Теплофизика. Неравновесные процессы тепломассопереноса

Допущено
Министерством образования
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия 
для студентов учреждений 
высшего образования по специальностям
«Физика (по направлениям)»,
«Ядерная физика и технологии»,
«Физика наноматериалов 
и технологий»

Минск
«Вышэйшая  школа»
2018

Неравновесные
процессы
тепломассопереноса

Теплофизика

УДК 536(075.8)
ББК 22.317я73
 
Т 34

А в т о р ы: В.И. Байков, Н.В. Павлюкевич, А.К. Федотов, А.И. Шнип

Р е ц е н з е н т ы: кафедра энергосбережения, гидравлики и теплотехники 
учреждения образования «Белорусский государственный технологический 
университет» (заведующий кафедрой – кандидат технических наук, 
доцент А.С. Дмитриченко; рецензент – доктор технических наук, профессор 
В.И. Володин); главный научный сотрудник Республиканского научно-производственного 
унитарного предприятия «Институт энергетики Национальной 
академии наук Беларуси» доктор физико-математических наук 
В.П. Колос

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой 
ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2941-8 
 Оформление. УП «Издательство
 
 
“Вышэйшая школа”», 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемое издание является продолжением учебного 
пособия «Теплофизика. Термодинамика и статистическая физика» [
1], в котором изложены основы термодинамики, статистической 
физики и физической кинетики, раскрывающие 
физическую сущность тепловых процессов. Настоящее учебное 
пособие содержит описание конкретных проблем тепло- и массопереноса 
и состоит из следующих глав:
1. Термодинамика необратимых процессов;
2. Основы теории конвективного теплообмена;
3. Основы теории переноса энергии теплового излучения;
4. Процессы переноса в кристаллах;
5. Фазовые превращения в конденсированных средах.
Приложения содержат элементы тензорного исчисления, 
уравнения тепло- и массопереноса в гетерогенных средах и основные 
элементы теории теплопроводности.
В конце книги приведены задачи (с решениями) по тепло- 
и массообмену.
В книге из-за ограниченности объема не нашел отражения 
такой раздел теплообмена, как теплоотдача при кипении жидкости. 
Вопросы по этому разделу основательно изложены в монографии 
С.С. Кутателадзе «Основы теории теплообмена» 
(М.: Атомиздат, 1979).
Целью данного учебного пособия является подготовка студентов 
по теплофизике, энергетике и энергосбережению для 
специальностей «Физика (по направлениям)», «Ядерная физика 
и технологии», «Физика наноматериалов и нанотехнологий». 
Знание процессов тепло- и массопереноса необходимо 
при проектировании и организации эффективной эксплуатации 
энергетических систем и устройств. Учебное пособие рекомендуется 
также для аспирантов по специальности 01.04.14 – 
«Теплофизика и теоретическая теплотехника».
Авторы выражают искреннюю благодарность директору 
Института тепло- и массообмена им. А.В. Лыкова НАН Беларуси 
академику О.Г. Пенязькову, инициировавшему написание 
данного учебного пособия.
Особую признательность авторы выражают рецензентам: 
доктору технических наук, профессору В.И. Володину и доктору 
физико-математических наук В.П. Колосу за полезные 
замечания, которые способствовали улучшению содержания 
учебного пособия.

Глава 1

ТЕРМОДИНАМИКА  
НЕОБРАТИМЫХ ПРОЦЕССОВ

Неравновесная термодинамика (часто ее называют термодинамикой 
необратимых процессов) представляет собой сравнительно 
молодой и интенсивно развивающийся раздел теоретической 
физики. Основоположником термодинамической 
теории неравновесных процессов является Л. Онсагер, установивший 
в 1931 г. свою знаменитую теорему. В настоящее время 
эта теория получила статистическое обоснование и широко 
используется при изучении различных физических явлений.
Классическая термодинамика (более подходящее название – «
термостатика») является равновесной, или обратимой, 
теорией, поскольку ее уравнения не содержат времени.
В термодинамически равновесных системах, как известно, 
температура и химический потенциал постоянны. Если эти условия 
не выполняются и в системе есть макроскопическое движение 
ее частей, то возникают необратимые процессы переноса 
массы, импульса, энергии, электрического заряда и т.д.
Рассмотрим теорию неравновесных процессов с феноменологической 
точки зрения.

