Математика

 

 
РОССИЙСКАЯ МЕЖДУНАРОДНАЯ 

АКАДЕМИЯ ТУРИЗМА 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
МАТЕМАТИКА 
 
 

 

Курс лекций 
 
 
 
 
 
Под общей редакцией  
профессора В. И. Горелова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
Москва  Университетская книга  2017 

УДК 51 
ББК 22.11 
 
М34 
 
 
Авторы: 
 
Горелов В.И., Ледащева Т.Н.,  
Карелова О.Л., Голосов П.Е. 
 
 
 
Рецензенты: 
 
Ю.Б. Башин, доктор технических наук, профессор,  
профессор кафедры менеджмента  
и информационных технологий РМАТ;  
Б.М. Пранов, доктор технических наук,  
профессор кафедры прикладных  
информационных технологий РАНХиГС 
 
 
 
М34 
Математика [Текст] : курс лекций / В.И. Горелов,
Т.Н. Ледащева, О.Л. Карелова, П.Е. Голосов ; под общ.
ред. профессора В.И. Горелова ; Российская международная 
академия туризма. – М. : Университетская книга,
2017. – 215, [1] с.  
 
ISBN 978-5-98699-220-4 
 
Кратко рассмотрены базовые понятия высшей математики. 
Эти понятия проиллюстрированы большим числом разобранных 
примеров, позволяющих понять области применения теории. 
Курс лекций построен по принципу «от простого к сложному». 
Он полностью соответствует стандартам высшего профессионального 
образования, относящимся к разделам высшей математики. 

Для студентов вузов туристской направленности. 
 
  
УДК 51 
  
ББК 22.11 
 
ISBN 978-5-98699-220-4 
© Горелов В.И., Ледащева Т.Н.,  
    Карелова О.Л., Голосов П.Е., 2017 
© Российская международная академия 
    туризма, 2017 
© Оформление. РМАТ,  
    Университетская книга, 2017 

 

 
 
 
 
 
 
Оглавление 
 
Предисловие ..............................................................................     8 
 
Раздел I. Линейная алгебра 
 
1. Матрицы и действия над ними ..........................................     9 
1.1. Основные понятия ..................................................     9 
1.2. Действия над матрицами ........................................   10 
2. Определители ........................................................................   13 
2.1. Основные понятия ..................................................   13 
2.2. Свойства определителей ........................................   15 
3. Обратная матрица ................................................................   17 
3.1. Основные понятия ..................................................   17 
3.2. Решение матричных уравнений ............................   18 
3.3. Метод элементарных преобразований ..................   19 
4. Системы линейных алгебраических уравнений ............   21 
4.1. Основные понятия ..................................................   21 
4.2. Правило Крамера решения СЛАУ ........................   23 
4.3. Метод Гаусса решения СЛАУ ...............................   25 
 
Раздел II. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 
 
5. Векторы ..................................................................................   28 
5.1. Основные понятия ...................................................   28 
5.2. Операции над векторами ........................................   29 
5.3. Координаты векторов .............................................   30 
5.4. Скалярное произведение векторов ........................   33 
5.5. Векторное произведение ........................................   35 
5.6. Смешанное произведение ......................................   37 
6. Аналитическая геометрия на плоскости .........................   38 
6.1. Уравнения прямых на плоскости ..........................   38 
6.2. Кривые второго порядка на плоскости .................   42 
7. Аналитическая геометрия в пространстве ......................   49 
7.1. Уравнение плоскости в пространстве ...................   49 
7.2. Уравнения прямой в пространстве ........................   50 
7.3. Взаимное расположение прямых и плоскостей ...   52 
7.4. Поверхности второго порядка ...............................   55 

