Аппроксимация кусочно-линейных и обобщенных функций

Москва
ИНФРА-М
2024

АППРОКСИМАЦИЯ 
КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫХ 
И ОБОБЩЕННЫХ 
ФУНКЦИЙ

С.В. АЛЮКОВ

МОНОГРАФИЯ

УДК 517.982.4(075.4)
ББК 22.162.24
 
А59

Алюков С.В.
А59  
Аппроксимация кусочно-линейных и обобщенных функций : монография / 
С.В. Алюков. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 149 с. — (Научная мысль). — 
DOI 10.12737/2104876.

ISBN 978-5-16-019295-6 (print)
ISBN 978-5-16-111986-0 (online)
Монография посвящена кусочно-линейным и обобщенным функциям. Они широко 
применяются в самых различных областях исследований: в теории передачи 
и преобразования сигналов, квантовой теории поля, теории управления, задачах нелинейной 
динамики, строительной механике, теории полупроводников, экономических 
приложениях, медицине, описании импульсных воздействий и во многих других. 
При создании математических моделей в ряде случаев требуется провести аппроксимацию 
этих функций с помощью аналитических выражений, но не в форме линейных 
комбинаций, как в известных методах, а в виде вложений, композиций, с применением 
рекурсивных последовательностей. 
Рассмотренные методы лишены недостатков рядов Фурье и имеют преимущества 
по сравнению с другими методами аппроксимации. Разработанные методы аппроксимации 
помогают понять смысл и содержание обобщенных функций и их производных, 
способствуют осознанному применению этих функций в задачах математического 
моделирования. Эти методы могут найти применение в самом широком диапазоне 
прикладных исследований, от медицины до квантовой электроники. Теоретический 
материал иллюстрируется большим количеством практических примеров из самых 
различных прикладных областей. Приводятся основы разработанной макроэкономической 
теории с импульсными, шоковыми, скачкообразными характеристиками 
и другими видами быстроменяющихся процессов. 
Для математиков, студентов и преподавателей, специалистов, работающих в прикладных 
областях исследований. 

УДК 517.982.4(075.4)
ББК 22.162.24

Р е ц е н з е н т:
Ушаков А.Л., кандидат физико-математических наук, доцент, сотрудник кафедры 
математического и компьютерного моделирования Южно-Уральского го-
сударственого университета (национального исследовательского университета)

ISBN 978-5-16-019295-6 (print)
ISBN 978-5-16-111986-0 (online)
© Алюков С.В., 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .........................................................................................................................5

Глава 1. Основные положения и методы теории аппроксимации ...................8
1.1. Основная идея аппроксимации исходной функции. Базовые понятия ............8
1.2. Принцип сжимающих отображений ..................................................................13
1.3. Теоремы Вейерштрасса о сходимости последовательности 
аппроксимирующих функций .............................................................................15
1.4. Аппроксимация алгебраическими многочленами ............................................18
1.5. Аппроксимация кусочно-линейных функций рядами Фурье .........................21
1.6. Аппроксимация функций с помощью сплайнов ..............................................25
1.7. Метод наименьших квадратов. Линейная регрессия .......................................29
1.8. Интерполяция Эрмита .........................................................................................31
1.9. Функции Лебега и константа Лебега в полиномиальной интерполяции ......32

