Основы исследований и изобретательства в машиностроении. Практикум

УДК 621:001.895(075.8)
ББК 34.4я73
 
О-75

Авторы: М.М. Кане, И.Л. Баршай, Н.В. Спиридонов, О.Г. Девойно, 
М.А. Кардополова, А.О. Романовский, В.Г. Куптель, В.И. Романенко, 
С.И. Романчук 

Р е ц е н з е н т ы: кафедра «Технология металлов» учреждения образования 
«Белорусский государственный аграрный технический университет» (профессор 
кафедры доктор технических наук, профессор Л.М. Акулович); начальник 
научно-технического Центра технологии машиностроения и технологического 
оборудования государственного научного учреждения «Объединенный 
институт машиностроения» Национальной академии наук Беларуси 
доктор технических наук, доцент В.Л. Басинюк

 
Основы исследований и изобретательства в машинострое-
 
нии : практикум : учебное пособие / М. М. Кане [и др.] ; под ред.
 
М. М. Кане. – Минск : Вышэйшая школа, 2020. – 312 с. : ил.
ISBN 978-985-06-3170-1.

Рассмотрены некоторые методы обработки результатов однофакторных 
экспериментов (подбор эмпирических формул, оценка точности прогнозирования) 
и подготовки к выполнению многофакторных экспериментов (задачи 
этой подготовки, выбор параметров оптимизации и факторов, влияющих 
на изучаемый процесс или объект, сокращение их числа, определение 
областей изменения факторов, внутри которых могут быть оптимизированы 
изучаемые процессы). Описаны принципы и методы измерения физических 
величин: методы измерений деформаций, сил, крутящих моментов, напряжений, 
механической работы (энергии) и мощности, угловых и линейных 
скоростей движения, механических колебаний (вибраций), шума, температур. 
Приведены 10 практических работ.
Для студентов учреждений высшего образования машиностроительных 
специальностей, магистрантов и аспирантов, научных и технических специалистов 
в области машино- и приборостроения.

УДК 621:001.895(075.8) 
ББК 34.4я73 

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее 
части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3170-1 
© Оформление. УП «Издательство 
 
“Вышэйшая школа”», 2020

О-75

Предисловие

Современный этап развития экономики, в том числе машиностроения, 
отличает инновационный характер, опора на последние 
достижения науки и техники. 
Общепринято, что мировая экономика проходит в настоящее 
время период четвертой промышленной революции. Этот этап развития 
получил название «индустрия 4.0». Данное понятие было 
сформулировано в Германии в 2011 г. и сейчас принято всеми развитыми 
и развивающимися странами как ориентир развития промышленности 
и сферы услуг, как средство повышения конкурентоспособности 
промышленности через усиленную интеграцию «киберфи-
зических систем», или CPS, в производство. Важнейшим средством 
реализации этой концепции является придание изделиям функций 
искусственного интеллекта, что требует высокого качества изделий, 
полного понимания их физической природы. Учебная дисциплина 
«Основы исследований, изобретательства и инновационной деятельности 
в машиностроении» (ОИИиИДвМ), рекомендуемая образовательным 
стандартом ОСВО 1-360101-18 Республики Беларусь 
по специальности 1-360101 «Технология машиностроения», позволяет 
будущим инженерам получить базовые знания и умения, необходимые 
для совершенствования машиностроительной продукции 
и ее производства в русле концепции «индустрия 4.0». 
Предлагаемое учебное пособие является дополнением к учебнику 
М.М. Кане «Основы исследований, изобретательства и инновационной 
деятельности в машиностроении», изданному в издательстве «
Вышэйшая школа» в 2018 г., и образует с ним учебно-методический 
комплекс.
Учебное пособие содержит два раздела. В разделе I рассмотрены 
некоторые методы подготовки и обработки результатов экспериментальных 
исследований, а также методы и средства измерений 
физических величин (сил, крутящих моментов, работы, деформаций, 
напряжений, скоростей, ускорений, вибраций, температур и 
др.) при исследованиях продукции и процессов механосборочного 
производства. В разделе II размещено 10 практических работ. Данный 
материал позволит расширить знания, полученные при изучении 
дисциплины ОИИиИДвМ с помощью указанного учебника, 
и получить дополнительные практические навыки в области исследований 
и изобретательства в машиностроении.

