Асимптотика

Ростов-на-Дону — Таганрог
Издательство Южного федерального университета
2022

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ  
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

И. Н. Иванова, 
А. М. Лерер, 
В. В. Махно

АСИМПТОТИКА

Учебное пособие

УДК 535.5+517.9 (075.8)
ББК 22.161я73
И 20
Печатается по решению кафедры прикладной электродинамики 
и компьютерного моделирования физического факультета  
Южного федерального университета  
(протокол № 19 от 31 мая 2022 г.)
Рецензенты:
к. ф.-м. н., доцент кафедры математического анализа и геометрии  
ИММиКН им. И. И. Воровича ЮФУ О. А. Иванова;
к. ф.-м. н., доцент кафедры «Связь на железнодорожном транспорте»  
ФГБОУ ВО РГУПС А. А. Ячменов;
д. ф.-м. н., профессор кафедры фундаментальной и прикладной математики 
РГЭУ (РИНХ) М. Б. Стрюков

 
Иванова, И. Н.
И 20 Асимптотика : учебное пособие / И. Н. Иванова, А. М. Лерер, В. В.  Махно ; 
Южный федеральный университет. — Ростов-на-Дону ; Таганрог : 
 Издательство Южного федерального университета, 2022. — 107 с.

ISBN 978-5-9275-4241-3

В пособии вводятся основные понятия и определения теории асимптотических 
разложений, рассматриваются различные методы построения асимптотических 
разложений интегралов, зависящих от параметра, а также построение 
приближенных решений алгебраических уравнений. Наряду с теоретическим материалом 
подробно разобран ряд примеров. Предлагаются задачи и упражнения 
для самостоятельного решения. Пособие может быть использовано при подготовке 
студентов, магистров и аспирантов физических и физико-технических специальностей 
вузов; предназначено также для научных работников, интересующихся 
исследованиями нелинейных волновых процессов. 

ISBN 978-5-9275-4241-3 
УДК 535.5+517.9 (075.8) 
 
ББК 22.161я73

 
© Южный федеральный университет, 2022
 
© Иванова И. Н., Лерер А. М., Махно В. В., 
2022
 
© Оформление. Макет. Издательство 
Южного федерального университета, 2022

СОДЕРЖАНИЕ

1. Асимптотические формула и ряд ..............................................................5
1.1. Основные понятия ..................................................................................5
1.2. Асимптотический ряд ............................................................................6
1.3. Асимптотические степенные ряды .......................................................8

2. Интегрирование по частям ......................................................................10
2.1. Основы метода ......................................................................................10
2.2. Интегралы Лапласа. Лемма Ватсона ..................................................11

3. Метод Лапласа ............................................................................................16
3.1. Применение метода Лапласа ...............................................................17
3.2. Задачи .....................................................................................................23
3.3. Примеры на нахождения асимптотик при x → ∞ ..............................27
3.4. Задания...................................................................................................32

4. Метод стационарной фазы .......................................................................33
 
Приложение ...........................................................................................35
4.1. Примеры на нахождения асимптотик при x→∞ ................................37
4.2. Задания...................................................................................................42

5. Метод перевала ...........................................................................................48
5.1. Асимптотика дифракционного интеграла ..........................................58

6. Асимптотика двойного интеграла ..........................................................60
6.1. Пример ...................................................................................................63

7. Асимптотическое разложение функций Бесселя .................................64

8. Применение АР ...........................................................................................71
8.1. Дифракция на полуплоскости .............................................................71
8.2. Дифракция на щели в идеально проводящем экране  
и на щелевой решетке...........................................................................73
8.3. 3-d функция Грина ................................................................................80
8.4. Функция Грина для двуслойного диэлектрика ..................................82
8.5. Возбуждение планарного диэлектрического волновода нитью 
с током....................................................................................................84
8.6. 3-d функция Грина для двухслойной среды .......................................87

8.7. Фраунгофер — Френель. Дифракция на щели ...................................96
8.8. Поле в дальней зоне произвольного излучателя, на котором задано 
распределение плотности тока ( )
j s′


 ..................................................99

9. Перечень вопросов к экзамену по разделу  
«Асимптотические методы»...................................................................104

Список литературы .....................................................................................106

1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛА И РЯД

1.1. Основные понятия

Рассмотрим некоторые понятия, которыми будем часто оперировать в 
дальнейшем.
Допустим, мы изучаем величину f (x), которую можно вычислить достаточно 
просто в некотором интервале значений аргумента, но чем ближе x к 
некоторому предельному значению a, тем сложнее вычисление f (x).
Например:

a) 

1

( )

n

n

x
f x
n

∞

=
=∑
. Ряд легко суммируется при x  1, а при x → 1 его непо-

средственное вычисление затруднено.

