Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих устройств радио и оптического диапазонов

Министерство науки и высшего образования российской Федерации

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«ЮЖный ФедераЛЬный университет»

академия физической культуры и спорта

А. М. Лерер 
И. В. Донец 
С. М. цВеткоВСкАя

Фотонные крИСтАЛЛы 

ДЛя ВоЛноВеДущИх 

И ФокуСИрующИх уСтройСтВ  

рАДИо И оптИчеСкого  

ДИАпАзоноВ

Монография

ростов-на-дону – таганрог
издательство Южного федерального университета
2022

удк 537.86:53(075.8)
ббк  22.336+22.3я73
Л49

Печатается по решению Комитета при Ученом совете Южного федерального 
университета по естественнонаучному и математическому направлению 
науки и образования (протокол ¹ 8 от 6 июля 2022 г.)

рецензенты:

доцент кафедры физики донского государственного технического университета, 
кандидат физико-математических наук, доцент И. Г. Попова;

заведующий кафедрой радиофизики Южного федерального университета доктор 
физико-математических наук, профессор Г. Ф. Заргано

 
Лерер А. М.

Л49 
 
Фотонные кристаллы для волноведущих и фокусирующих 
устройств радио и оптического диапазонов : монография / 
а. М. Лерер, и. в. донец, с. М. цветковская ; Южный федеральный 
университет. – ростов-на-дону ; таганрог : издательство 
Южного федерального университета, 2022. – 150 с.

ISBN 978-5-9275-4350-2
DOI 10.18522/801299966
Монография предназначена для студентов бакалавриата и магистратуры 
обучающихся по направлению 03.03.02 – физика и 03.03.03 – радиофизика. 
основное внимание уделено вопросам распространения и дифракции 
электромагнитных волн в искусственных средах имеющих упорядоченную 
структуру – так называемым фотонным кристаллам (Фк). описаны 
современные строгие электродинамические методы анализа фотонных 
кристаллов. исследуются явления полос непрозрачности, зависящих от 
поляризации и направления распространения собственных волн кристалла. 
Приводятся методики гомогенизации фотонного кристалла в области 
низких частот. Показаны результаты синтеза и строгого анализа фокусирующих 
устройств выполненных из Фк.
Публикуется в авторской редакции.

© Южный федеральный университет, 2022
©  Лерер а. М., донец и. в., 
цветковская с. М., 2022
©  оформление. Макет. издательство Южного 
федерального университета, 2022

удк 537.86:53(075.8))
ббк 22.336+22.3я73
ISBN 978-5-9275-4350-2

огЛАВЛенИе

список сокращений и определения обозначений физических  
величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

1. одномерный диэлектрический фотонный кристалл . . . . . . . . . . . .9
1.1. основные теоретические положения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2. основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. объемные интегро-дифференциальные уравнения для задач 
дифракции на диэлектрических телах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.  векторный и скалярный потенциал для монохроматического 
электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.  объемные интегро-дифференциальные уравнения  
при дифракции на диэлектрических телах в однородном 
пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Функция грина для неограниченного пространства . . . . . . . . 21
2.4. Функция грина для периодических структур . . . . . . . . . . . . 25
2.4.1.  2d дифракция. двухмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1.1. E-поляризация распространяющейся волны . . . . . . . 39
2.4.1.2. H-поляризация распространяющейся волны . . . . . . . 32
2.4.2.  3d дифракция. трехмерные диэлектрические фотонные 
кристаллы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.2.1.  диэлектрик в однородной среде. Фотонный кристалл. 
скалярная трехмерная функция грина. . . . . . . . . . . 34
2.4.2.2.  диэлектрик в неоднородной среде. тензорная  
трехмерная функция грина для двухслойной среды. . 40

3. интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на металлических телах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.  решение интегрального уравнения для задачи распространения 
электромагнитной волны в трехмерной периодической  
структуре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.  интегро – дифференциальное уравнение для дифракции 
на цилиндрической линзе из трубочек . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.3.  решение задачи дифракции плоской электромагнитной волны 
на слое идеально проводящих полых цилиндров . . . . . . . . . . 74
3.4.  Экстракция параметров – эффективной диэлектрической 
и магнитной проницаемостей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1. Первый способ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.2. второй способ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4. результаты исследований . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.1.  результаты исследования собственных волн 3d фотонных 
кристаллов составленных из диэлектрических цилиндров . . . 81
4.2.  результаты исследования собственных волн и относительных 
проницаемостей 3d фотонных кристаллов, составленных из 
полых металлических цилиндров (трубочек). . . . . . . . . . . . . 94
4.3.  результаты исследования фокусирующих свойств линзы, 
составленной из одинаково ориентированных полых 
металлических цилиндров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4.  результаты определения относительных диэлектрической и 
магнитной проницаемостей при дифракции на слое фотонного 
кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Cписок сокращений и определения обозначений физических 

