Теория функций комплексного переменного

УДК 517.53/.55(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
Т33

А в т о р ы: В. Г. Кротов, Е. А. Ровба, А. П. Старовойтов, Е. А. Сетько, К. А. Смотрицкий

Р е ц е н з е н т ы: кафедра математики и методики преподавания математики физико-
математического факультета учреждения образования «Белорусский государственный 
педагогический университет имени Максима Танка» (доцент кафедры кандидат физико-
математических наук Н. В. Гриб; заведующий кафедрой доцент И. Н. Гуло); заведующий 
отделом нелинейного и стохастического анализа Института математики Национальной 
академии наук Беларуси, член корреспондент Национальной академии наук Беларуси 
доктор физико-математических наук, профессор В. В. Гороховик

Теория функций комплексного переменного : учебное пособие / 
В. Г. Кротов [и др.]. – Минск : Вышэйшая школа, 2019. – 
431 с. : ил.
ISBN 978-985-06-3071-1.

В соответствии с действующими программами изложен материал по дисциплинам «
Теория функций комплексного переменного» и «Дополнительные главы 
теории функций», изучаемым на математических специальностях учреждений 
высшего образования Республики Беларусь.
Содержится теоретический материал, излагаемый в лекциях, а также четырех-
уровневый набор заданий для практических и лабораторных занятий (задания для 
аудиторной работы, базовые индивидуальные задания, задания для самостоятельной 
работы и задания творческого характера).
Для студентов и преподавателей. Также может быть использовано магистрантами, 
аспирантами и научными работниками, интересующимися комплексным 
анализом и его приложениями.

УДК 517.53/.55(075.8) 
ББК 22.161.5я73 

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой 
ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3071-1 
©  Оформление. УП «Издательство 
“Вышэйшая школа”», 2019

Т33

Оглавление

Часть I.
Теория

Глава 1. Введение в комплексный анализ . . . . . . . . . .
16

1.1. Множество комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . .
16
1.1.1. Операции с комплексными числами . . . . . . . . . .
16
1.1.2. Поле комплексных чисел
. . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3. Алгебраическая форма записи . . . . . . . . . . . . .
18
1.1.4. Тригонометрическая форма записи
. . . . . . . . . .
19

1.2. Расширенная комплексная плоскость . . . . . . . . . .
21
1.2.1. Топология комплексной плоскости . . . . . . . . . . .
21
1.2.2. Компактность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.3. Связность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.2.4. Стереографическая проекция . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.5. Сферическая метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27

1.3. Предел и непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.3.1. Функции комплексного переменного . . . . . . . . . .
27
1.3.2. Непрерывность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.3.3. Равномерная непрерывность
. . . . . . . . . . . . . .
29
1.3.4. Теорема Арцела – Асколи . . . . . . . . . . . . . . . .
30

1.4. Кривые и области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.1. Кривые и контуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.4.2. Области
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.4.3. Многосвязные области . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37

Глава 2. Дифференцируемость . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

2.1. Комплексное дифференцирование . . . . . . . . . . . .
39
2.1.1. Производная и дифференцируемость
. . . . . . . . .
39
2.1.2. Правила дифференцирования . . . . . . . . . . . . . .
40

Оглавление

2.1.3. Условия Коши – Римана . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

2.2. Аналитические функции и конформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42
2.2.1. Геометрический смысл аргумента производной
. . .
42
2.2.2. Геометрический смысл модуля производной
. . . . .
43
2.2.3. Понятие аналитической функции
. . . . . . . . . . .
44

2.3. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.1. Простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.3.2. Групповое свойство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.3.3. Круговое свойство
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3.4. Свойство симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
2.3.5. Свойство трех точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.3.6. Примеры дробно-линейных отображений . . . . . . .
52
2.3.7. Функция Жуковского
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

2.4. Элементарные аналитические функции
. . . . . . . .
57
2.4.1. Экспоненциальная функция . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4.2. Тригонометрические и гиперболические функции . .
58
2.4.3. Логарифмическая функция . . . . . . . . . . . . . . .
60
2.4.4. Степенная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
2.4.5. Обратные функции к тригонометрическим и гиперболическим
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

Глава 3. Интегральные теорема и формула Коши . . . .
65

3.1. Криволинейные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
3.1.1. Комплексные криволинейные интегралы . . . . . . .
65
3.1.2. Свойства криволинейных интегралов
. . . . . . . . .
67

