Сопротивление материалов

М.Д. Подскребко



            СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ



Утверждено
Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебника для студентов учреждений, обеспечивающих получение высшего образования по техническим специальностям














Минск «Вышэйшая школа» 2007

УДК 621.7.014(075.8)
ББК 30.121я73
      П 44




    Рецензенты: доктор технических наук, профессор кафедры инженерной графики и механики Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники В.М. Сурин; заведующий кафедрой сопротивления материалов машиностроительного профиля Белорусского национального технического университета доктор физико-математических наук, профессор Ю.В. Василевич; кафедра сопротивления материалов, строительной механики и металлических конструкций Полоцкого государственного университета (кандидат технических наук, доцент Л.В. Первицкий)

    Все права на данное издание защищены. Вопроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.







      Подскребко, М. Д.
П 44 Сопротивление материалов : учебник / М. Д. Подскребко. — Минск : Выш. шк., 2007. — с. : ил.
          ISBN 978-985-06-1293-9.

          В учебнике, охватывающем все основные темы курса «Сопротивление материалов», подробно рассматриваются основы напряженного и деформированного состояний, механические характеристики материалов и композитов, критерии прочности, сдвиг, кручение, изгиб, колебания упругих систем, вероятностные методы оценки прочности и надежности элементов конструкций и т. д.
          Каждая тема содержит большое количество примеров с подробным решением. В приложении приводятся все необходимые для расчетов справочные материалы.
          Для студентов инженерных специальностей вузов. Будет полезен преподавателям вузов и колледжей, инженерам-механикам и всем желающим повысить свои знания в области расчетов элементов конструкций на прочность.

УДК 621.7.014(075.8)
ББК 30.121я73

                              © Подскребко М.Д., 2007
ISBN 978-985-06-1293-9        © Издательство «Вышэйшая школа», 2007


2

Предисловие

     Учебник написан в соответствии с программой по сопротивлению материалов для инженерных специальностей высших технических учебных заведений. Представленный материал подходит для любого варианта рабочей программы. Глава «Сдвиг» излагается с учетом новейших рекомендаций в области сварки; добавлены темы: расчет гибких нитей и биметаллических проводов; механические характеристики композитов; концентрация напряжений; вариационные методы расчета конструкций; малоцикловая усталость; энергетический метод (метод Ритца) для определения критической силы; вероятностные методы оценки прочности и надежности элементов инженерных конструкций. Дополнительные вопросы должны способствовать развитию инженерного мышления и расширению кругозора студента.
     Учитывая существующую тенденцию сокращения аудиторных часов и передачу отдельных тем на самостоятельное изучение, в каждой теме приводятся большое количество примеров с подробным решением и необходимые для расчетов справочные материалы.
     Автор ставил своей целью дать в доступной форме необходимые знания в области механики деформируемого твердого тела и показать их применение к решению практических задач, подготовить будущего инженера к самостоятельному изучению специальной литературы по частным вопросам, которые могут встретиться в практической работе.

3

      Выражаю искреннюю благодарность рецензентам: доктору технических наук, профессору В.М. Сурину, доктору физико-математических наук, профессору Ю.В. Василевичу и кандидату технических наук, доценту Л.В. Первицкому, сделавшим ряд ценных замечаний и предложений, которые способствовали улучшению содержания учебника. Также выражаю благодарность В.С. Алисионок за помощь при подготовке рукописи к печати.
Автор

4

Глава 1



ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1.1. Основные понятия

   Все окружающие человека предметы, как и большинство продуктов его труда, представляют различного рода конструкции . Под конструкцией будем понимать любое материальное образование, способное воспринимать механические нагрузки без разрушения. Создавая всякую конструкцию (стул, трактор, мост, здание и т. д.), мы прежде всего ставим задачу, чтобы она обладала достаточной надежностью при минимальной материалоемкости.
   Под действием внешних нагрузок, как известно, твердое тело изменяет свою форму и размеры - деформируется. Благодаря деформации тело создает внутренние силы, противодействующие внешним нагрузкам. Стержень под действием нагрузки удлиняется. В результате удлинения создается противоположно направленная сила упругости (противодействия), которая и уравновешивает приложенную нагрузку.
   Рассмотрим механизм возникновения сил упругости. Все металлы в отличие от неметаллических материалов имеют поли-кристаллическую структуру, состоящую из мелких хаотически расположенных кристаллов (зерен). В объеме кристаллов атомы располагаются в определенном порядке, образуя геометрически правильную кристаллическую решетку, различную у разных металлов. Между атомами кристаллической решетки существуют силы взаимодействия. При отсутствии внешних нагрузок атомы колеблются относительно равновесных положений в узлах решетки. Под действием внешних сил атомы смещаются из положения равновесия и силы взаимодействия между ними изменяются.
   Сила взаимодействия между двумя соседними атомами складывается из сил притяжения (кривая 1) и сил отталкивания между атомами (кривая 2). Равнодействующая сила (кривая 3) изменяется в зависимости от расстояния между атомами и равняется нулю на некотором расстоянии а ₀, которое определяет равновесное положение атомов в узлах кристаллической решетки (рис. 1.1).

