Электродинамика

Yu. L. Smerek, R. G. Zakinyan

ELECTRODYNAMICS

TEXT BOOK

Stavropol
Publisher
North Caucasus Federal University
2022

UDK  537.8(075.8)
BBK  22.313 я73

S 50

Published by the decision 
of the Editorial and Publishing Council 
North Caucasus 
Federal University

© North Caucasus 
Federal University, 2022

Smerek, Yu. L., Zakinyan, R. G.
S 50 
Electrodynamics: A textbook. – Stavropol: Publishing House of 
NCFU, 2022. – 160 p.

The manual presents a course of lectures developed in accordance with 
the Federal State Educational Standard of Higher Education in the field of 
training 03.03.02. Physics.
The course of lectures is intended for students studying in the field of 
preparation 03.03.02. Physics, directions (profiles): «Experimental phys-
ics», «Physics of the Earth and Space»

UDK  537.8(075.8)
BBK  22.313 я73

The authors: 
are Candidate of Physical and Mathematical Sciences, 
Associate Professor Yu. L. Smerek, 
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, 
Professor R. G. Zakinyan

Reviewers: 
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor K.V. Erin, 
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, 
Associate Professor A. A. Yanovsky

Ю. Л. Смерек, Р. Г. Закинян

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ 

Ставрополь
Издательство
Северо-Кавказского федерального университета
2022

УДК 537.8(075.8)
ББК 22.313 я73

С 50

Печатается по решению 
редакционно-издательского совета 
Северо-Кавказского 
федерального университета

© ФГАОУ ВО «Северо-Кавказский 
федеральный университет», 2022

Смерек, Ю. Л., Закинян, Р. Г. 
С 50 
Электродинамика: учебное пособие/ Ю. Л. Смерек, Р. Г. За-
кинян. – Ставрополь: Изд-во СКФУ, 2022. – 160 с.

Пособие представляет курс лекций, разработанный в соответствии 
с Федеральным государственным образовательным стандартом высшего 
образования по направлению подготовки 03.03.02. Физика. 
Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по направлению 
подготовки 03.03.02. Физика, направленностям (профилям): 
«Экспериментальная физика», «Физика Земли и космоса»

УДК 537.8(075.8)
ББК 22.313 я73

Авторы:
канд. физ-мат. наук, доцент Ю. Л. Смерек,
д-р физ.-мат. наук, профессор Р. Г. Закинян

Рецензенты:
д-р физ.-мат. наук, профессор К. В. Ерин,
канд. физ.-мат. наук, доцент А. А. Яновский 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение ...............................................................................................................8

Лекция 1. 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЕЙ И ЗАРЯДОВ В ВАКУУМЕ
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ

 
1.1. Законы Ампера и Кулона. Системы единиц ............................11

 
1.2. Локальные характеристики электромагнитного поля .........13

 
1.3. Сохранение электрического заряда. 
 
 
Уравнение непрерывности ..........................................................16

 
1.4. Система уравнений Максвелла в интегральной 
 
 
и дифференциальной форме ......................................................18

 
1.5. Закон сохранения энергии применительно 
 
 
к электромагнитным явлениям ..................................................28

 
1.6. Феноменологический подход в электродинамике 
 
 
сплошных сред ...............................................................................30

Лекция 2. 
ЭЛЕКТРОСТАТИКА

 
2.1. Уравнения электростатики и граничные условия 
 
 
при наличии заряженных поверхностей .................................35

 
2.2. Электростатическое поле в вакууме .........................................37

 
2.3. Нормировка потенциала..............................................................38

 
2.4. Потенциал точечного заряда. Потенциал системы 
 
 
точечных зарядов. Потенциал непрерывно 
 
 
распределенных зарядов ..............................................................39

 
2.5. Уравнения Лапласа и Пуассона ..................................................41

 
2.6. Проводники в электростатическом поле .................................41

 
2.7. Дипольное разложение потенциала ..........................................46

 
2.8. Энергия электрического поля. 
 
 
Энергия диполя во внешнем поле .............................................48

 
2.9. Механические силы в электрическом поле. Момент сил ....50

- 6 -

Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных

 
2.10. Диэлектрики. Поляризация диэлектриков. 
 
