Записки горного института, 2020, № 2

 

рецензируемый 
научный журнал 

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
В.С.Литвиненко, д-р техн. наук, профессор, академик Международной академии наук высшей школы, РАЕН, РАГН, МАНЭБ, ректор  
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
 
ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА  
В.Л.Трушко, д-р техн. наук, профессор, академик Международной академии наук высшей школы, РАЕН, РАГН, МАНЭБ,  зав. кафедрой механики 
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)  

РЕДАКЦ ИОННАЯ КОЛЛЕ ГИЯ 

О.Е.Аксютин, д-р техн. наук, чл.-кор. РАН, член правления, начальник департамента (ПАО «Газпром», Москва, Россия) 
А.А.Барях, д-р техн. наук, профессор, академик РАН, директор (Пермский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Пермь, Россия) 
В.Н.Бричкин, д-р техн. наук, зав. кафедрой металлургии (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Л.А.Вайсберг, д-р техн. наук, профессор, академик РАН, председатель Совета директоров и научный руководитель (НПК «Механобр-техника», Санкт-Петербург, Россия) 
С.Г.Гендлер, д-р техн. наук, профессор, академик РАЕН (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
О.М.Ермилов, д-р техн. наук, профессор, академик РАН, РАГН, зам. главного инженера по науке (ООО «Газпром добыча Надым» ПАО «Газпром», Надым, Россия) 
В.П.Зубов, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой разработки месторождений полезных ископаемых (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)
М.А.Иванов, д-р геол.-минерал. наук, профессор (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Г.Б.Клейнер, д-р экон. наук, профессор, чл.-кор. РАН, заместитель директора (Центральный экономико-математический институт РАН, Москва, Россия) 
Ю.Б.Марин, д-р геол.-минерал. наук, профессор, чл.-кор. РАН, президент (ООО «Российское минералогическое общество», Санкт-Петербург, Россия) 
С.С.Набойченко, д-р техн. наук, профессор, чл.-кор. РАН, заслуженный деятель науки и техники РФ, зав. кафедрой металлургии цветных металлов  
(Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия) 
М.А.Пашкевич, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой геоэкологии (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)  
Т.В.Пономаренко, д-р экон. наук, профессор, доцент (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
О.М.Прищепа, д-р геол.-минерал. наук, академик РАЕН, зав. кафедрой геологии нефти и газа (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
А.Г.Протосеня, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой строительства горных предприятий и подземных сооружений (Санкт-Петербургский горный университет, 
Санкт-Петербург, Россия) 
М.К.Рогачев, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений (Санкт-Петербургский горный университет, 
Санкт-Петербург, Россия) 
В.Е.Сомов, д-р экон. наук, канд. техн. наук, академик РАЕН, директор (ООО «Кинеф», Кириши, Россия) 
А.Г.Сырков, д-р техн. наук, профессор (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
А.А.Тронин, д-р геол.-минерал. наук, врио директора (Санкт-Петербургский научно-исследовательский центр экологической безопасности РАН, Санкт-Петербург, Россия) 
А.Е.Череповицын, д-р экон. наук, профессор, зав. кафедрой организации и управления (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Я.Э.Шклярский, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой общей электротехники (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
В.А.Шпенст, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой электроэнергетики и электромеханики (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Олег Анцуткин, профессор (Технологический университет, Лулео, Швеция) 
Хал Гургенчи, профессор (Школа горного машиностроения Квинслендского университета, Брисбен, Австралия) 
Анджей Краславски, профессор (Лаппеенрантский технологический университет, Лаппеенранта, Финляндия) 
Эдвин Кроке, д-р наук, профессор (Институт неорганической химии Фрайбергской горной академии, Фрайберг, Германия) 
Павел Власак, профессор, зав. кафедрой механики жидкостей и дисперсных сред (Институт гидродинамики Чешской академии наук, Прага, Чехия) 
Габриэль Вейсс, д-р наук, профессор, проректор по научной и исследовательской деятельности (Технический университет, Кошице, Словакия) 
 

Журнал индексируется Scopus, Web of Science Core Collection (ESCI), DOAJ

 

