Расчет плоских ферм с шарнирными узлами

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ

Кафедра «Теоретическая механика»

С.Б. КОСИЦЫН, Е.В. ЧЕФАНОВА

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ

Учебное пособие

Москва – 2022

МИНИСТЕРСТВО ТРАНСПОРТА 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ 

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО 

ОБРАЗОВАНИЯ

«РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТА»

ИНСТИТУТ ПУТИ, СТРОИТЕЛЬСТВА И СООРУЖЕНИЙ

Кафедра «Теоретическая механика»

С.Б. КОСИЦЫН, Е.В. ЧЕФАНОВА

РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ
С ШАРНИРНЫМИ УЗЛАМИ

Учебное пособие 

для студентов специальности

23.05.06 «Строительство железных дорог,

мостов и транспортных тоннелей»

и направления 08.03.01 «Строительство»

Москва – 2022

УДК 624.071.3
К - 71

Косицын С.Б., Чефанова Е.В. Расчет плоских ферм с шарнирными 
узлами: Учебное пособие. - М.: РУТ (МИИТ), 2022.  – 35 с.

Учебное пособие предназначено для студентов 23.05.06 

«Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей» 
и направления 08.03.01 «Строительство», выполняющих расчетно-
графическую работу «Определение реакций опор и сил в 
стержнях плоской фермы» в курсе «Теоретическая механика». В 
учебном пособии подробно рассмотрены традиционные способы 
расчета статически определимых плоских ферм с шарнирными узлами. 
Приведены примеры расчета плоских ферм.

Рецензенты:
доцент 
кафедры 
«Строительная 
механика» 

ФГБОУ Московский автомобильно-дорожный государственный 
технический университет (МАДИ), доцент, к.т.н. В.И. 
Иванов-Дятлов,
доцент кафедры «Строительная механика» РУТ (МИИТ), 
к.т.н., доцент М.Ю. Жаринов.

© РУТ (МИИТ), 2022

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ФЕРМАХ

1.1. Понятие о расчетной схеме фермы.
Реальные фермы, встречающиеся в практике строительства

зданий, мостовых и крановых конструкций, представляют собой 
многократно статически неопределимые системы с жесткими узлами, 
как правило пространственные. Уточненные их расчеты производят 
по пространственным расчетным моделям при помощи ЭВМ 
методами строительной механики, например, методом конечных 
элементов. Однако на начальных стадиях проектирования бывает 
целесообразно проводить вручную упрощенные расчеты таких систем 
по плоским схемам. Например, сквозное пролетное строение
железнодорожного моста (рис. 1.1) представляет собой пространственную 
стержневую систему с жесткими узлами, состоящую из 
двух плоских вертикальных ферм, соединенных между собой в 
уровнях верхнего и нижнего поясов горизонтальными связями.
Нагрузка от подвижного состава передается в узлы ферм посредством 
вспомогательных продольных и поперечных балок и разделяется 
поровну между фермами. Таким образом, при построении 
упрощенной расчетной модели можно перейти от пространственной 
системы к плоской ферме с идеально шарнирными узлами, 
нагруженной в узлах сосредоточенными силами (рис. 1.2).

В дальнейшем под фермой
будем понимать шарнирно-

стержневую систему, т. е. совокупность прямых стержней, соединенных 
между собой полными идеальными шарнирами. При 
нагружении ферм с шарнирными узлами сосредоточенными силами, 
приложенными в узлах, в стержнях ферм возникают только 
растягивающие или сжимающие продольные силы.

Рис. 1.1. Пролетное строение железнодорожного моста.

Рис. 1.2. Плоская ферма с идеально шарнирными узлами.

Введем некоторые основные определения, часто встречающи-

еся в литературе по фермам (рис. 1.3). Верхний и нижний контуры, 
ограничивающие ферму, будем называть соответственно верхним и 
нижним поясами. Остальные стержни, соединяющие узлы поясов, 
называют элементами решетки фермы. В состав решетки входят 
наклонные элементы – раскосы и вертикальные стержни – стойки
и подвески, работающие соответственно на сжатие и на растяжение. 
Расстояния между узлами верхнего или нижнего поясов называют 
панелями фермы, а характерный ее размер по вертикали – вы-

сотой. Промежуток между опорами фермы – это пролет, а длина 
консоли – вылет консоли.

Рис. 1.3. Основные обозначения элементов фермы.

1.2. Исследование геометрической неизменяемости ферм.

Рассмотрим аналитический способ исследования геометриче-

ской неизменяемости применительно к плоским фермам с шарнирными 
узлами.

Чтобы продольные усилия в стержнях плоской фермы могли 

быть определены при помощи одних только уравнений равновесия 
узлов, количество этих уравнений должно быть равно числу неизвестных 
усилий. Каждый узел плоской фермы имеет две степени 
свободы (его положение определено двумя координатами x и y), и 
для него можно составить два уравнения равновесия. Каждый 
стержень фермы снижает число степеней свободы на единицу. Поэтому 
необходимое условие геометрической неизменяемости и статической 
определимости фермы имеет вид:

2У = 𝐶 + 𝐶0,
(1.1)

где У – общее количество узлов фермы; C – число ее стержней; C0
– число опорных стержней.

Если количество степеней свободы больше, чем общее число 

стержней (включая опорные), то есть

2У > 𝐶 + 𝐶0,
(1.2)

то связей в системе не хватает, и она является геометрически изменяемой.