3.2. Интегральная теорема Коши
. . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.1. Интегральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
3.2.2. Обобщение интегральной теоремы Коши . . . . . . .
72
3.2.3. Случай многосвязной области
. . . . . . . . . . . . .
75
3.2.4. Первообразная аналитической функции . . . . . . . .
76

3.3. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3.1. Интегральная формула
. . . . . . . . . . . . . . . . .
79
3.3.2. Формула среднего значения и принцип максимума
.
81
3.3.3. Формула Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.3.4. Интеграл типа Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.3.5. Теорема Мореры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
3.3.6. Сопряженные гармонические функции
. . . . . . . .
89

Оглавление
5

Глава 4. Последовательности и ряды . . . . . . . . . . . . .
91

4.1. Ряды Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
4.1.1. Основные понятия теории рядов . . . . . . . . . . . .
91
4.1.2. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
4.1.3. Радиус сходимости и формула Коши — Адамара
. .
94
4.1.4. Разложение в степенной ряд
. . . . . . . . . . . . . .
97
4.1.5. Эквивалентные описания аналитичности . . . . . . .
98

4.2. Теоремы единственности
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
4.2.1. Локальная форма единственности . . . . . . . . . . .
99
4.2.2. Теорема единственности Вейерштрасса . . . . . . . .
100

4.3. Последовательности аналитических функций
. . . .
100
4.3.1. Сходимость внутри области . . . . . . . . . . . . . . .
100
4.3.2. Принцип счетной компактности
. . . . . . . . . . . .
101
4.3.3. Теорема Витали . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
4.3.4. Теорема Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104

Глава 5. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

5.1. Разложение в ряд Лорана
. . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.1. Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
5.1.2. Формулы для коэффициентов разложения . . . . . .
107
5.1.3. Неравенства Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

5.2. Классификация изолированных особых точек . . . .
110
5.2.1. Правильные точки функции
. . . . . . . . . . . . . .
110
5.2.2. Полюсы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
5.2.3. Существенно особые точки
. . . . . . . . . . . . . . .
114
5.2.4. Случай бесконечно удаленной точки . . . . . . . . . .
115
5.2.5. Теорема Сохоцкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
5.2.6. Целые и мероморфные функции . . . . . . . . . . . .
117

Глава 6. Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119

6.1. Вычеты и основная теорема о вычетах . . . . . . . . .
119
6.1.1. Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119
6.1.2. Формулы для вычисления вычетов . . . . . . . . . . .
120
6.1.3. Теорема Коши о вычетах
. . . . . . . . . . . . . . . .
122
6.1.4. Вычет в бесконечно удаленной точке
. . . . . . . . .
123
6.1.5. Теорема о полной сумме вычетов . . . . . . . . . . . .
124

Оглавление

6.2. Теорема о логарифмическом вычете и ее приложения 125
6.2.1. Логарифмический вычет
. . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.2.2. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
6.2.3. Теорема Руше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
6.2.4. Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . .
131

Глава 7. Дополнительные главы комплексного анализа 133

7.1. Аналитическое продолжение
. . . . . . . . . . . . . . .
133
7.1.1. Элемент аналитической функции и его продолжение
133
7.1.2. Принцип симметрии Римана – Шварца . . . . . . . .
138

7.2. Однолистные функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
7.2.1. Теорема о числе прообразов . . . . . . . . . . . . . . .
141
7.2.2. Критерий локальной однолистности . . . . . . . . . .
142
7.2.3. Особые точки однолистных функций
. . . . . . . . .
145
7.2.4. Последовательности однолистных функций
. . . . .
146

7.3. Конформное отображение областей . . . . . . . . . . .
146
7.3.1. Автоморфизмы основных областей . . . . . . . . . . .
146
7.3.2. Теорема Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

7.4. Конформные отображения многоугольников . . . . .
152
7.4.1. Эллиптические интегралы первого рода . . . . . . . .
152
7.4.2. Эллиптический синус
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
156
7.4.3. Формула Кристоффеля – Шварца . . . . . . . . . . .
157

Часть II.
Практика

Глава 1. Комплексные числа
и действия над ними . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160

1.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
160

1.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
166

1.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
169

1.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
171

Глава 2. Элементарные трансцендентные функции . . .
173

2.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
173

2.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
178

2.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
180

2.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
181

Оглавление
7

Глава 3. Дифференцируемость функции комплексного
переменного
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183

3.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
183

3.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
190

3.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
194

3.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
196

Глава 4. Геометрический смысл модуля и аргумента
производной
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199

4.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
199

4.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
202

4.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
204

4.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
205

Глава 5. Линейная функция
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207