1.1. Уравнения баланса и законы сохранения

Явления, изучаемые в неравновесной термодинамике, имеют 
макроскопический характер, поэтому при построении теории 
процессов в неравновесных системах они рассматриваются 
как сплошная (непрерывная) среда. Это значит, что всякий 
малый элемент объема среды считается настолько большим, 
что содержит еще значительное число молекул. Когда 
речь идет о бесконечно малых элементах объема, всегда подразумевается «
физически» бесконечно малый объем (иначе 
говоря, объем достаточно малый по сравнению с объемом 
тела, но большой по сравнению с межмолекулярными расстояниями). 
Поэтому если говорят о смещении некоторой части-

цы среды, то имеют в виду смещение не отдельной молекулы, 
а целого элемента объема, содержащего много молекул, но 
рассматриваемого как точка.
Поскольку неравновесная система рассматривается как 
сплошная, т.е. непрерывная, среда, физические величины в ней 
являются непрерывными функциями пространственных координат 
х, у, z и времени t. При этом есть два способа описания.
Согласно Эйлеру, движение среды определяется относительно 
системы координат, фиксированной в пространстве, 
т.е. относится к некоторым точкам пространства, а не к «частицам» 
среды, передвигающимся со временем в пространстве. 
Данное описание называют пространственным, потому что задаются 
поля скоростей и ускорений движущейся среды.
В описании Лагранжа для динамической характеристики 
движения отдельных «частиц» среды, передвигающихся в пространстве, 
используется уравнение движения из динамики материальных 
точек. Это материальное, или субстанциональное, 
описание, поскольку система отсчета движется вместе со средой. 
Найдем общие уравнения баланса различных величин 
(массы, импульса, энергии, энтропии и т.д.).
Пусть A (x, y, z, t) – некоторая аддитивная субстанция (масса, 
энергия, энтропия), распределенная в материале сплошной 
среды, имеющей объем V и массу M плотностью ρ (x, y, z, t) = 
= dM/dV. Тогда для единицы объема сплошной среды

dA
dV

dA
dM

dM
dV
a
=
= ρ ,

где dA dM
a x y z t
=
( , , , ) – удельная величина субстанции А, находящаяся 
в единице массы сплошной среды. Для объема V 
среды получим

A
adV

V
=∫ρ
,

а изменение субстанции А в зависимости от времени равно

 
dA
dt
A
d
dt
adV

V
=
=
∫

i
ρ
 
(*)

и может быть вызвано в общем случае двумя причинами:
1) потоком субстанции A(x, y, z, t) внутрь объема V или из 
него через поверхность Σ, ограничивающую этот объем;

2) уменьшением или увеличением А внутри объема V, которое 
связано с существованием во внутренних точках сплошной 
среды источников или стоков для субстанции А.
На основе этих положений определяются общие уравнения 
баланса. В зависимости от того, какое описание нами выбирается – 
пространственное или материальное, получается локальная 
или субстанциональная форма уравнений баланса.
Локальные уравнения баланса. Чтобы получить общую форму 
локальных уравнений баланса, основанных на пространственном 
описании, будем исходить из положения, что объем V 0, 
для которого необходимо выразить изменение субстанции, находится 
в покое относительно внешней (эйлеровой) системы 
координат (рис. 1.1). В этом случае вместо (*) можем записать

 
d
dt
adV
a
t dV

V
V

ρ
ρ
0
0

0
0
∫
∫
=
∂
∂
, 
(1.1.1)

где интегрирование ведется по объему dV 0 = dxdydz, не меняющему 
положения в системе координат х, у, z.
Если в некоторой сплошной среде с плотностью массы ρ 
происходит перенос субстанции А, то интенсивность такого 
переноса можно описать вектором

 

J
a
a
a

0 = ρ v , 
(1.1.2)

называемым локальной плотностью потока субстанции. Здесь 
va – скорость переноса субстанции А. Направления плотности 