 
Граничные условия при наличии диэлектриков. 
 
 
Вектор поляризованности ...........................................................51

 
2.11. Энергия диэлектрического тела во внешнем поле ................55

 
2.12. Объемные силы, действующие на диэлектрики ....................57

Лекция 3. 
МАГНИТОСТАТИКА

 
3.1. Граничные условия магнитостатики в вакууме .....................59

 
3.2. Векторный потенциал  .................................................................60

 
3.3. Закон Био-Савара ..........................................................................62

 
3.4. Поле элементарных линейных токов ........................................63

 
3.5. Энергия магнитного поля постоянных токов ........................67

 
3.6. Самоиндукция и взаимоиндукция ............................................69

 
3.7. Энергия магнитного момента во внешнем 
 
 
магнитном поле ..............................................................................70

 
3.8. Момент сил, действующих на магнитный момент 
 
 
в магнитном поле ...........................................................................76

 
3.9. Сила, действующая на магнитный момент 
 
 
во внешнем магнитном поле .......................................................77

Лекция 4. 
КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

 
4.1. Область квазистационарных явлений  .....................................80

 
4.2. Уравнения для квазистационарной области явлений ..........83

 
4.3. Квазистационарные явления в линейных проводниках .....85
 
 
4.4. Энергия и силы в области квазистационарных явлений ......90

Лекция 5. 
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

 
5.1. Электромагнитные волны в вакууме  .......................................95

 
5.2. Плоские волны  ..............................................................................98

 
5.3. Монохроматическая плоская волна ..........................................102

- 7 -

Содержание

Лекция 6. 
ПРОБЛЕМА ИЗЛУЧЕНИЯ

 
6.1. Дифференциальное уравнение для потенциалов  ...............107

 
6.2. Калибровочные преобразования. 
 
 
Лоренцева калибровка, Кулоновая калибровка ...................110

 
6.3. Функция Грина для волнового уравнения .............................113

 
6.4. Излучение от электрического и магнитного моментов .....118

Лекция 7. 
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН

 
7.1.  Плоские волны в неограниченных однородных 
 
 
непроводящих средах .................................................................134

 
7.2.  Отражение и преломление плоских электромагнитных 
 
 
волн на границе между диэлектриками .................................139

 
7.3.  Распространение электромагнитных волн 
 
 
в проводящих средах  .................................................................147

 
7.4.  Распространение электромагнитных волн 
 
 
в диспергирующих средах .........................................................151

Заключение ......................................................................................................158

Список литературы .......................................................................................159

- 8 -

Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных

Введение
 

Экспериментальное и теоретическое исследование физических 
явлений привело к выводу о существовании электромагнитного 
поля как физического объекта, обладающего определенными, 
характерными свойствами. 
 Электродинамика, изучающая электромагнитные процессы, 
является одной из самых разработанных областей человеческих 
знаний, а уравнения Максвелла, описывающие электромагнитное 
поле, получили многочисленные подтверждения на опыте. 
Более того, к настоящему времени не известно ни одного эксперимента, 
в котором бы подвергалась сомнению точность выполнения 
уравнений Максвелла. Электромагнитные явления играют 
чрезвычайно большую роль в природе, обусловливая саму 
возможность существования материальных тел. 
Электродинамика находит применение в таких разделах физики, 
как нелинейная оптика и физика плазмы, теория ускорителей 
и физика атомного ядра. Учет квантовых свойств материи 
привел к созданию квантовой электродинамики, предсказания 
которой отличаются высочайшей точностью. При использовании 
законов электродинамики сконструированы электрические 
двигатели и генераторы, устройства передачи, приема и обработки 
информации, средства автоматического управления. Многообразное 
применение электромагнитных явлений прочно вошло 
в практику. На законах электродинамики основана работа 
электротехнических, радиотехнических, электронных и других 
приборов и устройств. Электродинамические явления играют 
большую роль и в астрономии. Существующие в межзвездном 
пространстве магнитные поля ускоряют космические заряженные 
частицы, вспышки на Солнце сопровождаются существенным 
изменением магнитного поля вблизи поверхности Солнца 
и т. д. Многообразие и широта проявления электромагнитных 
явлений и процессов делают их важнейшим инструментом измерений 
в таких науках как биология и медицина. Электроди-

