Теория электрических цепей и сигналов

МИНИCTEPCTBO НАУКИ И Высшего обрАзоВАНИя  
россИЙсКоЙ ФеДерАЦИИ

ФеДерАльНое госУДАрстВеННое АВтоНоМНое  
обрАзоВАтельНое УчрежДеНИе Высшего обрАзоВАНИя
«сеВеро-КАВКАзсКИЙ ФеДерАльНыЙ УНИВерсИтет»

Л. М. Кульгина, А. Р. Закинян

ТЕОРИЯ 
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 
И СИГНАЛОВ

УЧЕбНИК

Направление подготовки 
03.03.02 – Физика

Профили подготовки: 
«Физика конденсированного состояния вещества»,
«Фундаментальная и прикладная физика»

бакалавриат

ставрополь
2022

УДК  537.87 (087.5)
ббК  31.27-01
 
К 90

Печатается по решению 
редакционно-издательского совета 
северо-Кавказского 
федерального университета

© ФгАоУ Во «северо-Кавказский 
федеральный университет», 2022

 
Кульгина Л. М., Закинян А. Р. 
К 90 
Теория электрических цепей и сигналов: учебник. – Ставрополь: 
Изд-во СКФУ, 2022. – 196 с.

Учебник разработан в соответствии с Федеральным государственным 
образовательным стандартом высшего образования по направлению 
подготовки 03.03.02. Физика. Ориентирован на формирование 
необходимого минимума специальных теоретических и практических 
знаний, которые обеспечили бы возможность понимать и анализировать 
процессы в электрических цепях.
 Предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 
03.03.02. Физика, направленностям (профилям): «Физика конденсированного 
состояния вещества», «Физика Земли и планет».

УДК 537.87 (087.5)
ББК 31.27-01

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор Ю. И. Диканский,
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Яновский

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ........................................................................................................6

Глава 1. 
Основные понятия теории электрических цепей

 
§ 1.1.  сигналы и их основные характеристики  ...............................8

 
§ 1.2.  Идеализированные элементы электрических цепей  .........13

 
§ 1.3.  Элементы электрических цепей и их уравнения  ................15

 
§ 1.4.  зависимые (управляемые) источники  ..................................19

 
§ 1.5.  Электрическая цепь и уравнение соединений  ....................21

Глава 2. 
Электрические цепи при гармоническом воздействии

 
§ 2.1.  основные понятия линейных цепей. среднее 
 
 
и действующее значение синусоидального тока  ................27

 
§ 2.2.  гармонические колебания. Изображение 
 
 
синусоидальных токов векторами и комплексными 
 
 
числами  .........................................................................................31

 
§ 2.3.  Комплексная форма уравнений элементов  .........................33

 
§ 2.4.  Цепь переменного тока с индуктивностью, 
 
 
реактивная мощность  ...............................................................36

 
§ 2.5.  Цепь переменного тока с емкостью  .......................................40

 
§ 2.6.  расчет цепи с реальной индуктивностью  ............................43
 
 
§ 2.7.  расчет активно-емкостной цепи  ............................................47

Глава 3. 
Колебательные контуры и их частотные характеристики

 
§ 3.1.  Последовательный колебательный контур ..........................52

 
§ 3.2.  резонанс напряжений  ...............................................................54

 
§ 3.3.  свободные колебания в реальном LC – контуре  ...............58

 
§ 3.4  Вынужденные колебания в параллельном 
 
 
колебательном контуре  ............................................................65

 
§ 3.5.  спектральная структура управляющих сигналов. 
 
 
Временное и спектральное описание сигналов  ..................67

- 4 -

Теория электрических цепей и сигналов

 
§ 3.6.  спектральное представление непериодических 
 
 
сигналов .........................................................................................70
 
§ 3.7.  расчет цепей при периодических несинусоидальных 
 
 
воздействиях  ...............................................................................77

Глава 4. 
Трехфазные цепи
 
§ 4.1.  основные понятия  .....................................................................81
 
§ 4.2.  четырехпроводная цепь. соединение в звезду  ..................83
 
§ 4.3.  Несимметричный режим трехфазной цепи  ........................86
 
§ 4.4.  трехпроводная цепь. соединение в треугольник  ..............89
 
§ 4.5.  Мощность трехфазной цепи  ...................................................91
 
§ 4.6.  Измерение мощности в трехфазной цепи  ...........................93

Глава 5. 
Методы анализа сложных электрических цепей
 
§ 5.1.  Применение законов Кирхгофа для расчета 
 
 
электрических цепей  .................................................................96
 
§ 5.2.  Метод контурных токов  ...........................................................98
 
§ 5.3.  Метод узлового напряжения  .................................................101
 
§ 5.4.  Метод эквивалентного генератора  ......................................107
 
