Моделирование объектов и процессов управления

Содержание

1

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное автономное 

образовательное учреждение высшего образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Инженерно-технологическая академия

В. В. СОЛОВЬЕВ
В. В. ШАДРИНА
Е. А. ШЕСТОВА

С. В. КИРИЛЬЧИК

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ
И ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ

Учебное пособие

Ростов-на-Дону – Таганрог

Издательство Южного федерального университета

2022

Содержание

2

УДК 519.876.2(075.8)
ББК 22.18.я73

С603

Печатается по решению кафедры систем автоматического управления 

Института радиотехнических систем и управления

Южного федерального университета 

(протокол № 13 от 2 июня 2022 г.)

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой систем             

автоматизированного проектирования Института компьютерных                 

технологий и информационной безопасности

Южного федерального университета В. В. Курейчик

кандидат технических наук, доцент кафедры ТСИТ

Политехнического института (филиал) ДГТУ в г. Таганроге Н. А. Иванова

Соловьев, В. В.

С603
Моделирование объектов и процессов управления : учебное по-

собие / В. В. Соловьев, В. В. Шадрина, Е. А. Шестова, С. В. Кириль-
чик ; Южный федеральный университет. – Ростов-на-Дону ; Таганрог : 
Издательство Южного федерального университета, 2022. – 158 с.

ISBN 978-5-9275-4307-6
В первой части учебного пособия рассматриваются математические мо-

дели динамических систем в виде дифференциальных уравнений, передаточных 
функций и переменных состояния. Представлен пример разработки программного 
модуля для исследования системы управления с двигателем постоянного 
тока. Во второй части пособия рассмотрен процесс разработки автоматных 
моделей систем на примере коптильной установки. Пособие предназначено 
для студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалаври-
ата 15.03.04 и 27.03.04. Материалы пособия могут быть полезны для студентов, 
аспирантов и специалистов в области разработки моделей систем и математического 
моделирования.

УДК 519.876.2(075.8)

ББК 22.18.я73

ISBN 978-5-9275-4307-6

© Южный федеральный университет, 2022
© Соловьев В. В., Шадрина В. В., 

Шестова Е. А., Кирильчик С. В., 2022

© Оформление. Макет. Издательство

Южного федерального университета, 2022

Содержание

3

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………
5

1. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
ДЛЯ РАЗРАБОТКИ В ПРОЕКТЕ ……………………………….....
6

1.1. Модели в виде дифференциальных уравнений ……………….
6

1.2. Модели в виде передаточных функций ………………………..
9

1.3. Модели в виде уравнений в переменных состояния ………….
10

1.4. Модель устройства управления для динамических систем …..
13

2. СУЩЕСТВУЮЩИЕ РЕШЕНИЯ И ТРЕБОВАНИЯ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ………...
15

2.1. Анализ существующих программных продуктов …………….
15

2.2. Формирование требований к программе для исследования 
динамических систем ……………………………………………….
21

3. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ 
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ………...
23

3.1. Вывод математических моделей двигателя постоянного тока ….
23

3.2. Разработка интерфейса пользователя ………………………….
27

3.3. Тестирование программного модуля ………………………….
33

3.4. Компиляция программного модуля в исполняемый файл ……
40

4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ 
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ ………………………………………
44

4.1. Модели динамических систем …………………………………
44

4.2. Структурная схема динамических систем управления ……….
46

4.3. Приложение для исследования работоспособности динамических 
систем управления с двигателем постоянного тока ………
47

4.4. Задание на выполнение …………………………………………
51

4.5. Содержание отчета ……………………………………………..
54

5. ОБЗОР АВТОМАТНЫХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ………………..
55

5.1. Общие теоретические сведения ………………………………..
55

5.2. Модели структурных автоматов ……………………………….
57

5.3. Формализация управляющей системы в классе автоматных 
моделей ………………………………………………………………
61

