Математический анализ : последовательности, функции, интегралы : практикум

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
A57

Р е ц е н з е н т ы : кафедра математического анализа, дифференциальных
уравнений и алгебры учреждения образования «Гродненский государственный 
университет имени Янки Купалы» (заведующий кафедрой — доктор 
физико-математических наук, доцент А. А. Гринь, рецензент — доктор
физико-математических наук, профессор И. П. Мартынов); профессор кафедры 
высшей математики учреждения образования «Белорусский государственный 
экономический университет» доктор физико-математических
наук, профессор А. И. Астровский

Альсевич, Л.А.
А57
Математический анализ : последовательности, функции,
интегралы : практикум : учебное пособие / Л. А. Альсевич,
С. Г. Красовский. – Минск : Вышэйшая школа, 2021. – 471 с. :
ил.
ISBN 978-985-06-3375-0.
Содержатся основные теоретические сведения о методе математической
индукции, формуле бинома Ньютона, числовых последовательностях, пределе, 
непрерывности и дифференцируемости функций, исследовании функций 
с помощью производных и построении их графиков, а также о неопределенном 
и определенном интегралах. Предложены основные приемы решения 
типовых задач по этим темам. Изложение материала иллюстрируется 
подробно разобранными примерами. Представлено большое количество
упражнений для самоконтроля, снабженных ответами. Приведены задачи
для индивидуальных и контрольных заданий.
Для студентов учреждений высшего образования по математическим,
физическим и экономическим специальностям. Может быть полезно преподавателям, 
аспирантам, магистрантам и студентам естественнонаучных
специальностей, а также всем изучающим начальный курс высшей математики. 
Возможно использование пособия при дистанционном обучении.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

ISBN 978-985-06-3375-0
c○ Альсевич Л.А.,
Красовский С.Г., 2021
c○ Оформление. УП «Издательство
“Вышэйшая школа”», 2021

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

N — множество натуральных чисел.
Z — множество целых чисел.
Z0 = N ⋃︀{0}.
Q — множество рациональных чисел.
R — множество действительных чисел.
C — множество комплексных чисел.
[𝑎; 𝑏], (𝑎; 𝑏) — отрезок, интервал с концами 𝑎 и 𝑏.
|𝑎; 𝑏| — промежуток с концами 𝑎 и 𝑏 (здесь может подразумеваться 
отрезок, интервал или один из полуинтервалов [𝑎; 𝑏)
или (𝑎; 𝑏]).
∀ — квантор всеобщности (∀𝑥 ∈ 𝐴 — для всех 𝑥 из множества 
𝐴; ∀𝑥 ∈ R, 𝑥 ̸= 0
— для любых действительных 𝑥, не
равных нулю).
∃ — квантор существования (∃𝑦 ∈ 𝐴 — существует 𝑦, принадлежащее 
множеству 𝐴; ∃𝑦, 𝑦>1 — найдется 𝑦, большее 1).

≡ — равно по определению (синоним def
=).
=:: — обозначим через.
:= — положим равным.
⇒,
⇐ — знаки логического следования.
⇔ — знак равносильности.
𝑓 : 𝑋 → 𝑌
— функция 𝑓, заданная на множестве 𝑋 со
значениями во множестве 𝑌.
𝑓 ∘ 𝑔 — композиция функций (сложная функция, суперпозиция), 
т. е. (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)).

| · | — модуль; |𝑎| =

{︃
𝑎,
𝑎 ⩾ 0,
−𝑎,
𝑎 < 0.
ln(𝑥), ln 𝑥 — натуральный логарифм; ln 𝑥 = log𝑒 𝑥.
𝑒
— основание натурального логарифма, математическая
константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно 
равно 2,71828.
exp(𝑥) — экспонента; exp(𝑥) = 𝑒𝑥.

3

𝑛! = 1 · 2 · 3 · · · 𝑛 — факториал числа 𝑛 ∈ Z0 (0! = 1).
(2𝑛)!! = 2 · 4 · · · 2𝑛 — двойной факториал, (2𝑛)!! = 2𝑛 · 𝑛!.
(2𝑛 − 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2𝑛 − 1) — двойной факториал:

(2𝑛 − 1)!! = (2𝑛)!

(2𝑛)!! = (2𝑛)!

2𝑛 · 𝑛! = (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) · · · (2𝑛)

2𝑛
.

𝐴 ... 𝑚 — 𝐴 кратно 𝑚, 𝐴 делится на 𝑚 нацело.
∑︀ — сигма, знак суммирования:
𝑛∑︀

𝑘=1
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛;

𝑘 — индекс суммирования. Значение суммы не зависит от того,
какой буквой обозначают индекс суммирования:

𝑛
∑︁

𝑘=1
𝑎𝑘 =

𝑛
∑︁

𝑗=1
𝑎𝑗 =

𝑛
∑︁

𝑠=1
𝑎𝑠 =

𝑛−1
∑︁

𝑘=0
𝑎𝑘+1.

