Алгебра для самоподготовки : 7-й класс

УДК 512(075.3/.4)
ББК 22.14я721
 
С60

Р е ц е н з е н т: 
заведующий 
кафедрой 
информационных 
технологий 
ГУО «Минс кий городской институт развития образования» кандидат педагогических наук, доцент Т.О. Пучковская

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или 
любой ее части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3495-5 
© Солтан Г.Н., Солтан А.Е., 2023
 
© Оформление. УП «Издательство
 
“Вышэйшая школа”», 2023

ПРЕДИСЛОВИЕ

Дорогие семиклассники! На протяжении предыдущих шести лет изучения математики в школе вы 
рассматривали свойства чисел и действий над ними, 
выполняли преобразования выражений, решали 
уравнения и текстовые задачи, знакомились с некоторыми фигурами и их свойствами. Теперь вам 
предстоит осваивать математику на более высоком 
уровне, изучая две ее части – алгебру и геометрию. 
Надеемся, что пособие, которое вы держите в руках, 
будет верным помощником в изучении алгебры. 
Слово «алгебра» произошло от арабского «алджабр» из названия научного труда «Китаб ал­джабр 
валь­мукабала» выдающегося узбекского ученого 
Абу Абдуллаха Мухаммада ибн Мусы 
аль­Хо резми (ок. 780–850) о приемах 
решения уравнений, который первым 
в мире вы делил алгебру как отдельное научное направление в математике. Прием «ал­джабр» состоял в 
переносе вычитаемых из одной части 
урав нения 
в 
другую 
(например, 

14
4
13
3
x
х
–
– ,
=
14
3
13
4
x
х
), а 
прием «валь­мукабала» – в удалении 
Аль-Хорезми

3

из обеих частей уравнения одинаковых слагаемых 
(
–
).
14
13
4
3
x
х
В данном пособии изложен основной курс алгебры 7 класса, который представлен шестью разделами: «Степень с целым показателем», «Многочлены», 
«Формулы сокращенного умножения», «Линейные 
уравнения и неравенства с одной переменной», «Линейная функция. Системы линейных уравнений с 
двумя переменными», «Элементы статистики» (является дополнительным материалом), состоящими 
из нескольких тем. Каждый раздел начинается с целевых установок, что надо знать и уметь в результате его изучения. В каждой теме разделов, кроме 
пунктов для их повторения, содержится:
1) новый теоретический материал с заданиями 
для его первичного закрепления;
2) образцы решений примеров и задач;
3) контрольные вопросы для проверки усвоения 
теории;
4) упражнения трех уровней сложности А, В и С 
для формирования практических умений и навыков, последний из которых предназначен для тех, 
кто увлекается математикой;
5) упражнения для повторения ранее изученного 
материала, отмеченные символом 
. 
Также в каждой теме имеются практико­ориентированные задачи, задачи с межпредметным содержанием и «Занимательные задачи» для раз вития 
математических способностей и умений применять 
алгебраические знания в нестандартных ситуациях. 
В последних темах разделов размещены упражне

ния для повторения, предназначенные для систематизации знаний и подготовки к контрольным работам, а также специальные задания под рубрикой 
«Проверь себя!». К упражнениям даются ответы и 
указания к поиску решения более трудных задач. 
В конце разделов предлагаются исторические 
сведения, относящиеся к их содержанию, в которых 
имеется познавательный материал об истории развития изучаемых понятий и их свойств, об ученых, 
внесших большой вклад в развитие алгебры.
Желаем успехов!
Авторы 

ПОВТОРЕНИЕ  
КУРСА МАТЕМАТИКИ 5–6 КЛАССОВ

В предыдущих классах изучали различные множества чисел (рис. 1) и действий над ними.

Множества чисел
Обозначения

N – множество натуральных чисел

(N = 1, 2, 3, …, n, …).

Z – множество целых чисел

(Z = …, –n, …, –3, –2, –1,  
0, 1, 2, 3, …, n, …).

Q – множество рациональных чисел, состоящее из множества целых и дробных чисел.

Определения
Примеры
Противоположные числа: 
а и –а
5 и – 5; –32

7 и 32

7

Взаимно обратные числа: 
а и 1

a, а ≠ 0

5
1
5
 и
; 32

7

23
7  и − 7

23 

Степень с натуральным 
показателем:
an

n
a a
a
...
,
если n > 1

a
a
1 =

5
125
3 =
; 2

3

2
3

16
81

4
4

4
; 

3
9

2
; 4
64
3
;

8
8

1

Модуль числа а: 

a
a
a
a
a
,
;

,
если
если
0
0 

7
8

7
8
=
; 0
0
=
; 3
4

3
4

Рис. 1

Законы действий над числами

1. a
b
b
a
. 
6. a
a
0
.

