Математический анализ. Последовательности и функции : практикум

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

A57

Р е ц е н з е н т ы : кафедра математического анализа, дифференциальных

уравнений и алгебры учреждения образования «Гродненский государственный 
университет имени Янки Купалы» (заведующий кафедрой — доктор 
физико-математических наук, доцент А. А. Гринь, рецензент — доктор
физико-математических наук, профессор И. П. Мартынов); профессор кафедры 
высшей математики учреждения образования «Белорусский государственный 
экономический университет» доктор физико-математических
наук, профессор А. И. Астровский

Альсевич, Л.␣ А.

А57
Математический анализ. Последовательности и функции␣ :␣

практикум : учебное пособие / Л. А. Альсевич, С. Г. Красовский,
А. Ф. Наумович. – Минск : Вышэйшая школа, 2019. – 327 с. : ил.

ISBN 978-985-06-2968-5.

Содержатся основные теоретические сведения о методе математической

индукции, формуле бинома Ньютона, числовых последовательностях, пределе, 
непрерывности и дифференцируемости функций. Предложены основные
приемы решения типовых задач по этим темам. Изложение материала иллюстрируется 
подробно разобранными примерами. Представлено большое
количество упражнений для самоконтроля, снабженных ответами. Приведены 
задачи для индивидуальных и контрольных заданий.

Для студентов учреждений высшего образования по математическим

специальностям. Может быть полезно преподавателям, аспирантам, магистрантам 
и студентам естественнонаучных и экономических специальностей,
а также всем изучающим начальный курс высшей математики.

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или

любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.


ISBN 978-985-06-2968-5
c○ Альсевич Л.А., Красовский С.Г.,

Наумович А.Ф., 2019

c○ Оформление. УП «Издательство

“Вышэйшая школа”», 2019

ПРЕДИСЛОВИЕ

В пособии рассматриваются классические понятия математического 
анализа: метод математической индукции, формула бинома 
Ньютона, числовые последовательности, предел, непрерывность 
и дифференцируемость функций. С одной стороны, эти
понятия являются базовыми для всего курса математического
анализа и широко используются в других дисциплинах математического 
цикла и приложениях. С другой стороны, с изучения
этих вопросов начинается курс математического анализа, и пособие 
призвано способствовать адаптации студентов к самостоятельной 
работе.
Цель пособия — помочь студентам в изучении числовых последовательностей, 
функций и их графиков, научить их решать
типовые задачи на эти темы.
В настоящем пособии даются требуемые определения, приводятся 
теоретические положения, отмечаются основные свойства
рассматриваемых объектов. Все это иллюстрируется подробным
решением типовых задач и примеров. Для усвоения и закрепления 
пройденного материала предлагается значительное количество 
упражнений, снабженных ответами, что даст возможность
быстро составить любые варианты контрольных заданий с учетом 
специальности и уровня подготовки студентов.
Авторы выражают глубокую благодарность рецензентам —
профессору А.И. Астровскому, профессору И.П. Мартынову и
доценту А.А. Гриню за внимательное прочтение рукописи и ценные 
советы, позволившие улучшить пособие, а также сотрудникам 
кафедры высшей математики Белорусского государственного 
университета. Особая признательность безвременно ушедшему 
из жизни Наумовичу Нилу Федоровичу — вдохновителю и
инициатору написания данного учебного пособия.

Авторы

3

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

N — множество натуральных чисел.
Z — множество целых чисел.
Z0 = N ⋃︀{0}.
Q — множество рациональных чисел.
R — множество действительных чисел.
C — множество комплексных чисел.
[𝑎; 𝑏], (𝑎; 𝑏), |𝑎; 𝑏| — отрезок, интервал, промежуток с концами 
𝑎 и 𝑏.
∀ — квантор всеобщности (∀𝑥 ∈ 𝐴 — для всех 𝑥 из множества 
𝐴; ∀𝑥 ∈ R, 𝑥 ̸= 0
— для любых действительных 𝑥, не
равных нулю).
∃ — квантор существования (∃𝑦 ∈ 𝐴 — существует 𝑦, принадлежащее 
множеству 𝐴; ∃𝑦, 𝑦>1 — найдется 𝑦, большее 1).
=:: — обозначим через.
:= — положим равным.
⇒,
⇐ — знаки логического следования.
⇔ — знак равносильности.
𝑓 : 𝑋 → 𝑌
— функция 𝑓, заданная на множестве 𝑋 со
значениями во множестве 𝑌.
𝑓 ∘ 𝑔 — композиция функций (сложная функция, суперпозиция), 
т. е. (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)).

| · | — модуль; |𝑎| =

{︃
𝑎,
𝑎 ⩾ 0;
−𝑎,
𝑎 < 0.
𝑛! = 1 · 2 · 3 · · · 𝑛 — факториал числа 𝑛 ∈ Z0 (0! = 1).
(2𝑛)!! = 2 · 4 · · · 2𝑛 — двойной факториал, (2𝑛)!! = 2𝑛 · 𝑛!.
(2𝑛 − 1)!! = 1 · 3 · 5 · · · (2𝑛 − 1) — двойной факториал.