Содержание

4

6. ФОРМИРОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ
К РАЗРАБАТЫВАЕМОМУ МОДУЛЮ …………………………...
65

6.1. Анализ существующих программных продуктов для исследования 
автоматных моделей …………………………………………
65

6.2. Требования к программному модулю …………………………
69

7. РАЗРАБОТКА ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ 
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АВТОМАТНЫХ СИСТЕМ ……………
71

7.1. Синтез развернутой схемы конечного автомата состояний 
коптильной установки ………………………………………………
71

7.2. Разработка интерфейса пользователя ………………………….
72

7.3. Программная реализация автоматной модели ………………..
78

7.4. Реализация динамического поведения коптильной установки ….
79

7.5. Тестирование работоспособности программного модуля ……
84

7.6. Компиляция в исполняемый файл ……………………………..
89

8. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
АВТОМАТНЫХ СИСТЕМ ………………………………………….
92

8.1. Автоматные модели систем управления ………………………
92

8.2. Разработка схемы конечного автомата коптильной установки …
93

8.3. Приложение для исследования работоспособности автоматной 
модели …………………………………………………………...
95

8.4. Задание на выполнение …………………………………………
97

8.5. Содержание отчета ……………………………………………..
98

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………..
99

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …………………………………………….
100

ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………………………….
103

Приложение А ……………………………………………………….
103

Приложение Б ……………………………………………………….
105

Приложение В ……………………………………………………….
106

Приложение Г ……………………………………………………….
131

Приложение Д ……………………………………………………….
134

Содержание

5

ВВЕДЕНИЕ

Специалисты, изучающие область автоматизации и управления, 

должны знать классические методы моделирования объектов и процессов 
управления.

Первая часть учебного пособия посвящена разработке моделей си-

стем в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций и переменных 
состояния. В качестве примера, рассмотрена процедура разработки 
системы управления с обратной связью для двигателя постоянного 
тока, которая реализована в виде программного приложения в среде 
MATLAB. Приложение построено таким образом, что пользователю доступны 
не только настройки параметров двигателя, регулятора, датчика 
частоты вращения, но и справочно-иллюстративные материалы, поясняющие 
работу элементов системы управления. Основные параметры системы 
управления в процессе моделирования отображаются в виде графиков, 
что позволяет оценить ее работоспособность. Дополнительно сформированы 
методические указания по исследованию системы управления с 
двигателем постоянного тока с вариантами заданий для выполнения.

Вторая часть учебного пособия посвящена разработке автоматных 

систем управления, чтобы приблизить обучающихся к реализации алгоритмов 
в реальных устройствах управления. В качестве объекта исследования 
выбрана коптильная установка, которая характеризуется несколькими 
режимами работы и большим количеством возможных состояний. 
Читателям представлена пошаговая процедура выделения состояний объекта 
исследования, формирования условий перехода из состояния в состояние 
и построение графа конечного автомата системы управления. Показан 
процесс разработки программного приложения для исследования 
автоматной модели коптильной установки в среде MATLAB. Также сформированы 
методические указания и варианты заданий для выполнения 
работы самостоятельно.

Авторы надеются, что представленные в пособии материалы будут 

полезны специалистам, изучающим область автоматизации и управления, 
а также преподавателям дисциплин «Моделирование систем» и «Моделирование 
систем управления».

1. Виды моделей динамических систем для разработки в проекте

6

1. ВИДЫ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

ДЛЯ РАЗРАБОТКИ В ПРОЕКТЕ

1.1. Модели в виде дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения широко используются для описания 

динамических систем. В общем виде линейное дифференциальное уравнение 
представляется следующим образом [1, 2]:

𝑦(𝑛) + 𝑎𝑛−1𝑦(𝑛−1) + ⋯ + 𝑎1𝑦′ + 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑔 + 𝑏1𝑔′ + ⋯ +

+𝑏𝑚−1𝑔(𝑚−1) + + 𝑏𝑚𝑔(𝑚),
(1.1)

где 𝑔 – входной сигнал системы; 𝑦 – выходной сигнал системы; 𝑎𝑖, 𝑏𝑗 –
числовые коэффициенты; n, m – порядок старшей производной выходного 
и входного сигналов соответственно.

