Математика в примерах и задачах

Минск
«Вышэйшая школа»
2022

Допущено
Министерством образования 
Республики Беларусь
в качестве учебного пособия
для учащихся учреждений 
образования, реализующих
образовательные программы
среднего специального образования

Математика
в примерах и задачах

Под общей редакцией Л.И. Майсени

УДК 51(075.32)
ББК 74.262.21я723
 
М34

А в т о р ы: Л.И. Майсеня, В.Э. Жавнерчик, И.Ю. Мацкевич, М.В. Ламчановская, А.А. Ермолицкий, А.В. Титова

Р е ц е н з е н т ы: заведующий кафедрой физических и математических основ информатики Белорусской государственной академии связи 
доктор педагогических наук, кандидат физико­математических наук, 
профессор Г.М. Булдык; цикловая комиссия преподавателей естественно­математических учебных дисциплин Минского государственного 
колледжа электроники

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 

любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства

ISBN 978-985-06-3483-2 
© Оформление. УП «Издательство

 
“Вы шэйшая школа”», 2022

Предисловие

Учебное издание «Математика в примерах и задачах» состоит 

из 13 разделов, каждый из которых структурирован на параграфы.

В начале каждого параграфа содержится необходимый теоретический материал, затем приводится решение нескольких типовых 
примеров и набор заданий трех уровней сложности. Учебное пособие позволяет реализовать дифференцированный подход в обучении: каждый учащийся может решать задания доступного ему 
уровня сложности. Кроме того, пособие может быть использовано 
в обучении на различных специальностях системы среднего специального образования с разными по содержанию и сложности планируемого материала учебными программами дисциплины «Математика» (профессиональный компонент).

Поскольку на практике широко реализуется непрерывное образование в системе учреждений среднего специального и высшего образования, усвоение обучающимися разработанного содержания данного учебного издания будет способствовать качественной реализации непрерывного обучения математике в университете.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам 

книги – заведующему кафедрой физических и математических 
основ информатики Белорусской государственной академии 
связи доктору педагогических наук, кандидату физико­математических наук, профессору Г.М. Булдыку и коллективу цикловой 
комиссии преподавателей естественно­математических учебных 
дисциплин Минского государственного колледжа электроники – за внимательное прочтение рукописи и предложения по ее 
усовершенствованию.

Авторы надеются, что предлагаемое издание будет способствовать активизации мыслительной деятельности учащихся и 
повышению эффективности процесса обучения математике.

Все отзывы и пожелания просьба направлять по адресу: издательство «Вышэйшая школа», пр. Победителей, 11, 220004, Минск, 
e­mail: info@vshph.com

Авторы

1. введение в курс математики

1.1. высказывания. типы теорем

Под простым высказыванием понимают утверждение (повествовательное предложение), в отношении которого можно сказать, истинно оно или ложно (но не то и другое вместе).

Высказывания обозначают прописными буквами латинского 

алфавита: A, B, C, …, а их значения истина и ложь – соответственно «И» и «Л». Сложные высказывания получают из простых 
с помощью логических операций, к которым относятся отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность 
(эквиваленция).

Если А – высказывание, то отрицание высказывания А определяется как такое высказывание, которое истинно тогда и только 
тогда, когда высказывание А ложно. Отрицание высказывания 
А обозначается A (или ¬A); читается: «не А».

Истинность или ложность операции отрицания выражает истинностная таблица (табл. 1.1).

Та б л и ц а  1.1

А

И
Л

Л
И

Конъюнкцией двух высказываний A, B называется такое высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания A, B истинны. Конъюнкция обозначается A
B
∧
 (или 

A
B
&
); читается: «А и В». Конъюнкции соответствует истинностная таблица (табл. 1.2).

Та б л и ц а  1.2

А
В
A
B
∧

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
Л

A

Дизъюнкцией двух высказываний A, B называется такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания A, B ложны. Дизъюнкция обозначается A
B
∨
; читается: 

«А или В». Союз «или» здесь употребляется в соединительном, 
а не в разделительном смысле, т.е. истинность высказывания 
A
B
∨
 имеет место в трех случаях: 1) только A – истина; 2) только 

B – истина; 3) и A, и B – истина. Дизъюнкции соответствует истинностная таблица (табл. 1.3).

Та б л и ц а  1.3

А
В
A
B
∨

И
И
И

Л
И
И

И
Л
И

Л
Л
Л

Импликация высказываний А, В определяется как такое высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда высказывание 
А истинно, а высказывание В ложно. Импликация двух высказываний А, В обозначается A
B
⇒
; читается: «если А, то В». Высказывание А называется посылкой импликации, а В – заключением. Импликации соответствует истинностная таблица (табл. 1.4).

Та б л и ц а  1.4

А
В
A
B
⇒

И
И
И

Л
И
И

И
Л
Л

Л
Л
И

Эквивалентность двух высказываний А, В определяется как 

высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда высказывания А, В оба истинны или оба ложны. Обозначается 
A
B
⇔
; читается: «А тогда и только тогда, когда В». Эквивалентности соответствует истинностная таблица (табл. 1.5).