2. a
b
c
a
b
c
. 
7. a
a
0.

3. ab
ba
=
. 
8. a
a
1
.

4. ab c
a bc
. 
9. a 0
0.

5. a b
c
ab
ac
. 
10. a
a
1
1.

Правила действий над обыкновенными дробями

 
a
b

c
d

ad
cb

bd
; 
a
b

c
d

ac
bd
; 

 
a
b
c
d
ad
cb
bd
; 
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
:
.
Примеры вычисления значений 
числовых выражений

а) 

3
4
0 5
11
5
0 7
0 75
0 5 1 2
0 7

1 25 0 5
0 625

,
,
,
,
, – ,

,
,
,
;

 

б) 3
4 2 5 1 8

0 75 4 5 5

8

3 25 18 100 10 8
4 10 10 75 45 5

,
,

,
,
1 6
, ; 

в) объясните, почему выражение 25
25 25
1
:
:
–
не 
имеет числового значения (не имеет смысла).

Формула
Словесная формулировка

s
vt
=
Нахождение расстояния s, зная скорость v и время t движения

Р
а
b
2
 

S
ab
=
Вычисление периметра P и площади S 
прямоугольника, где а и b – длины его 
сторон

т
k
= 2 Нахождение четного числа т, где 
k ∈ N

n
k
2
1
Нахождение нечетного числа n, где 
k ∈ N

р
k
= 5
Нахождение числа р, кратного 5, где 
k ∈ N

b
aq
r
Запись числа b, при делении которого 
на число а получается q и остаток r

ab
a
b
10
Запись двузначного числа ab

V
аbс
=
Объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b и с

V
a
=
3
Объем куба с ребром, равным а

n
x
p
=
100

Нахождение р% от числа х

x
n
p
=
100
Нахождение числа х, если известно, 
что р% от него равны п

q

t

Нахождение производительности труда ν, где q – количество продукции, t – 
время, затраченное на ее производство

Уравнения
Уравнение – это равенство с одной переменной. 
Решить уравнение – значит найти все его корни. 
Корень уравнения – это значение переменной, обращающее уравнение в верное числовое равенство. 
Пример. Решить уравнение
 3 2
1 2
3 2
1
0
,
– ,
–
–
.
x
х


Р е ш е н и е. Преобразуем левую часть уравнения, 
используя законы арифметических действий: 

3 2
1 2
3 2
1

3 2
3 84
6
3
2 8
0 84

,
– ,
–
–

,
– ,
–
,
– ,
.

x
х

х
х
х

Получили уравнение 2 8
0 84
0
,
– ,
.
x
 Решим его, 
используя зависимость между компонентами арифметических действий:

2 8
0
0 84
,
,
;
x
 2 8
0 84
,
,
;
x
  

x 0 84
2 8
,
:
,
; x 0 3
, .

П р о в е р к а. 3 2
0 3
1 2
3 2
0 3
1
0
,
– ,
– ,
–
– ,
–
;
3 2
1 5
3
1 6
0
,
– ,
–
– ,
;
4 8
4 8
0
,
,
; 0
0
=
.

При подстановке значения x 0 3
,  в исходное 
уравнение получилось верное числовое равенства. 
Значит, число –0,3 – корень уравнения.
О т в е т: –0,3.

У п р а ж н е н и я

Уровень А
1. а) Назовите наименьшее натуральное число.
б) Верно ли, что число 0 принадлежит множеству рациональных чисел?

в) Верно ли, что одно из противоположных чисел всегда отрицательное?
г) Может ли сумма каких­либо двух рациональных чисел быть меньше их разности?
д) В каких случаях произведение двух чисел 
равно 0?
е) Прокомментируйте законы действий над числами, записанные на с. 7.
ж) Сформулируйте правила действий над обыкновенными дробями. 
2. Вычислите наиболее простым способом: 
а) 1 48 32 6
1 48 67 4
,
,
,
, ;
в) 1 4 47
14 5 3
,
, ;

б) 169 0 58
0 57 169
⋅
⋅
,
– ,
; 
г) 0 77 39
0 61 77
,
,
.
3. Укажите число, противоположное значению 
выражения А и обратное значению выражения В, если:
а) A 2 5 5
1
2
0 8 0 6
4 8
, :
,
,

,
;

б) В 5 2 5
1
2
4 8
0 8 0 6
: ,
,

,
, .

4. Найдите три дроби с однозначным знаме нателем, каждая из которых больше 7

9, но меньше 8

9. 

5. а) Замените дробь 6

11  десятичной дробью с двумя знаками после запятой. Укажите точность 
приближения.
б) Проверьте, является ли число 0,17 приближенным значением дроби 3

17  с точностью до 
0,01.