Профессор М.М. Кане

Раздел I

Методы научных исследований 
в Машиностроении 

Глава 1. НекотоРые вопРосы выполНеНия 
одНо- и мНогофактоРНых экспеРимеНтов

1.1. методы подбора эмпирических формул 
по результатам однофакторного эксперимента

В результате однофакторного эксперимента получается статистический 
ряд измерений двух величин. В этом ряду каждому значению 
функции y y
yn
1
2
,
,
,
соответствует определенное значение 
аргумента x x
xn
1
2
,
,
,
,
где n – число измерений или объем выборки. 
На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраическое 
выражение функции 

 
y
f x
=
( ), 
(I.1.1)

которое называют эмпирической формулой. Такие формулы справедливы 
лишь для того интервала изменения аргумента x, который 
имел место при проведении эксперимента. Эмпирические формулы 
являются приближенными выражениями аналитических зависимостей. 
Для оценки достоверности эмпирических формул могут 
использоваться методы, описанные в [1, § 3.3].
Подбор эмпирических формул состоит из двух этапов:
1) получение графика, показывающего изменение y при изменении 
x, т.е. отражающего зависимость (I.1.1); выбор по этому графику 
примерного вида формулы (I.1.1); 
2) вычисление параметров принятой формулы, оценка ее достоверности.

Для построения графиков, как правило, пользуются прямоугольной 
системой координат. Графики удобно строить на миллиметровой 
бумаге или с помощью компьютерной программы 
Exel. Исходя из пределов, в которых при эксперименте изменялись 
значения y
x
i
i
и
,  где i – номер опыта, выбирают определенные 

масштабы по осям так, чтобы были полностью использованы принятые 
длины осей. Эти масштабы выбираются произвольно, независимо 
друг от друга, но так, чтобы график не был слишком мелким 
или растянутым по одной из осей. Если интервал, в котором 
заключены значения измеряемых величин, лежит далеко от нуля, 
то целесообразно начинать деление соответствующей оси не от 
нуля, а от некоторого значения, лишь немногим меньшего, чем 
наименьшее значение, которое надо отложить на этой оси. На графике 
наносят точки с координатами y
x
i
i
,и соединяют их прямой 
или кривой таким образом, чтобы над и под прямой (кривой) находилось 
примерно одинаковое число точек. В редких случаях прямая (
плавная кривая) проходит через все точки.
Иногда на одну или обе оси наносят неравномерную шкалу. Такой 
способ применяют в основном для приведения графика к линейному 
виду. Например, на рис. I.1.1, а, изображена зависимость 
y
cx
=
2  с равномерными шкалами, а на графике I.1.1, б, – та же зависимость, 
когда по оси абсцисс отложены значения х2.

Такие масштабы называются функциональными. Из функциональных 
масштабов чаще всего применяются логарифмический и 
полулогарифмический. В полулогарифмическом масштабе используются 
линейный масштаб по оси абсцисс и логарифмический 
масштаб по оси ординат, в логарифмическом масштабе – логарифмические 
шкалы по обеим осям.
Для анализа вида зависимости (I.1.1) используют графики с равномерными 
шкалами по осям координат. Описанный выше метод 
построения графика применим для малого объема выборки (обычно 
для n ≤ 10). Для больших объемов выборки целесообразно построить 
эмпирическую линию регрессии (рис. I.1.2).