5

   Суммарные силы взаимодействия атомов в кристаллической решетке, складываясь по разным направлениям для множества хаотически расположенных кристаллов, образуют внутреннюю силу упругости, уравновешивающую действие внешних растягивающих или сжимающих сил. После удаления внешних сил атомы возвращаются на свои места, при этом тело полностью восстанавливает первоначальные размеры. Таким образом, наличие перемещений в материалах и конструкциях при деформации под действием нагрузок представляет собой важнейшее свойство, без которого ни материал, ни конструкция не могли бы работать. На практике величины перемещений изменяются в широких пределах: от долей микрона до величин, легко наблюдаемых невооруженным глазом. Конечным результатом деформации может быть разрушение элементов конструкции или недопустимое искажение их формы. Избежать этого можно только выбором соответствующего материала и правильным расчетом поперечных размеров элементов конструкции. Таким образом, для создания совершенных конструкций машин и инженерных сооружений необходимы современные методы расчета на прочность и глубокие знания природы и свойств материала.
   Вопросами практических расчетов всевозможных сооружений занимается наука «Сопротивление материалов». Она является основой технического образования инженера любой специальности. В качестве самостоятельной дисциплины сопротивление материалов окончательно сформировалось в первой половине XIX в.* Первое систематическое изложение этой на

    * Начало ее развития связано с именами Галилео Галилея и Роберта Гука.

6

уки было предложено французским ученым и инженером А. Навье в 1825 г. под названием «Курс лекций по сопротивлению материалов». В России аналогичный курс был выпущен Н.Ф. Ястржемским в 1837 г. под названием «Курс практической механики». Огромный вклад в развитие данной науки внесли Л. Эйлер, О. Коши, С. Пуассон, А.Н. Крылов, В.Л. Кирпичев, С.П. Тимошенко, Сен-Венан и др.
   Основные положения сопротивления материалов опираются на законы и теоремы общей механики и прежде всего на законы статики. В отличие от теоретической механики сопротивление материалов рассматривает задачи, в которых главное значение имеют свойства материала. Поэтому теоретический курс обязательно опирается на экспериментальные исследования механических свойств материалов.

1.2. Основные критерии работоспособности элементов конструкций
   Любая конструкция состоит из деталей. Требования, предъявляемые к детали, без выполнения которых ее нормальная работа невозможна, называются основными критериями работоспособности. К ним относятся: прочность, жесткость, устойчивость, износостойкость, виброустойчивость, теплостойкость и др. Для конкретной детали значение критерия определяется условиями ее работы. Так, для стержней болтов главным критерием является прочность; для валов коробок передач, редукторов - жесткость; для стоек, колонн - устойчивость; для ходовых винтов -износостойкость и т. д. Следовательно, работоспособность деталей машин и элементов инженерных сооружений обеспечивается выбором материала и расчетом их размеров по соответствующим критериям работоспособности. Для деталей общего машиностроения основными критериями работоспособности являются прочность, жесткость и устойчивость.
   Прочностью называется способность деталей и элементов инженерных сооружений воспринимать внешние нагрузки без разрушения. В расчетах оценка прочности производится путем сравнения наибольших расчетных напряжений oₘₐₓ, рабочих нагрузок Fр с их допускаемыми значениями [о], [ F]:
Ф]; F 4F ]•                   (1.1)

7

   Условимся все допускаемые величины записывать в квадратных скобках.
   Жесткостью называется способность деталей и элементов инженерных сооружений сопротивляться изменению первоначальных размеров и формы, вызываемых действием внешних нагрузок. В расчетах оценка жесткости производится путем сопоставления расчетных деформаций (прогибов у, углов поворота 0, углов закручивания ф°) с допускаемыми:
У <[у]; ©<[©]; Ф°<[ф°].               (1.2)
   Допускаемые значения устанавливаются на основе практики эксплуатации однотипных изделий.
   Устойчивость характеризует способность конструкции сохранять под нагрузкой первоначальную форму равновесия. При расчетах на устойчивость действующая нагрузка не должна превышать величины допускаемой критической нагрузки:

