Справочник по математике и физике

Минск
«Вышэйшая школа»
2022

В. Э.  Жавнерчик
Л. И.  Майсеня 
Ю. И.  Савилова

3-е издание, переработанное

Справочник
по математике
и физике

УДК [51+53](075.3/.4)
ББК 22я721
 
Ж13

Ре ц е н з е н т ы: заведующий кафедрой высшей математики Белорусского 
государственного университета информатики и радио электроники 
кандидат физико-математических наук, доцент Е.А. Баркова; учитель физики 
высшей категории средней школы № 44 г. Минска Н.А. Василевская

Жавнерчик, В. Э.
Ж13  
Справочник по математике и физике / В. Э. Жав-
нерчик, Л. И. Майсеня, Ю. И. Савилова. 3-е изд., пе-
рераб. – Минск : Вышэйшая школа, 2022. – 399 c. : ил.
ISBN 978-985-06-3386-6.
Приведены основные понятия, формулы, теоремы, законы 
математики и физики из общеобразовательных курсов. Материал 
систематизирован, дается в компактной форме, сопровождается 
большим количеством иллюстраций.
Первое издание вышло в 2011 г.
Для обучающихся в учреждениях общего среднего, профессионально-
технического и среднего специального образования. 
Будет полезен при подготовке к централизованному 
 тестированию.

УДК [51+53](075.3/.4)
ББК 22я721
Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей 
книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3386-6 
 Жавнерчик В.Э., Майсеня Л.И.,
 
Савилова Ю.И., 2011
 
 Жавнерчик В.Э., Майсеня Л.И.,
 
Савилова Ю.И., 2022, с изменениями
 
 Оформление. УП «Издательство
 
“Вышэйшая школа”», 2022

ПРЕДИСЛОВИЕ

В справочнике приведены все понятия, формулы, 
утверждения и законы, которые определены программами 
изучения математики и физики как на базовом, так и 
на повышенном уровне в средних школах, гимназиях, 
лицеях и колледжах. Материал систематизирован, теоретические 
утверждения сопровождаются иллюстрациями. 
Многие математические методы решения представлены 
алгоритмически, что рационально для использования 
на практике и способствует самостоятельной деятельности 
учащихся. При подготовке справочника 
авторы ориентировались на прогрессивные, современные 
подходы в обучении математике и физике.
Комплексное, полное и компактное представление 
справочной информации из курсов математики и физики 
является особенностью данного издания, что обеспечивает 
эффективность его использования.
Справочник будет полезен для систематического изучения 
математики и физики на занятиях в учреждениях 
общего среднего, профессионально-технического и среднего 
специального образования. Он может быть использован 
для подготовки к централизованному тестированию 
и для повторения математики и физики в процессе обучения 
в учреждениях высшего образования.
Авторы

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

 
N – множество натуральных чисел

 
Z – множество целых чисел

 
Q – множество рациональных чисел

 
I – множество иррациональных чисел

 
R – множество действительных чисел

 
= – равно

 
≠ – не равно

 
≡ – тождественно равно

 
≈ – приближенно равно

 
> – больше

 
< – меньше

 
≥ – больше или равно

 
≤ – меньше или равно

 
 – существенно больше

 
 – существенно меньше

 
∈ – знак принадлежности множеству

 
⊂ – знак включения множества

 
⊆ – знак включения или равенства множеств

 
∪ – знак объединения множеств

 
∩ – знак пересечения множеств

 
∞ – бесконечность

 
a  – модуль (абсолютная величина) числа a

 [ ]
a  – единица физической величины a

const – постоянная величина

МАТЕМАТИКА

I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

1. Высказывания и типы теорем

Высказывания

Простое высказывание – повествовательное предло-

жение, в отношении которого можно сказать, истинно 
оно или ложно. Высказывания обозначают A, B, C, … .

Высказывание «не A» обозначают 
,
A  высказыва - 

ние «если A, то B» обозначают 
,
A
B
⇒
 а высказывание 

«A тогда и только тогда, когда B» обозначают 
.
A
B
⇔

Типы теорем

Признак (или достаточное условие) для B – теорема 

типа 
.
A
B
⇒

Обратная теорема к A
B
⇒
 – теорема типа 
.
B
A
⇒

Критерий (или необходимое и достаточное условие) 

для B – теорема типа 
.
A
B
⇔

Противоположная к обратной теореме – теорема 

типа 
.
B
A
⇒

I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

Высказывание A
B
⇒
 истинно тогда и только тогда, 

когда истинно высказывание 
.
B
A
⇒
 На этом утвер жде-

нии базируется метод доказательства от противного.

