Введение в теорию целых функций

ВВедение В теорию  
целых функций

Москва 
ИНФРА-М 
2013

учебное пособие

т.А. леонтьеВА

Допущено  
УМО по классическому университетскому образованию 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлениям 
ВПО 010400 (Прикладная математика и информатика) 
и 010300 (Фундаментальная информатика  
и информационные технологии)

Леонтьева Т.А.
Введение в теорию целых функций: Учеб. пособие. — М.: 
ИНФРА-М, 2013. — 95 с. — (Высшее образование: Магистратура).

ISBN 978-5-16-006242-6

Излагаются классические результаты, относящиеся к целым функциям конечного порядка, вводится класс целых функций экспоненциального типа. Рассматривается разложение целых функций в бесконечное произведение, их построение по заданной последовательности нулей, а также применение целых функций к решению 
дифференциальных уравнений и к вопросам полноты функций в 
некоторых классах аналитических функций.
Представлено большое количество задач и примеров для лучшего 
усвоения и понимания тем. Изложение материала рассчитано на знание обязательного курса теории функций комплексного переменного.
Предназначено для студентов старших курсов математических факультетов университетов, будет полезно также аспирантам и преподавателям университетов и технических вузов.
ББК 22.161.5я73

ISBN 978-5-16-006242-6 
© Леонтьева Т.А., 2013

Р е ц е н з е н т ы:
В.С. Панферов — доцент кафедры общей математики МГУ 
им. М.В. Ломоносова;
В.В. Власов — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического анализа МГУ им. М.В. Ломоносова

Л47

УДК 517(075.8)
ББК 22.161.5я73
 
Л47

Предисловие

Данное пособие написано на основе чтения автором в течение 
многих лет специального курса по целым функциям для студентов 
4-го и 5-го курсов факультета ВМК МГУ. Издание представлено 
в виде 17 лекций, почти каждая из них подкреплена или примерами, 
или набором задач. Пособие содержит более ста задач. Изложение 
материала рассчитано на знание обязательного курса теории функций 
комплексного переменного в объеме, рассмотренном автором, например, в учебнике «Лекции по теории функций комплексного переменного» (М.: Научный мир, 2004).
В настоящем издании приведены классические результаты, относящиеся к целым функциям конечного порядка. Рассматриваются 
вопросы, связанные с разложением целых функций в бесконечное 
произведение, построение целых функций по заданной последовательности нулей. Доказываются теоремы Адамара и Бореля. Вводятся 
класс целых функций экспоненциального типа, ассоциированная 
функция по Борелю, сопряженная диаграмма и индикатриса роста. 
Также доказываются теоремы Полиа. Исследуются свойства интеграла Лапласа и связанное с ним операционное исчисление. Излагаются вопросы, связанные с применением целых функций к решению 
дифференциальных уравнений, вводится интерполяционный ряд 
Ньютона. Подробно рассматривается полнота функций в некоторых 
классах аналитических функций (теоремы Мюнтца, Маркушевича, 
Гельфонда). В конце лекций рассматриваются ряды Дирихле с вещественными и комплексными показателями. Приводится пример ряда 
Дирихле с комплексными показателеми, для которого не выполняется теорема единственности.
Вводится понятие биортогональной системы функций к системе 

{
}
e
nz
l
. В последней лекции рассматривается биортогональная система 
в классическом случае.
Пособие рассчитано на студентов старших курсов математических 
факультетов университетов. Так как теория целых функций имеет 
большое применение в различных разделах высшей математики 
и физики, то темы, рассматриваемые в данном пособии, будут интересны и полезны также аспирантам и преподавателям как университетов, так и технических вузов. В конце лекций приводится список 
рекомендуемой литературы для лучшего усвоения курса.

лекция 1 
Порядок и тиП целой функции

Функция комплексного переменного f(z) называется целой, если 
она аналитична на всей комплексной плоскости . Обозначение: 
f(z) ∈ A().
По теореме Тейлора такая функция разлагается в ряд:

 
f z
a z
z
k
k

k
( )
,
.
=
< ∞

=

∞
∑
1

Радиус сходимости R
a
a

n
n
n
n
n
n
=
= ∞
=
(
)

→∞

→∞
1
0
lim
lim
.