∞
∑︀

𝑘=1
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 + . . . — бесконечная сумма, ряд.

𝑛∏︀

𝑘=1
𝑏𝑘 = 𝑏1 · 𝑏2 · · · 𝑏𝑛 — произведение.

∞
∏︀

𝑘=1
𝑏𝑘 = 𝑏1 · 𝑏2 · · · 𝑏𝑛 · · · — бесконечное произведение.
∫︁
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 — неопределенный интеграл (совокупность всех

первообразных для функции 𝑓(𝑥) на рассматриваемом числовом 
промежутке).
𝑏
∫︁

𝑎
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 — определенный интеграл Римана от функции 𝑓

по отрезку [𝑎; 𝑏], где число 𝑎 — нижний, а 𝑏 — верхний предел
интегрирования.
=
[︁
. . .
]︁
= — прерывание математических вычислений, в
скобках указываются логические пояснения, формулы или свойства, 
используемые для дальнейших действий.

4

ПРЕДИСЛОВИЕ

В пособии рассматриваются классические понятия математического 
анализа: метод математической индукции, формула бинома 
Ньютона, числовые последовательности, предел, непрерывность 
и дифференцируемость функций, неопределенный и определенный 
интегралы. С одной стороны, эти понятия являются
базовыми для всего курса математического анализа и широко
используются в других дисциплинах математического цикла и
приложениях. С другой стороны, с изучения этих вопросов начинается 
курс математического анализа, и пособие призвано способствовать 
адаптации студентов к самостоятельной работе.
Цель пособия — помочь студентам в изучении числовых последовательностей, 
функций, графиков функций, неопределенных 
и определенных интегралов, научить их решать типовые задачи 
на эти темы.
В настоящем пособии даются требуемые определения, приводятся 
теоретические положения, отмечаются основные свойства
рассматриваемых объектов. Все это иллюстрируется подробным
решением типовых задач и примеров. Для усвоения и закрепления 
пройденного материала предлагается значительное количество 
упражнений, снабженных ответами, что даст возможность
быстро составить любые варианты контрольных заданий с учетом 
специальности и уровня подготовки студентов.
Данное учебное пособие написано на базе учебного пособия
Альсевич Л.А., Красовского С.Г., Наумовича Н.А. «Математический 
анализ. Последовательности и функции. Практикум»
(Минск: Вышэйшая школа, 2019). Авторы выражают глубокую
благодарность рецензентам — профессору А.И. Астровскому,
профессору И.П. Мартынову и доценту А.А. Гриню за внимательное 
прочтение рукописи и ценные советы, позволившие улучшить 
пособие, а также сотрудникам кафедры высшей математики 
Белорусского государственного университета.
По написанию данного учебного пособия была проделана
огромная предварительная работа авторами совместно с доцентами 
Нилом Федоровичем Наумовичем и Адольфом Федоровичем 
Наумовичем, безвременно ушедшими из жизни. Авторы выражают 
им особую признательность.
Авторы

5

ГЛАВА 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ

Утверждение 𝑇(𝑛) будет истинным для всех значений натуральной 
переменной 𝑛, если выполняются условия:
1) утверждение 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 1;
2) из предположения, что 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑘, 𝑘 ∈ N,
следует, что 𝑇(𝑛) истинно и при 𝑛 = 𝑘 + 1.
Пример 1.1. Пользуясь методом математической индукции,
доказать равенство

1 + 2 + 3 + . . . + (𝑛 − 1) + 𝑛= (𝑛 + 1)𝑛

2
,
𝑛∈N.

Р е ш е н и е.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 1 = (1 + 1) · 1

2
, т. е. равенство верно.
2. Предположим, что равенство верно при 𝑛=𝑘, т. е. 1+2+ . . .

. . . + 𝑘 = (𝑘 + 1)𝑘

2
.
Проверим истинность равенства при 𝑛 = 𝑘 +1, т. е. покажем,

что 1 + 2 + . . . + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)

2
.
Рассмотрим левую часть последнего равенства и преобразуем
ее к правой:

1 + 2 + . . . + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
[︂
на основании условия 2)
]︂
=

= (𝑘 + 1)𝑘

2
+ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
(︂𝑘

2 + 1
)︂
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2
.

Следовательно, 1 + 2 + 3 + . . . + 𝑛 = (𝑛 + 1)𝑛

2
верно ∀𝑛 ∈ N.

Пример 1.2. Пользуясь методом математической индукции,
доказать равенство

12 + 22 + . . . + 𝑛2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6
,
𝑛 ∈ N.