2. Множества

Понятие множества

Множество – первичное неопределяемое понятие. 

Характеризуется как набор элементов, обладающих одинаковым 
свойством. Множества обозначают A, B, X,…, 
а элементы множества – a, b, x,… .

Если элемент a принадлежит множеству A, то пишут: 

;
a
A
∈
 если не принадлежит, – то 
.
a
A
∉

Конечное множество – множество с конечным коли-

чеством элементов.

Пустое множество (обозначается ∅) – множество, 

в котором нет элементов.

Бесконечное множество – множество, которое не яв-

ляется ни конечным, ни пустым.

Множества A и B называются равными, если они со-

стоят из одних и тех же элементов. Пишут: A
B
=
.

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент множества A есть элемент 
множества B; пишут: A
B
⊂
 (или B
A
⊃
). Если A не явля-

ется подмножеством B, то пишут: 
.
A
B
⊄
 Если A
B
⊂
 или 

,
A
B
=
 то пишут: 
.
A
B
⊆

 
3. Совокупности и системы 
7

Действия над множествами

Объединение множеств A 

и B – множество 
,
A
B
∪
 со-

стоящее из всех тех элементов, 
которые принадлежат 
или множеству A, или множеству 
B.

Пересечение множеств A 

и B – множество 
,
A
B
∩
 

состоя щее из всех тех элементов, 
которые принадлежат 
и множеству A, и множеству 
B.

Если ( )
m A  – количество элементов конечного множе-

ства A, ( )
m B  – количество элементов конечного множе-

ства B, то:

(
)
( )
( )
(
).
m A
B
m A
m B
m A
B
∪
=
+
−
∩

3. Совокупности и системы

Совокупность двух утверждений A, B – утвержде-

ние «A или B»; записывается с помощью квадратной 
скобки:

I. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ

,
.

A
B



Система двух утверждений A, B – утверждение 

«A и B»; записывается с помощью фигурной скобки:

,
.

A
B





Рассматривают также совокупности и системы трех 

(и более) утверждений, а также совокупности систем или 
системы совокупностей утверждений. В качестве утверждений 
могут быть уравнения, неравенства и т.д.

4. Метод математической индукции

Для доказательства справедливости утверждения ( )
A n  

при всех натуральных 
0
n
n
≥
 
0
(
)
n ∈N  необходимо сде-

лать следующие три шага:

1) непосредственной проверкой убедиться в истин-

ности 
0
(
);
A n

2) предположить, что ( )
A k  истинно для любого фик-

сированного натурального k   
0
(
);
k
n
≥

3) доказать, что 
(
1)
A k +
 истинно для всех k ∈N 

0
(
).
k
n
≥

 
1. Числовые множества 
9

II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

1. Числовые множества

Классификация числовых множеств

{1, 2, 3, ...}
=
N
 – множество натуральных чисел;

{...,
2,
1, 0,1, 2, ...}
=
−
−
Z
 – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел, определяемое 

двумя способами:

1) множество всех обыкновенных дробей 
,
m
n  где 

;
m∈Z  
;
n∈N

2) множество всех бесконечных периодических деся-

тичных дробей;

I – множество иррациональных чисел, определяемое 

как множество всех бесконечных непериодических десятичных 
дробей;

R – множество действительных чисел:

.
=
∪
R
Q
I

II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Ч е т н ы е  и  н еч е т н ы е  н ат у р а л ь н ы е  ч и с л а:
2n – формула четных чисел (
);
n∈N

2
1
n −  – формула нечетных чисел (
).
n∈N

Некоторые иррациональные числа:

2,718281828...,
e =
    
3,141592653...,
π =

2
1,414213562...,
=
    3
1,732050807...,
=

5
2,236067977....
=

Геометрическое истолкование действительных чисел

Числовая ось (или координатная прямая) – прямая 

с заданными на ней началом отсчета, направлением и 
единичным отрезком.

Координата точки M на оси Ox – число, которое со-

ответствует этой точке; пишут: 
( ).
M x

Между множеством точек числовой оси и множе-

ством действительных чисел установлено взаимно однозначное 
соответствие.

Число a называется положительным (пишут: 
0
a > ), 

если соответствующая точка на числовой оси лежит 

M
О