Журнал включен в базу данных РИНЦ  Научной электронной библиотеки http://elibrary.ru 

и в международную реферативную базу данных GeoRef 

 

Журнал включен Высшей аттестационной комиссией РФ в действующий Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, 

 в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук 

 

Разделы

•Геология    •Горное дело    • Нефтегазовое дело    • Металлургия и обогащение    • Электромеханика и машиностроение 

•Геоэкология и безопасность жизнедеятельности    •Геоэкономика и менеджмент  

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • 2020 

У ч р е д и т е л ь  С а н к т - П е т е р б у р г с к и й  г о р н ы й  у н и в е р с и т е т

Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-70453 от 20.07.2017
Лицензия ИД № 06517 от 09.01.02

Редакция:  начальник РИЦ В.Л.Лебедев;  редакторы:  Е.С.Дрибинская, М.Г.Хачирова 

Компьютерная верстка:  В.И.Каширина,  Н.Н.Седых 

 

Издаются
с 1907 года 

ISSN 2411-3336

е-ISSN 2541-9404 

Подписной индекс в каталоге агентства

«Роспечать» 18067 

Адрес учредителя и редакции: 21-я линия, 2, Санкт-Петербург, Россия, 199106 
Тел. +7 (812) 328-8416;        факс +7 (812) 327-7359;  
Е-mail: pmi@spmi.ru              Сайт журнала: pmi.spmi.ru 

 Санкт-Петербургский горный университет, 2020 

Подписано к печати 24.04.2020. Формат 60  84/8. Уч.-изд.л. 30. 
Тираж 300 экз.  Заказ 302.  Отпечатано в РИЦ СПГУ. 
Цена свободная. 

 

 

Содержание
 

132

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 132 

СОДЕРЖАНИЕ  

 

Геология 

 

Войтеховский Ю.Л., Захарова А.А. Петрографические структуры и равновесия Харди –

Вайнберга............................................................................................................................................    133 

Идиль Плашини Луфуанди Матондо, Иванов М.А. Состав и вероятный коренной источник 

колумбита из аллювиальных отложений района Маюко (Республика Конго).................................    139 

Яценко И.Г., Скублов С.Г., Левашова Е.В., Галанкина О.Л., Бекеша С.Н. Состав сферул  

и нижнемантийных минералов, изотопно-геохимическая характеристика циркона из вулканогенно-
обломочных фаций лампроитовой трубки Мрия....................................................................    150 

 

Нефтегазовое дело 

 

Бахтизин Р.Н., Зарипов Р.М., Коробков Г.Е., Масалимов Р.Б. Оценка влияния внутреннего 

давления, вызывающего дополнительный изгиб трубопровода .......................................................    160 

Рогов Е.А. Исследование проницаемости призабойной зоны скважин при воздействии тех-

нологическими жидкостями...............................................................................................................    169 

Табатабаи Моради С.Ш., Николаев Н.И., Николаева Т.Н. Разработка составов буферных 

жидкостей и тампонажных растворов для крепления скважин в условиях высоких температур .....     174 

Чернышов С.Е., Галкин В.И., Ульянова З.В., Дэвид Иаин Макферсон Макдоналд. Раз-

работка математических моделей управления технологическими параметрами тампонажных 
растворов ............................................................................................................................................    179 

 

Металлургия и обогащение 

 

Алексеев В.И., Барахтин Б.К., Жуков А.С. Химическая неоднородность как фактор по-

вышения прочности сталей, изготовленных по технологии селективного лазерного плавления....    191 

Белова Т.П., Ратчина Т.И. Исследование сорбции лития катионитом КУ-2-8 из модель-

ных растворов, имитирующих геотермальные теплоносители в динамическом режиме................    197 

Иваник С.А., Илюхин Д.А. Флотационное выделение элементарной серы из золотосодер-

жащих кеков........................................................................................................................................    202 

Курдюмов В.Р., Тимофеев К.Л., Мальцев Г.И., Лебедь А.Б. Сорбционное извлечение ионов 

никеля (II) и марганца (II) из водных растворов................................................................................    209 

Федотов П.К., Сенченко А.Е., Федотов К.В., Бурдонов А.Е. Исследования обогатимости 