Источник

Сток

y

z

x

Ja
0
n

V 0

0

0
d

Рис. 1.1. К выводу локальных уравнений баланса

потока 

Ja
0 и скорости переноса va совпадают, а абсолютная величина 
определяет количество субстанции, проходящее в единицу 
времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно 
к скорости переноса va.
Через элемент поверхности dΣ0 (рис. 1.1), ограничивающий 
рассматриваемый объем V 0, в единицу времени происходит 
перенос субстанции, равный dJ
a
d
a
a
0
0
= ρ v
Σ . Вектор d

Σ0 по абсолютной 
величине равен площади элемента поверхности dΣ0 
объема V 0 и направлен по нормали к ней. Условимся направлять 
dΣ0 по внешней нормали n, т.е. d
d
n
Σ
Σ
0
0
=
. Тогда величина 
dJa
0 положительна, если субстанция вытекает из объема, 
и отрицательна, если втекает в него. Полное количество субстанции, 
вытекающей (втекающей) в единицу времени из объема 
V 0, равно 
ρa
d
a
v ⋅
∫
Σ
Σ

0

0
, где интегрирование проводится по 

всей замкнутой поверхности Σ0, охватывающей объем V 0. Обозначим 
плотность внутреннего источника субстанции А через 
σa, тогда на основании положений 1) и 2) получим интегральную 
форму уравнения баланса локального типа

 
∂
∂
= −
⋅
+
∫
∫
∫

ρ
σ
a
t dV
J
d
dV

V

a
a

V
0
0
0

0
0
0
0
Σ

Σ

. 
(1.1.3)

Найдем уравнение баланса (1.1.3) в дифференциальной форме, 
которая справедлива для любой внутренней точки сплошной 
среды. Для этого преобразуем интеграл по поверхности в интеграл 
по объему с помощью теоремы Гаусса – Остроградского:

J
d
J dV
J dV
a
a
a
V
V

0
0
0
0
0
0

0
0
0
⋅
=
≡
∇⋅
∫
∫
∫
Σ

Σ

div
.

Тогда уравнение (1.1.3) примет вид

∂
∂
+∇⋅
−




=
∫
ρ
σ
a
t
J
dV
a
a

V

0
0

0
0.

Поскольку это равенство должно иметь место для любого 
объема V 0, покоящегося относительно системы координат х, 
у, z, подынтегральное выражение должно быть равным нулю:

 
∂
∂
+∇⋅
=
ρ
σ
a
t
Ja
a
0
. 
(1.1.4)

Это дифференциальное уравнение называется локальной 
формой уравнения баланса для аддитивной субстанции А.
Таким образом, интегральная форма уравнения баланса 
(1.1.3) является определяющей для дифференциального уравнения (
1.1.4). Когда в (1.1.4) плотность источника σa субстанции 
А равна нулю, т.е.

 
∂
∂
+∇⋅
=
ρa
t
Ja
0
0, 
(1.1.5)

уравнение (1.1.5) выражает закон сохранения субстанции в любой 
точке сплошной среды. Если в уравнении (1.1.4) σa > 0, то 
речь идет о локальном возникновении субстанции, если σa < 0, 
речь идет о локальном поглощении субстанции.
Применим соотношение (1.1.5) для получения уравнения 
сохранения массы сплошной среды. Если A ≡ M, где М – полная 
масса объема V 0, то удельная масса dA/dM = a ≡ 1. Тогда из 
уравнения (1.1.2) получим локальную плотность потока массы 
J 0 = ρv, где v
v
= (
)
x y z t
, , ,
 – скорость движения сплошной среды 
в каждой данной точке х, у, z пространства в любой момент 
времени t. Кроме того, для этого случая из уравнения (1.1.5) 
находим уравнение

∂
∂ +
=
ρ
t
J
div

0
0,   ∂
∂ +

∂

∂
=
ρ
ρ µ

µ
t
x

v
0,

т.е.

