Геометрия и алгебра. Практикум

УДК [512+514](075.8)
ББК 22.1я73
 
Р17

Рец енз ент ы: кафедра алгебры и геометрии учреждения образования «Гомельский 
государственный университет имени Франциска Скорины» (заведующий кафедрой доктор 
физико-математических наук, доцент В.М. Селькин); заведующий кафедрой высшей 
математики учреждения образования «Белорусский государственный экономический 
университет» доктор физико-математических наук, профессор М.П. Дымков

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части 
не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-2823-7 
©  Размыслович Г.П., Филипцов А.В., 
Ширяев В.М., 2018
 
©  Оформление. УП «Издательство “Вы-
шэй шая школа”», 2018

ПРЕДИСЛОВИЕ

Роль геометрии и алгебры в системе высшего математического 
образования весьма значительна. Дисциплина «Геометрия и алгебра» 
имеет большое самостоятельное теоретическое и прикладное 
значение, без нее также невозможно построить другие математические 
курсы. Кроме того, в связи с переходом на четырехлетнее 
образование (бакалавриат) роль общеобразовательных курсов еще 
больше возрастает. Поэтому овладение студентом материалом, 
 изучаемым в рамках дисциплины «Геометрия и алгебра», является 
необходимым условием для успешной учебы и последующей деятельности 
после окончания учебного заведения. Однако в процессе 
учебы полное овладение теорией этого курса проблематично без его 
применения при решении практических задач различной сложности. 
В силу этого трудно преувеличить значение практикума по данной 
дисциплине, особенно если он полностью отражает программу 
курса.
Исходя из многолетнего опыта преподавания этой дисциплины 
на факультете прикладной математики и информатики Белорусского 
государственного университета был подготовлен и в 1999 г. издан 
в издательстве «Университетское» сборник задач по геометрии и алгебре (
авторы Г.П. Размыслович, М.М. Феденя, В.М. Ширяев), теоретическую 
основу которого составило учебное пособие «Геометрия 
и алгебра», написанное тем же авторским коллективом и изданное 
в 1987 г. Со времени выхода указанного учебного пособия прошло 
достаточно много времени, чтобы ощутить полезность этого издания 
для обеспечения учебного процесса. Однако в процессе работы 
с ним были выявлены и некоторые недостатки: отсутствие указаний 
к задачам, требующим доказательства, неточности некоторых ответов. 
В связи с этим авторским коллективом, который является разработчиком 
всех типовых программ по дисциплинам «Геометрия и 
алгебра», «Алгебра и теория чисел», «Аналитическая геометрия» для 
специаль ностей «Прикладная математика», «Информатика», «Актуарная 
математика», «Экономическая кибернетика», «Компьютерная 
безопасность», «Прикладная информатика», разработано новое 
учебное пособие, в котором не только устранены указанные выше 
недостатки, но и включены много новых примеров и глава по теории 
чисел. Кроме самих заданий и ответов к ним практикум содержит 
краткое изложение используемого теоретического материала, примеры 
решений типовых задач, а также указания практически для 
всех задач, требующих доказательства. Предметный указатель значительно 
упрощает использование данного пособия в учебных целях.
Авторы выражают глубокую признательность рецензентам – 
доктору физико-математических наук, профессору М.П. Дымкову, 
доктору физико-математических наук, профессору В.М. Селькину и 

в его лице всем сотрудникам кафедры алгебры и геометрии УО «Гомельский 
государственный университет имени Франциска Скори-
ны» – за внимательное прочтение рукописи и ценные замечания 
и советы, позволившие улучшить пособие, а также сотрудникам 
кафедры высшей математики Белорусского государственного университета, 
чье внимание к работе способствовало улучшению этого 
издания.
Все отзывы и пожелания просим направлять по адресу: УП «Издательство “
Вышэйшая школа”», пр. Победителей, 11, 220004, 
Минск. 