б) 
(
)
(
)

0
2
0

1
( )
1
2
!

n

n

n

x
J
x
n

∞

=


=
−




∑
. Ряд легко суммируется при |x| ≤ 10. При 

больших x (т. е. при x → ∞) вычислить сложно.

В этом случае очень важно знать асимптотическую формулу для f (x) при 
при x → 1, т. е. такую величину f1 (x), которая просто вычисляется для всех 
x и отличается от f (x) тем меньше, чем ближе x к a.
Введем символы о и О [1].

1) Пусть при x → a 
( )
1
( )
f x

x →
ϕ
. Тогда мы ищем f (x) ~ φ (x) при x → a.

f (x) есть асимптотическое приближение к φ (x).

2) Пусть 
( )
0
( )
f x

x →
ϕ
 при x → a. Тогда f (x) = o(φ (x)). Порядок f меньше, 

чем порядок φ.

3) Пусть 
( )
( )
f x
M
x
≤
< ∞
ϕ
. Тогда f (x) = O(φ (x)) . Функция f имеет порядок, 

не превосходящий порядок φ.

Все указанные выше формулы называются асимптотическими формулами 
или асимптотическими оценками. (Последнее выражение будет чаще 
всего относиться к формулам с о или О в правой части.)

И. Иванова, А. Лерер, В. Махно. Асимптотика  

Простые примеры:

При x → ∞:

(
)
( )
( )
2
2
2
 
,
1
1
1
~
; 
( ),
2
.
,
1

x
x
e
sh x
sh x
ch
h
x
o
x
x ct x
thx
x
∼
=
∼
∼
+
∼

При x → 0:
 
( )
( )
2
sin
sin
, 
, 
1 .
ax
ax
x
o x
a
O
x
x
=
∼
=

1.2. Асимптотический ряд

Асимптотическая последовательность функций 
( )
{
}
n x
ϕ
:

 
( )
( )
(
)
1
m
m
x
o
z
+
ϕ
=
ϕ
 x → a

Рассмотрим формальный ряд

 

( )

0
n
n
n

a
x

∞

=
ϕ
∑
, не обязательно сходящийся.

Мы будем говорить, что этот ряд является асимптотическим рядом (асимптотическим 
разложением — АР) в смысле Пуанкаре функции f (z) по 
асимптотической последовательности 
( )
{
}
n z
ϕ
, если для каждого значения 
m выполняется

 
( )
( )
( )
(
)
0

m

n
n
m
n
f z
a
z
o
z
=
−
ϕ
=
ϕ
∑
 при z → a.

Другими словами — порядок остатка АР меньше порядка последнего 
члена разложения [2].

Если функция имеет асимптотическое разложение в этом смысле, то мы 
пишем

 
( )
( )

0
~
n
n
n
f z
a
z

∞

=
ϕ
∑

Частичные суммы этого формального ряда часто называют асимптотическими 
приближениями к функции  f. Первый член называют главным 
членом или асимптотой.

 1. Асимптотические формула и ряд 
7

Основное отличие АР от сходящегося функционального ряда (ФР).

У функционального ряда

( )
( )
0 n
n
n
f z
a
z

∞

=
=
ϕ
∑
, 
( )
( )
0
0
m

n
n
n
f z
a
z
=
−
ϕ
→
∑
 при m → ∞.

Т.е. остаток ряда стремится к нулю при увеличении числа членов ряда.

Пример.

 
( )
2
0
cos
1

xt
x
F x
e
tdt
x

∞

−
=
=
+
∫

Вычислим его, разлагая cos t  в степенной ряд:

( )
(
) (
)
(
)

2

2
0
0
0

2

1
1
1
1
1
1
.
1
2
!
1

n

n
n
xt
n
n
n

t
F x
e
dt
n
x
x
x

x

∞
∞
−

=
=
=
−
=
−
=
+
∑
∑
∫

Этот ряд сходится при x > 1 к сумме 
2
1
x
F
x
=
+

. Этот ряд есть асимпто-

тический ряд для рассматриваемого интеграла. Этот ряд также функцио-

нальный ряд (ФР) при |x| > 1. Он сходится.

Рассмотрим интеграл x → ∞:

 
( )

0 1

xt
e
G x
dt
t

∞
−

=
+
∫
.