величин 

 

E  – вектор электрической напряженности 

 – круговая частота 

 – время 

 – мнимая единица 

 – зависимость от времени физических величин в случае 

монохроматических колебаний 

ω

t

1
i =
−

i t
e
ω

Введение 

Фотонные кристаллы (ФК) можно трактовать как среды, 

повторяющие главную особенность кристаллов – периодичность и как 

следствие – наличие запрещенных зон [1], [2], [3], [4], [5]. Например, 

многослойная среда, имеющая период повторения слоев является 

одномерным фотонным кристаллом [6], [7], [8]. При этом количество 

периодов не должно быть бесконечным – количество периодов должно 

быть достаточным для проявления основных черт бесконечного кристалла 

[9], [10]. Если волна распространяется вдоль слоев, на которых 

расположены периодически полоски или щели то такая планарная линия 

передачи также может рассматриваться как одномерный фотонный 

кристалл, имеющий запрещенную полосу [11], [12]. Кроме планарных 

периодических элементов также технологичными являются металлические 

и диэлектрические цилиндры [13], [14], [15]. Искусственные среды на 

основе фотонных кристаллов могут быть эффективно применены для 

создания цилиндрических и трехмерных фокусирующих устройств [16], 

[17], [18]. В фотонном кристалле возможно существование окон 

непрозрачности, характерных для отдельных собственных мод кристалла 

[19], [20]. Данное обстоятельство можно использовать для создания 

разнообразных устройств, таких, например, как фильтры [21], роутеры 

[22], поляризаторы [23]. Широкое внедрение фотонных кристаллов все еще 

сдерживается поисками наиболее удачных их типов с точки зрения 

технологичности изготовления, повторяемости параметров, уменьшенной 

анизотропии, и недостаточной изученности их свойств ввиду отсутствия 

высокоспециализированного 
быстрого 
и 
удобного 
программного 

обеспечения основанного на новых численно – аналитических методах 

решения интегральных уравнений. 

Одномерные 
и 
двумерные 
фотонные 
кристаллы 
в 
виде 

многослойных периодических и резонансных планарных структур находят 

применение в качестве различных пассивных устройств, таких как 

волноведущие линии передачи, в том числе линии задержки, частотно –

избирательные поверхности, резонаторы, фильтры, компоненты антенн, 

направленные ответвители [36], [37], [38], [39]. Для конструирования 

вышеперечисленных устройств необходимо знание таких характеристик

фотонных кристаллов как постоянные распространения, наличие и 

положение запрещенных зон. При решении задач оптимизации быстрота 

расчетов и точность выходят на первый план. Развитие универсального и в 

то же время быстродействующего метода анализа таких устройств, 

который на несколько порядков быстрее существующих пакетов 

электродинамического 
моделирования 
и 
быстрее 
других, 
более 

эффективных методов их анализа [40], [41], [42], [43] создаст условия их 

оптимизации в течении доступного времени. 

Трехмерные фотонные кристаллы, состоящие из малых, по 

сравнению 
с 
длиной 
волны, 
периодических 
металлических 
и 

диэлектрических 
неоднородностей, 
исследуются 
и 
применяются 

длительное время в качестве искусственных диэлектрических сред для 

создания различных устройств радиодиапазона [44], [45], [46], [47], [48]. К 

достоинствам 
таких 
сред 
можно 
отнести 
малую 
плотность 
и 

контролируемость параметров. Но практическое создание таких сред 

сталкивается с разнообразными трудностями технологического характера. 

Фотонные 
кристаллы 
из 
одинаково 
ориентированных 
полых 

металлических цилиндров и/или сплошных диэлектрических цилиндров (к 

ним 
можно 
отнести 
цилиндрические 
отверстия 
в 
диэлектрике)

притягательны с технологической точки зрения [49], [50]. Важным 

является исследование зависимостей постоянных распространения двух 

собственных 
волн 
от 
изменения 
следующих 
параметров: 
тип 

кристаллической решетки, размер элементарной ячейки, количество 

цилиндров в ячейке и их размеры (высота, диаметр, толщина стенок для 

металлических 
цилиндров). 
Необходимым 
является 
нахождение 

соотношения размеров, когда анизотропия минимальна, а коэффициенты 

замедления двух волн близки, что необходимо для использования таких 

структур в качестве среды для изготовления линз радиодиапазона. Для 

конструирования фокусирующих линз также необходимы однозначные 

процедуры экстракции относительных диэлектрических и магнитных 

проницаемостей. 
На 
данный 
момент 
эти 
вопросы 
остаются 

малоизученными. 
Большой 
объем 
численных 
расчетов 
делает 

необходимым развитие эффективных методов анализа таких сред и 

программного обеспечения, которое превосходит имеющиеся пакеты 

электродинамического моделирования на несколько порядков по скорости 

вычислений. 

