Векторный и тензорный анализ

МИНИCTEPCTBO НАУКИ И Высшего обрАзоВАНИя  
россИЙсКоЙ ФеДерАЦИИ

ФеДерАльНое госУДАрстВеННое АВтоНоМНое  
обрАзоВАтельНое УчрежДеНИе Высшего обрАзоВАНИя
«сеВеро-КАВКАзсКИЙ ФеДерАльНыЙ УНИВерсИтет»

В. И. Волкова, р. г. закинян

ВЕКТОРНЫЙ 
И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
(КУРС ЛЕКЦИЙ) 

Направление подготовки 
103.03.02 Физика 

Профиль подготовки 
«Физика земли и космоса, 
Фундаментальная и прикладная физика»

бакалавриат

ставрополь
2022

УДК   530.1 (075.8)
ббК   22.32 я73 
 
В 67

Печатается по решению 
редакционно-издательского совета 
северо-Кавказского 
федерального университета

© ФгАоУ Во «северо-Кавказский 
федеральный университет», 2022

 
Волкова В. И., Закинян Р. Г. 
В 67 
Векторный и тензорный анализ: учебное пособие (курс лекций). – 
Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2022. – 128  с.

Курс лекций разработан в соответствии с требованиями ФГОС ВО. 
Содержит теоретический материал, вопросы и литературу.
Предназначен для бакалавров, обучающихся по направлению 
03.03.02 Физика.

УДК  530.1 (075.8)
ББК   22.32 я73 

Авторы:
канд. физ.-мат. наук, доцент В. И. Волкова,
д-р физ.-мат. наук, профессор Р. Г. Закинян

Рецензенты:
канд. физ.-мат. наук, доцент В. В. Бондарь,
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Яновский 
(Ставропольский государственный аграрный университет)

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ...............................................................................................................4

теМА 1. 
сКАлярНые И ВеКторНые Поля

 
1.  скалярное поле. Поверхности уровня. Производная 
 
 
по направлению и градиент скалярного поля  ...........................8

 
2.  Векторное поле. Векторные линии. Дивергенция 
 
 
и ротор векторного поля, их свойства  .......................................18

 
3.  Дифференциальные операции второго порядка. 
 
 
Классификация векторных полей  ...............................................31

 
4.  теория поля в криволинейных системах координат ..............42

теМА 2. 
теНзорНые Поля

 
5.  тензоры и их свойства  ...................................................................55

 
6.  геометрическое представление тензоров. 
 
 
скалярный и векторный инварианты 
 
 
тензора производной векторного поля  .....................................69

теМА 3. 
ПрИМеНеНИе теНзороВ В ФИзИКе

 
7.  тензор деформации. тензор напряжений  ................................81

 
8.  тензор инерции  ...............................................................................92

 
9.  Векторы и тензоры в четырехмерном 
 
 
пространстве–времени  ..................................................................99

список литературы  и интернет-источники  ..........................................109

заключение  .....................................................................................................110

Приложение  ....................................................................................................113

- 4 -

Векторный и тензорный анализ

Памяти Учителя – 
Ефима Израилевича Несиса

ВВЕДЕНИЕ

Физика как наука о природе в своем историческом развитии 
постепенно превращалась из учения качественного, описательного, 
феноменологического в количественную, точную и строгую 
науку. В процессе этого развития для описания различных 
явлений, происходящих в окружающем нас мире, все шире стали 
применяться всевозможные математические методы. Для 
этой цели понадобилось, прежде всего, ввести количественную 
меру любого физического свойства.
Первоначально, при изучении физиками простейших физических 
свойств тел, в качестве их меры можно было ограничиться 
скалярными величинами. Скалярной величиной (скаляром) называется 
величина, которая при выбранной единице измерений 
физического свойства вполне характеризуется одним числом.  
К таким величинам относятся: длина, площадь, объем, масса, 
время, температура, электрический заряд, потенциал и пр.
В дальнейшем стало ясно, что для характеристики, например, 
скорости движения тела недостаточно знать ее величину, необходимо 
еще указать направление движения тела. Поэтому для полной 
количественной характеристики скорости оказался весьма 
удобным вектор – отрезок, имеющий длину, численно равную в 
данном масштабе величине скорости, и направление, совпадающее 
с направлением движения тела. Такие физические понятия, 
как перемещение, сила, ускорение, напряженность электрического 
поля и им подобные, также представляют собой векторы, которые 
требуют для своего определения в трехмерном пространстве 
трех действительных чисел, называемых компонентами.
В конце XIX в. физикам стало ясно, что для количественной 
характеристики некоторых геометрических свойств и физических 
особенностей материальных тел необходимы величины более 
сложной математической природы, получившие название 
тензоров. Например, для того, чтобы охарактеризовать диэлек-