 
∂
∂ +
=
ρ
ρ
t
div v
0,   ∂

∂ +∇⋅
=
ρ
ρ
t

v
0, 
(1.1.6)

которое выражает закон сохранения массы в произвольной 
точке сплошной среды.
Уравнение (1.1.6) чаще называют законом непрерывности 
(неразрывности). Смысл его состоит в том, что возрастание 
(уменьшение) массы в единице объема сплошной среды равно 
количеству массы, втекающей (вытекающей) с потоком плотностью 

J 0.
Субстанциональные уравнения баланса. Частная производная 
∂ρа/∂t в уравнении (1.1.4) определяет изменение субстанции 
в данной неподвижной точке пространства х, у, z. Эту производную 
можно выразить через полную (субстанциональную) 
производную, относящуюся к передвигающейся в простран-

стве частице вещества сплошной среды. При таком материальном, 
или лагранжевом, описании сплошной среды выбранный 
элемент объема сплошной среды движется вместе с ней относительно 
системы координат х, у, z, фиксированной в пространстве. 
Совместное движение элемента массы dM = ρdV 
и элемента объема dV со скоростью v(x, y, z, t) означает, что во 
время движения в элементе объема dV все время содержится 
постоянная масса dM. Эту физическую картину можно математически 
представить в виде условия

 

J
J
=
−
≡
0
0
ρv
, 
(1.1.7)

которое означает, что при переходе от локального потока массы 

J 0 к субстанциональному потоку массы 

J  последний должен 
быть равен нулю.
Исходя из соотношений (1.1.2), (1.1.7), субстанциональную 
плотность потока 

Ja произвольной субстанции А можно определить 
из уравнения

 

J
J
a
a
a
a
a
=
−
=
−
(
)

0
ρ
ρ
v
v
v . 
(1.1.8)

Корректность такого определения подтверждается тем, что 
при a ≡ 1, когда величина 

Ja равна плотности потока массы 

J , 
соотношение (1.1.8) в соответствии с уравнением (1.1.7) обращается 
в нуль.
При материальном описании элемент объема dV сплошной 
среды все время заполнен одним и тем же количеством массы 
(dM = ρdV). Поэтому при движении элемента объема dV величина 
dM остается неизменной во времени. Следовательно, вместо 
формулы (1.1.1) можно записать

 
d
dt
adV
da
dt dV

V
V
ρ
ρ
∫
∫
=
, 
(1.1.9)

где субстанциональное дифференцирование по времени действует 
только на величину а. Подчеркнем, что здесь интегрирование 
производится по объему V, движущемуся вместе со 
сплошной средой.
Примем во внимание положения 1) и 2). Тогда с учетом соотношений (
1.1.8) и (1.1.9) находим интегральную форму субстанционального 
уравнения баланса

ρ
σ
da
dt dV
J
d
dV

V

a
a

V
∫
∫
∫
= −
⋅
+

Σ

Σ

.

Отсюда, преобразовывая интеграл по поверхности в интеграл 
по объему с помощью теоремы Гаусса – Остроградского, 
получим

ρ
σ
da
dt
J
dV
a
a
V
+∇⋅
−




=
∫

0.

Поскольку объем V может быть любым, имеем дифференциальную 
форму субстанционального уравнения баланса

 
ρ
σ
da
dt
Ja
a
+∇⋅
=

. 
(1.1.10)

Найдем соотношение, связывающее субстанциональное 
(1.1.10) и локальное (1.1.4) уравнения баланса. Стоящая в уравнении (
1.1.10) производная da/dt определяет изменение субстанции 
не в данной неподвижной точке пространства, 
а в определенной передвигающейся в пространстве частице 
сплошной среды. Выразим эту производную через величины, 
относящиеся к неподвижным в пространстве точкам. Для этого 
заметим, что изменение da субстанции данной частицы 
сплошной среды складывается из двух частей: изменения субстанции 
в данной точке пространства в течение времени dt 
и разности субстанций (в один и тот же момент времени) в двух 
точках, разделенных расстоянием dr, пройденным рассматриваемой 
частицей сплошной среды в течение времени dt.

Первая из этих частей равна ∂
∂
a
t dt, где производная ∂
∂
a
t  бе-

рется при фиксированных координатах x, y, z, т.е. в заданной 
точке пространства. Вторая часть изменения субстанции равна

dx a
x
dy a
y
dz a
z
dr
a
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ =
⋅∇
.

Тогда

da
a
t dt
dr
a
= ∂

∂
+
⋅∇
.