Оглавление 

 
Раздел III. Функции одной переменной 
 
8. Множества и операции над ними .....................................    59 
8.1. Основные понятия ..................................................   59 
8.2. Числовые множества ..............................................   60 
9. Функция .................................................................................   61 
9.1. Понятие «функция» ................................................   61 
9.2. Способы задания функций .....................................   62 
9.3. Некоторые свойства функций ...............................   63 
9.4. Обратная функция ..................................................   64 
9.5. Основные элементарные функции ........................   65 
9.6. Сложная функция и элементарные функции .......   75 
10. Предел функции ..................................................................   76 
10.1. Предел функции в точке ......................................   76 
10.2. Односторонние пределы ......................................   76 
10.3. Предел функции на бесконечности .....................   77 
10.4. Бесконечно большие функции .............................   77 
11. Бесконечно малые функции .............................................   78 
11.1. Определение и основные теоремы ......................   78 
11.2. Основные теоремы о пределах ............................   79 
11.3. Предел последовательности ................................   81 
11.4. Техника вычисления пределов ............................   81 
11.5. Первый замечательный предел ...........................   83 
11.6. Эквивалентные функции ......................................   84 
11.7. Второй замечательный предел ............................   86 
11.8. Техника вычисления пределов вида  


0

( )
lim
( )

g x

x
x
f x

 .......................................................   87 

12. Непрерывность функции ..................................................   89 
12.1. Непрерывность функции в точке и области .......   89 
12.2. Основные теоремы о непрерывных функциях ...   91 
12.3. Классификация точек разрыва ............................   91 
13. Производная функции .......................................................   92 
13.1. Приращение аргумента и приращение функции    92 
13.2. Определение производной функции в точке .....   93 
13.3. Геометрический смысл производной .................   94 
13.4. Физический смысл производной .........................   95 
13.5. Дифференцируемость функций ...........................   96 
13.6. Производная постоянной, суммы,  
произведения и частного двух функций ............   96 
13.7. Производная сложной и обратной функции ......   97 

 
Оглавление  
5

 

 

13.8. Производные основных элементарных  
функций .................................................................   97 
13.9. Производная функции, заданной неявно ............ 100 
13.10. Логарифмическая производная ......................... 100 
13.11. Производная функции, заданной  
  параметрически .................................................. 101 
13.12. Сводная таблица формул дифференцирования  102 
13.13. Производные высших порядков ........................ 105 
14. Дифференциал функции ................................................... 106 
14.1. Понятие «дифференциал функции» .................... 106 
14.2. Основные теоремы о дифференциалах ............... 107 
14.3. Применение дифференциала для  
приближенных вычислений ................................ 107 
15. Исследование функций с помощью производных ....... 108 
15.1. Правило Лопиталя ................................................ 108 
15.2. Некоторые теоремы о дифференцируемых 
функциях ............................................................... 109 
15.3. Исследование поведения функций  
и построение графиков ........................................ 111 
 
Раздел IV. Интегральное исчисление 
 
16. Неопределенный интеграл ............................................... 116 
16.1. Понятие «неопределенный интеграл» ................ 116 
16.2. Свойства неопределенного интеграла ................ 117 
17. Основные методы интегрирования ................................ 119 
17.1. Табличное интегрирование .................................. 119 
17.2. Интегрирование методом подстановки .............. 120 
17.3. Метод интегрирования по частям ....................... 121 
18. Интегрирование различных функций ............................ 124 
18.1. Интегрирование выражений, содержащих 
квадратный трехчлен ........................................... 124 
18.2. Интегрирование рациональных функций ........... 125 
18.3. Интегрирование тригонометрических  
выражений ............................................................. 131 
18.4. Интегрирование простейших иррациональных 
выражений ............................................................. 134 
19. Определенный интеграл ................................................... 137 
19.1. Задача о площади криволинейной трапеции ...... 137 
19.2. Определенный интеграл как предел  
интегральной суммы ............................................ 138 
19.3. Свойства определенного интеграла .................... 139 

Оглавление 

 
20. Вычисление и приложения определенного интеграла  143 
20.1. Применение формулы Ньютона–Лейбница ....... 143 
20.2. Замена переменной в определенном интеграле . 143 
20.3. Интегрирование по частям в определенном  
интеграле ............................................................... 144 
20.4. Интегрирование четных и нечетных функций ... 145 
20.5. Приложения определенного интеграла .............. 146 
21. Несобственные интегралы ................................................ 147 
21.1. Несобственный интеграл I рода .......................... 147 
21.2. Несобственный интеграл II рода ......................... 149 
 
