Математический анализ. Задачи и упражнения. В 3 частях. Часть 2

        МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ










Допущено
               Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по математическим специальностям
                                   В ТРЕХ ЧАСТЯХ ЧАСТЬ 2



                                                Минск «Вышэйшая школа» 2023

УДК 517(075.8)
ББК 22.161я73
     М34



    Авторы части: С. А. Бондарев, Ю. В. Васильев, В. Г. Кротов, Т. С. Мардвилко, А. Д. Стриленко



    Рецензенты: кафедра фундаментальной и прикладной математики Гродненского государственного университета имени Янки Куналы (заведующий кафедрой доктор физико-математических наук Е.А. Ровба); доктор физико-математических наук, профессор А.П. Старовойтов



















    Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.



ISBN 978-985-06-3533-4 (ч. 2)   © Оформление. УП «Издательство
ISBN 978-985-06-3484-9            “Вышэйшая школа”», 2023

    Предисловие




    В основу данного сборника легли практические занятия по дисциплине «Математический анализ», которые авторы пособия проводят для студентов механико-математического факультета Белорусского государственного университета. Авторы также включили в сборник необходимые теоретические сведения, которые представляют выдержки из курса лекций по «Математическому анализу» одного из авторов [9].
    Предлагаемая читателю ч. 2 пособия состоит из пяти глав. Каждая глава объединяет несколько разделов, которые приблизительно соответствуют одному практическому занятию.
    В каждой главе пособия вы найдете подробно разобранные примеры решения типовых задач, задания для аудиторной и самостоятельной работы, краткие теоретические сведения по математическому анализу, необходимые для решения задач, а также задания повышенной сложности.
    Авторы благодарят профессоров Е.А. Ровбу и А.П. Старовойтова, а также доцента кафедры фундаментальной и прикладной математики В.Р. Мисюка за внимательное рецензирование данного пособия.
    Будем благодарны всем, кто укажет на возможные неточности в тексте и внесет предложения по его улучшению.
    Пожелания, предложения и замечания просим направлять по электронному адресу: niardvilko@gmail.com

    Глава 1

    Интеграл Римана


    1.1. Понятие интеграла Римана
    Пусть задан отрезок [a, b] С R, при чем a < b.
    Разбиением отрезка называется любой упорядоченный набор различных точек из этого отрезка, включающий его концы:
П := {a = x₀ < x1 < ... < xₙ = b}.     (1-1)
    Рангом разбиения называется число
А = Ап := max (xk - Xk-1) ,
16k6n
характеризующее степень измельчения отрезка при его разбиении.
    Разбиение П отрезка [a, b] дает его представление в виде объединения
n
[a,b] = |J [xk-i,Xk].
k=i
Отрезки [xₖ₋₁,xₖ], к = 1, ... ,n, будем называть частичными. Ранг разбиения характеризует степень измельчения отрезка точками разбиения.
    Если задано разбиение П отрезка [a, b] и на каждом частичном отрезке зафиксирована точка
Kk е [xk-i,xk], к = 1, .. .,n,
то обозначим Е, = (K1, •••, Eₙ) и пару (П, £,) назовем разбиением с отмеченными точками.

1.1. Понятие интеграла Римана

5

    Если задана функция f : [a, b] ^ R и разбиение (П, Р) отрезка [a, b] с отмеченными точками, то сумма

                                 n
           s = s (П, р) = Sf (П, Р) := X f (Рк) (xₖ - xfc-i) (1.2)
к=1

называется интегральной суммой Римана функции f, соответствующей разбиению (П, р) с отмеченными точками.
    Пусть функция f задана на отрезке [a, b]. Чиело I называется пределом интегральных сумм, если

      V £ > 0 3 5 > 0 V (П, р) Лп < 5 =^|sf (П, р) - 11 < £. (1.3)

Краткая запись этого следующая: I = lim s. Число I называется опре-Л^0
деленным интегралом Римана функции f по от резку [a, b] и обозначается