Введем обозначение: M r
f z

z
r
( )
max
( )
=
=
. Для коэффициентов ak 

в разложении функции f(z) в ряд Тейлора справедливо неравенство 
Коши:

 
a
M r
r

k
r
k
k
≤
=
>
( ),
, , ,...,
.
0 1 2
0

Из теоремы Лиувилля следует, что если M(r) < Arq, r > 0, A не зависит от r, то функция f(z) — многочлен степени n ≤ [q] (целая 
часть q), при этом если q = 0, то f(z) = const. Тем самым, если целая 
функция не многочлен, то M(r) растет быстрее любой степени r, 
r → ∞.

О п р е д е л е н и е. Функция f(z) — целая функция конечного 
порядка, если 
 
∃m: M(r) < exp(r m),   ∀r ≥ R0.
Назовем порядком r функции f(z) точную нижнюю грань m:
 
r = infm.

Из определения порядка следует, что ∀ε > 0
 
M(r) < exp(rr+ε),   ∀r ≥ R(ε),
 
∃{rk}, rk → ∞:   M(rk) > exp(rk
r-ε).
Таким образом,

 
lnln
( )

ln
;
lnln
( )

ln
,
.
M r
r

M r
r
r
rk
<
+
>
=
r
ε
r
ε

Итак, порядок функции  

 
r =
→∞
lim lnln
( )
ln
.
r
M r
r

Если ни при каком m неравенство M(r) < exp(rm) не выполняется, 
то говорят, что функция f(z) имеет бесконечный порядок (r = ∞).
Например, функция f(z) = e z имеет порядок r = 1, а функция 
f(z) = exp(ez) — порядок r = ∞.

О п р е д е л е н и е. Пусть функция f(z) имеет порядок r, 
0 < r < ∞. Функция f(z) имеет конечный тип при порядке r, если
 
∃a > 0: M(r) < exp(arr),   r > r0.
Точная нижняя грань a называется типом s функции f(z):
 
infa = s.

Из определения типа следует, что ∀ε > 0:
 
M(r) < exp[(s + ε)rr],   r > r0(ε);
 
M(r) > exp[(s - ε)rr],   r = rk → ∞.
Таким образом,

 
ln
( )
;
ln
( )
,
.
M r
r

M r
r

r
rk
r
r
s
ε
s
ε
<
+
>
=
→ ∞

Итак, тип функции

 
s
r
=
→∞
lim ln
( ).
r
M r
r

Если ни при каком a не выполняется неравенство M(r) < exp(arr), 
то говорят, что функция f(z) имеет при порядке r бесконечный тип: 
s = ∞. Если s = 0, то говорят, что функция f(z) имеет минимальный 
тип, а если 0 < s < ∞, — нормальный тип. 

Примеры
1. Функция f(z) — многочлен, т.е.
 
f(z) = a0 + a1z + ... + anzn,   an ≠ 0, n ∈ .
Многочлен имеет порядок r = 0.

2. Функция f(z) = eP(z), где P(z) — многочлен, P(z) = a0 + a1z + ... + 
+ anzn, an ≠ 0.
Покажем, что порядок r = n, тип s = |an|. В частности, для 
функции f(z) = ez порядок r = 1, тип s = 1.

Так как | f(z)| = eReP(z), то для ∀ε > 0 и r ≥ R(ε) справедливы оценки:
 
ReP(z) ≤ |P(z)| ≤ rn[|an| + ... + |a0|] < rn(|an| + ε).
Тем самым 
 
| f(z)| < exp[rn(|an| + ε)].

С другой стороны, пусть arg(an) = a и z
z e
i n
=
- a

, тогда

 ReP(z) = |an|rn + Re[an-1zn-1 + ... + a0] > rn(|an| - ε),   ∀r ≥ R1(ε),
или 

 
| f(z)| > exp[rn(|an| - ε)],   arg
.
z
n
= - a

Итак, r = n, s = |an|.

3. Пусть функция f(z) имеет порядок r, 0 ≤ r ≤ ∞ и P(z) — многочлен, тогда функция f1(z) = f(z)P(z) имеет тот же порядок r.
Пусть функция f(z) имеет порядок r, 0 < r < +∞ и тип s, 0 ≤ s ≤ ∞, 
тогда функция f1(z) = f(z)P(z) имеет тот же порядок r и тип s.