Разлагая 1
1 t
+  по степеням t,

( )
(
)
(
)
0
0
0

1
!
1
1
n
n
xt
n
n
n
n
n
G x
e
t dt
x
x

∞
∞
−

=
=
∼
−
=
−
∑
∑
∫
 
(1.1)

Этот ряд расходится при всех конечных значениях x и поэтому представляется 
на первый взгляд бессмысленным. Почему рассмотренный прием 
вычисления интеграла привел к правильному результату в 1-м случае и 
оказался неверным во 2-м. Это объясняется тем, что разложение cos t справедливо 
при всех t, а во 2-м случае (
)
1
1 t
−
+
 разлагается в степенной ряд 
только при |t| > 1.
Таким образом, ряд (1.1) с точки зрения мат. анализа является бессмысленным.

И. Иванова, А. Лерер, В. Махно. Асимптотика  

Тем не менее, просуммируем его при больших x. Например, при x = 10 
первые 4 члена дают:
0,1 – 0,01 + 0,002 – 0,0006 = 0,0914.
И, что удивительно, эта величина близка к истинному значению 
G(10) = 0,09156. Еще лучших результатов мы достигли бы при еще больших 
значениях x.
Природу этого явления легко понять, если рассмотреть интеграл в виде:

 
(
)
(
)

1

0
1

1

0
0
0

;
1
1
1
!
1
1
.

xt
xt

n
n
xt
n
n
n
n

dt
dt
G
e
e
t
t
n
e
t dt
x
x

∞
−
−

∞
−

=
=

=
+
+
+

−
=
−

∫
∫

∑
∑
∫
.

Во 2-м интеграле (
)
1
1 t
−
+
 разлагать в ряд нельзя, но при больших x этот 
интеграл мал [3].
Асимптотические разложения работают потому, что есть область, которая 
вносит основной вклад в интеграл.

 
(
)
(
)

0
0

1
1
1
1
, 
1.
1
1

n
n
n
n

n
n
t
t
t
t
t

∞
∞

=
=

=
−
=
−
<
+
+
∑
∑

1.3. Асимптотические степенные ряды

Если предельная точка а является конечной, преобразуем ее в бесконеч-

но удаленную точку с помощью замены 

(
)

1
z
a
ζ =
−

. В дальнейшем будем 

полагать, что эта операция проделана и будем рассматривать асимптотиче-

ские ряды только при z → ∞ в угле α < arg z < β.

Простейшим типом асимптотической последовательности при z → ∞ 
является 
( )
{
}

n
z z−
ϕ
 
[3]:

( )
( )

0

~
n
n

n

a
f z
z
z

∞

=
ϕ
∑
. Отсюда следует: 
( )
( )
0
~
n
n
n

f z
a

z
z

∞

=
ϕ
∑
.

 1. Асимптотические формула и ряд 
9

Последний ряд является асимптотическим разложением по последовательности {
}


n
z−
. Асимптотическое разложение по последовательности 

{
}

n
z−
 называется асимптотическим степенным рядом.

Доказывается возможность следующих операций над асимптотическими 
рядами:
a) из асимптотического степенного ряда можно составлять линейные 
комбинации;
b) асимптотические степенные ряды можно перемножать и делить;
c) асимптотические степенные ряды можно интегрировать;
d) асимптотические степенные ряды можно дифференцировать, если 
f (z) аналитическая в секторе α < arg z < β .

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

2.1. Основы метода

Одним из простейших путей получения асимптотического разложения 
функций, заданных в виде определенного интеграла, является метод интегрирования 
по частям. Члены асимптотического ряда находятся один за 
другим повторным применением этой операции. Асимптотический характер 
полученного ряда затем устанавливается исследованием остаточного 
члена, который имеет вид определенного интеграла. Область применения 
этого метода достаточно ограничена и сформулировать достаточно общие 
теоремы было бы трудно. Поэтому идею метода разъясним на нескольких 
конкретных примерах.
1) Неполная гамма-функция

(
)
(
)
1
1

0
0

,
,

x
t a
t a
a x
e t
dt
e t
dt
a x

∞
−
−
−
−
γ
=
=
− Γ
∫
∫
,

где

( )

(
)

1

0

1
,

t a

t a

x

a
e t
dt

a x
e t
dt

∞
−
−

∞
−
−

Γ
=

Γ
=

∫

∫
.
 