§ 5.5.  Эквивалентные соединения сопротивлений 
 
 
в звезду и треугольник  ...........................................................109
 
§ 5.6.  Метод наложения  .....................................................................112

Глава 6. 
Четырехполюсники
 
§ 6.1.  четырехполюсники, их параметры  .....................................116
 
§ 6.2.  Электрические фильтры  .........................................................122
 
§ 6.3.  Электрические фильтры в источниках питания  ..............129
 
§ 6.4.  Дифференцирующие и интегрирующие цепи  ..................135

Глава 7. 
Магнитные цепи
§ 7.1. основные понятия  .............................................................................140
 
§ 7.2.  реальная катушка индуктивности  .......................................142
 
§ 7.3.  трансформаторы  ......................................................................143
 
§ 7.4. Выпрямители  ..............................................................................153

- 5 -

Оглавление

Глава 8. 
Цепи с распределенными параметрами

 
§ 8.1.  Дифференциальные уравнения однородной линии 
 
 
с распределенными параметрами, их решение. ................166

 
§ 8.2.  определение напряжения и тока в любой точке 
 
 
линии через их значения в начале линии ...........................170

 
§ 8.3.  линии без искажений. согласованная нагрузка  ..............173

 
§ 8.4.  Входное сопротивление линии без потерь  ........................176

 
§ 8.5.  стоячие, бегущие и смешанные электромагнитные 
 
 
волны  ...........................................................................................178

заключение ......................................................................................................182

глоссарий   .......................................................................................................183

литература  ......................................................................................................195

- 6 -

Теория электрических цепей и сигналов

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник по курсу «Теория электрических цепей и сигналов» 
предназначен для формирования у студентов фундаментальных 
знаний, связанных с использованием электрических явлений 
для передачи и обработки информации, а так же для создания 
массива базовых знаний в области математики и естественные 
наук, применяемых в профессиональной деятельности. Теория 
цепей изучает законы электрических цепей, их элементы и классификацию, 
частотные свойства реактивных элементов схем, 
методы расчета сложных цепей. 
 При изложении курса большое внимание уделяется расчетам 
электрических цепей. Рассматриваются линейные цепи, описываемые 
линейными дифференциальными уравнениями с постоянными 
коэффициентами, представлены методы анализ линейных 
и нелинейных устройств в частотной области. 
 Цель учебника – изучение методов исследования процессов в 
различных электрических цепях, основанных на замене сложных 
устройств упрощенными моделями, процессы в которых описываются 
линейными дифференциальными уравнениями; помощь в 
приобретении навыков в решении задач и поиска информации в 
глобальной информационной сети Интернет; обучению самостоятельной 
работе, как над индивидуальным заданием основного 
курса, так и над дополнительным материалом по изучаемым разделам 
программ; развитие способности логического мышления, 
способность применять на практике профессиональные знания 
и умения, полученные при освоении профильных физических 
дисциплин. выстраивании и реализации перспективных линий 
интеллектуального, культурного, нравственного, физического и 
профессионального саморазвития и самосовершенствования; использование 
знаний высшей математики и математической физики 
при решении практических задач.
Задачи учебника – развитие основных умений и навыков у студентов 
при изучении общих законов, овладение методами и техникой 
получения результатов для дальнейшего развития теории с 
целью проникновения в еще не изученные сферы ее приложения.

- 7 -

Предисловие

Курс читается после изучения студентами разделов общей физики: «
Электричество», «Цепи постоянного и переменного тока», 
математики: «Математический анализ», «Дифференциальные 
уравнения», «Теория функций комплексного переменного».
Данный учебник окажет помощь студентам в освоении теоретических 
основ и практических методов в расчете простых 
электрических схем и электронных устройств.
Знания, умения, и владения, приобретаемые студентами, 
обучающими по направлению подготовки 03.03.02, в результате 
освоения курса «Теория цепей» в рамках формируемых компетенций:

ПК-3: готовность применять на практике профессиональные 
знания, теории и методов физических исследований.
ПК-4: способность применять на практике профессиональные 
знания и умения, полученные при освоении профильных 
физических дисциплин
Теория электрических цепей и сигналов читается после изучения 
студентами курсов общей физики: «Электричество», 
«Цепи постоянного и переменного тока», курсов математики: 
«Математический анализ», «Дифференциальные уравнения», 
«Теория функций комплексного переменного».
Освоение данной дисциплины является необходимой основой 
для последующего изучения смежных дисциплин естественнонаучного 
и профессионального циклов дисциплин по 
выбору студента. 
Учебное пособие составлено в соответствии с Федеральным 
государственным образовательным стандартом высшего образования 
по направлению подготовки 03.03.02 Физика.

