Построение развёрток кривых поверхностей, рассечённых проецирующей плоскостью

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 
_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.Н. МУРАВЬЕВ, А.И. ТАРАСОВА, Н.А. ЧВАНОВА 

 
 
 

 

 
 

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,  

РАССЕЧЁННЫХ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ 

 
 
 
 

 
 

Учебное пособие 

по дисциплине  

«Инженерная компьютерная графика» 

 
 

 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2023 

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ  

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА» 
_____________________________________________________________ 

Кафедра машиноведения, проектирования,  

стандартизации и сертификации 

 

С.Н. МУРАВЬЕВ, А.И. ТАРАСОВА, Н.А. ЧВАНОВА 

 

 
 
 
 

 

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,  

РАССЕЧЁННЫХ ПРОЕЦИРУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ 

 

 
 
 
 

 

Учебное пособие 

 

для обучающихся АВТ, ИТТСУ, ИУЦТ 

 
 

 
 
 
 

 
 

МОСКВА – 2023 

УДК 744 
П 63 
 

 
          Муравьев С.Н., А.И. Тарасова, Чванова Н.А. Построение развёрток 
кривых поверхностей, рассечённых проецирующей плоскостью: 
Учебное пособие по дисциплине «Инженерная компьютерная графика». – 
М.: РУТ (МИИТ), 2023. –  54 с.: ил. 

 
Настоящее учебное пособие предназначено в помощь обучаю-

щимся при решении задач на построение сечения кривых поверхностей 
проецирующей плоскостью и определение точек пересечения 
кривых поверхностей с прямой. 

Пособие поможет обучающимся самостоятельно выполнить рас-

чётно-графическую работу по теме «Кривые поверхности». В примерах, 
приведённых в пособии, обучающихся знакомят со способами 
решения задач на тему «Пересечение кривых поверхностей» и построения 
развёрток кривых поверхностей на ортогональном чертеже. 

Издание предназначено для обучающихся АВТ, ИТТСУ, ИУЦТ. 
Ил. 25, табл. 3, библиогр. – 4 назв. 

 
 
РЕЦЕНЗЕНТЫ:  
 
доцент кафедры «Теория вероятностей и прикладная математика» факультета «
Кибернетика и информационная безопасность» МТУСИ, 
канд. физ.-мат. наук Скородумова Е.А.;  
 
заведующий 
кафедрой 
«Управление 
и 
защита 
информации» 

РУТ (МИИТ), д-р техн. наук Баранов Л.А. 
 
 
 
                                                                                                                                    

                                                           ©   РУТ (МИИТ), 2023 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

 

                                                                                   Стр. 

 

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………...    4  

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 
     ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ ………………..  5 

1.1. Основные понятия образования поверхностей вращения .. 5 
1.2. Позиционные задачи. Понятия и определения ………….…  6 

2.  ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ С ПЛОСКОСТЬЮ ……..  12 

2.1. Построение линии пересечения поверхности 

с плоскостью частного положения ……………………........ 12 

2.2. Плоские сечения простейших геометрических фигур …..  15 

2.2.1. Плоские сечения цилиндрической поверхности ……  15 
2.2.2. Плоские сечения конической поверхности ………….. 16 

3.  ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЁРТОК ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И  

КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ ……………………………  17 
3.1. Способ нормального сечения ……………………………….  17 

3.1.1. Развёртка гранной поверхности ………………………  17 
3.1.2. Развёртка цилиндрической поверхности ……………  19 

3.2. Способ раскатки ………………………………………………  21 

3.2.1. Развёртка гранной поверхности ………………………  21 
3.2.2. Развёртка цилиндрической поверхности …………….  22 

3.3. Способ треугольников (триангуляция) ……………………. 23 

3.3.1. Развёртка гранной поверхности ………………………. 23 
3.3.2. Развёртка боковой поверхности прямого кругового  
          конуса ……………………………………………………..  25 
3.3.3. Развёртка боковой поверхности эллиптического  
          конуса ……………………………………………………..  26 

4. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ ……………………………………….  28 
5. ТРЕБОВАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ К ОФОРМЛЕНИЮ 

                  РАБОТЫ ……………………………………………………………. 33 

6.  ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ……….…………………………………  35    

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………..……………  53 

 

 

ВВЕДЕНИЕ 

 

Настоящее учебно-методическое пособие предназначено в по-

мощь обучающимся для выполнения расчётно-графических работ на 
тему «Пересечение кривых поверхностей с проецирующей плоскостью 
и развёртка поверхности» и «Пересечение кривых поверхностей с 
прямой» дисциплины «Инженерная и компьютерная графика» (далее – 
Работа). 

Работу выполняют на основе теоретических положений, изло-

женных в разделе «Кривые поверхности» курса «Начертательная геометрия». 


Пособие составлено в соответствии с требованиями федераль-

ных государственных образовательных стандартов высшего образования (
далее – ФГОС ВО), которые, в соответствии с Федеральным законом 
об образовании в Российской Федерации от 29.12.2012 № 273–
Ф3, являются обязательными при реализации освоения основных образовательных 
программ по направлениям подготовки (специальностям), 
предусматривающих формирование у обучающихся умений и 
навыков владения графическими приёмами решения задач на чертеже, 
в том числе с применением пакетов и средств прикладных графических 
технологий. 

Дисциплина «Инженерная компьютерная графика» предполагает 

развитие у обучающихся навыков работы с конструкторской документацией 
с применением систем автоматизированного проектирования. 
Такие системы реализуют информационные технологии при проектировании 
и ремонте узлов подвижного состава. Эта дисциплина состоит 
из двух структурно и методически согласованных разделов: «Инженерная 
графика» и «Компьютерная графика». Она является самостоятельной 
учебной дисциплиной и изучается после освоения обучающимися 
раздела «Начертательная геометрия».  

 
 
 
 
 
 

1. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ 

ПОВЕРХНОСТЕЙ КАРКАСНЫМ МЕТОДОМ 

 

1.1. Основные понятия образования поверхностей вращения 

 

Многие изделия представляют собой конструкции из пересе-

кающихся простейших (цилиндр, конус, шар и тор) геометрических 
тел.  

Вращая кривую m (рисунок 1.1, а), лежащую в плоскости α, во-

круг прямой i – оси вращения, получаем поверхность вращения Ф. 
Любая точка, например A, производящей линии m, вращаясь вокруг 
оси i, образует окружность – параллель поверхности. Плоскость параллели 
перпендикулярна оси вращения i. Параллель минимального 
радиуса Rmin – горло поверхности, параллель максимального радиуса 
Rmax – экватор поверхности. 

 


Ðèñóíîê 1.1

ð - ïàðàëëåëü
i
à)

A

m

Ô

Rmin

á)
â)

B

C

A

D

A

C

B

 

 
Множество линий поверхности, заполняющих её так, что через 

каждую точку поверхности проходит одна линия этого множества, называют 
каркасом поверхности. Если это множество непрерывно, то 
каркас – непрерывный, в других случаях – дискретный, то есть содержащий 
конечное число линий каркаса. На поверхности вращения 

можно построить множество параллелей, образующих её непрерывный 
каркас, заполняющий всю поверхность.  

Кривая m, полученная при пересечении поверхности вращения 

Ф с осевой плоскостью α – меридиан поверхности. Если плоскость 
меридиана параллельна плоскости проекций, то меридиан называют 
главным. Меридианы равны между собой и симметричны относительно 
оси вращения i поверхности. На поверхности вращения можно построить 
множество меридианов, заполняющих её и образующих непрерывный 
каркас поверхности. Два семейства линий поверхности – 
каркас параллелей и каркас меридианов – сеть поверхности. 

