Алгебра для самоподготовки : 8-й класс

УДК 512(075.3/.4)
ББК 22.14я721
 
С60

Р е ц е н з е н т: 
заведующий 
кафедрой 
информационных 
технологий 
ГУО «Минс кий городской институт развития образования» кандидат педагогических наук, доцент Т.О. Пучковская

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3496-2 
© Солтан Г.Н., Солтан А.Е., 2023
 
© Оформление. УП «Издательство
 
“Вышэйшая школа”», 2023

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогие восьмиклассники! В этом учебном году вы продолжите изучать алгебру, расширите свои знания о множествах чисел, функциях, методах решения уравнений и неравенств. В данное пособие включены разделы: «Квадратные 
корни и их свойства. Действительные числа», «Квадратные 
уравнения», «Квадратичная функция и ее свойства. Квадратные неравенства», «Элементы комбинаторики» (является дополнительным материалом), а также подразделы для 
повторения курсов алгебры 7 и 8 классов. Каждый раздел 
начинается с целевых установок, что надо знать и уметь в 
результате его изучения.
В каждой теме этих разделов, кроме подразделов для 
пов торения материала 7 и 8 классов, содержится:
1) новый теоретический материал с заданиями для его 
лучшего понимания и активного изучения;
2) образцы решений примеров и задач;
3) контрольные вопросы для проверки усвоения теории;
4) упражнения трех уровней сложности А, В и С для 
формирования практических умений и навыков, а также 
«Занимательные задачи»;
5) упражнения для повторения ранее изученного материала, которые обозначены символом 
. 
В теоретическом материале определения понятий (которые взяты в рамку), теоремы, алгебраические правила выделены специальными шрифтами. Упражнения уровня С предназначены для развития математических способ ностей и 

3

умений применять алгебраические знания в нестандартных 
ситуациях. Они, как и «Занимательные задачи», не являются обязательными для всех и адресованы тем, кому это 
интересно. 
В последних темах разделов предлагаются упражнения 
для их повторения, предназначенные для систематизации 
знаний по алгебре и подготовки к контрольным работам, 
в том числе специальные задания под рубрикой «Проверь 
себя!». 
В конце каждого раздела имеются «Исторические сведения», где дается познавательный материал о становлении 
алгебры как науки и вкладе знаменитых ученых в ее развитие. В учебное пособие включены сюжетные задачи, содержащие сведения о заповедниках и других достопримечательностях Беларуси. Решая их, вы можете расширить знания о своей стране. 
К упражнениям даются ответы и указания к поиску решения более трудных задач.
Надеемся, что учебное пособие, которое вы держите в руках, будет вам вер ным помощником в изучении алгебры.
Желаем успехов!
Авторы

ПОВТОРЕНИЕ  
КУРСА АЛГЕБРЫ 7 КЛАССА

Степени с целыми показателями

Определение
Свойства

a
= a a a ... a
n

n
⋅
⋅
⋅
⋅

множителей
,

n ∈ N,   n > 1;

a = a
1
; a
=
0
1, а ≠ 0;  

a
=

a

–n
n
1 ,  n ∈ N,  а ≠ 0

a
a
= a
p
k
p+k
⋅
,  a
a
= a
p
k
p–k
:
,

a
= a
p
k
p k
,  ab
= a
b
p
p
p
, 

a
b
= a

b

p
p

p
, а ≠ 0, b ≠ 0, 

p ∈ Z, k ∈ Z

Формулы сокращенного умножения

1. a + b
= a +
ab + b
2
2
2
2
.

2. a – b
= a –
ab + b
2
2
2
2
.

3. a + b
= a +
a b +
ab + b
3
3
2
2
3
3
3
.

4. a
b
a
a b
ab
b
3
3
2
2
3
3
3
.

5. a – b
= a + b
a – b
2
2
.

6. a + b
= a + b
a – ab + b
3
3
2
2
.

7. a
b
a
b
a
ab
b
3
3
2
2
.

Свойства степени с целым показателем и формулы сокращенного умножения являются тождествами. Тождество – 
это равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Верное числовое равенство также 
считается тождеством.
Произведение чисел и степеней переменных с натуральными показателями называется одночленом. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.

Линейное уравнение с одной переменной
Это уравнение вида ах
b
0, где х – переменная, а и b – 
числа (табл. 1).
Таблица 1

Количество корней  
уравнения ах + b = 0
Примеры

При а ≠ 0  один корень:  х
b
a
7
2 1
0
x – ,
=
, 7
2 1
x =
, , x = 0 3
, .

О т в е т: 0,3

При а = 0 , b ≠ 0 , 0х
b
нет корней

2
5
0 5
2
x
х
,
,

2
2
0 5
5
x
х
,
,  0
4 5
x , .

О т в е т: нет корней

При а
b
=
=
0
, 0
0
x =

бесконечно много корней
0 5
3
4
0 75
1
2
,
–
,
,
x
х
0 5
1
2
0 75
3
4
,
–
,
x
х , 

0
0
x =
.