Та б л и ц а  1.5

А
В
A
B
⇔

И
И
И

И
Л
Л

Л
И
Л

Л
Л
И

Если теорема сформулирована в виде A
B
⇒
, то она называется признаком или достаточным условием для B (A – достаточное 
условие выполнимости B), где A, B – некоторые высказывания. 
Теоремы такого вида называются также необходимым условием 
для A (B – необходимое условие выполнимости A).

Теорема типа B
A
⇒
 называется обратной для теоремы A
B
⇒
 

(прямой).

Если теорема имеет вид A
B
⇔
, то она называется критерием 

или необходимым и достаточным условиями (и для B, и для A). 
Теорема такого типа объединяет прямую и обратную теоремы.

Теорема типа B
A
⇒
 называется противоположной к обратной 

теореме.

Высказывание A
B
⇒
 истинно тогда и только тогда, когда истинно высказывание B
A
⇒
. На этом факте основан метод дока-

зательства теорем от противоположного (от противного).

Пример 1. Заданы высказывания:
А: «Число 7 больше числа 6»;
В: «Число 7 равно числу 6»;
С: «Сумма углов треугольника равна 180°».
Рассмотреть следующие высказывания и установить их значения (И или Л): A, A
B
∨
, A
B
∧
, A
C
⇒
, B
C
⇔
, (
)
.
A
C
B
∨
⇒

Р е ш е н и е. Рассмотрим высказывание A : «Число 7 не больше числа 6». Оно есть Л, так как А – И.

A
B
∨
: «Число 7 больше или равно числу 6». Это высказывание является дизъюнкцией высказываний А, В, где А – И, В – Л. 
Согласно табл. 1.3 оно есть И.

A
B
∧
: «Число 7 больше и равно числу 6». Это конъюнкция 

высказываний, где А – И, В – Л. По табл. 1.2 оно есть Л.

A
C
⇒
: «Если число 7 больше числа 6, то сумма углов треугольника равна 180°». Это импликация двух истинных высказываний, а потому оно есть И.

B
C
⇔
: «Число 7 равно числу 6 тогда и только тогда, когда 

сумма углов треугольника равна 180°». Поскольку В – Л, С – И, 
то, согласно табл. 1.5, получаем, что B
C
⇔
 есть Л.

(
)
:
A
C
B
∨
⇒
 «Если число 7 больше числа 6 или сумма углов 

треугольника равна 180°, то число 7 не равно числу 6. Высказывание A
C
∨
 является И (по табл. 1.3 как дизъюнкция двух истинных высказываний). Высказывание B также есть И. Тогда рассматриваемая импликация по своему значению есть И.

Пример 2. Доказать истинность эквивалентности

 
(
)
(
).
A
B
A
B
⇒
⇔
∨
 
(1.1)

Р е ш е н и е. Для доказательства рассмотрим четыре возможных случая.

1. Пусть оба высказывания A, B есть истина. Тогда, согласно 

табл. 1.4, A
B
⇒
 есть И. Поскольку B есть И, то по табл. 1.3 A
B
∨
 

есть И. Значит, высказывания в левой и правой частях истинны, т.е. эквивалентность также есть И.

2. Пусть A является истинным высказыванием, а B – ложным. 

Тогда импликация A
B
⇒
 есть Л. В правой части эквивалентности (1.1) также имеем ложное высказывание, поскольку это 
дизъюнкция двух ложных высказываний. Следовательно, эквивалентность (1.1) является истиной.

3. Пусть A есть ложь, B – истина. Тогда A
B
⇒
 есть И, A
B
∨
 – 

И, а потому эквивалентность (1.1) является истиной.

4. Пусть оба высказывания A, B есть Л. Тогда A
B
⇒
 есть И, 

A
B
∨
 – И.

Мы доказали, что во всех возможных случаях исходных значений высказываний A, B эквивалентность (1.1) есть И.

З а д а н и я

I уровень

1.1. Определите, является ли предложение высказыванием, 

и установите его значение (истина или ложь):

1) «Пусть всегда будет солнце!»;
2) «Минск – столица Болгарии»;
3) «Число 7 больше числа 5»;
4) «Ты идешь сегодня в школу?»;
5) «Выражение x2 принимает значения больше нуля или равно нулю»;

6) «Беларусь – европейская страна».

1.2. Определите тип высказывания (простое или сложное):
1) «Если сумма углов четырехугольника равна 360°, то четырехугольник является квадратом»;

2) «Квадрат является ромбом»;
3) «Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, 

когда сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны»;

4) «Если высота треугольника проведена к основанию и она 

является медианой, то треугольник – равнобедренный».