- 8 -

Теория электрических цепей и сигналов

Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Электрические 
цепи 
современных 
радиоэлектронных 
устройств разнообразны. Прежде чем рассматривать и анализировать 
основные процессы, протекающие в линейных радиоэлектронных 
цепях, кратко формулируются исходные понятия 
и определения. Для анализа режимов их работы, необходимо 
ознакомиться с общими свойствами отдельных видов электрических 
цепей, которыми они обладают независимо от того, какие 
устройства они замещают. В этой главе представлены общие 
свойства\ электрических цепей и установлены наиболее простые 
методы их расчета.

§ 1.1. Сигналы и их основные характеристики

Классификация сигналов

Информация – это совокупность сведений об объектах или 
процессах, происходящих в природе, обществе или технических 
системах. Для передачи и хранения информации используют 
различные знаки, позволяющие представить ее в некоторой форме (
слова, жесты , рисунки, математические знаки, алгоритмические 
языки и т. п.). Совокупность знаков, содержащих ту или 
иную информацию, называют сообщением.
 Передача сообщений на расстояние осуществляется с помощью 
какого-либо материального носителя (бумаги, магнитной 
ленты и т. п.) или физического процесса (звуковых или электромагнитных 
колебаний, электрического тока и т. п.). Физический 
процесс, несущий передаваемое сообщение, называют сигналом. 
В качестве сигнала может быть использован любой физический 
процесс, изменяющийся в соответствии с передаваемым сообщением. 
В ТЭЦ для передачи информации используют электриче-

- 9 -

ские сигналы. Сигнал называют электрическим, если его носителем 
является любая электрическая величина. Сообщения могут 
быть или не быть функциями времени. Сигнал всегда является 
функцией времени. Чтобы сигналы могли быть объектами теоретического 
изучения и расчетов, следует создать математическую 
модель сигнала. Математическая модель позволяет абстрагироваться 
от физической природы носителя сигнала.
 Сигналы, мгновенные значения которых можно точно предсказать 
в любой момент времени, называют детерминированными. 
Если мгновенные значения сигналов заранее неизвестны и 
могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью, меньшей 
единицы, то такие сигналы называют случайными. Строго 
говоря, детерминированные сигналы сигналами не являются, 
поскольку не несут в себе никакой информации. Для таких сигналов 
лучше использовать термин колебание. Детерминированные 
сигналы используют при испытаниях различных устройств.
При передаче сигналов приходится иметь дело не только с 
полезными случайными колебаниями – сигналами, но и с мешающими 
случайными колебаниями, которые накладываются на 
полезные сигналы и искажают их. Такие мешающие случайные 
колебания называют помехами или шумами.
 Все сигналы можно поделить на четыре группы:
• 
аналоговые (непрерывные, континуальные) сигналы 
(рис. 1.1, а), являющиеся непрерывной функцией времени, 
повторяющей закон изменения соответствующей физической 
величины;
• 
дискретные сигналы (рис. 1.1, б) – сигналы непрерывные 
по уровню и дискретные по времени. Совокупность 
моментов времени t1, t2, t3, … образует дискретное время. 
Интервал времени Δt между соседними моментами отсчета 
времени называют шагом дискретизации. Обычно 
Δt = const;
• 
квантованные сигналы (рис. 1.1, в) – сигналы дискретные 
по уровню и непрерывные по времени. Уровни s1, s2,…– 
уровни квантования. Поскольку число состояний в этом 
случае счетно, то их можно пронумеровать и представить 

Глава 1

- 10 -

Теория электрических цепей и сигналов

в виде чисел. Разность соседних уровней квантования Δs 
называют шагом квантования. Изменение уровня сигнала 
возможно в произвольный момент времени; 
• 
цифровые сигналы (рис. 1.1, г) – сигналы дискретные по 
времени и квантованные по уровню. Такие сигналы полностью 
описываются последовательностью чисел.

Рис. 1.1

Электрической цепью называют совокупность связанных 
между собой элементов, образующих путь для протекания электрического 
тока, электромагнитные процессы в которой описываются 
с помощью понятий напряжения или тока. Электрическую 
цепь, например, представляют узлы и детали компьютера, 
телевизора, по которым протекает ток от сети питания. 
Составными частями электрической цепи является источники 
электрической энергии и приемники (нагрузки).
Источники электрической энергии делятся на первичные и 
вторичные.
К первичным источникам электрической энергии относятся 
устройства, в которых происходит преобразование химической, 
тепловой, механической и других видов энергии в электрическую (
гальванические элементы, аккумуляторы, солнечные батареи, 
гидрогенераторы и т. п.).
К вторичным источникам энергии относятся блоки питания, 
выпрямители, стабилизаторы, приемные антенны. В этих 
источниках осуществляются различные преобразования элек-

- 11 -

трических токов и напряжений. Например, переменный ток преобразуется 
в постоянный или наоборот, изменяется величина 
напряжений и т. п.
Приемники электрической энергии – это элементы цепи,  
в которых происходит преобразование электрической энергии в 
другие виды энергии, а так же ее запасание (двигатели, лампы, 
транзисторы, резисторы, конденсаторы, индуктивности, передающие 
антенны и т. д.)
Для подключения к участкам цепи каждый элемент имеет 
выводы: зажимы или полюсы, от числа которых различают 
двухполюсные и многополюсные элементы.
Ток и напряжение полностью характеризуют состояние электрической 
цепи. В радиоэлектронных устройствах и в компьютерах 
ток и напряжение выполняют функцию передачи информации.

