/2).

𝑁(𝑡) =

𝑁𝑖−1+𝑁𝑖

2
,
(1.13)

где Ni – 1 – число исправно работающих объектов в начале интервала   времени 
∆t;  Ni – число исправно работающих объектов в конце интервала времени ∆t.

Интенсивность 
отказов 
часто 
называют
λ-характеристикой, 
она 

показывает, какая часть объектов выходит из строя в   единицу времени по 
отношению к среднему числу исправно работающих объектов. Эксплуатацию 
РЭС можно разделить на 3 этапа: 1) период приработки;
2) период 

эксплуатации; 3) период износа (старения) – рисунок 1.2.

Рисунок 1.2 - Зависимость интенсивности отказов от времени

В период приработки выявляются отказы по вине проектировщиков, 

конструкторов и изготовителей. Здесь характерны внезапные отказы объекта.
Период нормальной
эксплуатации
характерен наименьшим количеством 

отказов и приблизительным постоянством интенсивности отказов (λ(t) ≈ const).
Третий период обусловлен таким значением износа и старения объекта, что его 
дальнейшая эксплуатация нецелесообразна.

Параметр потока отказов – это отношение среднего числа отказов 

восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению 
этой наработки.

Параметр потока отказов ω(t)
используют в качестве показателя 

безотказности восстанавливаемых объектов.

В качестве характеристики потока отказов используют «ведущую 

функцию» Ω(t) данного потока – математическое ожидание числа отказов за 
время t.

Параметр потока отказов ω(t) характеризует среднее число отказов, 

ожидаемых на малом интервале времени, и равен:

𝜔(𝑡) = Ω′(𝑡) = lim

Δ𝑡→0

𝑀{𝑛(𝑡−∆𝑡)}−𝑀{𝑛(𝑡)}

∆𝑡
.
(1.14)

Параметр потока отказов связан с ведущей функцией соотношением

Ω(𝑡) = ∫ 𝜔(𝜏)𝑑𝜏.

𝑡
0
(1.15)

Статистически параметр потока отказов можно определить по формуле

𝜔(𝑡) =

Δ𝑛1(Δ𝑡)

𝑁0Δ𝑡 ,
(1.16)

где ∆n1(∆t) – общее число отказов восстанавливаемого объекта за интервал 
времени от t - ∆t/2 до t + ∆t/2.  

Средний ресурс Тр – это математическое ожидание ресурса.

Гамма-процентный ресурс Тγ % – это наработка, в течение которой объект 

не достигнет предельного состояния с заданной вероятностью γ, выраженной в 
процентах. 

Начальный ресурс Трн определяется как суммарная наработка объекта, при 

достижении которой применение по назначению должно быть прекращено.

Средний срок службы Тсл – это математическое ожидание срока службы.
Гамма-процентный срок службы  Тсл % характеризуется календарной 

продолжительностью от начала эксплуатации объекта, в течение которой он не 
достигнет предельного состояния с заданной вероятностью γ, выраженной в 
процентах.

Назначенный срок службы Тсл.н – это календарная продолжительность 

эксплуатации объекта, при достижении которой применение по назначению 
должно быть прекращено.

Вероятностью восстановления называется вероятность того, что время 

восстановления работоспособного состояния объекта не превысит заданного:

𝑃в(𝑡) = 𝑃{𝜃 < 𝑡}, 0 ≤ 𝑡.
(1.17)

Функция Pв(t) представляет собой интегральную функцию распределения 

случайной величины θ. Вероятность не восстановления на заданном интервале 
t, то есть вероятность того, что θ > t, равна

𝑄в(𝑡) = 𝑃{𝑡 ≤ 𝜃} = 1 − 𝑃в(𝑡).
(1.18)

Плотность вероятности момента восстановления равна

𝑓в(𝑡) =

𝑑𝑃в(𝑡)

𝑑𝑡
, 𝑡 ≥ 0.
(1.19)

По аналогии со средней наработкой до отказа момент первого порядка 

m1(θ) 
(математическое 
ожидание) 
t
восстановления 
работоспособного 

состояния объекта называется средним временем восстановления:

𝑇в = ∫
𝑄в(

∞
0
𝑡)𝑑𝑡 = ∫ [1 − 𝑃в(𝑡)]𝑑𝑡.

∞
0
(1.20)

Статистически среднее время восстановления равно

Тв =

1

𝑛 ∑
𝑇в𝑖,
𝑛
𝑖=1
(1.21)

где Тв – время обнаружения и устранения i-го отказа объекта.

Важным 
показателем 
ремонтопригодности 
объекта 
является

интенсивность восстановления μ(t), которая, следуя общей методологии, 
аналогична показателю безотказности – интенсивности отказов.

Средний срок сохраняемости – это математическое ожидание срока 

сохраняемости, а
гамма-процентный срок сохраняемости
–
это срок 

сохраняемости, достигаемый объектом с заданной вероятностью γ, выраженной 
в процентах.