Раздел V. Функции нескольких переменных 
 
22. Функции двух переменных ............................................... 150 
22.1. Основные понятия ................................................ 150 
22.2. Предел и непрерывность функции двух  
переменных ........................................................... 151 
22.3. Дифференцирование функций нескольких  
переменных ........................................................... 152 
23. Экстремумы функций нескольких переменных .......... 155 
24. Условные экстремумы функции нескольких  
      переменных (метод Лагранжа) ......................................... 156 
 
Раздел VI. Понятие о дифференциальных уравнениях 
 
25. Общие сведения .................................................................. 158 
26. Обыкновенные дифференциальные уравнения  
      первого порядка .................................................................. 159 
26.1. Основные понятия ................................................ 159 
26.2. Метод изоклин ...................................................... 161 
26.3. Уравнения с разделяющимися переменными .... 162 
 
Раздел VII. Теория вероятностей 
 
27. Случайные события .............................................................. 166 
27.1. Элементы комбинаторики ................................... 166 
27.2. Пространство элементарных событий.  
Операции над событиями .................................... 167 
27.3. Определение вероятности события. 
Непосредственное вычисление вероятностей ... 170 
27.4. Теоремы сложения и умножения вероятностей  172 

 
Оглавление  
7

 

 

27.5. Формула полной вероятности и формула  
Байеса .................................................................... 174 
27.6. Схема испытаний с повторениями.  
Независимые испытания ...................................... 176 
28. Случайные величины ........................................................ 179 
28.1. Законы распределения и числовые  
характеристики случайных величин ................... 179 
28.2. Основные законы распределения вероятностей  183 
 
Раздел VIII. Элементы математической статистики 
 
29. Первичная обработка и графическое представление  
      выборочных данных .......................................................... 191 
30. Числовые характеристики выборочной  
      совокупности (точечные оценки) .................................... 194 
31. Доверительные интервалы ............................................... 196 
32. Корреляция и регрессия .................................................... 198 
 
Литература ................................................................................. 203 
 
Приложения 

1. Вероятности 


,
!

m
a
a
a
P
X
m
e
m




 m = 0, 1, 2, …  

    распределения Пуассона ........................................................ 204 

2. Интегральные вероятности 


!

k
a
a
k m

a
P
X
m
e
k







 
  

    распределения Пуассона ........................................................ 209 

3. Таблица значений функции нормального распределения  

    Гаусса-Лапласа  

2

2
1
2

x

x
e




 .......................................... 214 

 

 

 

 
 
Предисловие 
 
Преподавание высшей математики студентам, обучающимся 
по различным специальностям, имеет свои особенности. Поскольку 
программа курса задана стандартами высшего профессионального 
образования (ВПО), то речь может идти только об 
акцентировании в изучении различных тем, которые в последующем 
могут быть активно использованы в практической работе. 
Вместе с тем освоение базовых понятий высшей математики 
позволяет студентам логично и аргументированно рассуждать 
и проводить собственные исследования. Таким образом, 
преподавание всегда наталкивается на два различных критерия, 
и мера изложения материала определяется лектором в зависимости 
от подготовленности и настроя студентов.  
Предлагаемый курс лекций, читаемый для студентов Российской 
международной академии туризма, ориентирован на подготовку 
специалистов по различным направлениям туристской 
индустрии. Как правило, студенты этих специализаций достаточно 
хорошо понимают практические приложения математики. 
Поэтому цель данного учебного пособия – практическое овладение 
базовыми понятиями и методами математики, чему способствуют 
многочисленные примеры. 
Содержание курса лекций охватывает все необходимые понятия 
и методы, определенные стандартами ВПО, и служит 
кратким конспектом, позволяющим по мере необходимости 
обращаться к более углубленному изучению методов и алгоритмов 
высшей математики. 
Структурно курс лекций системно разбит на темы, посвященные 
каждому базовому понятию. Каждый подраздел содержит 
краткое изложение материала, иллюстрации, подробно разобранные 
примеры. Это позволяет студенту самостоятельно 
подготовиться как к лекционному, так и практическому занятию 
или контрольной работе. В этой связи данный курс лекций рекомендуется 
для самостоятельной работы также студентам очно-
заочной и заочной форм обучения. 
Данное учебное пособие подготовлено авторами различных 
специальностей – математиками, экономистами, педагогами, 
физиками и менеджерами. Их опыт и ви´дение математики как 
полезного аппарата познания учебных дисциплин позволили 
выделить различные аспекты как в изложении курса, так и в его 
структуре и добавили практическую составляющую в материал 
пособия.  