Рис. I.1.1. Графики с равномерными (а) и неравномерными (б) шкалами по 
осям координат

y

O
x

а
y

x

б

O
2

Эмпирическую линию регрессии строят следующим образом:
1) наносят на координатную сетку Y – X все экспериментальные 
точки с координатами y
x
i
i
,и соединяют их ломаной линией (ломаная 
1 на рис. I.1.2); при n>30  построение ломаной линии 1 не 
требуется;
2) разбивают разброс значений xi  на 5…7 интервалов и для точек, 
попавших в эти интервалы, определяют x
y
j
j
и, где j – номер 
интервала;
3) наносят на координатное поле точки с координатами x
y
j
j
,
 и 
соединяют их ломаной линией (ломаная 2  на рис. I.1.2) – она и будет 
эмпирической линией регрессии, с помощью которой можно 
оценить вид алгебраического выражения зависимости (I.1.1).
Если зависимость y
f x
=
( )  линейна и может быть описана прямой 
линией

 
y
b
b x
i
i
=
+
0
1
,  
(I.1.2)

то расчет неизвестных параметров b0  и bi  может быть выполнен 
методом наименьших квадратов (МНК) [1, § 3.2] или с помощью 
корреляционно-регрессионного анализа (КРА) [1, § 3.1]. 
При использовании МНК параметры b0  и bi  модели (I.1.2) 
определяются по следующим уравнениям:

Рис. I.1.2. Пример эмпирической линии регрессии:
yi – расчетные точки, полученные после первичной группировки экспериментальных 
данных на корреляционном поле; ∆ = y j  – средние значения ординат точек yi, попавших 
в j-й интервал, абсциссы этих точек – x j;  1 – экспериментальная линия регрессии, 
полученная после первичной обработки корреляционного поля; 2 – экспериментальная 
линия регрессии, полученная после вторичной группировки результатов эксперимента 

Y

y1

X

y3
y4
y5

y2
1

2

O
x1
x2
x3
x4
x5

yi

n  = 6
1
n  = 5
2
n  = 5
3
n  = 6
4
n  = 4
5

b
n
x y
x
y

n
x
x

i

n

i
i
i

n

i
i

n

i

i

n

i
i

n

i

1

1
1
1

1
2
1

2
=
−

−(
)

=
=
=

=
=

∑
∑
∑

∑
∑
,  
(I.1.3)

 
b
y
b xi
0
1
=
−
, 
(I.1.4)

где n – число опытов; x
y
i
i
,
 – результаты эксперимента; y,  x  – 
средние арифметические значения аргумента xi и функции yi.

При использовании КРА

 
b
r
S

S

y

x
1 =
, 
(I.1.5)

где r – коэффициент парной корреляции между значениями x и y 
[1, формула (3.1)]; S x , S y  – среднеквадратические отклонения 
значений xi  и yi  в выборке.
Значение b0  в этом случае рассчитывается также по формуле 
(I.1.4).
Для выбора нелинейных эмпирических формул применяется 
два основных метода:
1) линеаризация, т.е. приведение нелинейных функций к линейному 
виду (см. формулу (I.1.2)) с помощью специальных преобразований;

2) аппроксимация исследуемых зависимостей полиномами (параболами) 
различной степени.
Линеаризация. Метод может быть реализован двумя путями:
1) если имеется линейное преобразование нелинейной функции, 
неизвестные члены уравнения типа (I.1.2) могут быть найдены 
по формулам (I.1.3) и (I.1.4);
2) неизвестные члены линеаризованной функции могут быть 
определены графическим методом.
Рассмотрим пример применения первого пути для случая определения 
параметров степенной зависимости

  
y
b x b
=
0
1.  
(I.1.6)

Прологарифмировав данное выражение, получим

  
lg
lg
lg
y
b
b
x
=
+
0
1
. 
(I.1.7)

Заменяя X
x
= lg , Y
y
= lg  и В
b
0
0
= lg
, получим линейную модель

  
Y
B
b X
=
+
0
1
.  
(I.1.8)

Параметры B0  и b1  зависимости (I.1.8) найдем с помощью формул (
I.1.3) и (I.1.4), в которые в качестве yi  подставим значения 
Y
y
i
i
= lg
,  в качестве xi  – значения X
x
i
i
= lg
. Оценку параметра b0  
получим потенцированием оценки B0.

Примером применения второго пути является следующий случай.
Необходимо подобрать эмпирическую формулу для результатов 
измерений (табл. I.1.1).