5.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
207

5.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
212

5.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
218

5.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
220

Глава 6. Дробно-линейная функция
. . . . . . . . . . . . . .
221

6.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
221

6.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
225

6.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
229

6.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
232

Глава 7. Функция Жуковского . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

7.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
235

7.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
238

7.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
240

7.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
241

Оглавление

Глава 8. Интегральные теорема
и формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
244

8.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
244

8.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
253

8.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
260

8.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
267

Глава 9. Степенные ряды
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

9.1. Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
269

9.2. Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
273

9.3. Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
278

9.4. Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
281

Глава 10.Ряды Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283

10.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
283

10.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
286

10.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
289

10.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
291

Глава 11.Нули аналитической функции. Теорема единственности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

11.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
294

11.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
297

11.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
299

11.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
301

Глава 12.Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303

12.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
303

12.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
309

12.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
314

12.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
317

Оглавление
9

Глава 13.Изолированные особые точки аналитической
функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319

13.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
319

13.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
322

13.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
325

13.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
327

Глава 14.Вычисление вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331

14.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
331

14.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
336

14.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
338

14.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
342

Глава 15.Вычисление интегралов
с помощью вычетов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344

15.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
344

15.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
350

15.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
355

15.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
358

Глава 16.Вычисление
собственных
и
несобственных
интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
360

16.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
360

16.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
363

16.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
366

16.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
367

Глава 17.Применение теории вычетов для вычисления
преобразований Фурье
и Лапласа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
369

17.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
369

17.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
372

17.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
374

17.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
376

Оглавление

Глава 18.Логарифмический вычет, принцип аргумента
378

18.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
378

18.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
381

18.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
384

18.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
388

Глава 19.Отображение
с
помощью
элементарных
функций. Интеграл Кристоффеля – Шварца . .
390

19.1.Задания для аудиторной работы . . . . . . . . . . . . .
390

19.2.Базовые индивидуальные задания . . . . . . . . . . . .
395

19.3.Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . .
400

19.4.Задания творческого характера . . . . . . . . . . . . . .
401

Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403

Рекомендуемая литература
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426

Список основных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430

Предисловие

Теория функций комплексного переменного является одной из
основных математических дисциплин и входит в учебные планы для
математических специальностей учреждений образования, обеспечивающих 
получение высшего образования. Для ряда специальностей ее
содержание расширяется дисциплиной «Дополнительные главы теории 
функций».
Предлагаемое учебное пособие посвящено изложению этих тесно
связанных дисциплин в полном соответствии с действующими программами 
обучения для математических специальностей.
Материал книги делится на две части: «Теория» и «Практика».
Теоретическая часть содержит следующие темы (главы):
1) «Введение в комплексный анализ»: рассматривается множество 
комплексных чисел, комплексная плоскость, предел и непрерывность 
функций комплексного переменного, кривые и области;
2) «Дифференцируемость»: вводятся и исследуются такие фундаментальные 
понятия, как комплексное дифференцирование, аналитические 
функции и конформные отображения, элементарные аналитические 
функции;
3) «Интегральные теорема и формула Коши»: вводится понятие
комплексного интеграла, рассматривается интегральная теорема Коши 
и интегральная формула Коши;
4) «Последовательности и ряды»: исследуются ряды Тейлора,
теоремы единственности, последовательности аналитических функций;

5) «Ряды Лорана»: дается представление о разложении в ряд
Лорана и проводится классификация изолированных особых точек;
6) «Теория вычетов»: содержится материал по вычетам и основной 
теореме о вычетах, а также о логарифмическом вычете и его приложениях;