Авторы

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

 
∃  - квантор существования
 
∀ - квантор общности 
 
 - отрицание
 
∧ - конъюнкция
 
∨  - дизъюнкция
 
∈  - принадлежность
 
⊂  - включение множеств 
 
∪  - объединение множеств 
 
∩  - пересечение множеств
 
\  - разность множеств 
 
  - параллельность 
 
  - непараллельность 
 
⊥  - ортогональность, перпендикулярность 
 
↑↑  - сонаправленность
 
↑↓  - противоположная направленность 
 
| |⋅   - модуль числа 
 
det A  - определитель матрицы 
 
ДПСК - декартова прямоугольная система координат 
 
НОД - наибольший общий делитель
 
НОК - наименьшее общее кратное
 
  - множество натуральных чисел 
 
0 -  ∪ 0{ }

 
  - множество целых чисел 
 
  - множество рациональных чисел
 
  - множество действительных чисел 
 
  - множество комплексных чисел
 
# -  \ 0{ }

 
# -  \ 0{ }

 
# -  \ 0{ }

 
id X  - тождественное преобразование
 
Card X  - мощность множества X

 
a  - длина вектора a

 
ea - орт ветора  a

 
rM - радиус-вектор точки M 
 
Arg z - аргумент комплексного числа z

 X
X
X n
1
2
×
×
×

 - декартово произведение множеств
 
f
y
-1(
) - полный прообраз элемента y при (частичном) отображении f

 
f X1 - ограничение (частичного) отображения на подмножество

 
f
g
  - суперпозиция (композиция) отображений f  и g

 
H
G
≤
 - H является подгруппой группы G

Глава 1

МЕТОД КООРДИНАТ

Будем использовать следующие обозначения: ρ( , )
A B  – расстояние 
между точками A и B пространства; [
]
A B
,
 – отрезок, заключенный 
между точками A и B; AB – направленный отрезок с началом в 
точке A и концом в точке B; AB ∆ – направленный отрезок AB, 
одинаково направленный с осью ∆; AB – величина направленного 
отрезка AB, расположенного на оси ∆; по определению AB
A B
=ρ( , ), 
если AB  ∆, иначе AB
A B
=−ρ( , ).
Декартова система координат на прямой ∆ определяется направлением 
на этой прямой (положительное направление координатной 
оси) и фиксированной точкой O∈∆. С ее помощью каждой точке 
A ставится в соответствие координата x
OA
A =
. Для любых точек 

A B
,
∈∆ имеют место равенства:

AB
x
x
A B
x
x
B
A
B
A
=
−
=
−
,
( , )
.
ρ

Пусть A B C
, ,
∈∆, A
B
≠
, λ∈. Точка C делит направленный отрезок 
AB в отношении λ, если AC
CB
= λ
. В этом случае координаты 
точек A B C
, ,  связаны соотношением 

 
x
x
x

C

A
B
=
+
+
λ
λ
1
.(1.1)

В частности, если точка C делит отрезок AB пополам (тогда λ =1), 
то 

x
x
x

C

A
B
=
+
2
.

Декартова прямоугольная система координат (ДПСК) на плоскости 
задается как пара взаимно перпендикулярных осей на этой плоскости (
первая из них – ось абсцисс Ox, вторая – ось ординат Oy, их 
пересечение – точка O – начало координат). С помощью ДПСК 
каждой точке A плоскости ставится в соответствие пара чисел (координаты 
точки A) (
)
,
x
y
A
A =(
)
,
OA OA
x
y , где Ax, Ay – ортогональные 
проекции точки A на соответствующие координатные оси Ox и Oy. 
Расстояние между точками A x
y
A
A
(
,
) и B x
y
B
B
(
,
) на плоскости определяется 
по формуле 

 
ρ( ,
)
(
)
(
) .
A B
x
x
y
y
B
A
B
A
=
−
+
−
2
2

Если точка C делит отрезок AB в отношении λ, то 

x
x
x
y
y
y

C
A
B
C

A
B
=
+
+
=
+
+

λ
λ

λ
λ
1
1
,
.

При λ =1 получаем координаты середины отрезка AB: 

 
x
x
x
y
y
y

C
A
B
C

A
B
=
+
=
+

2
2
,
.(1.2)

Декартову прямоугольную систему координат в пространстве образуют 
три взаимно перпендикулярные оси с общей точкой (ось абсцисс 
Ox, ось ординат Oy, ось аппликат Oz, общая точка O – начало 
координат). С помощью ДПСК каждой точке пространства ставится 
в соответствие тройка (
,
,
)
(
,
,
)
x
y
z
OA
OA
OA
A
A
A
x
y
z
=
 ее координат 
(здесь, как и в случае плоскости, Ax, Ay, Az – ортогональные проекции 
точки A на соответствующие координатные оси Ox, Oy, Oz).
Координаты x
y
z
C
C
C
,
,
 точки C
B
≠
, делящей отрезок AB в отно-

шении λ = AC
CB , определяются по формулам:

x
x
x
y
y
y
z
z
z

C
A
B
C
A
B
C

A
B
=
+
+
=
+
+
=
+
+

λ
λ
λ
λ
λ
λ
1
1
1
,
,
.
 

Если A x
y
z
A
A
A
(
,
,
) и B x
y
z
B
B
B
(
,
,
) – произвольные точки пространства, 
то расстояние между ними можно найти по формуле 

ρ A B
x
x
y
y
z
z
B
A
B
A
A
B
,
(
)
(
)
(
) .
(
)=
−
+
−
+
−
2
2
2

Пример 1. Определить координату точки C, если xA = 4,  xB =−1,   λ =
=−
AC
CB
2. 