- 9 -

намика буквально пронизывает жизнь современного человека и, 
видимо, нет более востребованного физического результата, чем 
уравнения Максвелла, составляющие ее основу. 
В буквальном переводе «электродинамика» – это учение о 
движении и взаимодействии электрических зарядов. Но такая 
трактовка не отражает существа этой науки, ибо ее главное содержание – 
это учение об электромагнитном поле и его связи 
с зарядами и токами. Первоначально делались попытки свести 
все электрические явления к прямому взаимодействию электрических 
зарядов, то есть предполагалось, что электрические силы 
мгновенно передаются через пустоту, а само их существование 
является прирожденным свойством заряженных тел. Это была 
эпоха господства теории дальнодействия. Эти взгляды разделяли 
великие ученые начала девятнадцатого века Ампер, Риман, 
Вебер, Кирхгоф, Гельмгольц и др. Позднее Фарадей стал искать 
причину электрических явлений не в самих зарядах и токах,  
а в окружающем их пространстве. Он представлял себе силовые 
линии как вполне реальные образования. С его именем связано 
экспериментальное открытие явления электромагнитной индукции. 
Изучив эксперименты Кулона, Ампера и Фарадея, Максвелл 
объединил их содержание в четырех уравнениях. Так появилась 
теория близкодействия, в основу которой легло фарадеево представление 
об особом материальном носителе электромагнитных 
сил – электромагнитном поле. 
Максвелл представлял электромагнитное поле в виде натяжений 
и деформаций особой всепроникающей среды – эфира. 
Исторически эти представления сыграли положительную роль, 
так как помогли найти правильную математическую форму для 
уравнений электродинамики. Одним из следствий этих уравнений 
было предсказание Максвеллом электромагнитной природы 
света. Создатель электронной теории Лоренц тоже был сторонником 
эфира. Считая, что электромагнитное поле – это особое 
состояние эфира, он, тем не менее, не наделял последний какими-
либо измеряемыми механическими свойствами, поскольку 
пришел к выводу, что присутствие эфира не может быть замечено 
ни в одном электродинамическом опыте. Однако Лоренц 

Введение

- 10 -

Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных

не отказывался от существования эфира, считая его носителем 
электромагнитного поля. Позже создатель теории относительности 
Эйнштейн не вводил понятие эфира, поскольку соотношения 
этой теории не требовали этого. Постепенно сложилось 
представление об электромагнитном поле как о самостоятельной 
материальной сущности, являющейся носителем электромагнитных 
взаимодействий и распределенной в пространстве.
Материальное существование электромагнитного поля,  
в силу его многочисленных проявлений, в настоящее время не 
требует специального доказательства. Однако в конце 19-го века 
этот вопрос был дискуссионным. Большую роль в его решении 
сыграли опыты Герца (1887) по обнаружению электромагнитных 
волн и опыты Лебедева по измерению светового давления 
(1901). В 20-ом веке были проведены прецизионные опыты Па-
унда и Ребки (1960) по «взвешиванию» света.

- 11 -

Лекция 1

Лекция 1. 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ПОЛЕЙ  И ЗАРЯДОВ 
В ВАКУУМЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА В ВАКУУМЕ

План лекции
1.1. Законы Ампера и Кулона. Системы единиц.
1.2. Локальные характеристики электромагнитного поля.
1.3. Сохранение электрического заряда. Уравнение непрерывности.
1.4. Система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме.
1.5. Закон сохранения энергии применительно к лектромагнитным явлениям.
1.6. Феноменологический подход в электродинамике сплошных сред.