О т в е т: любое число

Числовые неравенства и их свойства
Число а больше числа b, если разность а
b
0; число а 
меньше числа b, если разность а
b
0. 
Свойства числовых неравенств. 
1. Если a
b
> ,  то а
b
с
,  где c > 0; если а
b
с
,  где 

c > 0, то a
b
> .

2. Если a
b
> ,  то b
a
<
.

3. Если a
b
>
 и b
c
> ,  то a
c
> .

4. Если a
b
>
 и с – любое число, то a
c
b
c
.

5. Если a
b
>
 и c
d
>
, то a
c
b
d
.

6. Если a
b
>
 и c > 0, то ac
bc
>
.

7. Если a
b
>
 и c < 0, то ac
bc
<
.

8. Если a
b
>
> 0  и c
d
>
> 0, то ac
bd
>
.

9. Если a
b
>
> 0,  то 1
1
a
b
<
.

Числовые промежутки и их обозначения приведены в 
табл. 2.

Таблица 2

Числовой 
промежуток
Рисунок 
на координатной прямой

Обозначение 
числового 
промежутка

2
5
x
x 2 5
;

1 5
6
,
x
x 1 5 6
, ;

0
7
≤
≤
x
x 0 7
;

x ≥ 3
x 3;

x 1
x ;–1

Функция 
Зависимость переменной у от переменной х называется 
функцией, если каждому значению x из некоторого множества чисел соответствует единственное значение у. Независимую переменную х называют также аргументом, а зависимую переменную у – функцией этого аргумента (рис. 1).

Рис. 1

Линейная функция y = kx + b

График линейной функции y = kx + b приведен на рис. 2.

Рис. 2

Решение систем двух линейных уравнений y = k x + b
y = k x + b

1
1

2
2

,
Графическая иллюстрация решения систем двух линейных уравнений y = k x + b
y = k x + b

1
1

2
2

,
приведена на рис. 3.

Рис. 3

У п р а ж н е н и я
Уровень А

1. 
На сколько процентов площадь Беларуси (207 600 км2) 
больше суммы площадей Литвы (65 286 км2), Латвии 
(64 589 км2) и Эстонии (45 227 км2) (рис. 4)? Ответ 
округ лите до целых.

а
б
в

а
б
в

Рис. 4
2. 
Вычислите:
а) 5
0 2 2
,
;  
в) 4
1

64

2
−
−
:; 

б) 7
21
1
1
−
−
−
; 
г) 0 008
3

0
3
,
:
.
3. 
Выполните действия:

а) 1 5
4
2
3
4
, a
b
a b
; 
в) 0 2
3 2
, cd
; 

б) 49
0 7
5
1
3
2
x y
x y
:
,
;  г) 8
0 5
3
2
2
3
p
k
pk
,
.

4. 
Представьте числа в стандартном виде и расположите 
их в порядке возрастания:
а) 0 59 10 7
,
; 3400 10 9
; 0 078 10 10
,
; 
б) 42 10 15
; 0 073 10 17
,
; 8300 10 16
.
5. 
а) Для распечатки 476 плакатов были использованы 
две копировальные машины. Первая работала 14 мин, 
а вторая – 21 мин. Сколько плакатов в минуту копировала каждая машина, если первая печатала в минуту 
на 4 плаката больше, чем вторая?
б) Весенний сев бригада наметила закончить за 8 дней. 
Но, увеличив норму сева на 40 га в день, бригада закончила сев за 6 дней. Сколько гектаров засевала ежедневно бригада и сколько гектаров засеяно?

6. 
а) Сумма цифр двузначного числа равна 12. Если эти 
цифры поменять местами, то полученное число будет 
больше исходного на 18. Найдите первоначальное число.
б) В двузначном числе цифра десятков, увеличенная 
на 2, в 2 раза больше цифры единиц. Если же их поменять местами, то полученное число будет меньше исходного на 27. Найдите исходное число.

Уровень В
7. 
Найдите значение выражения: 

а) 4
9
6
180

8
3
6

8
7
12

6
14
14

; 
в) 

26
3 2
15 2

13 4

18
15

4 2
;
  

б) 6
2
12
21

3
2
12

10
8
9

10
19
10

; 
г) 

21
3 7
14 7

3 7

12
11

6 2
.

8. 
Что больше:

а) 4
1
4
1

12

11
−
−

 или 4
1
4
1

11

10
−
−

; 
б) 9
1
9
1

6

7
−
−

 или 9
1
9
1

7

8
−
−

? 

9. 
При делении натурального числа b на 7 получается 
остаток 3. Какой остаток получится при делении выражения b
b
2
7
15
на 7?
10. а) Найдите среднюю скорость движения поезда, если 
первую половину пути он шел со скоростью 81 км/ч, а 
вторую – со скоростью 99 км/ч.
б) При движении из пункта А в пункт В автобус первую 
половину пути шел со скоростью 50 км/ч, а вторую – со 
скоростью 75 км/ч. Из пункта В в пункт А автобус шел 
со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автобуса на всем пути.
11. а) При совместной работе двух подъемных кранов баржа была загружена за 2 ч. Сколько времени потребуется на загрузку такой же баржи каждым краном, если 
одним краном баржу можно загрузить на 3 ч быстрее, 
чем другим?