С использованием уравнения (1.1) можно моделировать системы, у 

которых постоянные параметры (стационарные). Это системы, у которых 
не изменяется масса в процессе функционирования или не изменяется индуктивность, 
емкость, сопротивление. Таких систем большинство в окружающем 
мире: электрические двигатели, стабилизаторы напряжения, 
нагревательные тэны и прочие.

Уравнение (1.1) записано во временной области. В теории управле-

ния намного удобнее исследовать модели в операторной области, так как 
дифференциальные уравнения фактически вырождаются в алгебраические. 
Для записи уравнения в операторной форме достаточно выполнить замену 
переменных:

𝑝 =

𝑑

𝑑𝑡, 𝑦(𝑡) → 𝑦(𝑝), 𝑦′(𝑡) → 𝑝 ∙ 𝑦(𝑝), 𝑦′′(𝑡) →

→ 𝑝2 ∙ 𝑦(𝑝) , … 𝑦(𝑛)(𝑡) → 𝑝𝑛 ∙ 𝑦(𝑝),

𝑔(𝑡) → 𝑔(𝑝), 𝑔′(𝑡) → 𝑝 ∙ 𝑔(𝑝), 𝑔′′(𝑡) → 𝑝2 ∙ 𝑔(𝑝) , … 𝑔(𝑛)(𝑡) → 𝑝𝑛 ∙ 𝑔(𝑝),

и переписать в следующем виде:

𝑝𝑛𝑦(𝑝) + 𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1𝑦(𝑝) + ⋯ + 𝑎1𝑝𝑦(𝑝) + 𝑎0𝑦(𝑝) =

= 𝑏0𝑔(𝑝) + 𝑏1𝑝𝑔(𝑝) + ⋯ + 𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1𝑔(𝑝) + 𝑏𝑚𝑝𝑚𝑔(𝑝),
(1.2)

где p – оператор Лапласа.

1.1. Модели в виде дифференциальных уравнений

7

Для программирования дифференциальных уравнений разработано 

множество численных методов их решения [3], которые следует использовать 
в разрабатываемом программном модуле.

Самым простым методом численного решения дифференциальных 

уравнений является метод Эйлера. Пусть рассматривается дифференциальное 
уравнение первого порядка

𝑦′(𝑡) = 𝑓(𝑡, 𝑔, 𝑦),
(1.3)

где f – некоторая функция. 

Разделим пространство времени на множество одинаковых интерва-

лов шириной h:

𝑡0 = 0, 𝑡1 = ℎ, 𝑡2 = 2ℎ, … 𝑡𝑖 = 𝑖 ∙ ℎ.

Заменим первую производную в левой части уравнения (1.3) раз-

ностью

𝑦𝑖+1−𝑦𝑖

ℎ
= 𝑓(𝑡𝑖, 𝑔𝑖, 𝑦𝑖),

и выразим 𝑦𝑖+1:

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ ∙ 𝑓(𝑡𝑖, 𝑔𝑖, 𝑦𝑖).
(1.4)

Выражение (1.4) позволяет последовательно получать численные 

значения выходного сигнала 𝑦𝑖+1 на основе предыдущего значения 𝑦𝑖. Очевидно, 
что чем меньше величина интервала h, тем точнее будет полученное 
решение уравнения. 