Таблица I.1.1. Результаты измерений

Значения аргумента xi
1
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5

Значения функции yi
15,2
20,6
27,4
36,7
49,2
66,0
87,4
117,5

На основе этих данных строится график (рис. I.1.3, а), соответствующий 
выражению

 
y = aebx. 
(I.1.9)

После логарифмирования выражения (I.1.9) lgy = lga + bxlge. 
Если обозначить lgy = Y, то Y = lga + bxlge, т.е. в полулогарифмиче-
ских координатах выражение для Y представляет собой прямую линию (
рис. I.1.3, б). Подстановка в полученное уравнение координат 
крайних точек экспериментальных данных дает

lg15,2 = lga + blge,

lg117,5 = lga + 4,5blge.

y

а
б

0
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4

50

10

100

1 ∙ 103

100

150
lg y

x
x

Рис. I.1.3. Подбор эмпирических характеристик графическим методом:
а – эмпирическая характеристика; б – спрямленная характеристика

Следовательно,
lga + blge = 1,183,

lga + 4,5blge = 2,070,

откуда 
b = 0,887 / (3,5lge) = 0,579,

lga = 1,183 – 0,254 = 0,929, a = 1,85.

Окончательно эмпирическая формула получит вид

y = 1,85e0,579x.

Графический метод позволяет визуально оценить правильность 
выбора вида формулы для эмпирической кривой. Если в неравномерных 
шкалах эмпирическая кривая превращается в прямую 
(рис. I.1.3, б), это подтверждает правильность указанного выбора.
Метод может быть использован и непосредственно для определения 
параметров линеаризованной зависимости вида

 
Y = A + BX, 
(I.1.10)
где 
 
Y = f1(x, y),  
(I.1.11)

 
X = f2(x, y).  
(I.1.12)

После преобразования нелинейной исходной зависимости в линейную 
вида (I.1.10) по данным xi, yi 
строят прямую (рис. I.1.4) на координатной 
сетке, у которой началом является 
точка y = A и x = 0. По этому 
графику легко определить параметры 
А (ордината точки пере сечения 
прямой с осью Y) и В (тангенс угла 
наклона прямой с осью X): B = tgα = 
= (Yi – A)Xi.
По значениям А и В с помощью зависимостей (
I.1.11) и (I.1.12) можно 
перейти к параметрам нелинейной 
формулы, принятой для описания эмпирической 
зависимости y = f(x). 

Рис. I.1.4. Графическое определение 
параметров А и В зависимости (
I.1.10)

Y

A

x

α

i

yi

O

Y = A + BX

X

Для линеаризации функций, у которых имеется три независимых 
параметра (модели 5, 6 в табл. I.1.2), наряду с логарифмированием 
исходной функции используют и графический метод. Для целей 
прогнозирования можно либо применить полученную линеа-
ризованную функцию, либо вернуться к первоначальному виду 
модели, что обычно менее удобно. 

Таблица I.1.2. Виды нелинейных однофакторных моделей и методы их линеаризации

Название
и формула модели

Вид графиков,
характерных
для данной модели

Метод линеаризации
модели

1
2
3

1. Степенная: 

y
b x b
=
0
1

Y

O
X

b  > 1
1
b  = 1
1
b  < 1
1

lg
lg
lg ,
y
b
b
x
=
+
0
1

X
x
= lg ,  Y
y
= lg ,

B
b
0
0
= lg

Линейная модель:

Y
B
b X
=
+
0
1

Прямая может быть построена 
на логарифмической сетке

2. Показательная: 

y
b b x
=
0 1

Y

X
O

lg
lg
lg
,
y
b
x
b
=
+
0
1

Y
y
= lg , B
b
0
0
= lg
,

B
b
1
1
= lg

Линейная модель:

Y
B
B x
=
+
0
1

Прямая может быть пост роена 
на полулогарифми ческой сетке

3. Экспо нен циаль ная:

y
b eb x
=
0
1

Y

X
O

lg
lg
lg ,
y
b
b x
e
=
+
0
1

Y
y
= lg ,  B
b
0
0
= lg
,

B
b
e
1
1
=
lg

Линейная модель:

Y
B
B x
=
+
0
1

Прямая может быть пост роена 
на полулогарифми ческой сетке