Вращая прямоугольник ABCD вокруг стороны CD (рисунок 1.1, 

б), получаем тело – прямой круговой цилиндр. Боковая поверхность 
цилиндра образована вращением стороны AB – образующей цилиндра 
вокруг стороны CD.  

Вращая треугольник ABC вокруг вертикального катета BC (ри-

сунок 1.1, в) получаем тело – прямой круговой конус. Боковая поверхность 
конуса образована вращением гипотенузы AB вокруг вертикального 
катета BC. Отрезок AB называют производящим (образующим) 
элементом поверхности. 

 

1.2. Позиционные задачи. Понятия и определения 

 
 

Задачи, ответы на которые получены путём графических по-

строений, относят к одному из двух классов: 

 1-ый класс – позиционные задачи; 
 2-ой класс – метрические задачи. 

К позиционным относят задачи на принадлежность элемента 

(точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности), задачи 
на определение общих элементов различных геометрических фигур 
(например, определение точек пересечения прямой линии с поверхностью 
или построение линии пересечения поверхности плоскостью). 

Метрические задачи – задачи на определение расстояний и на-

туральных величин углов геометрических фигур. 

 
 
 

S2

11

S1

A2

A1

Ðèñóíîê 1.3

12

Решение позиционных задач, в конечном счёте, сводят к по-

строению точки, принадлежащей: 

- линии – (∙)A  l; 
- поверхности 
– 

(∙)A  Ф. 

При решении по-

зиционных задач на поверхности 

каркасным 

методом 
используют 

окружности и прямые – 
простейшие линии каркаса, 
которые можно 
построить графически 
точно. Построение двух 
таких семейств линий 
каркаса конической поверхности 
приведено на 
рисунке 1.2. 
 

Задача 1. На чертеже поверхности по од-

ной проекции точки, принадлежащей поверхности, 
построить её вторую проекцию. 

Условие, необходимое для решения за-

дачи: любая точка принадлежит поверхности, 
если она принадлежит какой-либо простой линии 
каркаса заданной поверхности. При решении 
задачи на чертеже поверхности необходимо 
соблюдать эпюрный признак, а именно: проекции 
точки должны принадлежать одноимённым 
проекциям линий каркаса поверхности. 

При определении горизонтальной про-

екции A1 точки A, принадлежащей конической 
поверхности (рисунок 1.3), используют линию 
каркаса – прямую, проходящую через фронтальную 
проекцию S2 точки S – вершину конической 
поверхности и фронтальную проекцию 

S1

11

S2

22 32

42

52 62
72

n1

m1

S2

31

S1

12

51

Рисунок 1.2

11

21

41

61

71

n2

m2

12

i2



n1
i1 

O2 (A2)

(A1)

12

n2

1'2

11

Ðèñóíîê 1.4

A2 точки A. Построив горизонтальную проекцию 
S111 линии каркаса S1, по линии проекционной 
связи определяют недостающую 
горизонтальную проекцию A1 точки A, принадлежащей 
конической поверхности и расположенной 
на видимой части поверхности. 

При решении задачи 1 с использова-

нием линии каркаса – окружности n (рисунок 
1.4), через заданную фронтальную проекцию 
A2 точки A, принадлежащей поверхности 
тора, проводят фронтальную проекцию 
n2 линии каркаса – окружности n, принадлежащей 
заданной поверхности. Её горизонтальной 
проекцией будет окружность 
n1 с центром, совпадающим с горизонтальной 
проекцией i1 оси i, и радиусом, равным 

расстоянию от i1 до 11. На плоскость П2 окружность n спроецируется в 
горизонтальный отрезок n2 с концевыми точками 12 и 
21  на фронталь-

ном очерке тора.  

Для нахождения горизонталь=-

ной проекции A1 точки A из проекции 
A2 проводят линию связи перпендикулярно 
оси x и отмечают точку 
её пересечения с окружностью n1. 
Заданная проекция A2 невидимая, 
поэтому на плоскости П1 горизонтальная 
проекция A1 находится за 
плоскостью главного меридиана – 
плоскостью γ. 