Найти AC.
Р е ш е н и е. По формуле (1.1) имеем:

x
x
x

C
A
B
=
+
+
=
−
−
(
)

−
=−
λ
λ
1
4
2
1
1
2
6, 

AC
x
x
C
A
=
−
=− −
=−
6
4
10. 

Следовательно, C −
(
)
6 , AC =−10.

Пример 2. Даны три последовательные вершины параллелограмма: A( ,
),
3
3
 -
 

B(
, ),
-1 1  C( , ).
1 6  Найти координаты четвертой вершины D.
Р е ш е н и е. Зная, что диагонали параллелограмма в точке пересечения E 
делятся пополам, находим координаты точки E по формулам (1.2): 

x
x
x

E
A
C
=
+
= + =
2
3
1
2
2, 
y
y
y

E
A
C
=
+
= − +
=
2
3
6
2
3
2. 

Аналогично 

x
x
x

E

B
D
=
+
2
,  
y
y

E

B
D
=
+y
2
, 

откуда x
x
x
D
E
B
=
−
=
2
5,  y
y
y
D
E
B
=
−
=
2
2. Значит, D( , )
5 2 
.

Пример 3. Определить, лежат ли на одной прямой точки A( ,
, ),
1
5 3
-
 

B 5
1 7
,
,
,
−
(
)  C( , , ).
6 0 8

Р е ш е н и е. Вычислим расстояния:

ρ(
)
A B
,
=
+
+
=
4
4
4
4 3
2
2
2
,  
ρ(
)
A C
,
=5 3,  ρ(
)
B C
,
=
3. 

Поскольку ρ(
)
ρ(
)
ρ(
)
A C
A B
B C
,
,
,
=
+
, то точки A, B, C лежат на одной прямой. 
Это можно установить и следующим образом. Если точки A, B, C лежат на 
одной прямой, то значения λ, найденные по формулам: 

λ
λ
λ
=
−
−
=
−
−
=
−
−
x
x
x
x
y
y
y
y

z
z
z
z

C
A

B
C

C
A

B
C

C
A

B
C

,
,

и дающие отношение, в котором точка C делит отрезок AB, должны быть равными. 
В нашем случае имеем:

λ =
−
−
=
−
−
=−
x
x
x
x

C
A

B
C

6
1
5
6
5, 
λ =
−
−
=
+
− −
=−
y
y
y
y

C
A

B
C

0
5
1
0
5, 
λ =
−
−
=
−
−
=−
z
z
z
z

C
A

B
C

8
3
7
8
5. 

Следовательно, точки A, B, C лежат на одной прямой.

Полярная система координат на плоскости определяется заданием 
точки O, называемой полюсом, и луча [
)
OA , исходящего из этой 
точки и называемого полярной осью. Для того чтобы определить положение 
точки M  в полярной системе координат, из полюса O проводят 
луч OM
[
). Тогда точке M  соответствует пара действительных 
чисел (
)
,r ϕ , где r
OM
=
; ϕ – величина угла, на который надо повернуть 
луч OA
[
), чтобы совместить его с лучом OM
[
). Отметим, что поворот 
против хода часовой стрелки считается положительным, а по 
ходу – отрицательным. Величины r и ϕ называются полярными координатами 
точки M , r – полярным радиусом, ϕ – полярным углом. Если 
точка M  имеет координаты r и ϕ, пишут: M r( , )
ϕ .
Если на плоскости заданы полярная система координат и ДПСК, 
причем полюс полярной системы совмещен с началом координат 
ДПСК, а полярная ось совпадает с положительной полуосью Ox, то 
зависимость между полярными (
)
,r ϕ  и декартовыми (
)
,x y  координатами 
одной и той же точки плоскости выражается формулами: 

x
r
= cosϕ, y
r
= sinϕ ⇔ r
x
y
=
+
2
2 , cosϕ=
+
x
x
y
/
2
2 , 

sinϕ=
+
y
x
y
/
2
2 .

Пример 4. Найти полярные координаты точки M, если в соответствующей 
ДПСК она имеет координаты x =−1, y =
3.
Р е ш е н и е. Учитывая формулы связи декартовых и полярных координат, 
имеем: 

ρ =
−
+
=
(
)
(
)
1
3
2
2
2
, 
ctg
/
ϕ =−1
3. 

Поскольку точка M лежит во второй четверти, то ϕ
π
= 2
3
/ . Следовательно, 

M ( ,
/ )
2 2
3
 π
.