сульфидных и окисленных руд золоторудных месторождений Алданского щита ..........................    218 

 

Электромеханика и машиностроение 

 

Иванов С.Л., Иванова П.В., Кувшинкин С.Ю. Оценка наработки карьерных экскаваторов 

перспективного модельного ряда в реальных условиях эксплуатации ............................................    228 

Шишлянников Д.И., Трифанов М.Г., Трифанов Г.Д. Оценка нагруженности приводов 

комбайнов «Урал-20Р» при двухстадийной разработке забоя..........................................................    234 

 

Геоэкономика и менеджмент 

 

Юрак В.В., Душин А.В., Мочалова Л.А. Против устойчивого развития: сценарии будущего..    242 
Кречманн Ю., Плиен М., Тхи Хоаи Нга Нгуен, Рудаков М. Эффективное наращивание 

потенциала в горном деле за счет обучения, расширяющего возможности в области управления 
охраной труда .....................................................................................................................................    248 

 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 
Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

133

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

УДК 552.122 

 

Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

 
Ю.Л.ВОЙТЕХОВСКИЙ, А.А.ЗАХАРОВА  
Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия 

 

Статья посвящена наиболее описательному разделу современной петрографии – определению, клас-

сификации и номенклатуре петрографических структур. Предложен математический формализм, использующий 
теорию квадратичных форм (с перспективным расширением на алгебраические формы третьего и 
четвертого порядков) и статистики бинарных (соответственно, тернарных и куотернарных) межзерновых 
контактов в полиминеральной горной породе. Он позволяет построить полную классификацию петрографических 
структур с границами, отвечающими равновесиям Харди – Вайнберга.  

Алгебраическое выражение петрографической структуры – каноническая диагональная форма симмет-

рической матрицы вероятностей бинарных межзерновых контактов в горной породе. Каждой петрографической 
структуре однозначно сопоставляется структурная индикатриса – центральная квадратичная поверхность 
в n-мерном пространстве, где n – число минералов, слагающих горную породу. Структурная индикатриса – 
аналог коноскопической фигуры, используемой для оптического распознавания минералов. Показано, 
что непрерывность изменения организации горных пород (то есть вероятностей различных межзерновых 
контактов) не противоречит резкому изменению структуры на границах классификации. Тем самым решена 
задача, казавшаяся неразрешимой А.Харкеру и Е.С.Федорову.  

Методика применена для описания структур гранитов Салминского плутона (Карелия) и массива Ак-

жайляу (Казахстан) и потенциально применима для расчленения монотонных толщ, корреляции разрезов – 
везде, где нужна однозначная, воспроизводимая диагностика петрографических структур. Важная перспективная 
задача метода – извлечение из полученной диагностики генетической информации. 

 
Ключевые слова: горная порода; петрографическая структура; квадратичная форма; структурная инди-

катриса; классификация; номенклатура 

 
Как цитировать эту статью: Войтеховский Ю.Л. Петрографические структуры и равновесия Харди – 

Вайнберга / Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова // Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138. 
DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 
 
 
Введение. Определение структуры горных пород важно для их правильной диагностики и 

реконструкции условий образования. Но категория петрографической структуры сегодня определена 
недостаточно строго, например, в сравнении с кристаллической структурой. В специальных 
словарях [12, 15] приведено множество терминов, характеризующих структуры горных пород. 
Как правило, в них смешаны морфологические и генетические аспекты. Это не позволяет 
построить математическую теорию, исчерпывающую классификацию и соответствующую номенклатуру 
петрографических структур. В создании математической теории своего объекта – 
горной породы – петрография отстает от кристаллографии более чем на сто лет. Более того, бытует 
устойчивое предубеждение против самой возможности такой теории. 

Е.С.Федоров отмечал: «Если принять во внимание, что различные виды структуры зависят 

от внешних условий, имевших место при образовании породы, условий постоянно изменявшихся, 
то станет понятно, как трудно разграничить по структуре типы пород, происшедших из одной 
и той же или близких по составу магм. Коренное различие между породами есть, конечно, первоначальный 
химический состав; но и этот состав весьма изменчив, и в этом отношении между 
различными породами существуют самые разнообразные переходные ступени, не позволяющие 
резко разграничивать одни типы пород от других. … Легко понять, что при большом разнообразии 
в составе невозможно установить естественной классификации, которая могла бы дать каждой 
породе принадлежащее место» [18, с. 164]. 