I = f f (x) dx = f f dx.            (1-4)
a         a

    В случае существования интеграла будем говорить также, что функция f интегрируема (по Риману) на [a, b]. Класс всех интегрируемых на [a, b] функций обозначим R[a, b].
    В обозначении определенного интеграла (1.4) a называется нижним пределом интегрирования , b — верхним пределом интегрирования, f подынтегральной функцией, f (x) dx подынтегральным выражением.
    Отметим, что если функция не является ограниченной на [a, b], то при фиксированном разбиении интегральная сумма может быть сделана сколь угодно большой за счет выбора одной из отмеченных точек. Поэтому в таком случае предел интегральных сумм не существует и неограниченные функции не входят в класс R[a, b].
    Другими словами, ограниченность функции f на [a, b] является необходимым условием интегрируемости.
    Пусть функция f : [a, b] ^ R ограничена на [a, b], П — произвольное разбиение отрезка [a, b]. Величины

s*^) := inf s(^ Р), s^^sup s(^ Р)          (1.5)

Глава 1. Интеграл Римана

называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для f, отвечающими заданному разбиению П.
    При заданном разбиении П суммы Дарбу показывают возможную степень разброса интегральных сумм, получаемую за счет свободы в выборе отмеченных точек Д,.


   Решение типовых задач


    1. Для интеграла
                          п
J sin x dx
                          о
найти верхние и нижние суммы Дарбу, соответствующие разбиению отрезка [0, п]:
    1) на 3 равные части;
    2) на 6 равных частей.
    Решение. 1) Разобьем отрезок [0, п] на 3 равные части:

0

п 2п


< з < з < п

Обозначим mk и Mk (к = 1,2, 3) соответственно наименьшее и наибольшее значение функции y = sin x на к—м частичном отрезке. Зная промежутки монотонности функций y = sin x, найдем:

[0, 3]:
п 2п з’ Т
2п
"3”’п :

mi = sin0 = 0,

п
m2 = sin з

m3 = sin п = 0,

п
M1 = sin з

х/3_ Т’

M2 = sin 2 = 1;

M3 = sⁱⁿlT = f ’

\ 3

2 ’

       Итак, нижняя сумма Дарбу

          А Л п /      \ 3 \
S3 = mk Axk = 3 I 0 + — + 0 I k=i         \       /

пД3
6

0,907,

1.1. Понятие интеграла Римана

7

верхняя сумма Дарбу

        А           п / V3     Тз\    п (V3 + 1)
   S3 = X? Mk Axk = — I ——+ ¹ +—— I =----------« 2, 86.
3 \ 2       2 /       3
        k=1           \           /


    2) Разобьем отрезок [0, п] на 6 равных частей:

ппп
⁰ < 6 < 3 < 2 <

2п 5п
36

Найдем наименьшее и наибольшее частичном отрезке:

значение функции

на каждом

[' [ [

0, 6 ]:         mi  = sin 0 =   0,     Mi =
                              п            
пп        m2        = sin --- = 1      M2 =
6, 3                6           = 2,       
пп        m3                  п V3     M3 =
3 , 2               = sin -3 =  = ”2“,     
п 2п      :      m4          2п   V3   M4 =
2 , T                  = sin~3~ = “2“,     
2п 5п                      . 5п _ 1        
“3", "6"   :     m5   = sin -x- = 2,   M5 =
                              6            
5п                                         
      п   m6        = sin п =   0,     M6 =
      6                                    

Итак, нижняя сумма Дарбу

   п sin - =
   6
   п
sin 3 ⁼

   п
sin 2 ⁼
   п
sin 2 ⁼

■ 2п
   т
   5п
sin —
6

1_ 2;
ф3_ Т;

1;

1;

v3. Т;
1
2 ’

               6
           S6 = X2mk Axk = k=1


1,43,

верхняя сумма Дарбу ²

3
S6 = X

                                                       2, 48.

                     k=i

Глава 1. Интеграл Римана

    Отметим, что


s3 < S6 < J0 sinxdx < Sq < S3.

