Атомная физика : практикум по решению задач

УДК 539.1(075.8)
ББК 22.383я73
 
М31

Н ау ч н ы й  р е д а к т о р: кандидат физико-математических наук, доцент А.А. Сокольский

Р е ц е н з е н т ы: кафедра теоретической физики и теплотехники учреждения образования 
«Гродненский государственный университет имени Янки Купалы» (заведующий кафедрой доктор 
физико-математических наук, профессор А.Ю. Иванов), профессор кафедры технической физики 
факультета информационных технологий и робототехники Белорусского национального технического 
университета доктор физико-математических наук, профессор Э.И. Зенькевич

Маскевич, С. А.
Атомная физика : практикум по решению задач : учебное пособие / С. А. Ма-
скевич. – Минск : Вышэйшая школа, 2023. – 327 с. : ил. 
ISBN 978-985-06-3518-1.

Данное издание является практикумом по решению задач по курсу «Физика атома и 
атомных явлений». Оно включает краткую теорию, примеры решения задач и задачи для 
самостоятельной работы студентов по девяти темам в соответствии с программой для студентов 
специальности «ядерные физика и технологии» и других физических специальностей 
учреждений высшего образования. Задачи каждой темы сгруппированы по трем уровням 
сложности, что позволяет легко сформировать индивидуальный пакет заданий для самостоятельной 
работы как студентам-физикам, так и студентам-инженерам.

УДК 539.1(075.8)
ББК 22.383я73

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее части не может быть осуществлено 
без разрешения издательства.

ISBN 978-985-06-3518-1 
  Маскевич С.А., 2023

 
  Оформление. УП «Издательство 
“Вы шэйшая школа”», 2023

М31

ОТ АВТОРА

Предлагаемое учебное пособие направлено на то, чтобы оказать помощь 
студентам, желающим научиться решать задачи по атомной физике. Данное 
пособие является исправленным и переработанным изданием пособия [1], 
вышедшего в свет в издательстве «Вышэйшая школа» в 2010 г. В данном издании 
учтены замечания преподавателей и студентов Гродненского государственного 
университета имени Янки Купалы и Белорусского государственного 
университета в процессе использования предыдущего издания. Значительно 
переработана теоретическая часть каждой темы и дополнен раздел «Примеры 
решения задач» новыми примерами и новыми вариантами их решения, 
которые использовались в преподавании доцентом БГУ А.А. Сокольским на 
физическом факультете БГУ и любезно им предоставлены для данного издания, 
оптимизированы обозначения некоторых физических величин с учетом 
их обозначения в других разделах курса общей физики. 
Курс «Физика атома и атомных явлений» – важная часть курса общей 
физики, базового курса в подготовке специалистов как по специальности 
«ядерные физика и технологии», так и по другим специальностям физического 
профиля университетов, которая основывается на современных квантовых 
представлениях о строении материи и электромагнитного поля. Прочные 
знания по атомной физике крайне важны для формирования у студентов современной 
физической картины мира и глубокого понимания природы физических 
процессов на уровне атомов, атомных ядер и молекул. Такие процессы 
лежат в основе функционирования многих современных технических 
устройств, биохимических процессов в организме и разнообразных процессов 
в природе. Данный курс имеет особое значение в настоящее время в связи 
с быстрым развитием в Республике Беларусь и в мире в целом нанотехнологий 
и атомной энергетики.
В соответствии с типовой программой курса «Физика атома и атомных 
явлений» для специальности «ядерные физика и технологии», а также других 
физических специальностей университетов выделены девять тем, которые 
изложены в одноименных главах. Последовательное изучение материала по 
многим темам возможно в форме самостоятельной работы, в том числе и в 
дистанционном режиме. Эффективная самостоятельная работа студентов возможна 
при наличии электронных учебных пособий, включающих курс лекций, 
задачник-практикум, лабораторный практикум, электронную систему для 
контроля и самоконтроля знаний. Учебное пособие для автоматизированного 
контроля и самоконтроля знаний студентов по атомной физике было издано 
ранее [2].
В каждой теме имеется три подраздела. В первом подразделе изложен 
краткий теоретический материал, содержащий формулировки и разъяснения 
основных понятий, физических величин и формулы, необходимых для понимания 
смысла задач и их решения. Во втором подразделе дано объяснение 
того, как решаются задачи. При этом основное внимание уделено анализу 