О том же писал кембриджский петролог А.Харкер: «Петрология до сих пор не выработала 

никакой философской классификации горных пород. Не может быть создана никакая классификация, 
которая обладала бы определенностью и точностью, найденными в некоторых других областях 
науки. Математически точные законы химии и физики, которые придают индивидуальность 
минеральным видам, не помогают нам в работе со сложными минеральными агрегатами и 
какой-то фундаментальный принцип … еще должен быть найден в петрологии. Горные породы 
различных типов часто связаны непрерывными переходами, так что никакая искусственная клас-

 

 

Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 

 

134

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

сификация с резкими разделительными границами не может истинно представлять факты природы. 
На сегодня, следовательно, наилучшей систематикой является та, которая объединяет, насколько 
это возможно ради удобства описания, горные породы с общими свойствами, в первую 
очередь имея в виду те свойства, которые наиболее прямо зависят от важных генетических условий. 
Использованная ниже группировка должна рассматриваться скорее как одно из соглашений, 
чем как принцип» (пер. авт.) [20, с. 20]. При этом «ниже использована» вполне современная 
классификация горных пород. 

Отношение к ситуации постепенно меняется: «Сколь бы разнообразными ни казались кар-

тируемые в различных регионах ассоциации горных пород, есть уверенность, что при системном 
подходе они, подобно химическим элементам в таблице Д.И.Менделеева, могут быть естественно 
классифицированы, открыв путь к унификации легенд к геологическим картам нового поколения» [
16, с. 5]. Вопрос в том, что понимать под системным подходом и какой математический 
аппарат использовать. 

Методология. Если под системным подходом при описании петрографических структур 

понимать использование как можно большего числа параметров, то это уже имеет место и является 
скорее недостатком, чем достоинством. Причина ясна – весьма разные морфологические 
(идио-, ксеноморфные и др.), масштабные (равно- и неравнозернистые; мелко-, средне-, крупнозернистые 
и др.) и генетические (бластез и др.) характеристики минералов (элементов), слагающих 
горную породу (систему), в стройную теорию не связываются [14, с. 110-121, 283-294]. 
Именно в соответствии с принципами теории систем ранее было предложено при описании организации 
горных пород сместить акцент с морфометрических характеристик минералов на статистику 
отношений их контактирования [3, 5, 7]. 

Организацию n-минеральной горной породы предложено выражать алгебраическим соот-

ношением: 

m
m

n

j
i

pij
j
i

1
,

   



,1
...

...

...
...
...
...

...

...

...

2

1

2
1

2
22
21

1
12
11

2
1










































m

m
m

p
p
p

p
p
p

p
p
p

m
m
m

n
nn
n
n

n

n

n

 

 

выявляющим фундаментальную роль симметрической матрицы [Pij] вероятностей (частот) pij 
различных межзерновых контактов mimj минералов mi и mj. Одновременно оно задает в пространстве (
m1, …, mn) невырожденные центральные квадратичные поверхности (n-мерные эллипсоиды 
и гиперболоиды) – структурные индикатрисы горных пород. 

Математическое выражение петрографической структуры – каноническая диагональная 

форма [Dii] матрицы [Pij], определяющая тип структуры знаками коэффициентов dii. Вещественная 
симметрическая матрица всегда приводима к диагональному виду невырожденным преобразованием [
Dii] = [Qij] [Pij] [Qij]–1, соответствующим вращению структурной индикатрисы в пространстве (
m1, …, mn) и приведению к главным осям [9, 19]. Номенклатура петрографической 
структуры 
m
n
S  означает, что среди коэффициентов dii ровно m положительных.  