Пример 5. Построить линию, если в полярной системе координат ее уравнение  
ρ
ϕ
= 4
2
sin
.
Р е ш е н и е. По условию sin
,
/
,
/
2
0
0
2
3
2
ϕ ≥
⇒ ϕ∈[
π
]∪[π
π
]. Кроме того, для 

ϕ
π
α
=
+
 значение ρ такое же, как и для ϕ
α
= . Следовательно, линия симметрична 
относительно полюса, поэтому, построив ее часть в I координатной четверти, 
остальную часть достроим по симметрии относительно точки O (рис. 1.1). 
Для построения можно использовать следующую таблицу:

ϕ
0
π /12
π / 6
π / 4
π /3
π / 2

2ϕ
0
π / 6
π /3
π / 2
2
3
π /  
π

ρ
ϕ
= 4
2
sin
0
1 2
/
2 3
4
2 3
0

1.1. Построить на координатной прямой точки A(
, )
-2 5 , B( / )
1 3 ,

C(
)
- 2 , D(
)
3 , E (
)
19 , F (
/ )
-2 5 , G(
)
5
2
-
.
1.2. Установить, какая из двух точек (A или B) лежит правее на 
координатной прямой:
1) A x
B
x
( )
(
)
∨
−
; 
2) A x
B x
( )
(
)
∨
2 ;
3) A x
B
x
( )
(
)
∨
3
; 
4) A x
B x
( )
(
)
∨
+5 .

Р и с. 1.1

1.3. Построить на координатной прямой точки, координаты которых 
удовлетворяют уравнениям: 
1) x =5; 
2) x + =
1
2; 
3) 4
2
1
−
=
x
;

4) x
x
−
=
−
5
5; 
5) x
x
−
= −
4
4
; 6) (
)
x
x
−
= −
3
3
2
.
1.4. Изобразить на координатной прямой точки, координаты которых 
удовлетворяют неравенствам:
1) 2
9
0
−
≤
x
; 
2) 1
4
< x ≤ ; 
3) 1
4
< x ≤ ;
4) x ≤4; 
5) x ≥ 6; 
6) x +
>
2
1;

7) 1
2
− x ≤ ; 
8) 4
2
0
−
(
)
+
(
)>
x
x
;  
9) 1
2
2
1
−
−
<
x
x
;

10) x
x
2
1
0
+
+ ≥ ; 
11) x
x
2
2
3
0
+
− ≤ ; 
12) 4
1
−
>−
x
;

13) x − <
1
1.
1.5. Определить величину AB и длину AB  направленного отрезка, 
заданного точками:
1) A
B
( ),
( )
0
3 ; 
2) A
B
( ),
( )
3
1 ; 
3) A
B
(
),
( )
-2
1 ;
4) A
B
(
),
(
)
-
-
5
6 ; 
5) A
B
(
),
(
)
-
-
4
3 .
1.6. Найти на координатной прямой точки B и C, находящиеся 
от точки A( )
2  на расстоянии, равном 4.
1.7. Вычислить координату точки B, если известны:
1) A
AB
( ),
2
4
= ; 
2) A
AB
( ),
3
4
= ; 
3) A
AB
(
),
−
=−
3
2;

4) A
BA
(
),
−
=−
2
3; 5) A
AB
(
),
−
=
1
2; 
6) A
AB
( ),
0
8
= .
1.8. Найти координату точки, симметричной точке A( )
4  относительно: 

1) начала координат; 2) точки B(
)
-3 .
1.9. Даны три точки: A(
)
-1 , B( )
5 , C( )
3 . Определить отношение, в 
котором каждая из этих точек делит отрезок между двумя другими.

1.10. Определить отношение  λ = AC
CB , в котором точка C делит 

отрезок AB , если:
1) A
B
C
(
),
( ), ( )
-3
3
6 ; 
2) A
B
C
( ),
( ), ( )
2
1
2 ;
3) A
B
C
( ),
(
), (
)
5
2
5
-
-
; 
4) A
B
C
( ),
(
), ( )
1
13
5 .

1.11. Пусть  AC
CB = λ. Найти: AB
BC , BC
CA , BA
AC , CB
BA , CA
AB .

1.12. Определить координату середины отрезка, ограниченного 
точками: 
1) A( )
5 , B(
)
-1 ;  
2) A
B
(
),
(
)
-
-
5
3 .
1.13. Определить координату точки M , если известны:

1) A
B
AM
MB
( ),
( ),
7
3
1
2
λ =
=
; 
2) A
B
BM
MA
(
),
( ),
−
=
=
3
1
3

λ
;

3) A
B
BM
MA
(
),
(
),
−
−
=
=−
2
3
2

λ
.