 

 

Раздел I 

 
Линейная алгебра 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Матрицы и действия над ними 
 
1.1. Основные понятия 
 
Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, 
состоящая из m строк и n столбцов:  
 

 

11
12
1

21
22
2

1
2

, (
1,...,
;
1,..., )

n

n
ij

m
m
mn

a
a
a
a
a
a
A
a
i
m
j
n

a
a
a


























. 

 
Элементами матрицы aij могут быть числа, функции или другие 
объекты. Запись aij обозначает элемент матрицы А, стоящий 
в i-й строке и j-м столбце. 
Если m = n, то матрица называется квадратной порядка n. 
Элементы aii квадратной матрицы называют элементами главной 
диагонали. 
 

П р и м е р  1.1. 
1
0
2
3
1
1
A



 




 – матрица размера 2×3.  

а11 = 1, а12 = 0, а13 = –2, а21 = 3, а22 = –1, а23 = 1. 
 
Матрицы 
 
ij
A
a

и 
 
 
ij
B
b

 (
1,...,
;
1,..., )
i
m
j
n


 одного 
размера называются равными, если равны их соответствующие 
элементы, т. е. 
(
1,...,
;
1,..., )
ij
ij
a
b
i
m
j
n



. 
Матрица А называется нулевой, если все ее элементы aij = 0.  
В этом случае записывают А = 0.  

Раздел I. Линейная алгебра 

 
Квадратная матрица А называется диагональной, если все ее 
элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю. 
Диагональная матрица 
  ( ,
1,..., )
ij
A
a
i j
n


 называется еди-

ничной, если 
1(
1,..., )
ii
a
i
n


. Единичную матрицу обозначают:  

 
1
0
0
0
1
0

0
0
1

E







 














. 

 
Квадратная матрица называется треугольной, если равны  
нулю все элементы под ее главной диагональю (верхнетреуголь- 
ная матрица) или над главной диагональю (нижнетреугольная 
матрица). 
 
1.2. Действия над матрицами 
 
Суммой двух матриц 
 
ij
A
a

 и 
 
ij
B
b

 
(
1,...,
;
i
m

 

1,..., )
j
n

 одного размера называется матрица 
 
ij
C
A
B
c



 

того же размера, где 
(
1,...,
;
1,..., )
ij
ij
ij
c
a
b
i
m j
n




. 
Легко видеть, что А + В = В + А и А + 0 = А. 
Произведением матрицы 
  (
1,...,
;
1,..., )
ij
A
a
i
m
j
n



 на 

число  называется матрица 
 
ij
C
A
c
 

 того же размера, где 

(
1,...,
;
1,..., )
ij
ij
c
a
i
m j
n
 


. 
Свойства: 
1) А + В = В + А (коммутативность сложения матриц); 
2) (А + В) + С = А + (В + С) = А + В + С (ассоциативность сложения 
матриц); 
3) А + 0 = 0 + А; 
4) (А + В) = А + В; 
5) ( + )А = А + А. 
Произведением матриц А размера m × n и В размера  
n × k 
называется 
матрица 
С = АВ 
размера 
m × k, 
где 

1
(
1,...,
;
1,..., )
n

ij
ik kj
k
c
a b
i
m j
k






. 