Оглавление

7) «Дополнительные главы комплексного анализа»: дается понятие 
об аналитическом продолжении, однолистных функциях, конформных 
отображениях областей.
Первые шесть глав содержат теоретический материал к дисциплине «
Теория функций комплексного переменного», а последняя — к
дисциплине «Дополнительные главы теории функций».
Все математические утверждения в теоретической части пособия
строго доказаны. Исключение сделано только для нескольких теорем
(теорема Жордана, теорема Пикара и теорема о монодромии), доказательства 
которых потребовали бы существенного увеличения объема.
Каждая глава состоит из параграфов, примерно соответствующих 
одной лекции. Параграфы разбиваются на подпараграфы, посвященные 
рассмотрению отдельных вопросов, минимальных по объему,
но замкнутых по содержанию.
Кроме того, учебное пособие снабжено предметным указателем и
списком основных математических обозначений. В книге используется
двойная нумерация формул и других объектов. Первое число обозначает 
номер главы, содержащей данный объект, второе — номер объекта
внутри этой главы. В конце доказательств теорем и решений задач для
удобства читателя ставится знак
.
Содержание задачника соответствует теоретической части. В нем
приведены задачи по следующим темам: комплексные числа и действия 
над ними, элементарные трансцендентные функции, дифференцируемость 
функции комплексного переменного, геометрический
смысл модуля и аргумента производной, линейная функция, дробно-
линейная функция, функция Жуковского, интегральная теорема и
формула Коши, степенные ряды, ряды Тейлора, нули аналитической
функции и теорема единственности, ряд Лорана, изолированные особые 
точки аналитической функции, вычисление вычетов, вычисление
интегралов с помощью вычетов, вычисление собственных и несобственных 
интегралов, применение теории вычетов для вычисления
преобразований Фурье и Лапласа, логарифмический вычет, а также
отображение с помощью элементарных функций.
Каждая глава задачника содержит задания для аудиторной работы, 
базовые индивидуальные задания, задания для самостоятельной
работы и задания творческого характера. Задания для аудиторной работы 
включают набор типовых примеров по рассматриваемой теме.

Оглавление
13

Отдельные задачи сопровождаются подробным решением, что позволяет 
использовать книгу для самостоятельного изучения и на заочных
отделениях. Базовые индивидуальные задания рекомендуется применять 
для домашней работы в качестве минимального уровня усвоения
материала по изучаемой теме. Задания для самостоятельной работы
содержат задачи более высокого уровня сложности, однако вполне по
силам студентам-математикам. Степень использования этих заданий
зависит от специальности студентов и подходов в организации учебного 
процесса преподавателем. Задания творческого характера имеют
повышенный уровень сложности и предназначены для наиболее подготовленных 
студентов. Задачи для аудиторной и самостоятельной работы 
снабжены ответами, некоторая часть — решениями.
Последовательность глав в практическом материале не полностью 
соответствует изложению теоретического материала. В частности, 
элементарные трансцендентные функции на практике изучаются
раньше, чем они рассмотрены в теории. Такой подход позволяет расширить 
перечень задач в последующих главах, в которых, безусловно,
будет продолжено изучение свойств элементарных трансцендентных
функций. Также отметим, что в некоторых источниках отображения
с помощью элементарных функций (глава 19 практики) изучаются
раньше, чем теория интегрирования. Мы находим возможным отнести 
этот материал к дополнительным главам комплексного анализа,
например, из-за использования интеграла Кристоффеля – Шварца.
В задачнике имеется довольно много отсылок к первой (теоретической) 
части книги. В таких случаях при оформлении ссылки на
нумерованный объект теоретической части применяется буква «т» (от
слова «теория») в верхнем индексе. Например, фраза «см. п. 1.1.1т»
означает ссылку на пункт 1.1.1 первой части.
В список литературы авторы включили основные учебники по
теории функций комплексного переменного на русском языке. Этот
список дополнен книгой Н.В. Александровой «История математических 
терминов, понятий, обозначений: словарь-справочник», из которой 
можно узнать многое об истории формирований основных понятий
комплексного анализа.
Пособие адресуется прежде всего преподавателям, читающим
лекции и ведущим практические и лабораторные занятия по комплексному 
анализу, а также студентам-математикам, изучающим его. Оно

Оглавление

может быть рекомендовано магистрантам, аспирантам и научным работникам, 
интересующимся теорией функций комплексного переменного 
и ее приложениями.
Авторы выражают искреннюю признательность рецензентам:
заведующему отделом нелинейного и стохастического анализа Института 
математики Национальной академии наук Беларуси, члену-
корреспонденту Национальной академии наук Беларуси доктору
физико-математических наук, профессору В.В. Гороховику; коллективу 
кафедры математики и методики преподавания математики
физико-математического факультета Белорусского государственного
педагогического университета имени Максима Танка (в особенности,
кандидату физико-математических наук, доценту Н.В. Грибу и заведующего 
этой кафедрой доценту, кандидату физико-математических
наук И.Н. Гуло). Авторы благодарят также доцента Т.С. Мардвил-
ко (БГУ), указавшую на большое число неточностей в тексте. Авторы 
выражают отдельную признательность профессору Э.И. Зверови-
чу (БГУ) за множество полезных замечаний по теоретической части
книги, которые существенно улучшили изложение материала.

Авторы

Часть I

Теория

Глава 1

Введение в комплексный
анализ

1.1. Множество комплексных чисел

1.1.1. Операции с комплексными числами

Всюду ниже множество всех действительных чисел обозначается
общепринятым символом R.