- 5 -

Введение

трическую проницаемость анизотропной среды (кристалла), необходимо 
указать 

23
9
=  чисел – компонентов тензора 2 ранга. 
Балка, подвергнутая механическому напряжению, может испытывать 
одновременно три вида сложных деформаций: растяжение (
сжатие), изгиб и кручение. Поэтому деформация упругого 
тела описывается тензором 3 ранга, имеющим 

33
27
=
 компонентов. 
Для описания упругой деформации анизотропного тела потребуется 
уже 

43
81
=
 компонент, т. е. тензор 4 ранга. Указанное 
число компонентов соответствует трехмерному пространству.  
В случае n-мерного пространства число компонентов определится 
как 

nr , где r – ранг матрицы.
Следует иметь в виду, что компоненты тензора, как и компоненты 
вектора, в разных системах координат представляют собой 
разные числа, тем не менее, тензор представляет собой единый 
математический объект, не зависящий от выбора системы 
координат и характеризующий определенное физическое или 
геометрическое свойство. Сложность понятия тензор связана с 
тем, что в общем случае, в отличие от вектора, ему невозможно 
сопоставить определенный геометрический образ. В механике 
широко распространены тензоры моментов инерции, тензоры 
напряжений, в электродинамике – тензор электромагнитного 
поля и другие.
Векторное исчисление и тензорное исчисление – математические 
дисциплины, изучающие различные операции над векторами 
и тензорами, возникли в середине XIX века, главным образом 
благодаря потребностям механики и физики. Векторное 
исчисление состоит из векторной алгебры и векторного анализа. 
В векторной алгебре определяются правила различных математических 
операций над векторными величинами: сложение и 
вычитание векторов, умножение вектора на число, скалярное и 
векторное произведение векторных величин, возведение векторов 
в степень и другие. Векторный анализ изучает векторные 
функции скалярных аргументов и исследует математические и 
физические особенности этих функций методами дифференциального 
и интегрального исчисления. Основу тензорной алгебры 
составляют алгебраические действия над тензорами (сложение, 

- 6 -

Векторный и тензорный анализ

умножение, свертывание) и некоторые другие операции, опирающиеся 
на представления линейной алгебры и алгебраической 
теории матриц. В тензорном анализе рассматриваются дифференциальные 
и интегральные операции над тензор-функциями 
скалярного аргумента и радиус-вектора точки.
Примерно в то же время, как возникло векторное исчисление, 
в физике сложились представления о математических полях – 
областях пространства, каждой точке которых соответствует 
определенное значение некоторой физической величины. Если 
эта величина скалярная, то говорят о скалярном поле (например, 
температуры, потенциала и пр.).
Наряду со скалярными в физике часто встречаются векторные 
поля, т. е. такие области, каждой точке которых соответствует 
определенное значение векторной величины. Например, поле 
скоростей в аэрогидромеханике, поле электрической напряженности, 
создаваемое электрическим зарядом и др. Рассмотрение 
тензорных полей обусловлено не столько наглядностью этого 
образа и компактностью математических формулировок, сколько 
объективными свойствами изучаемых физических явлений и 
многомерных физических полей. Знание основ тензорного исчисления 
является необходимым условием и теоретической базой 
изучения таких разделов физики, как гидромеханика, теория 
упругости, электродинамика, теория поля. Поэтому при изложении 
основ векторного и тензорного исчисления особое внимание 
уделяется физическому содержанию рассматриваемых явлений 
и применению тензорного анализа в различных разделах 
современной физики.
Целью освоения дисциплины «Векторный и тензорный анализ» 
является изучение основ векторного и тензорного исчисления 
и их приложений; изучение методов векторного и тензорного 
анализа, применяющихся при решении прикладных задач.
Задачи дисциплины:
• 
развитие у студентов личностных качеств, а также формирование 
интереса к изучению современной физики, 
понимание её важнейшей роли в развитии различных 
сфер человеческой деятельности;