6

Р е ш е н и е.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 12 = 1(1 + 1)(1 + 2)

6
.
2. Предположим, что равенство верно при 𝑛 = 𝑘:

12 + 22 + . . . + 𝑘2 = 𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)

6
.

Покажем истинность при 𝑛 = 𝑘 + 1, т. е. что

12 + 22 + . . . + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

6
.

Преобразуем левую часть:

12+22+ . . . +𝑘2+(𝑘+1)2 =
[︂
см. п. 2
]︂
= 𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)

6
+(𝑘+1)2 =

= (𝑘 + 1)
(︂𝑘(2𝑘 + 1)

6
+ 𝑘 + 1
)︂
= (𝑘 + 1)𝑘(2𝑘 + 1) + 6𝑘 + 6

6
=

= (𝑘+1)2𝑘2 + 7𝑘 + 6

6
=
[︂
так как 2𝑘2+7𝑘+6 = (𝑘+2)(2𝑘+3)
]︂
=

= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

6
.

Получили
правую
часть.
Следовательно,
равенство
верно
∀𝑛∈N.

Пример 1.3. Пользуясь методом математической индукции,

доказать, что (72𝑛 − 1)...48 ∀𝑛 ∈ N, т. е. 72𝑛 − 1 делится нацело
на 48.
Р е ш е н и е. Покажем, что 72𝑛 − 1 = 48𝑞.
1. 𝑛 = 1 ⇒ 72 − 1 = 48 = 48 · 1.
2. Предположим, что 72𝑘 − 1 = 48𝑞1 при 𝑛 = 𝑘.
Покажем справедливость утверждения при 𝑛 = 𝑘 + 1:

72(𝑘+1)−1=72𝑘+2−1=72𝑘 ·72−1=72𝑘(48+1)−1=72𝑘 ·48+72𝑘−1=

=
[︂
(72𝑘 − 1)...48,
см. п. 2
]︂
= 72𝑘 · 48 + 48 · 𝑞1 = 48(72𝑘 + 𝑞1)...48.

Следовательно, утверждение верно ∀𝑛 ∈ N.

7

Пример 1.4. Пользуясь методом математической индукции,
доказать неравенство | sin(𝑛α)| ⩽ 𝑛| sin α|, ∀𝑛 ∈ N, α ∈ R.
Р е ш е н и е.
1. 𝑛 = 1 ⇒ | sin α| ⩽ | sin α|.
2. Предположим, что неравенство верно при 𝑛 = 𝑘:

| sin(𝑘α)| ⩽ 𝑘| sin α|.

Докажем, что неравенство истинно при 𝑛 = 𝑘 + 1, т. е. покажем, 
что | sin((𝑘 + 1)α)| ⩽ (𝑘 + 1)| sin α|. Имеем

| sin((𝑘 + 1)α)|=| sin(𝑘α + α)|=| sin(𝑘α) cos α + cos(𝑘α) sin α| ⩽

⩽
[︁
|𝑎+𝑏|⩽|𝑎|+|𝑏|
]︁
⩽| sin(𝑘α) cos α|+| cos(𝑘α) sin α|=
[︁
|𝑎𝑏|=|𝑎||𝑏|
]︁
=

=| sin(𝑘α)|| cos α| + | cos(𝑘α)|| sin α|⩽
[︁
| cos α|⩽1; | cos(𝑘α)|⩽1
]︁
⩽

⩽| sin(𝑘α)|·1+1·| sin α|=
[︁
см. п. 2
]︁
⩽𝑘| sin α|+| sin α|=(𝑘+1)| sin α|,

что и требовалось доказать. Следовательно, неравенство верно
∀𝑛 ∈ N.

Пример 1.5. Доказать неравенство
(2𝑛 − 1)!!

(2𝑛)!!
<
1
√2𝑛+1
∀𝑛 ∈ N.
Р е ш е н и е. Применим метод математической индукции.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 1!!

2!! = 1

2 <
1
√

3 ⇔
√

3 < 2 — истинно.

2. Предположим, что неравенство справедливо при 𝑛 = 𝑘,

т. е. (2𝑘 − 1)!!

(2𝑘)!!
<
1
√

2𝑘 + 1.

Покажем, что неравенство истинно при 𝑛 = 𝑘 + 1:

(2𝑘 + 1)!!

(2𝑘)!!
= (2𝑘 − 1)!!(2𝑘 + 1)

(2𝑘)!!(2𝑘 + 2)
= (2𝑘−1)!!