1.2 Комплексные показатели надежности

Коэффициент готовности – это вероятность того, что объект окажется в 

работоспособном состоянии 
в 
произвольный 
момент 
времени, 
кроме 

планируемых периодов, в течение которых применение объекта по назначению 
не предусматривается:

𝐾г =

Т0

Т0+Тв.
(1.22)

Коэффициент оперативной готовности определяется как вероятность 

того, что объект окажется в работоспособном состоянии в произвольный 
момент времени, кроме планируемых периодов, в течение которых применение 
объекта по назначению не предусматривается и, начиная с этого момента, будет 
работать безотказно в течение заданного интервала времени tог.

Ког = КгР(𝑡ог),
(1.23)

где P(t) – вероятность безотказной работы за время, с момента которого  
возникает необходимость применения объекта по назначению, до момента 
времени, когда применение объекта по назначению прекращается.

Коэффициент 
оперативной 
готовности 
характеризует 
надежность 

объектов, необходимость применения которых возникает в произвольный 
момент времени, после которого требуется определенная безотказная работа. 
До этого момента времени такие объекты могут находиться как в режиме 
дежурства (при полных или облегченных нагрузках, но без выполнения 
заданных рабочих функций), так и в режиме применения – для выполнения 
других рабочих функций (задач, работ и т.д.). В обоих режимах возможно 
возникновение отказов и восстановление работоспособности объекта.

Иногда пользуются коэффициентом простоя, равным

Кп = 1 − Кг =

Тв

Т0+Тв.
(1.24)

Коэффициент 
технического 
использования
–
это 
отношение 

математического ожидания интервалов времени пребывания объекта в 
состоянии простоя, обусловленных техническим обслуживанием и ремонтом, за 
тот же период эксплуатации

Кти =

𝑡̅𝑝

𝑡̅𝑝+𝑡̅то+𝑡̅рем,
(1.25)

где 𝑡𝑝̅
– математическое ожидание наработки восстанавливаемого  объекта;

𝑡то
̅̅̅̅ – математическое ожидание интервалов времени простоя при техническом 
обслуживании; 𝑡рем
̅̅̅̅̅
– математическое ожидание времени, затрачиваемого на 

плановые и неплановые ремонты.

Коэффициент планируемого применения представляет собой долю периода 

эксплуатации, в течение которой объект не должен находиться на плановом 
техническом обслуживании и ремонте, то есть это отношение разности 
заданной продолжительности эксплуатации tэ и математического ожидания 
суммарной продолжительности плановых технических обслуживаний    𝑡п то
̅̅̅̅̅ и 

ремонтов   𝑡п рем
̅̅̅̅̅̅̅ за тот же период эксплуатации к значению этого периода

Кпп =

𝑡э+𝑡̅пто+𝑡̅п рем

𝑡э
.
(1.26)

Коэффициент сохранения эффективности – это отношение значения 

показателя эффективности за определенную продолжительность эксплуатации
Э к номинальному значению этого показателя Э0, вычисленному при условии, 
что отказы объекта в течение того же периода эксплуатации не возникают. Этот 

коэффициент характеризует степень влияния отказов элементов объекта на 
эффективность его применения по назначению

Кэф =

Э

Э0.
(1.27)

1.3 Законы распределения  СВ при анализе надежности РЭС

В теории надежности наибольшее распространение для дискретных 

случайных 
величин 
получили 
биномиальный 
закон
распределения 
и 

распределение 
Пуассона, 
а 
для 
непрерывных 
случайных 
величин 
–

экспоненциальный и нормальный законы распределения, закон Вейбулла, 
гамма-распределение и распределение Рэлея.

1.3.1 Биноминальный закон распределения 

Биномиальный закон распределения характеризует вероятность появления 

события v в m независимых опытах. Если вероятность появления события v в 
одном опыте равна р (соответственно вероятность его непоявления q = 1 - p), а 
число независимых испытаний равно m, то вероятность появления n раз 
события v в серии из m опытов можно представить следующим выражением:

𝑃𝑚

𝑛 = 𝐶𝑚

𝑛𝑝𝑛(1 − 𝑝)𝑚−𝑛.
(1.28)

Число сочетаний m по n равно

𝐶𝑚

𝑛 =

𝑚!

𝑛!(𝑚−𝑛)!.
(1.29)

При этом  С𝑚

𝑛 – целое положительное число. Очевидно, что вероятности p

являются членами разложения по биному Ньютона. 

Основные характеристики биномиального распределения следующие:

-
математическое ожидание М(v) = рn;

-
дисперсия σ2(v) = M(v)q;

-
среднеквадратическое отклонение 

𝜎(𝜈) = √𝑀(𝜈)𝑞.
(1.30)

Биномиальный 
закон 
распределения 
применяется 
обычно 
при 

статистическом контроле качества, то есть когда очень мало сведений о 
поведении изделий, а их необходимо разделить на годные и бракованные.

1.3.2 Распределение Пуассона 

Распределение Пуассона используется в тех случаях, когда в некотором 

интервале времени (0, t) случайное событие v появляется с малой вероятностью
р. При этом события v, следующие друг за другом, образуют поток. Если поток 
событий v
является простейшим потоком, то распределение Пуассона 

описывается выражением 

𝑃𝑚 =

𝐴𝑚

𝑚! 𝑒−𝐴,
(1.31)

где Рт – вероятность появления т событий v в заданном интервале t; А –
математическое ожидание (среднее число) событий в интервале времени t.

Среднее число отказов изделия в заданном интервале времени t в теории 

надежности принято называть показателем надежности.