 
1. Матрицы и действия над ними  
11

 

 

Элемент сij получается в результате умножения i-й строки 
матрицы А на j-й столбец матрицы В: 
 

11
12
1
11
1
1

21
2
2
1
2

1
1
2

,
;

n
j
k

j
k
i
i
in

n
nj
nk
m
m
mn

a
a
a
b
b
b

b
b
b
A
a
a
a
B

b
b
b
a
a
a
















 



































 

 

1 1
2 2
...
ij
i
j
i
j
in nj
c
a b
a b
a b




, 

 
причем такое произведение можно составить только тогда, когда 
строки матрицы А и столбцы матрицы В содержат одинаковое 
число элементов. Если это не так, то матрицы перемножить 
нельзя. 
Отметим, что, вообще говоря, AB  BA (может даже быть так, 
что произведение АВ существует, а ВА – нет).  
Свойства: 
1) AB  BA (отсутствие коммутативности умножения матриц);         
2) А(ВС) = (АВ)С (ассоциативность умножения матриц); 
3) (АВ) = (А)В = А(В); 
4) ()А = (А) = (А); 
5) (А + В)С = АС + ВС; С(А + В) = СА + СВ (дистрибутивность).           
Заметим, что если Е – единичная матрица порядка n и А – 
матрица размера m × n, то АЕ = А; если А – матрица размера  
n × k, то ЕА = А; если А – квадратная матрица порядка n, то  
АЕ = ЕА = А. 
Возведение квадратной матрицы в натуральную степень определяется 
естественным образом: А2 = АА, А3 = ААА = А2А  
и т. д. 
Матрица 
 
ij
B
b

 называется транспонированной к матри- 

це 
 
ij
A
a

, если bij = aji. При этом используют обозначение  
B = AT. Строки матрицы АТ являются столбцами матрицы А,  
и наоборот.  
 
 
Свойства: 

1) 

T
T
A
A

;  

2) 

T
T
T
AB
B A

. 

Раздел I. Линейная алгебра 

 
П р и м е р  1.2. Даны матрицы: 
 

1
0
2
3
1
1
A



 




, 
2
4
5
1
B


 




, 
1
3
5
0
2
4
C





 






. 

 
1) Определить размеры этих матриц. 
2) Вычислить, если возможно, их попарные произведения. 
3) Выполнить, если возможно, действия: А + В; 3АТ + С; ААТ + В2. 
Решение: 
1) А – матрица размера 2 × 3; В – квадратная матрица порядка 2  
(т. е. размера 2 × 2), С – матрица размера 3 × 2. 
2) Произведение АВ не существует, так как число элементов  
в строке матрицы А не равно числу элементов в столбце матрицы В. 
Аналогично не существует произведение ВС. 
 
2
4
1
0
2
5
1
3
1
1
BA














2 1
4 3
2 0
4 ( 1)
2 ( 2)
4 1
14
4
0

5 1
( 1) 3
5 0
( 1) ( 1)
5 ( 2)
( 1) 1
2
1
11

  
 
 
 
 











  

  
 
 
 






;        

 
1 ( 1)
0 5
( 2) 2
1 3
0 0
( 2) 4
5
5
3 ( 1)
( 1) 5
1 2
3 3
( 1) 0
1 4
6
13
AC
 

  

 

 













 
 
  
  

 





; 

 
8
3
5
5
0
10
14
4
0
CA















; 
13
7
10
20
24
4
CB






 






. 

 
3) Найти сумму А + В невозможно, так как не совпадают размеры 
матриц. 
 

1
3
1
3
3
3
0
1
5
0
2
1
2
4

3
9
1
3
2
12
0
3
5
0
5
3 ;
6
3
2
4
4
7

T
A
C



































































 

 

 
2. Определители  
13

 

 

2
1
3
1
0
2
2
4
2
4
0
1
3
1
1
5
1
5
1
2
1

T
AA
B



































5
1
24
4
29
5
1
11
5
21
6
32





















. 

 
Таким образом, все возможные решения найдены. 
 