𝐴 ... 𝑚 — 𝐴 кратно 𝑚, 𝐴 делится на 𝑚 нацело.
∑︀ — сигма, знак суммирования:
𝑛∑︀

𝑘=1
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛;

𝑘 — индекс суммирования. Значение суммы не зависит от того,

4

какой буквой обозначают индекс суммирования:

𝑛
∑︁

𝑘=1
𝑎𝑘 =

𝑛
∑︁

𝑗=1
𝑎𝑗 =

𝑛
∑︁

𝑠=1
𝑎𝑠 =

𝑛−1
∑︁

𝑘=0
𝑎𝑘+1.

∞
∑︀

𝑘=1
𝑎𝑘 = 𝑎1 + 𝑎2 + . . . + 𝑎𝑛 + . . . — бесконечная сумма, ряд.

𝑛∏︀

𝑘=1
𝑏𝑘 = 𝑏1 · 𝑏2 · · · 𝑏𝑛 — произведение.

∞
∏︀

𝑘=1
𝑏𝑘 = 𝑏1 · 𝑏2 · · · 𝑏𝑛 · · · — бесконечное произведение.

=
[︂
. . .
]︂
= — прерывание математических вычислений, в

скобках указываются логические пояснения, формулы или свойства, 
используемые для дальнейших действий.

5

ГЛАВА 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ИНДУКЦИИ

Утверждение 𝑇(𝑛) будет истинным для всех значений натуральной 
переменной 𝑛, если выполняются условия:
1) утверждение 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 1;
2) из предположения, что 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑘, 𝑘 ∈ N,
следует, что 𝑇(𝑛) истинно и при 𝑛 = 𝑘 + 1.
Пример 1.1. Пользуясь методом математической индукции,
доказать равенство

1 + 2 + 3 + . . . + (𝑛 − 1) + 𝑛= (𝑛 + 1)𝑛

2
,
𝑛∈N.

Р е ш е н и е.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 1 = (1 + 1) · 1

2
, т. е. равенство верно.
2. Предположим, что равенство верно при 𝑛=𝑘, т. е. 1+2+ . . .

. . . + 𝑘 = (𝑘 + 1)𝑘

2
.
Проверим истинность равенства при 𝑛 = 𝑘 +1, т. е. покажем,

что 1 + 2 + . . . + 𝑘 + (𝑘 + 1) = (𝑘 + 2)(𝑘 + 1)

2
.
Рассмотрим левую часть последнего равенства и преобразуем
ее к правой:

1 + 2 + . . . + 𝑘 + (𝑘 + 1) =
[︂
на основании условия 2)
]︂
=

= (𝑘 + 1)𝑘

2
+ (𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)
(︂𝑘

2 + 1
)︂
= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

2
.

Следовательно, 1 + 2 + 3 + . . . + 𝑛 = (𝑛 + 1)𝑛

2
верно ∀𝑛 ∈ N.

Пример 1.2. Пользуясь методом математической индукции,
доказать равенство

12 + 22 + . . . + 𝑛2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6
,
𝑛 ∈ N.

6

Р е ш е н и е.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 12 = 1(1 + 1)(1 + 2)

6
.
2. Предположим, что равенство верно при 𝑛 = 𝑘:

12 + 22 + . . . + 𝑘2 = 𝑘(𝑘 + 1)(2𝑘 + 1)

6
.

Покажем истинность при 𝑛 = 𝑘 + 1, т. е. покажем, что

12 + 22 + . . . + 𝑘2 + (𝑘 + 1)2 = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

6
.

Преобразуем левую часть:

12+22+ . . . +𝑘2+(𝑘+1)2 =
[︂
см. п. 2
]︂
= 𝑘(𝑘+1)(2𝑘+1)

6
+(𝑘+1)2 =

= (𝑘 + 1)
(︂𝑘(2𝑘 + 1)

6
+ 𝑘 + 1
)︂
= (𝑘 + 1)𝑘(2𝑘 + 1) + 6𝑘 + 6

6
=

= (𝑘+1)2𝑘2 + 7𝑘 + 6

6
=
[︂
так как 2𝑘2+7𝑘+6 = (𝑘+2)(2𝑘+3)
]︂
=

= (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)(2𝑘 + 3)

6
.