Итак, непрерывное изменение вероятностей pij различных межзерновых контактов (органи-

зации горной породы) не противоречит резкому изменению типа структурной индикатрисы (петрографической 
структуры). По индикатрисам строится полная классификация петрографических 
структур, с которой строго связана их номенклатура. Представляется, что предложенная методология 
следует системному подходу и хотя бы отчасти разрешает сомнения Е.С.Федорова и 
А.Харкера. Теория использована для расчленения монотонного разреза габбро-норитов Федоро-
во-Панского интрузива на Кольском полуострове [4, 6, 8]. Представляем новые приложения теории 
и необходимые дополнения к ней. 

Граниты Салминского плутона, Карелия. Важной проблемой геологии является разра-

ботка методики картирования гранитоидных интрузий [16]. В части описания и сравнения петрографических 
структур рассмотрим граниты Салминского плутона [2]. В них различены пять минеральных 
фаз (рис.1): кварц (желтый), плагиоклаз (голубой), K-Na полевой шпат (красный), 
биотит (грязно-зеленый) и акцессории (фиолетовый). Различаются ли петрографические структуры 
в двух шлифах? 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 
Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

135

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В обоих случаях матрицы [Pij] приводятся к диагональному виду, отвечающему структуре 
2
5
S . 

Структурная индикатриса – трехполостный гиперболоид в пространстве (m1, …, m5). Индексы 
соответствуют строкам и столбцам матриц и означают: 1 – кварц, 2 – плагиоклаз, 3 – K-Na полевой 
шпат, 4 – биотит, 5 – акцессории. Таким образом, оба образца относятся к одному структурному 
типу, хотя их организация, фиксируемая всей совокупностью вероятностей pij межзерновых 
контактов, различна (типизация структуры не требует пересчета чисел межзерновых контактов 
на вероятности): 

 

;

2
5,3
5,3
5,3
5,
10

5,3
1
5,1
5,2
7

5,3
5,1
46
5,
49
5,
106

5,3
5,2
5,
49
35
5,
87

5,
10
7
5,
106
5,
87
164

2
5
S


























































 

 

.

0
5,2
5,2
2
5,4

5,2
5
5,
17
15
5,
21

5,2
5,
17
105
5,
102
182

2
15
5,
102
53
98

5,4
5,
21
182
98
148

2
5
S


























































 

 

Анализ шлифов может быть продолжен, поскольку акцессории и биотит составляют в гра-

ните весьма малую долю. Применим метод вычитания акцессориев [7], поочередно удаляя их из 
рассмотрения, то есть убирая соответствующие строки и столбцы из матриц [Pij]. В обоих случаях 
получаем тип структуры 
2
4
S , индикатриса – двуполостный гиперболоид в пространстве  

(m1, …, m4): 

 

;

1
5,1
5,2
7

5,1
46
5,
49
5,
106

5,2
5,
49
35
5,
87

7
5,
106
5,
87
164

2
4
S
















































 

 

.

5
5,
17
15
5,
21

5,
17
105
5,
102
182

15
5,
102
53
98

5,
21
182
98
148

2
4
S
















































 

Рис.1. Среднезернистый питерлит (а) и порфировидный микроклин-альбитовый гранит (б),  

основная масса без порфировых вкрапленников. Размер по вертикали 1 см 

а 
б 

 

 

Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 

 

136

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

Но без биотита получаем структуры 
1
4
S  и 
2
4
S . Индикатрисы – трехполостный и двуполост-

ный гиперболоиды в пространстве (m1, …, m4):  

 

;

2
5,3
5,3
5,
10

5,3
46
5,
49
5,
106

5,3
5,
49
35
5,
87

5,
10
5,
106
5,
87
164

2
4
S
















































 

 

.

0
5,2
2
5,4

5,2
105
5,
102
182

2
5,
102
53
98

5,4
182
98
148

1
4
S
















































 

 

Вместе с предыдущим результатом это означает, что в одном петрографическом шлифе  

(рис.1, а) акцессории и биотит образуют статистически эквивалентные срастания, в другом  
(рис.1, б) – разные. Без акцессориев и биотита основная (каркасообразующая) часть изучаемых гранитов 
имеет структуру 
1
3
S , индикатриса – двуполостный гиперболоид в пространстве (m1, m2, m3): 

 

;

46
5,
49
5,
106

5,
49
35
5,
87

5,
106
5,
87
164

1
3
S










































 

 

.