 
 
2. Определители 
 
2.1. Основные понятия 
 
Определитель, или детерминант (determinant), квадратной 

матрицы 

11
1

1

...
...
...

n

n
nn

a
a
A
a
a





 






 порядка n (или просто определи-

тель n-го порядка) – числовая характеристика этой матрицы, 

которую обозначают 

11
1

1

...

det
...
...

n

A

n
nn

a
a

A
A
a
a

 

 и вычисля-

ют в соответствии со следующим определением: 
 

11
11
a
a

; 

 

11
12
11
22
12
21
21
22
;
a
a
a
a
a
a
a
a




 

 

  

11
12
13

21
22
23
11
11
12
12
13
13

31
32
33

,
a
a
a
a
a
a
a
A
a
A
a
A
a
a
a






  
(2.1) 

 
где числа А1j называются алгебраическими дополнениями соответствующих 
элементов определителя и вычисляются по формулам: 

Раздел I. Линейная алгебра 

 

22
23
21
23
1 1
1 2
11
12
32
33
31
33

21
22
1 3
13
31
32

( 1)
;
( 1)
;

( 1)
;

a
a
a
a
A
A
a
a
a
a

a
a
A
a
a






 
 

 

 

 

  

11
1

1
1
1
1

,

n
n

j
j
j
n
nn

a
a
a
A
a
a








  
(2.2) 

 
где алгебраические дополнения А1j вычисляются аналогично 
предыдущему. 
Вообще алгебраическим дополнением Аij для элемента аij называется 
число 
( 1)i
j
ij
ij
A
M

 
, где Mij – минор элемента аij, т. е. 

определитель, полученный из A  вычеркиванием i-й строки  
и j-го столбца. 
 
З а м е ч а н и е .  Вычисление определителя по формулам (2.1) и (2.2)           
называется разложением определителя по первой строке. Любой определитель 
может быть вычислен с помощью аналогичного разложения 
по любой строке или столбцу. Понятно, что для разложения определителя 
выгодно выбирать ту строку (или столбец), в которой содержится 
наибольшее количество нулевых элементов (конечно, если они 
есть). 
 

П р и м е р  2.1. Вычислить определитель 

2
3
1

0
4
2
7
3
5





. 

Решение. Поскольку определитель содержит нулевой элемент во 
второй строке, выберем ее для разложения определителя: 
 

21
22
23

2
3
1
2
1
2
3
0
4
2
0
4
2
4
2
7
5
7
3
7
3
5
A
A
A

















 

4(2 5
( 1) 7)
2(2 ( 3)
3 7)
122

  


 
 

. 
 
 
 

 
2. Определители  
15

 

 

2.2. Свойства определителей  
 
1) Определитель не меняется при его транспонировании: 
T
A
A

. 

Отсюда следует, что любые операции со столбцами определителя 
эквивалентны аналогичным операциям с его строками.  
2) Если в определителе поменять местами две строки (столбца), 
то определитель изменит знак на противоположный. 
3) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя 
равны нулю, то сам определитель равен нулю. 
4) Умножение какой-либо строки (столбца) определителя на 
произвольное число равносильно умножению определителя на 
это число. Следовательно, общий множитель элементов фиксиро-            
ванной строки (столбца) можно выносить за знак определителя: 
 

11
12
13
11
12
13

21
22
23
21
22
23

31
32
33
31
32
33

ka
ka
ka
a
a
a

a
a
a
k a
a
a
a
a
a
a
a
a

. 

 
5) Если определитель содержит две одинаковые или пропорциональные 
строки, то он равен нулю.  
6) Если все элементы какой-либо строки (столбца) представлены 
в виде суммы, то такой определитель можно представить 
как сумму двух определителей: 
 

11
11
12
12
13
13
11
12
13
11
12
13

21
22
23
21
22
23
21
22
23

31
32
33
31
32
33
31
32
33

a
b
a
b
a
b
a
a
a
b
b
b

a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a







. 

 
7) Определитель не меняется, если к любой строке (столбцу) 
прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), 
умноженные на фиксированное число: 
 

11
12
13
11
12
13

21
22
23
21
11
22
12
23
13

31
32
33
31
32
33

a
a
a
a
a
a

a
a
a
a
ka
a
ka
a
ka
a
a
a
a
a
a




. 

 
8) Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то 

AB
A B

.