    2. Вычислить по определению следующие интегралы:

1) J x dx;
   0

2) Г x 1

3) f dx, b>a> 0.
  J x² a

    Решение. Заметим, что все три подынтегральные функции непрерывны на отрезках интегрирования, следовательно, интегрируемы. Интеграл Римана не зависит от способа разбиения отрезка интегрирования на части и выбора отмеченных точек на каждом частичном отрезке.

1) По определению

1

n

  xdx = lim > d/, Ax*,
Л       ЛюО²-^

0

*=1

где Л = max {Ax*}, 0 = xo < xi < ... < xₙ =1, Ax* = x*—x*-i, 16k6n

k = 1,2

n.

Разобьем отрезок [0,1] нa n равных частей точками:

                k x* = —, k = 1,2,...,n.
                      n

Ранг разбиения

Л

= l^ax {Ax*} =---о 0, n о тс.

„ _          k
Выберем Щ =-----правые концы частичных отрезков.
             n
    Составим интегральную сумму:

    X k 1       XX ₖ_ _1
ⁿ n-^ n n n²          n²

*=1

*=1

1 + n
2

• n =

1 + n 2n

1.1. Понятие интеграла Римана

9

По определению

1
   x dx = lim on
J           Л -0
0

lim
n—w

1 + n 2n

1
2 ’

    2) Разобьем отрезок [0,1] нa n частей точками, образующими геометрическую прогрессию:

хо = 1, xi = q, Х2 = q², ..., Xn = qⁿ = 2.

Следовательно, q = n2, а длина частичного отрезка

Axₖ = qk - qk⁻¹ = qk⁻¹(q - 1) = 2k—1 ^2¹ - 1) .

Ранг разбиения

n—1 / 1    \
Л = max {Axk} = 2 n 2n — 1 ^ 0, n ^ тс. lykyn        ;        \      /

В качестве tₖ возьмем середины частичных отрезков:

xk + xk-1 _ qk + qk⁻¹ 2      =   2   .
Составим интегральную сумму:

        nn
    on = X ± • Axk = X k 1Л nqk-'fq — 1) =
       S tk      k=i qk⁻¹(q +1)


2n

q

	

1

q+1

  П2 - 1
2n——---.
  П2 + 1

По определению интеграла Римана

1

dx x

= lim oₙ = 2 lim n
Л- J'.!            П -X

П2 - 1
n/2 + 1

= 2 lim т;п— ln2 = ln2. n — x 2 n

Глава 1. Интеграл Римана

    3) Рассмотрим произвольное разбиение отрезка [a, Ь]:


a = xo < xi < ... < xₙ = Ь.


В качестве точек tₖ возьмем

b = ^xₖxk-1, к = 1,..., n.


Составим интегральную сумму:

nn
Sn = X ± - = X
k = 1 k k=1

Хк

Xk-1

ХкХк-1

11

k=1 \xk-i  xk

Х0

xn a

1
Ь.

По определению интеграла Римана

b dx
J x* ²
a

= lim <г„
Л -0

1
Ь.

3. Найти пределы:

1) lim
  n—w

+ ... +

2) lim
n—w

(n +1)² ⁺ (n + 2)² ⁺ ... ⁺ (2n)²/

Решение. 1) Заметим, что выражение

n +1n I 2 ' n + n n

   1
------+ + ... +
1 + -n

	

n

1

1

1

	

	

	

1

a

	

1

1

n +1' n + 2 n

n

1

n + nJ ’
n

1

1

1

1

(1
\ 1+t ⁺
n

1

1 + ⁿ n

является интегральной суммой для функции f (x) = [1,2], разбитом на n равных чаетей, с точками Kₖ (к

правыми концами частичных отрезков.

1
— на отрезке x
= 1,..., n) —