105
5,
102
182

5,
102
53
98

182
98
148

1
3
S










































 

 

Таким образом, предложенная методология типизации петрографических структур по стати-

стикам межзерновых контактов позволяет выявлять даже тонкие особенности организации горных 
пород. Это позволяет применять ее для картирования гранитоидных интрузий. Рутинные 
алгебраические операции с как угодно большими матрицами компьютеризованы. 

Граниты массива Акжайляу, Казахстан. Массивные текстуры весьма распространены в 

горных породах преимущественно магматического генезиса. Они означают беспорядочное про-

странственное распределение породообразующих 
минералов в отличие от текстур слоистых, 
полосчатых, пятнистых. Но всегда ли беспорядочное 
пространственное распределение отвечает 
идеальному перемешиванию минералов? Для 
проверки гипотезы был взят гранит массива Ак-
жайляу (рис.2).  

В качестве математической модели, отве-

чающей идеальному перемешиванию минералов, 
принято равновесие Харди – Вайнберга [10; 11, 
с. 126-128]. Применительно к нашей задаче это 
означает следующее. Если р и q – частоты (вероятности) 
минералов А и В (в условной записи  
рА + qB = 1), то равновесные частоты их контактов 
АА, АВ (то же, что и ВА) и ВВ в горной породе 
могут быть рассчитаны по формуле 

 

(рА + qB)2 = p2 AA + 2pq AB + q2 BB = 1. 

 

Рис.2. Типизированная физиография гранита массива  

Акжайляу [1]. Серый – кварц, белый – полевые шпаты, 

не показаны слюды и амфиболы.  
Полированный штуф, 15 × 10 см 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 
Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

137

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

Оценка отклонения от равновесных частот – стандартная статистическая задача. Формула 

Харди – Вайнберга очевидным образом обобщается по числу слагаемых на полиминеральные 
горные породы 

(p1A1 + … + pnAn)2 = ∑ pij AiAj = 1, где i, j = 1, …, n. 

 

Теоретически и практически важно, что она обобщается по степеням на:  
• тернарные 

 

(p1A1 + … + pnAn)3 = ∑ pijk AiAjAk = 1, где i, j, k = 1, …, n; 

 

• куотернарные межзерновые контакты 

 

(p1A1 + … + pnAn)4 = ∑ pijkl AiAjAkAl = 1, где i, j, k, l = 1, …, n. 

 

Изучение петрографических структур и текстур следовало бы выполнять в 3D. Анализ в 2D 

(в шлифе, полировке) оправдывается лишь тем, что их классификация и номенклатура сформировались 
по наблюдениям в 2D. Вывести статистику куотернарных контактов минеральных зерен 
в горной породе сегодня технически невозможно. Стыки четырех зерен в петрографический 
шлиф не попадают. Но статистика их тернарных (тройных) контактов в n-минеральных горных 
породах может быть найдена в шлифах.  

Тернарные контакты. Использование куотернарных и даже тернарных межзерновых кон-

тактов на практике интересно тем, что получаемая классификация петрографических структур 
гораздо обширнее, чем в случае бинарных контактов. Следует ожидать, что в этом случае через 
статистику межзерновых контактов выявляются и типизируются все более тонкие детали организации 
горных пород. 

Для гранита Акжайляу вероятности зерен кварца и полевого шпата в шлифе (208 и 428 в на-

туральном выражении) р1 = 0,327 и р2 = 0,673. Расчетные вероятности тернарных контактов, отвечающие 
равновесию Харди – Вайнберга р111 = 0,035, р112 = 0,216, р122 = 0,444, р222 = 0,305. От 
общего числа 1116 тернарных контактов это составляет: 39, 241, 496 и 340. Реальные числа контактов 
подсчитаны в шлифе: 17, 211, 490 и 398. Значение непараметрического критерия хи-
квадрат 26,02 значительно превышает пороговое значение в 11,3 для доверительной вероятности 
р = 0,99 и числа степеней свободы df = 3. Таким образом, гипотеза о соответствии массивной текстуры 
изучаемого гранита равновесию Харди – Вайнберга отвергается. Причина – явно пониженные 
частоты р111, р112 и завышенные р222. 