Задача 2. На чертеже поверх-

ности по заданной фронтальной проекции 
k2 линии k построить недостающую 
горизонтальную проекцию k1 
линии k, принадлежащей поверхности 
тора (рисунок 1.5). 

 
Ðèñóíîê 1.5

i2



n1
i1

n2

n2

12 (1'2)

51

n2

52

62

1n2

2

3

4

22 (2'2)

32 (3'2)

42 (4'2)

k2

4'1

41

3'1

31

2'1
1'1

61

11
21

4n1

n1

3
2

n1

1

k1

Последовательность решения: 
- строят фронтальные и горизонтальные проекции линий каркаса 

окружности (определение радиусов окружностей параллелей – см. рисунок 
1.4 задачи 1); 

- отмечают точки заданной фронтальной проекции k2 кривой k с 

одноимёнными фронтальными проекциями линий каркаса n1, n2, n3, n4; 

- построив горизонтальные проекции 11, 21, 31, … точек пересе-

чения кривой k2 с одноимёнными фронтальными проекциями линий 
каркаса и последовательно соединяя их лекальной кривой, получим 
искомую недостающую горизонтальную проекцию k1 кривой k, принадлежащей 
поверхности тора. 

Задача 3. Пересечение поверхности с плоскостью. 
При пересечении поверхности или какой-либо геометрической 

фигуры с плоскостью получается плоская фигура, называемая сечением 
или линией пересечения. 

Если заданная плоскость проецирующая, то решение задачи 

сводят к построениям, описанным в задачах 1 и 2, так как одна из проекций 
искомой линии пересечения совпадает со следом заданной 
плоскости. 

Если заданная плоскость общего положения, то её целесообраз-

но преобразовать в плоскость частного положения, используя один из 
методов преобразования эпюра, а затем решать поставленную задачу, 
применяя каркасный метод решения позиционных задач на поверхности. 


Линия k пересечения поверх-

ности Ф с плоскостью α одновременно 
принадлежит поверхности 
и секущей плоскости (рисунок 
1.6). Эта линия – плоская кривая. 

Способ построения линии 

пересечения кривой поверхности 
с плоскостью базируется на определении 
точек пересечения секущей 
плоскости с простейшими 
линиями каркаса (прямыми или 
окружностями) поверхности. 
Рисунок 1.6



Ф

k

N

A

C

D

B

n n

n2

n1

n3

n4

Для построения линии k пересечения поверхности Ф с плоско-

стью α (см. рисунок 1.6) использованы простейшие линии каркаса n1, 
n2, n3,  …, nn поверхности Ф, которые пересекаются с заданной плоскостью 
α в точках A, B, C, D, …, N. Найденные точки пересечения последовательно 
соединяют плавной кривой линией k, являющейся искомой 
линией пересечения кривой поверхности Ф с заданной плоскостью 
α. 

Примечание. Построение линии пересечения поверхности с 

плоскостью частного положения подробно описано в п. 2.1. 

Задача 4. Пересечение линии с поверхностью (рисунок 1.7). 
В данной задаче требуется определить общие элементы (точку 

или точки) различных поверхностей или геометрических фигур (пирамид, 
призм и т.д.) с прямой линией. 

На чертеже поверхности Ф тора и прямой l (см. рисунок 1.7, б) 

показано построение точек их пересечения. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Последовательность решения: 
- через 
прямую 
l 
проводят 
вспомогательную 
плоскость-

посредник β. В данном примере плоскость β – фронтально-
проецирующая. На эпюре фронтальный след β2 совпадает с фронтальной 
проекцией l2 прямой l (β2 ≡ l2);  

á)     Íà ýïþðå

i2



P1

i1

(N2)

O2

A1

n1

A2

B2

1
P2

12 (1'2)

O1 i1

n2

M1

1'1

11

N1

B1

l1
k1

2 l2

k2
R

M2

R

1