Глава 2. Новые методы аппроксимации кусочно-линейных 
и обобщенных функций ............................................................................................35
2.1. Недостатки аппроксимации кусочно-линейных функций рядами Фурье .....35
2.2. Описание новых методов аппроксимации кусочно-линейных функций 
и их сходимость ....................................................................................................43
2.3. Погрешность аппроксимации .............................................................................47
2.4. Обобщенные функции и их аппроксимация 
последовательностью рекурсивных функций ...................................................52
2.5. Аппроксимация производных обобщенных функций. 
Сравнение методов аппроксимации ...................................................................56
2.6. Аппроксимация функций в скачкообразных процессах 
при резком изменении состояния объекта исследования ................................60
2.6.1. Оператор перехода .....................................................................................61
2.6.2. Парусность ..................................................................................................63
2.6.3. Вольт-амперные характеристики туннельных диодов ...........................65
2.6.4. Прямоугольный импульс и его искажение ..............................................66
2.6.5. «Идеальный» прямоугольный импульс ...................................................67
2.6.6. Прямоугольный импульс с выбросами ....................................................68
2.6.7. Прямоугольный импульс после интегрирующей цепочки ....................69
2.6.8. Прямоугольный импульс после дифференцирующей цепочки ............69

Глава 3. Практическое применение и примеры использования 
разработанных методов аппроксимации ..............................................................71
3.1. Примеры аппроксимации ступенчатых и импульсных функций ...................71
3.2. Примеры аппроксимации кусочно-линейных функций общего .....................76
3.3. Применение новых методов аппроксимации в задачах строительной 
механики ................................................................................................................80
3.4. Применение новых приближенных методов для моделирования 
диффузионных процессов в полупроводниковых материалах .......................84

3.5. Примеры практического применения методов аппроксимации 
в различных областях исследований .................................................................88

Глава 4. Численная проверка предложенных методов аппроксимации .......97
4.1. Численная проверка на примере динамики инерционных бесступенчатых 
передач...................................................................................................................97
4.2. Численный сравнительный анализ методов аппроксимации ступенчатых 
функций на примере динамики механизма свободного хода .......................103
4.3. Численная проверка предложенных методов аппроксимации ступенчатых 
функций на примере нелинейной характеристики адаптивной подвески 
автомобиля ..........................................................................................................108

Глава 5. Основы новой макроэкономической теории с импульсными 
и скачкообразными характеристиками ..............................................................111
5.1. Основные виды импульсных и скачкообразных характеристик ..................112
5.2. Система макроэкономических показателей ....................................................118
5.3. Подходы к методам прогнозирования макроэкономических событий ........119
5.3.1. Система контрольных правил .................................................................119
5.3.2. Прогнозирование по отдельным макроэкономическим 
показателям ...............................................................................................120
5.3.3. Прогнозирование по совокупности макроэкономических 
показателей ................................................................................................123
Выводы по главе ........................................................................................................127

Заключение ...............................................................................................................129

Приложения ..............................................................................................................131
Приложение 1. Аппроксимация функции Хевисайда, 5 – функции 
и ее производных ............................................................................131
Приложение 2. Пример компьютерной программы для построения зубчатого 
профиля с помощью предложенной аппроксимирующей 
процедуры ........................................................................................133
Приложение 3. Пример компьютерной программы для численной проверки 
предложенных методов аппроксимации ступенчатых функций 
на основе динамики инерционной бесступенчатой передачи ...134
Приложение 4. Пример компьютерной программы для численной проверки 
методов аппроксимации на основе динамики инерционной 
бесступенчатой передачи без механизмов свободного хода .....137
Приложение 5. Пример компьютерной программы для численного сравнения 
методов аппроксимации ступенчатых функций на основе 
динамики релейного механизма свободного хода ......................139
Приложение 6. Численная проверка методов аппроксимации на примере 
исследования характеристики жесткости подвески 
автомобиля .......................................................................................141

Библиографический список ...................................................................................142

-[1-13]. . 

-




14-

20]. -
---

---21] 

--


[22]

-









 

 

 

 

 

[23-26]
 


-
-
. 

----

. 

. 

. 


. 






.   

. 


.  


.  

. 

. 

4. --

. 







: 

1. ; 

2. );  

3. ;  

4. ; 

5. ;  

6. ();  

7. ;  

8. . 

: 

1. = 0; 

2. ; 

3. . 






. 



= 
-

-
[0,1], 

: 

, 
23]. 

 


)(



. 


. 









= R,