Рассмотрим теперь связь между ростом M(r) целой функции f(z) 
и скоростью убывания ее тейлоровских коэффициентов.

Лемма 1.1. Пусть M(r) < exp(arm), r > r0. Тогда

 
a
a e
n
n
n
n
n
< 



>
m
m
1

0
,
.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства Коши для тейлоровских 
коэффициентов будем иметь

 
a
M r
r
e
r
r
r
r
n
n

ar

n
≤
<
=
>
( )
( ),
.

m
j
0

Найдем минимум функции j(r), для этого рассмотрим lnj(r) = 

= ar m - nlnr. Производная lnj(r) есть ′
=
j
j
m
m
( )
( )
r
r
ar
n
r

1
. Минимум 

функции j(r) в точке r1: j′(r1) = 0, т.е. r
n
a
1

1
= 



m

m
 при n ≥ n0, r1 > r0. 

Поэтому

 
a
r
e

n
a

a e
n
n
n
n

n

n

n
<
=





= 



>
j

m

m
m

m

m
( )
,
.
1
0

Лемма доказана. 

Справедлива также следующая лемма.

Лемма 1.2. Пусть 
a
a e
n
n
n
< 



m

m
1

, n ≥ n0, тогда

 
M(r) < exp[(a + ε)rm],   r > r0(ε),  ε > 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия леммы 1.2 следует, что функция 
f(z) — целая и

 
a r
a e
n
r
n
n
n
n

n

< 









≥
m
m
1

0
,
.

Пусть N = N(r) — наименьшее целое, удовлетворяющее условию

 
a e
N
r
m
m




<

1
1
2.

Найдем оценку для N(r):
 
N > ame(2r)m;   ame(2r)m < N(r) ≤ ame(2r)m + 1.
При r > r1 данное N(r) > n0, поэтому при r > r1 и n ≥ N(r)

 
a r
a r
n
n
n
n
n

n N
n
n

<
<
=

=

∞

=

∞

∑
∑

1
2
1
2
1

1

,
.

Пусть m(r) — наибольший из членов |a0|, |a1r|, ..., |anrn|, ..., т.е. так 
называемый максимальный член ряда. Имеем

 M r
a r
a r
a r
N r m r
r
r
n
n

n
n
n

n

N

n
n

n N
( )
( ) ( )
,
.
≤
=
+
≤
+
>

=

∞

=


=

∞

∑
∑
∑
0
0

1

1
1

Пусть m(r) = |as|r s при некотором s. Если только функция f(z) 
не многочлен (а в этом случае лемма 1.2 очевидна), то при r → +∞ 
следует, что s → +∞. Пусть s > n0 при r > r2, тогда при r > r2

 
m r
a r
a e
s
r
a e
n
r
s
s

s

n

n

( )
max
=
< 








 ≤










≤
∈
m
m

m
m
1
1


max ( ),
t
t
≥1 j

где функция j
m
m
( )t
a e
t
r

t

= 










1

. При t → ∞ функция j(t) → 0,  

j(1) = (ame)1/mr. Найдем точки, где j′(t) = 0. Рассмотрим  

lnj(t) = tln[(ame)1/mr] - t
m lnt. Производная

 
(ln ( ))
( )
( )
ln[(
)
]
ln
.
j
j
j
m
m
m

m
t
t
t
a e
r
t
′ =
′
=
1
1

Тогда j′(t) = 0 в точке t0 = amr m и j(t0) = earm, т.е. max ( )
t

ar
t
e
≥
=
1 j

m, 

 поэтому

 
m r
e
r
r
r r
ar
( )
,
max( ,
).
≤
>
=
m

3
1
2

Имеем

 M r
a e
r
e
a
r
r
r
ar
( )
[
(
)
]
exp[(
)
],
,
( ).
<
+
+
<
+
>
>
m
ε
ε
ε
m
m
m
2
1
1
0
0

Лемма доказана. 