Если же количество уравнений равновесия меньше, чем общее 

число стержней, то есть

2У < 𝐶 + 𝐶0,
(1.3)

то связи в ферме избыточные, и она является статически неопределимой.


Следует отметить, что выполнение условия (1.1) необходимо, 

но недостаточно для однозначного вывода о геометрической неизменяемости 
и статической определимости заданной фермы. Достаточные 
условия геометрической неизменяемости фермы будут рассмотрены 
в курсе строительной механики.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ ПЛОСКИХ 

ФЕРМ НА НЕПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ.

При расчете ферм на постоянную нагрузку сначала определя-

ют опорные реакции так, как это делали в балочных системах.

Для определения усилий в стержнях ферм чаще всего исполь-

зуют способ вырезания узлов и способ сквозных сечений.

2.1. Способ вырезания узлов.

Способ вырезания узлов состоит в том, что из фермы вырезают 

узел, в котором сходится не более двух стержней, усилия в которых 
неизвестны. Так как направления усилий в вырезанном узле заранее 
не известны, показываем их растягивающими, то есть от узла 
(рис. 2.1, а). Усилия, получившие в результате расчета знак минус, 
– сжимающие и направлены к узлу. Для образовавшейся плоской 
системы сходящихся сил (рис. 2.1, а) составляют два уравнения 

равновесия:

∑ 𝐹𝑘𝑥 = 0;

𝑛

𝑘=1

∑ 𝐹𝑘𝑦 = 0,

𝑛

𝑘=1

из которых находят две неизвестные силы. Усилия, получившие в 
результате расчета знак минус, – сжимающие и направлены к узлу. 
После этого вырезают следующий аналогичный узел фермы, причем 
усилия, найденные из равновесия предыдущего узла, считаются 
известными. При нагружении фермы только узловыми силами 
усилия в начале и в конце каждого стержня согласно третьему закону 
Ньютона равны по величине и направлены в противоположные 
стороны (рис. 2.1, б).

Рис. 2.1. Положительные узловые усилия.

Способ вырезания узлов рассмотрим на примере фермы, изоб-

раженной на рис. 2.2.

Рис. 2.2. а) Ферма для расчета методом вырезания узлов.

б) Расчетная схема.

Сначала дадим оценку геометрической неизменяемости и ста-

тической определимости заданной фермы. Так ферма, изображенная 
на рис. 2.2 имеет 4 узла, 5 стержней и прикреплена тремя 
стержнями к земле, следовательно, 2Y=2·4=8; C+C0=5+3=8.

2У = 8 = 𝐶 + 𝐶0 = 8,

а)
𝐹̅=𝑃̅/2

𝑃̅

h=4
d

l=3d
l=3d

𝛼
𝛼

2

1
4
3

𝐹̅=𝑃̅/2

𝑃̅

y

x

h=4
d

l=3d
l=3d

cos 𝛼 =

3

5

= 0,6 ; sin 𝛼 =

4

5

= 0,8

𝛼
𝛼
𝑋̅

1

𝑅̅

4
𝑌̅

1

б)

следовательно, условие (1.1) выполнено, и можно заключить, что 
данная ферма (рис. 2.2) может быть статически определимой и 
геометрически неизменяемой.

Определим реакции связей, наложенных на ферму, изобра-

женную на рис. 2.2, для чего составим три уравнения равновесия 
фермы целиком.

1)
∑ 𝐹𝑘𝑥

𝑛

𝑘=1

= 0;
2)
∑ 𝑚1(𝐹̅𝑘)

𝑛

𝑘=1

= 0;
3)
∑ 𝑚4(𝐹̅𝑘)

𝑛

𝑘=1

= 0.

Получили вторую (дополнительную) форму условий равнове-

сия. Проверим достаточное условие равновесия: ось x (рис. 2.2), на 
которую проектируются силы, не должна быть перпендикулярна
прямой, проходящей через моментные точки, то есть прямой 1 – 4.
Условие выполнено.

Записав эти уравнения

1) 𝑋1 + 𝐹 = 0;

2) 𝑅4 ∙ 6𝑑 − 𝑃 ∙ 3𝑑 − 𝐹 ∙ 4𝑑 = 0;
3) − 𝑌1 ∙ 6𝑑 + 𝑃 ∙ 3𝑑 − 𝐹 ∙ 4𝑑 = 0,

и решив их, находим величины реакций связей

𝑋1 = −𝐹 = − 𝑃

2 ;

𝑅4 = 𝑃 ∙ 3𝑑 + 𝐹 ∙ 4𝑑

6𝑑
=

𝑃 ∙ 3𝑑 + 𝑃

2 ∙ 4𝑑

6𝑑
= 5

6 𝑃;

𝑌1 = 𝑃 ∙ 3𝑑 − 𝐹 ∙ 4𝑑

6𝑑
=

𝑃 ∙ 3𝑑 − 𝑃

2 ∙ 4𝑑

6𝑑
= 𝑃

6.

Для проверки запишем уравнение

∑ 𝐹𝑘𝑦

𝑛

𝑘=1

= 0.

Подставим в него найденные реакции связей

𝑌1 + 𝑅4 − 𝑃 = 𝑃

6 + 5

6 𝑃 − 𝑃 = 0 !