Определение 1.1. Множество всех комплексных чисел
(комплексная плоскость) C определяется как совокупность

C := {z = (x, y) : x, y ∈ R}

всех упорядоченных пар действительных чисел, на которой определены 
отношение равенства и две операции — сложения и умножения.

Равенство. Две пары z1 = (x1, y1) ∈ C и z2 = (x2, y2) ∈ C называются 
равными, если x1 = x2 и y1 = y2.
Сложение.
Суммой
элементов
z1
=
(x1, y1)
∈
C
и
z2 = (x2, y2) ∈ C называется

z1 + z2 := (x1 + x2, y1 + y2).

Умножение. Произведением элементов z1 = (x1, y1) ∈ C и
z2 = (x2, y2) ∈ C называется

z1 · z2 := (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1).

1.1. Множество комплексных чисел
17

Как и в случае действительных чисел, мы чаще будем опускать
знак операции умножения (точку) и писать просто z1z2 вместо z1 · z2.
Первый элемент пары z = (x, y) ∈ C будем называть действительной 
частью z, а второй — мнимой частью z (основания для
этого у нас скоро появятся). Для них используются следующие стандартные 
обозначения:

Re z := x,
Im z := y.

Как множество комплексная плоскость C совпадает с обычной
плоскостью R2. Отношение равенства и операция сложения определяются 
точно так же, как и для R2. Специфика множества комплексных
чисел C начинает проявляться тогда, когда мы вводим умножение.
Напомним, что в R2 умножение вообще не вводится.

1.1.2. Поле комплексных чисел

Непосредственной проверкой легко убедиться (мы рекомендуем
выполнить это самостоятельно), что сложение комплексных чисел обладает 
следующими свойствами:
1) z1 + z2 = z2 + z1 для любых z1, z2 ∈ C (коммутативность сложения),

2) z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 для любых z1, z2, z3 ∈ C (ассоциативность 
сложения),
3) z + (0, 0) = z для любого z ∈ C (элемент (0, 0) является нейтральным 
элементом для сложения),
4) для любого z = (x, y) ∈ C существует противоположный элемент −
z = (−x, −y) ∈ C со свойством z + (−z) = (0, 0).
Свойства 1)–4) означают, что C является коммутативной группой
относительно введенной операции сложения.
Умножение комплексных чисел обладает такими свойствами:
5) z1 · z2 = z2 · z1 для любых z1, z2 ∈ C (коммутативность умножения),

6) z1·(z2·z3) = (z1·z2)·z3 для любых z1, z2, z3 ∈ C (ассоциативность
умножения),
7) z · (1, 0) = z для любого z ∈ C (элемент (1, 0) является нейтральным 
элементом для умножения),

Глава 1. Введение в комплексный анализ

8) для любого z = (x, y) ∈ C, z ̸= (0, 0), в C существует обратный
элемент

z−1 =
x

x2 + y2 , −
y

x2 + y2

со свойством z · z−1 = (1, 0).
Свойства 5)–8) означают, что C является коммутативной группой
относительно введенной операции умножения.
Следующее свойство связывает операции сложения и умножения:
9) z1 · (z2 + z3) = z1 · z2 + z1 · z3 для любых z1, z2, z3 ∈ C (дистрибутивность).

Полный набор свойств 1)–9) говорит нам о том, что множество
комплексных чисел C с указанными операциями сложения и умножения 
является полем. Оно называется полем комплексных чисел и
обозначается тем же символом C.

1.1.3. Алгебраическая форма записи

Множество действительных чисел R естественным образом вкладывается 
в C. Это делается с помощью взаимно однозначного отображения

R ∋ x → (x, 0) ∈ C,
(1.1)

позволяющего отождествить действительное число x ∈ R с комплексным 
числом (x, 0) ∈ C.
С точки зрения алгебры такое отождествление вполне правомерно, 
так как отображение (1.1) является алгебраическим изоморфизмом
(биекция, сохраняющая операции) между подполем {(x, 0) : x ∈ R} поля 
C и полем действительных чисел R.
Ниже мы будем систематически использовать такое представление 
действительных чисел как комплексных и часто вместо (x, 0) будем
писать просто x. Таким образом, пара (0, 0) отождествляется нами с
действительным числом 0, а пара (1, 0) — с 1. В целесообразности этого
мы скоро убедимся.
Рассмотрим еще одно специальное комплексное число i := (0, 1),
которое в дальнейшем будет называться мнимой единицей. По определению 
умножения комплексных чисел легко убедиться (сделайте это
самостоятельно), что
i2 = −1.