Рис. 1.2
Электрическим током называют направленное движение заряженных 
частиц в цепи. Ток характеризуется величиной и направлением. 
Ток в электрических цепях обозначается латинскими 
буквами I  или i (рис. 1.2). Если q(t) – заряд, прошедший 
через заданное сечение элемента цепи к моменту времени t , то 
величина тока рассчитывается по формуле: 

 
dq
i
dt
=
 
(1.1)

Ток в приведенной формуле (1.1) измеряется в амперах 
(A), заряд в кулонах, а время в секундах. Часто используются 
меньшие величины тока: миллиамперы, микроамперы, нано-
амперы и пикоамперы: 1мА = 10-3 А, 1мкА=10-6 А, 1нА=10-9 А,  

Глава 1

- 12 -

Теория электрических цепей и сигналов

1пА=10-12 А. Например, материнские платы персональных компьютеров 
потребляют от источника питания постоянный ток, 
порядка 5 ампер, а микросхемы несколько миллиампер.
Направление тока i(t) задается произвольно стрелкой. Если 
после расчетов в заданный момент времени получено положительное 
значение тока, то направление тока соответствует указанному 
на схеме. Если отрицательное – то в действительности 
ток протекает в противоположном направлении (относительно 
указанного на схеме).
Электрическое напряжение рассматривается как физическая 
причина, обусловливающая возникновение тока в цепи. Напряжение 
определяется как отношение энергии dW , необходимой 
для перемещения положительного заряда dq  из одной точки 
цепи в другую, к величине этого заряда 

 
dW
u
dq
=
 
(1.2)

Напряжение может быть как положительным, так и отрицательным. 
Направление напряжения указывается стрелкой или 
знаками + и -.
Перед расчетом направление неизвестного напряжения выбирается 
произвольно. Если величина напряжения после расчетов 
получилась положительной, то направление указано правильно. 
В противном случае напряжение противоположно выбранному 
направлению. 
Напряжение измеряется в вольтах (В). В электрических цепях 
низкие напряжения измеряются в милливольтах и микровольтах, 
высокие – в киловольтах: 1мВ=

3
10− В, 1мкВ=

6
10− В 
и 1кВ=1000В. Например, для работы цветного кинескопа монитора 
компьютера требуется напряжение питания не менее 20 киловольт, 
а для питания современных микропроцессоров требуется 
напряжение 3 вольта. 
Ток и напряжение в радиоэлектронных устройствах и компьютерах 
используются для передачи информации, поэтому их 
называют сигналами.

- 13 -

Кроме основных характеристик состояния цепи – тока и напряжения, 
на практике часто требуется знать энергию и мощность 
электрического тока. Энергия и мощность используются в 
радиоэлектронике для оценки энергетических параметров цепи. 
Из формул (1.1) и (1.2) следует, что энергия, потребляемая 
данным участком цепи равна:

( )
 
( )

t
W
u t i t dt

−∞
= ∫

Дифференцируя полученное выражение по времени t , получим 
формулу для расчета мгновенной мощности, потребляемой цепью

( )
( )
( ) ( )
dW t
p t
u t i t
dt
=
=

При p(t) >0 энергия, потребляемая участком цепи, увеличивается, 
а при p(t) <0 – уменьшается. Мощность измеряется в ваттах (
Вт).

§ 1. 2. Идеализированные элементы 
 
электрических цепей 
Все многообразие реальных элементов электрических цепей 
и устройства можно описать с помощью базовых элементов.
Идеальный резистор R – это элемент, в котором электрическая 
энергия необратимо превращается в тепловую, световую 
или механическую энергию (лампа накаливания, радиотехнический 
резистор, электронагревательные приборы и т. п.). 
Идеальный конденсатор C – это элемент, в котором энергия 
электрического тока превращается в энергию электрического 
поля. В области низких частот к идеальному конденсатору близок 
радиотехнический конденсатор.
Идеальная катушка индуктивности L – это элемент, в котором 
энергия электрического тока превращается в энергию магнитного 
поля. Для обозначения катушки используется буква « L ». 
В области низких частот к идеальной катушке близки обмотки 
трансформаторов источников питания, обмотки электрических 
двигателей (например, электродвигателей вентиляторов в ЭВМ) 
и радиотехнические катушки.

Глава 1