- 7 -

• 
изучение основ векторного и тензорного анализа, а также 
их приложений;
• 
знакомство студентов с математическими объектами, составляющими 
необходимую и важную часть языка теоретической 
физики, классической и квантовой механики, 
теории электромагнитного поля и др.;
• 
выработка практических навыков решения физических 
проблем математическими методами.
Дисциплина относится к Обязательной части Блока 1 «Дисциплины (
модули)» и изучается в 3 семестре.
Для освоения курса «Векторный и тензорный анализ» необходимо 
изучить дисциплины: главы «Математического анализа», «
Дифференциальные уравнения», «Аналитическая геометрия» 
и «Линейная алгебра».
Векторный и тензорный анализ является математическим 
инструментом физика-теоретика, поэтому освоение дисциплины 
необходимо как предшествующее для курсов: «Теоретическая 
механика. Механика сплошных сред», «Электричество и 
магнетизм», «Электродинамика», «Квантовая теория», «Физика 
конденсированного состояния. Термодинамика. Статистическая 
физика. Физическая кинетика», «Уравнения математической физики», «
Математическое моделирование физических процессов».
В процессе изучения дисциплины формируется следующая 
компетенция: способность применять базовые знания в области 
физико-математических и (или) естественных наук в сфере своей 
профессиональной деятельности.

Введение

- 8 -

Векторный и тензорный анализ

Тема 1. 
СКАЛЯРНЫЕ И ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ

1.  Скалярное поле. Поверхности уровня. 
 
Производная по направлению 
 
и градиент скалярного поля

План
1.  
Определение скалярного поля. Стационарные и нестационарные 
поля. Аналитическое задание поля. Типы полей.
2.  
Поверхности уровня, их свойства. Семейство поверхностей уровня.
3.  
Производная по направлению.
4.  
Градиент скалярного поля: три определения, свойства градиента.
5.  
Набла-вектор (оператор Гамильтона). 

Развитие количественных методов исследования в физике 
показало, что при изучении физических свойств различных тел 
часто приходится учитывать то обстоятельство, что одна и та 
же физическая величина в разных точках рассматриваемого объекта 
принимает различные значения. Поэтому для математического 
описания соответствующего состояния тела необходимо 
знать всю совокупность значений интересующего нас свойства. 
Так постепенно сложилось представление о математическом 
поле – области пространства, каждой точке которой соответствует 
определенное значение физического свойства.
В зависимости от природы рассматриваемых свойств математические 
поля бывают скалярные, векторные или тензорные. 
Каждое из этих полей, в свою очередь, может быть стационарным, 
если соответствующая физическая величина в каждой точке 
поля со временем не изменяется; если же указанная величина 
меняется со временем, поле является нестационарным. Важнейшей 
задачей векторного и тензорного анализа является аналитическое 
исследование полей различной физической природы. 
Рассмотрение этих задач начнем со стационарных скалярных 
полей в прямоугольных декартовых координатах.

- 9 -

Лекция 1

Скалярным полем называется область пространства, каждой 
точке которой соответствует определенное значение скалярной 
величины. Например: поля температуры 
(
)
, ,
T x y z , потенциала 

(
)
, ,
x y z
ϕ
, распределения плотности (
)
, ,
x y z
ρ
 и пр. Так как произвольная 
точка в пространстве характеризуется координатами 

  
x,y,z или радиус-вектором r , то аналитически любое скалярное 
поле может быть задано либо в виде функции координат

(
)
 