Особенность ситуации состоит в том, что даже в случае соответствия подсчитанных вероят-

ностей теоретическим (т.е. реальной текстуры – равновесию Харди – Вайнберга) вывод о соответствии 
делается с некоторой вероятностью. Подсчитанные вероятности всегда отличаются от 
равновесных. Равновесия Харди – Вайнберга определяют классификационные границы в многообразии 
статистически неравновесных ситуаций (в нашем случае – структур горных пород). Для 
их типизации в качестве структурных индикатрис, по аналогии с [3, 5, 7], используем ньютонову 
классификацию кубических кривых на плоскости [17, с. 44-53]. К сожалению, для n > 2 математическая 
теория для целей петрографии не адаптирована [13]. Уравнение искомой кривой 

 

∑ pijk AiAjAk = 1, где i, j, k = 1, …, n 

 

для случая n = 2 (биминеральная горная порода) имеет вид (коэффициенты уравнения – подсчитанные 
в шлифе вероятности тернарных контактов) 

 

0,015 m1

3 + 0,189 m1

2 m2 + 0,439 m1 m2

2 + 0,357 m2

3 = 1 

 

и определяет кривую из двух гиперболических и одной прямолинейной ветвей (рис.3). Это одна 
из двух десятков возможных структурных индикатрис [17], тогда как при описании на основе 
бинарных межзерновых контактов при n = 2 возможны всего две структуры. Исследование 
структурных индикатрис 3-го порядка хотя бы для n = 3 (триминеральных горных пород) методами 
компьютерного моделирования – перспективное развитие теории. 

 

 

Ю.Л.Войтеховский, А.А.Захарова 
Петрографические структуры и равновесия Харди – Вайнберга 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.133 

 

138

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 133-138  ● Геология 

Заключение. Таким образом, предложенная методо-

логия позволяет построить полную классификацию и номенклатуру 
петрографических структур по статистикам 
бинарных (для полиминеральных) и тернарных (для би-
минеральных горных пород) межзерновых контактов. 

Непрерывное изменение организации (вероятностей 

межзерновых контактов) горной породы не противоречит 
резкому изменению ее структуры на классификационных 
границах, отвечающих равновесиям Харди – Вайнберга. 

Соответствие петрографических структур тем или 

иным состояниям (например, равновесиям Харди –
Вайнберга) проверяется статистическими критериями и 
отражает их вероятностную природу. Горная порода – 
реализация пространственно распределенной случайной 
функции исходного поля концентраций, условий и механизмов 
кристаллизации. 

Изучение петрографических структур и текстур следует выполнять в 3D. Анализ в 2D оправ-

дывается лишь тем, что их классификация и номенклатура сформировались тоже по наблюдениям 
в двухмерном пространстве. Но эта ситуация обнажает проблему стереологической реконструкции 
любых параметров. 

Авторы благодарят канд. геол.-минерал. наук Д.А.Петрова (кафедра минералогии, кри-

сталлографии и петрографии Санкт-Петербургского горного университета) за обсуждение 
результатов. 

 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1. Бескин С.М. Редкометалльные гранитовые формации / С.М.Бескин, В.Н.Ларин, Ю.Б.Марин. Л.: Недра, 1979. 280 с. 
2. Бескин С.М. Строение Питкярантского гранитного массива в Северном Приладожье, Карелия / С.М.Бескин, 

Э.Н.Лишневский, М.И.Диденко // Известия АН СССР. Серия геологическая. 1983. № 3. С. 19-26. 

3. Войтеховский Ю.Л. К проблеме организации горных пород // Известия высших учебных заведений. Геология и раз-

ведка. 1991. № 10. C.34-39. 

4. Войтеховский Ю.Л. К методике прогнозирования платиноносности пород Федорово-Панского интрузива по харак-

теру их организации // Записки Горного института. 1993. Т.137. С. 49-56. 

5. Войтеховский Ю.Л. Приложение теории квадратичных форм к проблеме классификации структур полиминераль-

ных горных пород // Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 1995. № 1. С. 32-42. 