Наиболее распространенным методом решения дифференциальных 

уравнений является метод Рунге  Кутта [4], который основан на следующей 
расчетной схеме:

𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 +

1

6 (𝑑0 + 2𝑑1 + 2𝑑2 + 𝑑3),  𝑖 = 0, 1, …,
(1.5)

𝑑0 = ℎ ∙ 𝑓(𝑡𝑖, 𝑔𝑖, 𝑦𝑖),

𝑑1 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑡𝑖 + ℎ

2 , 𝑔𝑖, 𝑦𝑖 + 𝑑0

2 ),

𝑑2 = ℎ ∙ 𝑓 (𝑡𝑖 + ℎ

2 , 𝑔𝑖, 𝑦𝑖 + 𝑑1

2 ),

𝑑3 = ℎ ∙ 𝑓(𝑡𝑖 + ℎ, 𝑔𝑖, 𝑦𝑖 + 𝑑2).

Как видно из выражения (1.5), на каждом шаге решения уравнения 

четыре раза вычисляется значение функции 𝑓, но тем самым обеспечивается 
высокая точность полученного результата. Также метод Рунге  Кутта

1. Виды моделей динамических систем для разработки в проекте

8

позволяет устанавливать более широкий интервал h по сравнению с методом 
Эйлера. 

Для оценки точности численных методов с целью дальнейшей их ре-

ализации в программном модуле, рассмотрим дифференциальное уравнение 
процесса изменения температуры в помещении от нагревателя:

𝑦′(𝑡) + 0,04 ∙ 𝑦(𝑡) = 𝑔(𝑡).
(1.6)

Мощность нагревателя задана g(t) = 1, что соответствует 100 %. 

Начальное условие для заданного уравнения принято y(0) = 20 градусов.

Для исследования решения уравнения аналитическим и численными 

методами разработана программа в среде MATLAB, приведенная в прил. А.

Уравнение (1.6) имеет аналитическое решение:

𝑦(𝑡) = 25 − 5 ∙ 𝑒−0,04∙𝑡.

График аналитического решения представлен на рис. 1.1.

Рис. 1.1. График аналитического решения дифференциального уравнения 

процесса изменения температуры

Согласно графику видно, что температура в помещении с моделью, 

заданной уравнением (1.6) с нагревателем, включенным на полную мощность, 
через 150 секунд достигнет 25 градусов.

1.2. Модели в виде передаточных функций

9

В программе реализован методы Эйлера и метод Рунге  Кутта. Гра-

фики изменения температуры при разных значениях интервала времени 
представлены на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Результаты численного решения уравнения

Согласно полученным графикам видно, что удовлетворительных ре-

зультатов можно достичь при временном интервале 0,1 с и менее. При 
больших значениях h динамика системы существенно отличается от аналитического 
решения дифференциального уравнения. Следовательно, при 
разработке программного модуля необходимо предусмотреть возможность 
пользователю изменять интервал времени. 

1.2. Модели в виде передаточных функций

В предыдущем разделе была рассмотрена операторная форма записи 

дифференциальных уравнений. Из дифференциальных уравнений в операторной 
записи легко могут быть получены другие модели, которые называются 
передаточными функциями. 

1. Виды моделей динамических систем для разработки в проекте

10

Передаточная функция – это отношение изображения по Лапласу 

выходного сигнала системы, к изображению по Лапласу входного сигнала 
системы при нулевых начальных условиях и отсутствии внешних возмущений [
5]. Согласно данному определению, можно представить передаточную 
функцию в виде

𝑊(𝑝) =

𝑦(𝑝)

𝑔(𝑝), 
(1.7)

где W(p) – обозначение передаточной функции.

Согласно выражению (1.7), уравнение (1.2) можно переписать в виде 

передаточной функции

𝑊(𝑝) =

𝑏0+𝑏1𝑝+⋯+𝑏𝑚−1𝑝𝑚−1+𝑏𝑚𝑝𝑚

𝑝𝑛+𝑎𝑛−1𝑝𝑛−1+⋯+𝑎1𝑝+𝑎0 .
(1.8)

Таким образом, переход от дифференциальных уравнений к переда-

точным функциям осуществляется без трудоемких вычислений.