1.1. Законы Ампера и Кулона. Системы единиц
Электромагнитным полем называется область пространства, 
в которой проявляется действие электрических и магнитных 
сил. Основная система электромагнитных единиц в настоящее 
время – это система СИ. В этой системе единица силы тока устанавливается 
исходя из закона Ампера. В вакууме, в соответствии 
с этим законом, удельная сила взаимодействия (на единицу длины 
l ) проводника 1, параллельного другому бесконечно длинному 
проводнику 2, находящемуся на расстоянии a , равна
 

 

0
1
2
/
2
I I
f
F
l
a

µ

π
=
=
, 
(1.1)

где 
1
2
,
I I – токи в этих проводниках, 
0
µ – некоторый коэффициент. 
Током силой один ампер (А) считается ток, для которого 
удельная сила взаимодействия между проводниками, находящимися 
на расстоянии a = 1 м, равна f = 2*10-7 Н. Подставляя все 
эти величины в формулу (1.1), находим следующее значение коэффициента, 
который называется магнитной постоянной:

 

7
0
4 *10
µ
π
−
=
2
2

м кг
А с . 
(1.2)

Таким образом, значением магнитной постоянной мы задаемся 
изначально. Исходя из этой величины, определяем единицу 
электрического тока – ампер и связанную с ампером единицу 
количества электричества  Кл (кулон) = А*c. Кулон равен количеству 
электричества, прошедшему через проводник за время 1с 
при токе 1А. 

- 12 -

Спутниковые и радиорелейные системы передачи данных

Закон Кулона определяет силу F, с которой взаимодействуют 
в вакууме  два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии 
r друг от друга:
 

 

1
2

2
0

1
4
q q
F
r
πε
=
. 
(1.3)

Поскольку единицы заряда  (кулон) и силы (ньютон) зафиксированы, 
входящая в эту формулу величина коэффициента – 
электрической постоянной 
0
ε , не может быть свободно выбрана 
и должна быть определена из эксперимента. Однако, в связи с 
невозможностью получения на практике больших зарядов (из-за 
возможности пробоя) и, соответственно, удобных для измерения 
больших сил, точность такого определения непосредственно 
по формуле (1.3) невелика. Поэтому для получения значения 
электрической постоянной 
0
ε  пользуются известным соотношением, 
которое мы получим в последующих разделах,

 

0
0

1
с
ε µ
= , 
(1.4)

где с – скорость света в вакууме (с = 3*108 м/с, точнее  
с = 299792458 м/c). Из (1.3) с учетом (1.4) следует, что

 
0
9
1
4 *9*10
ε

π
=
 

2
2

3
А с
кг м   

12
8,85*10−
=
 

2
2

3
А с
кг м   
(1.5)

  
Заметим, что в настоящее время единица длины устанавливается 
как вторичная по отношению к единице времени – секунде 
и скорости света,  значение которой   регламентируется и приведено 
выше.
Производными электрическими единицами являются:
• 
единица напряжения – вольт, получаемая из соотношения 
В = Вт/А (исходя из зависимости: напряжение  равно 
частному от деления мощности на ток (
/
U
N
I
=
),
• 
единица сопротивления  – Ом, из соотношения Ом = В/А  
(
/
R
U
I
=
),
• 
единица емкости – фарада, из соотношения Ф = Кл/В  
(
/
C
q U
=
),
• 
единица индуктивности – Генри, из соотношения 

 
Гн = В*с/А (
/ dI
L
U
dt
=
).

- 13 -

Формулы в скобках известны из общего курса физики. Их 
обоснование мы приведем ниже.

1.2. Локальные характеристики электромагнитного поля
 
В соответствии с законом Кулона,  сила F, с которой взаимодействуют 
два точечных заряда q1 и q2, находящихся на расстоянии 
r друг от друга, равна в вакууме: 
 

 

1
2

2
0

1
4
q
q r
F
r
r
π ε
=
. 
(1.6)

В этой формуле посредством введения множителя, единичного 
вектора 
/
r
r , учтено направление действия кулоновской 
силы: притяжение при разноименных и отталкивание – при одноименных 
зарядах.
Исходя из представлений об электромагнитном поле, процесс 
взаимодействия между зарядами интерпретируется следующим 
образом: 
1) точечный заряд, например q1, создает в окружающем 
пространстве электрическое поле, напряженность которого 
определяется формулой 

 

1
2
0

1
4
q r
E
r
r
π ε

−

=
, 
(1.7)

   
где r  – радиус-вектор, проведенный из точки, где находится 
заряд q1, в точку, где определяется напряженность 
электрического поля; 

Рис. 1

Лекция 1