1.3. Даны высказывания:
А: «Диагонали четырехугольника равны»;
В: «Четырехугольник является прямоугольником».
Сформулируйте высказывание и установите его значение 

(И или Л):

1) A
B
⇒
; 
2) B
A
⇒
; 
3) B
A
⇒
.

1.4. Определите тип теоремы:
1) «Если x1, x2 – корни квадратного трехчлена ax
bx
c
2 +
+ , то 

ax
bx
c
2 +
+ =
 =
−
−
a x
x
x
x
(
)(
)
1
2 »;

2) «Окружность вписана в четырехугольник тогда и только 

тогда, когда суммы противоположных сторон четырехугольника 
равны».

II уровень

2.1. Даны высказывания, сформулированные для натуральных чисел:

А: «Число является четным»;
В: «Сумма цифр числа делится на 3»;
С: «Число делится на 6».
Сформулируйте сложное высказывание и установите его значение (И или Л):

1) (
)
;
A
B
C
∧
⇒
 
2) C
A
B
⇔
∧
(
).

2.2. Для теоремы «Если треугольник прямоугольный, то сумма квадратов двух его сторон равна квадрату наибольшей стороны» сформулируйте:

1) обратную;
2) противоположную;
3) противоположную к обратной;
4) необходимые и достаточные условия.
Определите значение (И или Л) сформулированных утверждений.

2.3. Приведите пример конкретных математических высказываний A, B, C, которые бы содержательно соответствовали высказыванию (
)
A
B
C
∨
⇒
 со значением И.

III уровень

3.1. Докажите, что высказывания A
B
⇒
, B
A
⇒
 имеют одинаковые значения при всех возможных значениях высказываний A, B.

3.2. На вопрос, кто из трех студентов сдал экзамен на «отлично», был получен ответ: «Правда, что если сдал первый, то сдал 
и третий, но неправда, что если сдал второй, то сдал и третий». 
Определите, какой студент сдал экзамен на «отлично».

1.2. множества и операции над ними. 

Числовые множества

Множество – неопределяемое первичное понятие. Обозначают множества прописными буквами латинского алфавита A, B, 
C, X, … . Под множеством понимают совокупность (группу, набор и т.д.) элементов, которые характеризуются одинаковыми 
свойствами.

Множества изображают диаграммами (кругами) Эйлера – Вен-

на (рис. 1.1).

Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут: a
A
∈ ; 

если элемент а не принадлежит множеству А, то пишут: a
A
∉ .

Множество может задаваться с указанием его элементов (например, A ={
}
1 3 8
, ,
) 

или с указанием характеристического 
свойства (например, если B состоит 
из элементов x, для которых выполняется свойство P x
( ), то пишут: B
x P x
={
}
|
( ) ).

Если 
каждый 
элемент 
множества 

A есть элемент множества B, то множество A называется подмножеством множества 
B (или говорят, что A включено в B). 
Пишут: A
B
⊂
 (или B
A
⊃
) (рис. 1.2). Два 

множества A, B называются равными 
(
),
A
B
=
 если они состоят из одних и тех 

же элементов: A
B
=
 тогда и только тогда, когда A
B
⊂
 и B
A
⊂
. 

Если A
B
⊂
 или A
B
=
, то пишут: A
B
⊆
. Множество, которое не 

имеет элементов, называется пустым и обозначается символом ∅.

К основным операциям над множествами относят объединение, пересечение, разность, дополнение.

Рис. 1.1

Рис. 1.2

Объединением множеств A, B называется множество A
B
∪
, состоящее 

из всех тех элементов, которые принадлежат или множеству A, или множеству B (хотя бы одному из мно жеств 
A, B) (рис. 1.3).

Пересечением множеств A, B называется множество A
B
∩
, состоящее 

из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству A, и множеству 
B (рис. 1.4).

Разностью множеств A
B
\
 называется множество, состоящее из всех тех 
элементов, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству 
B (рис. 1.5).

Дополнением множества A до конкретного (универсального) множества 
U называется множество A, которое 
определяется 
равенством 
A
U
A
=
\
 

(рис. 1.6).

Пусть m A
( ), m B
( ) – количество 

элементов множеств А и В соответственно, тогда справедлива формула

m A
B
m A
m B
m A
B
(
)
( )
( )
(
).
∪
=
+
−
∩
   (1.2)

Ч и с л о в ы е  м н о ж е с т в а

N ={
}
1 2 3
, , ,...  – множество натуральных чисел.

Z =
−
−
{
}
...,
,
, , , ,...
2
1 0 1 2
 – множество целых чисел.

Q – множество рациональных чисел: это множество всех 

обыкновенных дробей, т.е. чисел вида m

n , где m ∈Z, n ∈N.

Множество Q определяется также как множество всех бесконечных периодических десятичных дробей.

I – множество иррациональных чисел: это множество всех бесконечных непериодических десятичных дробей.

R – множество действительных чисел: R
Q
I
=
∪ .

Рис. 1.3

Рис. 1.4

Рис. 1.5

Рис. 1.6