1.3. Модели в виде уравнений 

в переменных состояния

Наиболее современной формой описания динамических систем явля-

ются модели в виде уравнений в переменных состояния следующего вида:

𝑥̇ = 𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐵 ∙ 𝑔,
(1.9)

𝑦 = 𝐶 ∙ 𝑥 + 𝐷 ∙ 𝑔,
(1.10)

где x – переменные состояния (внутренние переменные системы); y – выходной 
сигнал; g – входной сигнал; A, B, C, D – матрицы чисел.

В общем случае, в модели (1.9), (1.10) все переменные векторные и, 

следовательно, представляют собой систему дифференциальных уравнений. 
Следует отметить, что традиционно в теории автоматического управления 
в качестве символа производной используется точка над переменной, 
а не штрих.

Переход от передаточных функций к уравнениям в переменных со-

стояния можно выполнить по формулам [6]:

𝑊𝑦𝑔(𝑝) = 𝛽𝑛 +

𝑏1+𝑏2𝑝+⋯+𝑏𝑛𝑝𝑛−1

𝛼0+𝛼1𝑝+⋯+𝛼𝑛−1𝑝𝑛−1+𝑝𝑛 ,



1.3. Модели в виде уравнений в переменных состояния

11



𝑥̇ =

[
 
 
 
 0
1
0
⋯
0

0
0
1
⋯
0

⋮
⋮
⋮
⋱
⋮

0
0
0
⋯
1

−𝑎0
− 𝑎1
− 𝑎2
⋯
− 𝑎𝑛−1]

 
 
 
 

𝑥 +

[
 
 
 
 0
0
⋮
0
1]

 
 
 
 

𝑔,
(1.11)

𝑦 = [ 𝑏1
𝑏2
𝑏3
⋯
𝑏𝑛 ]𝑥 + 𝛽𝑛𝑔.
(1.12)

Как видно из выражений (1.11), (1.12), переход от передаточной 

функции к модели в переменных состояния осуществляется без каких-либо 
расчетов путем записи коэффициентов в требуемые позиции матриц.

Также можно выполнить обратный переход от уравнений в перемен-

ных состояния к передаточной функции в соответствии с выражением

𝑊(𝑝) = 𝐶(𝑝𝐸 − 𝐴)−1𝐵 + 𝐷,
(1.13)

где E – единичная матрица с размерностью, совпадающей с матрицей A.

Перед разработкой программного модуля для исследования динами-

ческих систем рассмотрим на примере переход от одного вида моделей к 
другому виду и сравним выходные сигналы при подаче на вход всех моделей 
одного и того же входного сигнала.

Пусть задано дифференциальное уравнение второго порядка, описы-

вающее динамику качки корабля [7]:

𝑦′′(𝑡) + 0,8𝑦(𝑡) = 0,01 ∙ 𝑔(𝑡).
(1.14)

Согласно выражению (1.2), его можно переписать в операторной форме

𝑝2𝑦(𝑝) + 0,8𝑦(𝑝) = 0,01 ∙ 𝑔(𝑝),

или составить передаточную функцию

W(𝑝) =

0,01

𝑝2+0,8.
(1.15)

В соответствии с выражениями (1.11), (1.12) составляется модель в 

виде уравнений в переменных состояния:

𝑥̇ = [ 0
1

−0,8
0] 𝑥 + [0

1] 𝑔,
(1.16)

𝑦 = [0,01
0]𝑥.
(1.17)

Для моделирования выражений (1.14)(1.17) составлена программа в 

среде MATLAB, представленная в прил. Б. Моделировалась качка корабля для 
модели, заданной в виде дифференциального уравнения, передаточной функции 
и уравнений в переменных состояния, как представлено на рис. 1.31.5.

1. Виды моделей динамических систем для разработки в проекте

12

Рис. 1.3. Модель качки корабля, заданная дифференциальным уравнением

Рис. 1.4. Модель качки корабля, заданная передаточной функцией