, ,
x y z
ϕ
ϕ
=
, либо функции радиус-вектора 
( )
r
ϕ
ϕ
=
 . 
В ряде случаев скалярные поля обладают определенным типом 
симметрии: 
• 
центральное (сферическое) поле

(
)
2
2
2
x
y
z
ϕ
ϕ
=
+
+
; 

• 
осевое (цилиндрическое) поле

 
(
)
2
2
x
y
ϕ
ϕ
=
+
;
 
• 
плоское поле (
)
,x y
ϕ
. 
Достаточно хорошей иллюстрацией таких полей является 
двумерное скалярное поле
(
)
 
,x y
ϕ
ϕ
=
, которое можно рассматривать 
как некоторую поверхность в пространстве трех измерений, 
где всякой точке (
)
,x y  плоскости соответствует своя высота 

(
)
,
z
x y
ϕ
=
 (рис. 1.1).

 

Рис. 1.1

Наглядной геометрической характеристикой скалярного поля 
являются поверхности уровня, которые представляют собой гео- 
метрическое место точек, которым соответствует одно и то же 

- 10 -

Векторный и тензорный анализ

значение скалярной величины  ϕ . Эти поверхности называют 
еще и изоповерхностями. Уравнение изоповерхности имеет вид: 

(
)
, ,
x y z
const
ϕ
=
.
Придавая ϕ  различные значения, отличающиеся на некоторую 
величину  
const
ϕ
∆
=
, получим семейство поверхностей 
уровня, наглядно характеризующих скалярное поле. 
В плоском скалярном поле линиями уровня (
)
,x y
const
ϕ
=
 называют 
линии, на которых скалярная величина ϕ  остается постоянной. 
Линии уровня (изолинии) позволяют рассмотреть все 
особенности трехмерного поля на плоском рисунке. Следует 
иметь в виду, что при геометрической интерпретации поля все 
эти линии лежат не на поверхности
(
)
  
,
z
z x y
=
, а на плоскости 

XOY . Каждая из них представляет собой множество точек, которым 
соответствуют равные высоты z  (рис. 1.2.). 

 

Рис. 1.2

У температурного поля линии уровня представляют собой 
изотермы, у электростатического поля – это линии равного потенциала (
эквипотенциальные линии). Изолинии никогда не пересекаются (
т. к. это означало бы, что в одной точке величина ϕ  
имеет два различных значения) и расположены тем ближе друг к 
другу, чем быстрее растет величина ϕ .

- 11 -

Пусть
(
)
 
,
x y
ϕ
является в заданной области непрерывной, однозначной 
и дифференцируемой функцией координат 
x и y . 
Чтобы дать количественную характеристику быстроты изменения 
скалярной величины вблизи произвольной точки M  поля, 
введем понятие производной по данному направлению. 
Производной скалярного поля  в определенной точке поля по 
некоторому направлению l



называется предел отношения приращения 
скалярной функции в этом направлении к величине перемещения, 
когда последнее стремится к нулю:

 
  
2
1

0
lim
,
l
l
l
ϕ
ϕ
ϕ

∆ →

−
∂
=
∂
∆
 
(1.1)

где 
1
ϕ  и 
2
ϕ − значения функции ϕ  в точке А и в точке В, отстоящей 
от А на расстоянии l
∆  вдоль выбранного направления (рис. 1.3.). 

Рис. 1.3
Величина  
/
д
дl
ϕ
 зависит от выбора направления l . И поскольку 
через точку на плоскости можно провести бесчисленное 
множество различных направлений, то может показаться, что 
для дифференциальной характеристики скалярного поля необходимо 
задать в каждой точке (
)
 ,
x y бесконечное количество производных 
/

д
дl
ϕ
 по всевозможным направлениям, проходящим 
через эту точку.
Пусть нас интересует скорость изменения скалярной величины 
ϕ  в окрестности точки  А, в которой 
1
ϕ
ϕ
=
(рис. 1.3). 
 Проведем через А изолинию. Кроме того, построим близкую 
к ней линию уровня ВС, соответствующую несколько большему 
значению скалярной функции 
2
1
ϕ
ϕ
ϕ
=
+ ∆ . Пусть вектор 

Лекция 1