F <[ ^кр ],                    (1.3)
где [Fкр] = Fкр/ny, Fкр - критическая нагрузка, принимаемая для конструкции предельной; nу - коэффициент безопасности по устойчивости.
   Необходимо отметить, что прочность и жесткость - понятия различные. Прочность определяется напряжением, вызывающим разрушение материала, жесткость - способностью тела изменять форму и размеры. Поэтому утверждать, что если тело прочнее, то оно и жестче, нельзя. Часто наблюдается обратная картина. Например, капроновая нить по своей прочности при одинаковых размерах превосходит алюминиевую проволоку, но по жесткости значительно ей уступает; прочность каната при различной длине одинакова, жесткость же с увеличением длины уменьшается; если прочность коленчатого вала будет обеспечена, а жесткость его будет недостаточной, то это приведет к быстрому разрушению двигателя или сделает его работу невозможной. Таким образом, обеспечение достаточной прочности деталей конструкции не гарантирует качества изделия, важно еще, чтобы была обеспечена требуемая жесткость каждой детали. На практике под термином «расчет на прочность» понимается гарантия от разрушения, а под термином «расчет на жесткость» - ограничение деформации.

8

   Расчет элементов инженерных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость составляет содержание курса «Сопротивление материалов».
   Таким образом, сопротивление материалов - это наука, занимающаяся разработкой методов расчета деталей и элементов инженерных конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

1.3. Расчетная модель
   Сопротивление материалов - приклад-    х—
ная дисциплина, существенно отличающая- /          х.
ся от других математических дисциплин.
Сущность этих отличий удобно показать на элементарной практической задаче. Пусть \           /
требуется определить площадь фигуры,               /
изображенной на рис. 1.1а. Так как внешне        '
фигура напоминает круг, то можно, из- Рис. 1.1а мерив ее в разных направлениях, найти средний диаметр, по которому затем вычислить площадь. В этом случае на точность результата кроме погрешностей измерения будет влиять погрешность, связанная с выбором геометрической формы фигуры. Мы могли выбрать другую геометрическую форму, например эллипс или многоугольник, тогда получили бы другое, но близкое значение площади. Значит, при решении практических задач ответ зависит от того, какой метод, какая геометрическая модель будут взяты за основу. Поэтому в сопротивлении материалов расчет любого реального объекта начинается с выбора расчетной модели или с выбора расчетной схемы, для чего нужно произвести схематизацию объекта, т. е. установить, что для исследуемого объекта является существенным, основным, и какие факторы являются несущественными, не влияющими заметно на работу конструкции. Например, при расчете каната грузоподъемной машины существенными будут вес груза и ускорение, с которым он поднимается; несущественными - сопротивление воздуха, изменение температуры и т. д.
   Реальный объект, освобожденный от несущественных факторов, называется расчетной моделью или расчетной схемой.
   Расчетная модель (рис. 1.2) включает модель материала, модель формы и модель нагружения.

9

Расчетная модель

Рис. 1.2

   Она должна, с одной стороны, как можно ближе отражать действительную работу объекта, а с другой - быть доступной для практического расчета.
   В сопротивлении материалов в отличие от физики производится схематизация свойств материала. Материал рассматривается как сплошная среда, заполняющая весь объем тела без пустот и разрывов. Среда принимается идеально линейно-упругой, однородной и изотропной, имеющей с реальным материалом одинаковые свойства. Под однородностью понимается независимость свойств среды от размеров выделенной частицы. Изотропность - одинаковость свойств по всем направлениям. Понятие сплошной среды позволяет при решении задач использовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений.
   Детали машин и элементы инженерных конструкций имеют разнообразную форму. Поэтому при расчете их геометрическую форму приводят к простейшей схеме бруса, оболочки и пластины, т. е. производится схематизация геометрии реального объекта.

Рис. 1.3

   Брусом называется тело, у которого один размер (длина) много больше двух других (рис. 1.3).
В зависимости от формы

геометрической оси брусья делятся на прямые и кривые.

Брус с прямолинейной осью называется стержнем. Брус, работающий на изгиб, называется балкой*. Брусья могут иметь раз

ные поперечные сечения: в виде квадрата, круга, прямоугольника, двутавра, швеллера и т. д.
   Под оболочкой понимается тело, ограниченное криволинейной поверхностью, у которого один размер (толщина) меньше

    * Слово «балка» на староанглийском языке означает деревянный брус, часто даже целый ствол дерева. В настоящее время балки преимущественно делают из стали и железобетона.

10