Получили
правую
часть.
Следовательно,
равенство
верно
∀𝑛∈N.

Пример 1.3. Пользуясь методом математической индукции,

доказать, что (72𝑛 − 1)...48, ∀𝑛 ∈ N, т. е. 72𝑛 − 1 делится нацело
на 48.
Р е ш е н и е. Покажем, что 72𝑛 − 1 = 48𝑞.
1. 𝑛 = 1 ⇒ 72 − 1 = 48 = 48 · 1.
2. Предположим, что 72𝑘 − 1 = 48𝑞1 при 𝑛 = 𝑘.
Покажем справедливость утверждения при 𝑛 = 𝑘 + 1:

72(𝑘+1)−1=72𝑘+2−1=72𝑘 ·72−1=72𝑘(48+1)−1=72𝑘 ·48+72𝑘−1=

=
[︂
(72𝑘 − 1)...48,
см. п. 2
]︂
= 72𝑘 · 48 + 48 · 𝑞1 = 48(72𝑘 + 𝑞1)...48.

Следовательно, утверждение верно ∀𝑛 ∈ N.

7

Пример 1.4. Пользуясь методом математической индукции,
доказать неравенство | sin(𝑛α)| ⩽ 𝑛| sin α|, ∀𝑛 ∈ N, α ∈ R.
Р е ш е н и е.
1. 𝑛 = 1 ⇒ | sin α| ⩽ | sin α|.
2. Предположим, что неравенство верно при 𝑛 = 𝑘:

| sin(𝑘α)| ⩽ 𝑘| sin α|.

Докажем, что неравенство истинно при 𝑛 = 𝑘 + 1, т. е. покажем, 
что | sin((𝑘 + 1)α)| ⩽ (𝑘 + 1)| sin α|. Имеем

| sin((𝑘 + 1)α)|=| sin(𝑘α + α)|=| sin(𝑘α) cos α + cos(𝑘α) sin α| ⩽

⩽
[︁
|𝑎+𝑏|⩽|𝑎|+|𝑏|
]︁
⩽| sin(𝑘α) cos α|+| cos(𝑘α) sin α|=
[︁
|𝑎𝑏|=|𝑎||𝑏|
]︁
=

=| sin(𝑘α)|| cos α| + | cos(𝑘α)|| sin α|⩽
[︁
| cos α|⩽1; | cos(𝑘α)|⩽1
]︁
⩽

⩽| sin(𝑘α)|·1+1·| sin α|=
[︁
см. п. 2
]︁
⩽𝑘| sin α|+| sin α|=(𝑘+1)| sin α|,

что и требовалось доказать. Следовательно, неравенство верно
∀𝑛 ∈ N.

Пример 1.5. Доказать неравенство
(2𝑛 − 1)!!

(2𝑛)!!
<
1
√2𝑛+1,

∀𝑛 ∈ N.
Р е ш е н и е. Применим метод математической индукции.

1. 𝑛 = 1 ⇒ 1!!

2!! = 1

2 <
1
√

3 ⇔
√

3 < 2 — истинно.

2. Предположим, что неравенство справедливо при 𝑛 = 𝑘,

т. е. (2𝑘 − 1)!!

(2𝑘)!!
<
1
√

2𝑘 + 1.

Покажем, что неравенство истинно при 𝑛 = 𝑘 + 1:

(2𝑘 + 1)!!

(2𝑘)!!
= (2𝑘 − 1)!!(2𝑘 + 1)

(2𝑘)!!(2𝑘 + 2)
= (2𝑘−1)!!

(2𝑘)!!
2𝑘+1
2𝑘+2 <
[︂
см. п. 2
]︂
<

<
1
√

2𝑘+1
2𝑘+1
2𝑘+2 =
√

2𝑘+1

2𝑘 + 2 <
[︂
убедимся, что
√

2𝑘+1

2𝑘 + 2 <
1
√

2𝑘+3,

8

для этого построим цепочку равносильных неравенств:
√

2𝑘 + 1 ·
√

2𝑘 + 3 < 2𝑘 + 2 ⇔ (2𝑘 + 1)(2𝑘 + 3) < (2𝑘 + 2)2 ⇔

⇔ 4𝑘2 + 8𝑘 + 3 < 4𝑘2 + 8𝑘 + 4 ⇔ 0 < 1
]︂
<
1
√

2𝑘 + 3,

что и требовалось доказать.