физической сути задач и рассмотрению путей их решения. По возможности 
используются графические и другие наглядные способы иллюстрации хода 
решения. В третьем подразделе приведены задачи для самостоятельного решения, 
которые сгруппированы по общности содержания и по уровням сложности. 
По каждой теме приведено от 50 до 118 задач, что позволяет преподавателю 
сформировать для каждого студента индивидуальное задание в соответствии 
с пожеланиями и возможностями студента. Основу предлагаемых для 
самостоятельного решения задач составляют задачи, содержащиеся в хорошо 
известных сборниках задач [3, 4], о чем в пособии сделаны необходимые ссылки. 
Задачи, которые не содержат ссылок, являются авторскими.
Считаю своим долгом поблагодарить за помощь в подготовке данного издания 
профессора кафедры общей физики Гродненского государственного 
университета имени Янки Купалы Н.Д. Стрекаль и профессора кафедры общей 
и медицинской физики Международного государственного экологического 
института имени А.Д. Сахарова БГУ Т.С. Чикову. Особую признательность 
хочется выразить кандидату физико-математических наук, доценту 
А.А. Сокольскому, который не только ответственно выполнил трудоемкую 
работу по научному редактированию пособия, но и внес творческий вклад 
в улучшение содержания нынешнего издания. 
Когда данное пособие было подготовлено к печати, стало известно, что 
Нобелевская премия по физике за 2022 г. присуждена Алену Аспе, Джону Кла-
узеру и Антону Цайлингеру за вклад в развитие современной квантовой физики. 
Поэтому считаю целесообразным разместить в конце издания краткую 
информацию об истории развития этой науки, которой и посвящено настоящее 
пособие.

ОБОЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 
И КВАНТОВЫХ ЧИСЕЛ 

E – энергия полная
K – энергия кинетическая
U  – энергия потенциальная
W  – мощность
T – температура абсолютная
p – импульс

L – момент импульса орбитальный

S – момент импульса спиновый

J  – момент импульса полный (


J =


L+


S)

M – магнитный момент

E – напряженность электрического поля
Ψ, ψ – волновая функция
n – главное квантовое число
L l,  – азимутальное квантовое число (квантовое число момента импульса)
M m
,
 – магнитное квантовое число (квантовое число проекции момента 
импульса)
S, s – спиновое квантовое число
J, j – квантовое число полного момента импульса
nv – колебательное квантовое число (для гармонического осциллятора)
nr – вращательное квантовое число (для молекул)

Глава 1 

КОРПУСКУЛЯРНЫЕ СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ

Основные понятия и формулы

1. Фотон – квант электромагнитного излучения, обладающий энергией и 
импульсом.
а) Энергия E  фотона в вакууме:

 
E
h
h с
hc
ф =
=
=
=
ν
w
λ
ν
ℏ
, 
(1.1)

где h – постоянная Планка (h =
⋅
−
6 626 10
34
,
 Дж·с); ν – частота изменений векторов 



E и 


B электромагнитного излучения, квантом которого является фотон; 

 = h / 2p; w
pν
= 2
 – циклическая частота колебаний; λ – длина волны; ν
λ
= 1 – 

число длин волн в единице длины (волновое число).
б) Импульс p фотона в вакууме:

 
ℏ

p
k
ф =
λ, p
h
c

h

c
=
=
=
ν
λ
w
 , 
(1.2)

где 


kλ – волновой вектор, 


kλ
p λ
= 2 /  – угловое волновое число, которое в 
дальнейшем будем обозначать kλ.
В формулах (1.1) и (1.2) ν λ w ν
, ,
, ,k характеризуют волновые, а Eф, pф – 
корпускулярные свойства излучения.
2. Тепловое излучение – электромагнитное излучение, испускаемое нагретыми 
телами. Если испускание фотонов атомами или молекулами веществ 
происходит в условиях термодинамического равновесия в среде, то тепловое 
излучение является равновесным. 
2.1. Энергетическая светимость R э тела – энергия, испускаемая с единицы 
площади нагретого до температуры Т тела по всем направлениям в единицу 
времени. 
2.2. Испускательная способность тела r T
ν,  – спектральная плотность энергетической 
светимости, т.е.

 
r
dR
d
T
T
ν
ν
, =

э

, или R
r
d
T
T

э =
⋅

∞
∫
ν
ν
,
0

.

Доля энергетической светимости, приходящаяся на интервал dν или dλ

соответственно:

 
dR
r
d
ν
ν
ν
э =
⋅
; dR
r
d
λ
λ
λ
э =
⋅
.