вычисление Порядка и тиПа функции  
через коэффициенты

Теорема 1.1. Пусть f(z) — целая и f z
a z
n

n

n
( ) =

=

∞
∑
0

, |z| < ∞. Тогда по
рядок

 
r =
→∞
lim
ln

ln
.
n

n

n
n

a
1
 
(1.1)

Если порядок r, 0 < r < +∞, то тип s вычисляется по формуле

 
(
)
lim
.
s r
r
r
e
n
a
n
n
n
1
1
=
→∞

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f(z) имеет порядок r < ∞. Из 
определения порядка следует, что
 
M(r) < exp(rr+ε),   r > r0(ε).
Из леммы 1.1 следует неравенство

 
a
e
n
n
n
n
n
<
+




>
+
(
)
,
,
r
ε
r ε
1

0

поэтому

 
ln
ln
,
ln(
) ,
,
1
1

0
a
n
n
cn
c
e
n
n

n
>
+
=
+
+
>
r
ε
r
ε
r
ε

или

 
ln
ln
,
ln

ln
.
1
1
1
a
n
n
n
n

a

n
n

n

n

>
+ 2
<
+ 2 ,
>
r
ε
r
ε

Тем самым

 
lim
ln

ln
.
n

n

n
n

a

→∞
≤
1
r

Пусть теперь

 
lim
ln

ln
.
n

n

n
n

a

q
→∞
=
1

Если ε > 0, то при n > n0 имеем n
n

a

q

n

ln

ln 1
<
+ ε  или 
a
n
n
n
q
< 
 

+
1
1
ε. 

В силу леммы 1.2 справедливо неравенство

 
M r
e
q
a
e q

a
r
( )
,
,
(
).
(
)
<
=
+
=
+

+ε
m
m
ε
ε
1

Следовательно, r ≤ q. Окончательно получаем r = q. 
Пусть теперь r = ∞, покажем, что и q = ∞. Если бы q < ∞, то по 
доказанному выше r ≤ q, но это невозможно. Таким образом, для 
любого r, 0 ≤ r ≤ ∞ формула (1.1) доказана. 
Рассмотрим случай, когда функция f(z) имеет конечный порядок r и конечный тип s (0 < r < ∞, s < ∞).
Из определения порядка и типа функции вытекает неравенство
 
M(r) < exp[(s + ε)rr],   r ≥ r0(ε),  ε > 0.
По лемме 1.1 имеем оценку

 
a
e
n
n
n
n
n
<
+




≥
(
)
,
.
s
ε r
r
1

0

Отсюда

 
lim
(
)
.

n
n
n
n
a
e
→∞
≤
1
1
r
r
s r

Обозначим t
r
=
→∞
lim
n
n
n
n
a
1
, тогда

 
a
n
a e
n
a
e
n
n
n
n
<
+
= 



=
=
+
>
>
t
ε
m
m
r
t
ε
r
ε
r

m
r

1

1

0
0
,
,
(
) ,
,
.

В силу леммы 1.2 имеем оценку на M(r):
 
M(r) < exp[(a + ε)rr],   r > r0(ε), 

поэтому

 
s
t
ε
r
s
t
r
t
s r

r
r
r
≤
=
+
≤
≥
a
e
e
e
(
)
,
(
)
.
или
1

Окончательно t = (ser)1/r.
При s = ∞ формула также верна, так как, если при s = ∞, t < ∞, то 
из полученной выше оценки пришли бы к противоречию, т.е. если 
s = ∞, то и t = ∞. 

Убедимся, что, каково бы ни было r, 0 ≤ r ≤ ∞, существуют целые 
функции f(z), порядок которых равен r.

Примеры

1. 0 < r < ∞,   a
n
e
n

n
= 
 

=





1
1
r

s
r .

2. r = 0,   a
n
n

n
n
= 
 

1

ε

,   εn > 0,   εn → 0.

3. r = +∞,   a
n
n

n
n
= 
 

1
ln ,    n > 1.

Покажем, что для любого r, 0 < r < ∞ и любого s, 0 ≤ s ≤ ∞ существуют функции, имеющие порядок r и тип s.

Примеры

1. 0 < s < ∞,   a
e
n
n

n
= 



s r
r
.

2. s = 0,   a
n
n
n

n
= 



1
ln
.

r

3. s = ∞,   a
n
n
n

n
= 



ln
.

r

Задача. Показать, что f z
z
n e z n

n
( ) =
+





=

∞
∏ 1

1

 есть целая функция 

порядка r = 1, тип s = ∞.