Пример 1.6. Вывести формулу для суммы 𝑆𝑛 = 1 · 1! +
+ 2 · 2! + . . . + 𝑛 · 𝑛!.
Р е ш е н и е. Вычислим несколько сумм и попробуем найти закономерность:

𝑆1 = 1 · 1! = 1 ⇒ 𝑆1 = 2! − 1;
𝑆2 = 1 · 1! + 2 · 2! = 5 ⇒ 𝑆2 = 3! − 1;
𝑆3 = 1 · 1! + 2 · 2! + 3 · 3! = 23 ⇒ 𝑆3 = 4! − 1.
Следовательно, можно предположить, что 𝑆𝑛 = (𝑛 + 1)! − 1.
Докажем это, используя метод математической индукции.
1. 𝑛 = 1 — верно.
2. 𝑛 = 𝑘 ⇒ 𝑆𝑘 = (𝑘 + 1)! − 1, т. е. 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑘 · 𝑘! =
= (𝑘 + 1)! − 1.
Покажем справедливость формулы для 𝑛 = 𝑘 + 1:

𝑆𝑘+1 = 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑘 · 𝑘! + (𝑘 + 1) · (𝑘 + 1)! =
[︂
см. п. 2
]︂
=

= (𝑘 + 1)! − 1 + (𝑘 + 1)(𝑘 + 1)! = (𝑘 + 1)!(1 + 𝑘 + 1) − 1 =

= (𝑘 + 1)!(𝑘 + 2) − 1 = (𝑘 + 2)! − 1.

Следовательно, 1 · 1! + 2 · 2! + . . . + 𝑛 · 𝑛! = (𝑛 + 1)! − 1, ∀𝑛 ∈ N.

Отметим, что обобщением метода математической индукции
является следующее высказывание.
Если:
1) утверждение 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑚, 𝑚 ∈ Z;
2) из предположения, что утверждение 𝑇(𝑛) верно при 𝑛 =
= 𝑘 (𝑘 ∈ Z, 𝑘 ⩾ 𝑚), следует, что 𝑇(𝑛) истинно при 𝑛 = 𝑘+1,
то 𝑇(𝑛) истинно для всех 𝑛, 𝑛 ∈ Z, 𝑛 ⩾ 𝑚.

9

Пример 1.7. Доказать неравенство

1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . + 1
√𝑛 > √𝑛,
𝑛 ∈ N,
𝑛 ⩾ 2.

Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математической индукции.

1. 𝑛 = 2 ⇒ 1 + (1/
√

2) >
√

2 ⇔
√

2 + 1 > (
√

2)2 ⇔
√

2 + 1 >
> 2 ⇔
√

2 > 1 — верно.

2. 𝑛 = 𝑘 ⇒ 1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . + 1
√

𝑘
>
√

𝑘.

Для 𝑛 = 𝑘 + 1 ⇒ 1 +
1
√

2 +
1
√

3 + . . . +
1
√

𝑘
+
1
√

𝑘 + 1 >

>
[︂
см. п. 2
]︂
>
√

𝑘+
1
√

𝑘 + 1. Покажем далее, что
√

𝑘+
1
√

𝑘 + 1 >

>
√

𝑘 + 1. Действительно,

√

𝑘 +
1
√

𝑘 + 1 >
√

𝑘 + 1 ⇔
√︀

𝑘(𝑘 + 1) + 1 > 𝑘 + 1 ⇔

⇔
√︀

𝑘(𝑘 + 1) > 𝑘 ⇔ 𝑘(𝑘 + 1) > 𝑘2 ⇔ 𝑘 > 0.

Следовательно, 1 + 1
√

2 + 1
√

3 + . . . +
1
√𝑛 + 1 > √𝑛 + 1 при

𝑛 ⩾ 2, что и требовалось доказать.

Пример 1.8. Выяснить, при каких 𝑛 ∈ N верно неравенство
2𝑛 > 𝑛2 + 𝑛 + 1.
Р е ш е н и е. Рассмотрим несколько первых значений 𝑛:
𝑛 = 1 ⇒ 2 < 3;
𝑛 = 2 ⇒ 22 < 7;
𝑛 = 3 ⇒ 23 < 32 + 3 + 1;
𝑛 = 4 ⇒ 24 < 42 + 4 + 1;
𝑛 = 5 ⇒ 25 > 52 + 5 + 1 ⇔ 32 > 31.
Из проведенных вычислений следует, что при 𝑛 = 1, 2, 3, 4
неравенство не выполняется, а при 𝑛 = 5 выполняется.
Справедливость неравенства для натуральных чисел 𝑛 ⩾ 5
проверим с помощью метода математической индукции.

10