(2𝑘)!!
2𝑘+1
2𝑘+2 <
[︂
см. п. 2
]︂
<

<
1
√

2𝑘+1
2𝑘+1
2𝑘+2 =
√

2𝑘+1

2𝑘 + 2 <
[︂
убедимся, что
√

2𝑘+1

2𝑘 + 2 <
1
√

2𝑘+3,

8

для этого построим цепочку равносильных неравенств:
√

2𝑘 + 1 ·
√

2𝑘 + 3 < 2𝑘 + 2 ⇔ (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) < (2𝑘 + 2)2 ⇔

⇔ 4𝑘2 + 8𝑘 + 3 < 4𝑘2 + 8𝑘 + 4 ⇔ 0 < 1
]︂
<
1
√

2𝑘 + 3,

что и требовалось доказать.

Пример 1.6. Вывести формулу для суммы 𝑆𝑛 = 1 · 1! +
+ 2 · 2! + . . . + 𝑛 · 𝑛!.
Р е ш е н и е. Вычислим несколько сумм и попробуем найти закономерность:

𝑆1 = 1 · 1! = 1 ⇒ 𝑆1 = 2! − 1;
𝑆2 = 1 · 1! + 2 · 2! = 5 ⇒ 𝑆2 = 3! − 1;
𝑆3 = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! = 23 ⇒ 𝑆3 = 4! − 1.
Следовательно, можно предположить, что 𝑆𝑛 = (𝑛 + 1)! − 1.
Докажем это, используя метод математической индукции.
1. 𝑛 = 1 — верно.
2. 𝑛 = 𝑘 ⇒ 𝑆𝑘 = (𝑘 + 1)! − 1, т. е. 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑘 · 𝑘! =
= (𝑘 + 1)! − 1.
Покажем справедливость формулы для 𝑛 = 𝑘 + 1:

𝑆𝑘+1 = 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑘 · 𝑘! + (𝑘 + 1) · (𝑘 + 1)! =
[︂
см. п. 2
]︂
=

= (𝑘 + 1)! − 1 + (𝑘 + 1)(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1)!(1 + 𝑘 + 1) − 1 =

= (𝑘 + 1)!(𝑘 + 2) − 1 = (𝑘 + 2)! − 1.

Следовательно, 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑛 · 𝑛! = (𝑛 + 1)! − 1 ∀𝑛 ∈ N.

Отметим, что обобщением метода математической индукции
является следующее высказывание.
Если:
1) утверждение 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑚, 𝑚 ∈ Z;
2) из предположения, что утверждение 𝑇(𝑛) верно при 𝑛 =
= 𝑘 (𝑘 ∈ Z, 𝑘 ⩾ 𝑚), следует, что 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑘+1,
то 𝑇(𝑛) истинно для всех 𝑛, 𝑛 ∈ Z, 𝑛 ⩾ 𝑚.

9

Пример 1.7. Доказать неравенство

1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . + 1
√𝑛 > √𝑛,
𝑛 ∈ N,
𝑛 ⩾ 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математической индукции.

1. 𝑛 = 2 ⇒ 1 + (1/
√

2) >
√

2 ⇔
√

2 + 1 > (
√

2)2 ⇔
√

2 + 1 >
> 2 ⇔
√

2 > 1 — верно.

2. 𝑛 = 𝑘 ⇒ 1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . + 1
√

𝑘
>
√

𝑘.

Для 𝑛 = 𝑘 + 1 ⇒ 1 +
1
√

2 +
1
√

3 + . . . +
1
√

𝑘
+
1
√

𝑘 + 1 >

>
[︂
см. п. 2
]︂
>
√

𝑘+
1
√

𝑘 + 1. Покажем далее, что
√

𝑘+
1
√

𝑘 + 1 >

>
√

𝑘 + 1. Действительно,

√

𝑘 +
1
√

𝑘 + 1 >
√

𝑘 + 1 ⇔
√︀

𝑘(𝑘 + 1) + 1 > 𝑘 + 1 ⇔

⇔
√︀

𝑘(𝑘 + 1) > 𝑘 ⇔ 𝑘(𝑘 + 1) > 𝑘2 ⇔ 𝑘 > 0.

Следовательно, 1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . +
1
√𝑛 + 1 > √𝑛 + 1 при

𝑛 ⩾ 2, что и требовалось доказать.

Пример 1.8. Выяснить, при каких 𝑛 ∈ N верно неравенство
2𝑛 > 𝑛2 + 𝑛 + 1.
Р е ш е н и е. Рассмотрим несколько первых значений 𝑛:
𝑛 = 1 ⇒ 2 < 3;
𝑛 = 2 ⇒ 22 < 7;
𝑛 = 3 ⇒ 23 < 32 + 3 + 1;
𝑛 = 4 ⇒ 24 < 42 + 4 + 1;
𝑛 = 5 ⇒ 25 > 52 + 5 + 1 ⇔ 32 > 31.
Из проведенных вычислений следует, что при 𝑛 = 1, 2, 3, 4
неравенство не выполняется, а при 𝑛 = 5 выполняется.
Справедливость неравенства для натуральных чисел 𝑛 ⩾ 5
проверим с помощью метода математической индукции.

10