2.3. Поглощательная способность тела a T
ν,  – отношение величины поглощенного 
потока d
′
Ф  энергии электромагнитного излучения к величине падающего 
потока dФ, т.е. a
d
d
T
ν,
/
=
′
Ф
Ф.
Тело, которое полностью поглощает падающее на него электромагнитное 
излучение, называют абсолютно черным, и для него a T
ν, =1.
2.4. Закон Кирхгофа: отношение спектральной плотности энергетической 
светимости по частоте ν к спектральной плотности поглощаемой энергии излучения 
той же частоты не зависит от природы тела и является универсальной 
функцией εν,T частоты и температуры или функцией ελ,T длины волны и температуры:

 


r

a

T

T
T
ν

ν
ν
ε
,

,
,
=
, ε
ε
λ
ν
λ
,
,
/
T
T
c
=
⋅
2
. 
(1.3)

Для абсолютно черного тела, как следует из (1.3), εν
ν
,
,
T
T
r
=
.
2.5. Закон Стефана – Больцмана выражает связь между энергетической 
светимостью RT
э абсолютно черного тела и его температурой:

 
R
d
T
T
T
э =
=

∞
∫ ε
ν
σ
ν,
4

0

, 
(1.4)

где σ – постоянная Стефана – Больцмана, σ =
⋅
−
5 67 10
8
,
 Вт/(м2·K4). Для тел, 
которые не являются абсолютно черными:

 
E
T
T = ασ
4, 
(1.4а)

где α – коэффициент черноты тела.
2.6. Закон смещения Вина:

 
λmax ⋅
=
T
b, 
(1.5)

где λmax – длина волны, соответствующая максимуму зависимости ε
λ
λ,
( )
T
f
=
; 

b – постоянная Вина, b = 0 0029
,
 м·K. 
2.7. В случае термодинамического равновесия излучения и вещества, когда 
энергия, испускаемая телом в единицу времени, равна поглощенной, функция 
εν,T и объемная спектральная плотность энергии излучения ρν,T связаны 
соотношением

 
ε
ρ
ν
ν
,
,
T
T
с
= 1

4
,  
(1.6)

где с – скорость света в вакууме.
2.8. Функции ε
ν
ν,
,
T
f
T
=
(
) и ρ
ν
ν,
,
T
f
T
=
(
) выражаются формулами: 

 
ε
p

ν
ν
,T
h
k T

hv
c

e

=

−

2
1

1

3

2

Б

, 
(1.7)

ρ
p ν

ν
ν
,T
h
k T

h
с

e

=

−

8
1

1

3

3

Б

, 
(1.8)

где kБ – постоянная Больцмана, kБ =
⋅
−
1 38 10
23
,
 Дж/K. 
Формула (1.8) называется формулой Планка.
3. Связи между полной энергией (E ), кинетической энергией (K) и импульсом (
p) для частицы массой покоя m0 в релятивистском случае имеют вид:

 
E
p c
m c
2
2
2
0
2
4
−
=
, p c
K K
m c
2
2
0
2
2
=
+
(
). 
(1.9)

Масса покоя фотона равна нулю, поэтому для него p
E
c
=
/ . В то же время 

можно говорить о величине h

c
ν

2  как о массе 

фотона, являющейся, в частности, мерой его 
гравитационного взаимодействия. 
4. Фотоэлектрический эффект внешний – 
испускание электронов твердыми телами или 
жидкостями в вакуум или газообразную среду 
под действием электромагнитного излучения.
4.1. Кривая зависимости силы фототока 
от напряжения для вакуумного элемента показана 
на рис. 1.1.
Сила тока насыщения I н пропорциональна 
падающему световому потоку.
4.2. Формула Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

 
h
A
m
ν =
+
vmax
2

2
, 
(1.10)

где А – работа выхода электронов с поверхности металла; m – масса электрона.
Красная граница (λкр) фотоэффекта определяется из условия

 
h c
A
λкр
=
. 
(1.11)

Максимальная скорость vmax вырываемых электронов может быть определена 
по величине задерживающей разности потенциалов Uз:

 
mevmax
2

2
= eUз, vmax << c, 
(1.12)

где me – масса покоя; e – заряд электрона.
4.3. Фотоэффект селективный – явление, которое наблюдается у ряда металлов, 
особенно щелочных, и заключается в том, что кривая зависимости I ν
( ) 
имеет максимум на частоте собственных колебаний электронов металла (плазмонов). 
Величина фототока чувствительна к поляризации падающего света.
4.4. Фотоэффект внутренний – возникновение свободных носителей заряда (
электронов и / или дырок) в твердом теле при поглощении фотонов.