(2.1)

Проинтегрируем (2.1) по частям

(
)
1
2
, 
1
, 
, 
.
a
a
t
t
t
u du
a
t
dt e dt
dv v
e
−
−
−
−
=
=
−
=
= −

Тогда (
)
(
) (
)
1
,
1
1,
x
a
a x
e x
a
a
x
−
−
Γ
=
+
−
Γ
−
. Если повторить эту операцию 
n раз, получим:

(
)
(
)(
) (
)
( )
1

0

1
2 ...
,
,

n
x
a
n
m
m

a
a
a
m
a x
e x
x
x

−
−

=

−
−
−
Γ
=
+ ε
∑

где

(
) (
)

1
1

1
1
1 ...
,
t a n
n
n
n
x
a
a
n
e t
dt
O
o
x
x

∞ −
− −
+





ε =
−
−
=
=








∫

 2. Интегрирование по частям 
11

если n ≥ a – 1, то

(
) (
)

1
1 ...
0
x
a n
n
a
a
n e x
−
− −
ε
≤
−
−
→
 при x → 0.

1-й член разложения имеет вид:

(
)

1
,
~
x
a
a x
e x
−
−
Γ
.

Пример.

Найти главный член асимптотического разложения интеграла Френеля

(
)
2
cos

x

d

∞
θ
θ
∫
 и 
(
)
2
sin

x
d

∞
θ
θ
∫
, как действительная мнимая части интеграла

( )

2
.

t

x

e
F x
dt
t

∞
−
= ∫

Ответ: 
( )

2

2
~
.

ix
ie
F x

x

2.2. Интегралы Лапласа. Лемма Ватсона

Одним из общих типов интегралов, к которому применим метод интегрирования 
по частям, имеет вид:

 
( )
( )

0

xt
I x
e
q t dt

∞

−
= ∫
. 
(2.2)

Полагаем, что q(t) бесконечно дифференцируема в [0, ∞). Интеграл (2.2) 
сходится при x → ∞. Интегрирование по частям дает:

 
( )
( )
( )

(
) ( )
( )

1

2
0
0
0
...

n

n
n
q
q
q
I x
x
x
x
x

−
′
=
+
+
+
+ ε
,

 
( )

( ) ( )
1

0

1
1
n
xt
n
n
n
x
e
q
t dt
O
x
x

∞

−
+



ε
=
=




∫
.

Значит,

 
( )

( ) ( )

1

0

0
~

s

s

s

q
I x
x

∞

+
=∑
. 
(2.3)

И. Иванова, А. Лерер, В. Махно. Асимптотика  

Разложение (2.3) может быть получено прямой подстановкой ряда Мак-
лорена [4]

 
( )

( ) ( )

0

0
!

s
s

s

q
q t
t
s
=
=∑
, |t| < a 
(2.4)

в интеграл (2.2) и почленным интегрированием.

( )

( ) ( )

( ) ( )

0
0
0
0

0
0
~
 
!
!

s
s
s
xt
xt s

s
s

q
t
q
I x
e
dt
e
t dt
s
s

∞
∞
∞
∞
−
−

=
=
=
∑
∑
∫
∫
.

Введем замену переменного:
xt = u, t = u/x, dt = (1/x)du, и проинтегрируем по частям последний интеграл:

( )
1
0
0

1
1
!
 
, 0!
1
1.
(
)
xt s
u
s
s
s
s

s
s
e
t dt
e u du x
x
x

∞
∞
−
−
+

+
=
= Γ
=
= Γ
=
∫
∫

Конечно, это не является доказательством. Разложение (2.4) вообще может 
не быть справедливым на всем интервале интегрирования. Например, 
выше рассматриваемый интеграл

 
( )

0
.
1

xt
e
G x
dt
t

∞
−
=
+
∫

Однако этот формальный прием наводит на мысль об одном естественном 
обобщении: нельзя ли получить асимптотическое разложение почленным 
интегрированием и в случае, когда разложение q(t) около точки t = 0 
производится по нецелым степеням t.
Утвердительный результат дал Ватсон.

Лемма Ватсона

Пусть q(t) — функция положительной переменной t и

( )
(
)

1

0
~
0 ,

s

s
s
q t
a t
t

+λ−
∞
µ
=
→
∑
 
(2.5)

где λ, μ — положительные постоянные. Тогда при x → ∞

( )
0
0
~
xt
s
s
s

a
s
e
q t dt

x

∞
∞
−
+λ
=
µ



+ λ
Γ

µ


∑
∫
 
(2.6)

при условии, что этот интеграл сходится при всех достаточно больших x.

Мы можем сказать, что разложение (2.5) индуцирует разложение (2.6).