Трехмерные фотонные кристаллы часто являются искусственной 

средой для изготовления линз радиодиапазона. У таких линз размеры 

составляют от нескольких десятков до нескольких единиц длин волн [51], 

[52], [53], что в последнее время наблюдается и для линз оптического

диапазона [54], [55], [56], [57], [58]. Фокусирующие свойства таких малых 

линз могут существенно отличаться от линз больших размеров, причем 

этот вопрос недостаточно изучен. Исследование фокусирующих свойств 

линз малых размеров (цилиндрических и трехмерных) с различными 

профилями поверхности и профилями диэлектрического заполнения

необходимо при конструировании линзовых антенных систем. Изучение 

полей в ближней зоне, когда облучающий диполь помещен в фокусе линзы 

важно с точки зрения возможности получения плоского однородного 

фронта волны в ближней зоне антенного излучателя. На данный момент 

фокусирующие свойства линз малых размеров разнообразных профилей с 

неоднородным заполнением практически не изучены. Создание плоского 

волнового фронта линзой малых размеров строго не обосновано. 

Существующее программное обеспечение тратит слишком много 

компьютерных ресурсов и вычислительного времени для решения таких 

задач. Развитие новых методов анализа и оптимизации цилиндрических и 

трехмерных линз с разными профилями поверхности и с неоднородным 

диэлектрическим заполнением и разработка программного обеспечения, 

которое на несколько порядков быстрее чем известные пакеты 

электродинамического моделирования позволит создать новые антенные 

системы. 

Одномерные и двумерные нелинейные фотонные кристаллы в виде 

многослойных нелинейных структур и нелинейных дифракционных

решеток находят свое применение для усиления нелинейного отклика при 

небольших размерах устройства [59], [60], [61], [62], [63]. Особенно 

эффективным становится порождение высших гармоник при достижении 

явлений резонанса [64], [65]. Развитие методов анализа и оптимизации 

небольших по размерам многослойных фотонных кристаллов и 

многослойных дифракционных решеток с полосами из нелинейного 

материала, такого как графен [66] необходимо для эффективного 

порождения высших гармоник оптического диапазона.  

Основные научные результаты по фотонным кристаллам авторы 

данного пособия опубликовали в работах [67-78]. 

 

1. 
Одномерный диэлектрический фотонный кристалл 

 

Диэлектрические фотонные кристаллы (ФК) — структуры, 

характеризующиеся 
периодическим 
изменением 
диэлектрической 

10

проницаемости в пространстве. Их оптические свойства сильно 

отличаются от сплошных сред. Распространение излучения внутри ФК 

благодаря периодичности среды становится похожим на движение 

электрона внутри обычного кристалла под действием периодического 

потенциала. В результате электромагнитные волны в ФК имеют зонный 

спектр и координатную зависимость, аналогичную блоховским волнам 

электронов в обычных кристаллах. В зонной структуре ФК при 

определенных условиях образуются щели, аналогично запрещенным 

электронным зонам в естественных кристаллах. В зависимости от свойств 

материала элементов, их размера и периода решетки в спектре ФК могут 

образовываться, как полностью запрещенные по частоте зоны, для 

которых распространение излучения невозможно независимо от его 

поляризации и направления, так и частично запрещенные (стоп-зоны), в 

которых распространение возможно лишь в выделенных направлениях. 

Интерес к исследованию оптических свойств ФК вызван, как с 

фундаментальной точки зрения, так и для возможных многочисленных 

приложений. На основе ФК создаются и разрабатываются оптические 

фильтры, волноводы, устройства, позволяющие осуществлять управление 

тепловым излучением. 

1.1 Основные теоретические положения 

Рассмотрим 
одномерный 
фотонный 
кристалл, 
который 

представляет собой чередующиеся бесконечные слои диэлектрика с 

разными коэффициентами преломления. Рассмотрим наиболее простой 

случай, когда таких слоя всего 2 с показателями преломления 
1n и 
2n и 

толщинами 
1
2
,
d
d . 
Период 
структуры 
равен 
1
2
d
d
d


 
. 
Волна 

распространяется вдоль оси z перпендикулярной плоскости слоев. 