Рис. 1.1. Кривая зависимости силы 
фототока от напряжения 
для вакуумного элемента

5. Тормозное рентгеновское излучение возникает при облучении быстрыми 
электронами, ускоренными разностью потенциалов U, твердых мишеней, 
например антикатода в рентгеноской трубке. Квантовая природа излучения 
подтверждается существованием коротковолновой границы λк спектра тормозного 
рентгеновского излучения, который при этом располагается в области 
длин волн λ ≥ λк и имеет максимум. Коротковолновая граница данного спектра 
определяется из условия

 
λк = hc

eU .  
(1.13)

6. Световое давление – явление, которое обусловлено передачей импульса 
электромагнитного излучения телу, с которым оно взаимодействует. Величина 
светового давления 

 
P
I
c
R
=
+
(
)
1
2
cos j, 
(1.14)

где I – интенсивность света, определяемая как отношение мощности излучения, 
падающего по нормали на освещаемый участок поверхности, к его площади; 
R – коэффициент отражения света от поверхности, j – угол падения.
7. Эффект Комптона – явление рассеяния рентгеновского излучения атомами, 
сопровождающееся изменением его длины волны. Данный эффект 
является результатом взаимодействия фотонов рентгеновского излучения со 
слабо связанными электронами. Изменение длины волны Dλ излучения при 
комптоновском рассеянии на свободных электронах зависит только от угла 
рассеяния в соответствии с формулой

 
D
Λ
λ
θ
=
−
(
cos )
1
,  
(1.15)

где Λ = h

m c
e

 – комптоновская длина волны, равная 0,00243 нм; θ – угол рас-

сеяния.
Относительная интенсивность смещенной по λ компоненты рентгеновского 
излучения возрастает с увеличением относительной концентрации рассеивающих 
электронов. При увеличении Z  – порядкового элемента в таблице Менделеева – 
относительная интенсивность смещенной компоненты уменьшается.
8. Эффект Доплера – явление зависимости частоты (длины волны) света 
от скорости относительного движения источника и приемника. В рамках квантовых 
представлений эффект Доплера является следствием законов сохранения 
энергии и импульса при испускании фотона атомом. 
Смещение частоты Dν фотона при эффекте Доплера равно

 
Dν
ν
θ
0
= v
c cos ,  
(1.16)

где v – скорость движения источника света относительно приемника; θ – угол 
между направлением распространения фотона, испущенного источником 
в направлении приемника, и направлением движения источника.

Примеры решения задач

1.1. Фотон с частотой w0 испущен с поверхности звезды, масса которой M 
и радиус R. Найдите гравитационное смещение частоты фотона Dw w
/
0 на очень 
большом расстоянии от звезды. Определите, каким будет это смещение:
а) для Солнца;
б) для нейтронной звезды, масса которой равна массе Солнца, а средняя плотность 
превышает солнечную в 1 0 1014
, ⋅
 раз [3]. 

Решение
Фотоны, как и другие частицы, обладают гравитационной массой. Поэтому 
фотон посредством гравитационного поля взаимодействует с другими материальными 
объектами. В данной задаче из-за гравитационного притяжения 
к звезде удаляющийся фотон теряет некоторую часть своей энергии, в результате 
чего уменьшается его частота. Строгий расчет может быть проведен только 
в рамках релятивистской квантовой теории. Однако оценку изменения 
частоты можно сделать с помощью следующего приближенного рассмотрения.
Примем, что при движении фотона сохраняется его энергия w в сумме 

с энергией его гравитационного взаимодействия со звездой E

m M

r
вз
ф
= −γ
, где 

масса фотона m
E
c
c
ф
ф
=
=
/
/
2
2
w
. Такому предположению соответствует равенство 

 



w
γ w
−
=
M

c r
2
const. 
(1)

Обозначив частоту фотона при r
R
=
 (т.е. на поверхности звезды) через w0, 
а при бесконечно большом удалении от звезды (т.е. при r = ∞) через w∞, из 

равенства (1) получим w
γ w
w
0
0
2
−
=
∞
M

c R
. Следовательно, относительный сдвиг 

частоты

 
w
w

w
γ
0
2

−
=
∞

∞

M
c R. 
(2)

а) Подставив числовые значения величин γ =
⋅
−
6 67 10
11
,
 м3/(кг·с2), М c =
⋅
1 99 103
,

М c =
⋅
1 99 1030
,
 кг, RС =
⋅
6 96 108
,
 м, c =
⋅
3 0 108
,
 м/с и произведя вычисления, получим 
для Солнца

γ M
R c

С

C
2
6
2 1 10
=
⋅
−
,
.

б) Поскольку массы нейтронной звезды и Солнца одинаковы, а плотность 
нейтронной звезды в 1,0 1014
⋅
 раз больше, то радиус нейтронной звезды будет 

в 1 1014
3 ⋅
 раз меньше, чем радиус Солнца. Если это учесть, то получим