Структура бесконечная во всех трех направлениях. Распространение 

волны в такой структуре сопровождается отражениями на каждой границе 

раздела слоев. В результате в каждом слое будут волны, идущие как в 

направлении оси z  так и в противоположном оси направлении. В 

результате поле в каждом слое может быть представлено как сумма этих 

волн 
описываемых 
гармоническими 
функциями 
с 
неизвестными 

амплитудами и фазами.  

n1 
n2 
n1 
n2 
z 

d1
d2
d1
d2

 

Представим это поле в виде: 

 




































1
1
2
1
1
1
1
1

1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2

1
1
2
1
1
1
1
1

sin
sin
sin
0

sin
sin
sin
,

sin
sin
sin
0
j

A
k z
A
k
d
z
k d
z
d

E z
B
k
z
d
B
k
d
z
k d
d
z
d
k
kn
k
kn

e
A
k z
A
k
d
z
k d
z
z
d
z
d




































 

Согласно подходу Флоке к периодическим структурам поле при 

сдвиге вдоль структуры на период приобретает некоторый фазовый сдвиг 

  при этом полностью сохраняет свою конфигурацию. Указанное 

обстоятельство учитывается множителем 
j
e

  в третьей строчке 

вышеприведенной формулы. Сравните первую и третью строчку формулы. 

Аналогичная связь существует между второй и четвертой строчкой, 

которую не имеет смысла записывать. В формуле коэффициенты 

1
2
1
2
,
,
,
A
A
B
B   - неизвестные комплексные числа. Фазовый сдвиг   который 

и определяет фазовую скорость распространяющейся волны также 

неизвестен. Мы записали выражения для напряженности электрического 

поля. Так как волна распространяется перпендикулярно слоям, для 

напряженности магнитного поля мы можем записать такие же выражения. 

Так как поперечное магнитное поле пропорционально производной 

электрического поля по продольной координате, найдем производную по 

z : 

12

 




































1
1
1
2
1
1
1
1
1

2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2

1
1
1
2
1
1
1
1
1

cos
cos
sin
0

'
cos
cos
sin
,

cos
cos
sin
0
j

k
A
k z
A
k
d
z
k d
z
d

E z
k
B
k
z
d
B
k
d
z
k d
d
z
d
k
kn
k
kn

e
k
A
k z
A
k
d
z
k d
z
z
d
z
d




































 

Чтобы решить задачу потребуем непрерывности тангенциальных 

компонент напряженности электрического и магнитного полей на границе 

слоев. 

Из непрерывности E(z) при z=d1 и при z=d следует 

1
2
A
B

 и 
1
2
j
B
e
A



 , подставим 

 




































1
1
2
1
1
1
1
1

2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2

1
1
2
1
1
1
1
1

sin
sin
sin
0

sin
sin
sin
,

sin
sin
sin
0

j

j

A
k z
A
k
d
z
k d
z
d

E z
e
A
k
z
d
A
k
d
z
k d
d
z
d
k
kn
k
kn

e
A
k z
A
k
d
z
k d
z
z
d
z
d










































 

 




































1
1
1
2
1
1
1
1
1

2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2

1
1
1
2
1
1
1
1
1

cos
cos
sin
0

'
cos
cos
sin
,

cos
cos
sin
0

j

j

k
A
k z
A
k
d
z
k d
z
d

E z
k
e
A
k
z
d
A
k
d
z
k d
d
z
d
k
kn
k
kn

e
k
A
k z
A
k
d
z
k d
z
z
d
z
d










































 

Из непрерывности E(z)’ при z=d1 при z=d следует 



























1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
2

2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
1
1

cos
sin
cos
sin

cos
sin
cos
sin

j

j
j
k
A
k d
A
k d
k
e
A
A
k d
k d

k
e
A
k d
A
k d
e
k
A
A
k d
k d

















 

В результате получим систему линейных алгебраических уравнений 

относительно неизвестных 
1
2
,
A
A . 





























1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2

1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2

ctg
ctg
sin
sin
0

sin
sin
ctg
ctg
0

j

j
j

A k
k d
k
k d
A
k
k d
k e
k d

A
k e
k d
k
k d
A
k
k d
k
k d

























  

Введем обозначения 



1
1
1 1
ctg
T
k
k d

, 


2
2
2
2
ctg
T
k
k d

, 


1
1
1 1
sin
S
k
k d

, 


2
2
2
2
sin
S
k
k d

 

Тогда 













1
1
2
2
1
2

1
1
2
2
1
2

0

0

j

j
j
A T
T
A
S
S e

A
S e
S
A
T
T

























 

Записанная система имеет решение, только если детерминант равен нулю. 

Из этого условия мы получаем уравнение для нахождения 