6. Войтеховский Ю.Л. О структуре платиноносного Федорово-Панского интрузива: к методике прогнозирования ору-

денения // Записки Горного института. 1997. Т.143. С. 93-100. 

7. Войтеховский Ю.Л. Количественный анализ петрографических структур: метод структурной индикатрисы и метод 

вычитания акцессориев // Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2000. № 1. С. 50-54. 

8. Войтеховский Ю.Л. Использование статистических методов для расчленения разреза Федорово-Панского интрузива / 

Ю.Л.Войтеховский, П.В.Припачкин // Отечественная геология. 2001. № 2. С. 48-52. 

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с. 
10. Коренева Л.Г. Генетика и математика // Математика и естествознание. М.: Просвещение, 1969. С. 326-383. 
11. Лайтхилл Дж. Новые области применения математики / Дж.Лайтхилл, Р.У.Хиорнс, С.Х.Холлингдейл. Минск: 

Вышэйшая школа, 1981. 496 с. 

12. Левинсон-Лессинг Ф.Ю. 
Петрографический 
словарь 
/ 
Ф.Ю.Левинсон-Лессинг, 
Э.А.Струве; 
под 
ред. 

Г.Д.Афанасьева, В.П.Петрова, Е.К.Устиева. М.: Госгеолтехиздат, 1963. 448 с. 

13. Манин Ю.И. Кубические формы: алгебра, геометрия, арифметика. М.: Наука, 1972. 304 с. 
14. Марин Ю.Б. Петрография. СПб.: Национальный минерально-сырьевой университет «Горный», 2015. 408 с. 
15. Петрографический словарь / Под ред. О.А.Богатикова, В.П.Петрова, Р.П.Петрова. М.: Недра, 1981. 496 с. 
16. Принципы расчленения и картирования гранитоидных интрузий и выделения петролого-металлогенических вари-

антов гранитоидных серий / Г.Л.Добрецов, Ю.Б.Марин, С.М.Бескин, С.А.Лесков. СПб: Изд-во ВСЕГЕИ, 2007. 80 с. 

17. Савелов А.А. Плоские кривые: систематика, свойства, применения. Москва – Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотиче-

ская динамика», 2002. 294 с. 

18. Федоров Е.С. Основания петрографии. СПб.: Типография П.П.Сойкина, 1897. 236 с. 
19. Шмидт Р.А. Алгебра. Ч. 2. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2011. 160 с. 
20. Harker A. Petrology for students. Cambridge: Cambridge University Press, 1908. 336 p. 

 

Авторы: Ю.Л.Войтеховский, д-р геол.-минерал. наук, профессор, Voytekhovskiy_YuL@pers.spmi.ru (Санкт-

Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия), А.А.Захарова, аспирант, zakharova.alena27614@gmail.com 
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия). 

Статья поступила в редакцию 29.07.2019. 
Статья принята к публикации 15.11.2019. 

 

Рис.3. Структурная индикатриса 3-го порядка 

гранита массива Акжайляу 

0 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.139 
И.П.Луфуанди Матондо, М.А.Иванов 
Состав и вероятный коренной источник колумбита… 

139

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 139-149  ● Геология 

УДК 553.078 
 

Состав и вероятный коренной источник колумбита  

из аллювиальных отложений района Маюко (Республика Конго)  

 

И.П.ЛУФУАНДИ МАТОНДО, М.А.ИВАНОВ   
Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия  
 

Представлены результаты оптического, электронно-микроскопического и электронно-зондового изуче-

ния минералов подгруппы колумбита, пробы которых были получены в процессе шлихового опробования аллювиальных 
отложений района Маюко (Республика Конго). Исследования нацелены на выяснение природы 
коренного источника тантало-ниобатов в этом регионе. Установлено, что указанные минералы в рыхлых 
отложениях представлены двумя гранулометрическими группами зерен: менее 1,6 мм (мелкая фракция) и  
1,6-15 мм (крупная фракция). Зерна обеих фракций относятся преимущественно к колумбиту-(Fe), реже к колумбиту-(
Mn), танталиту-(Mn) и танталиту-(Fe), содержат примеси Sc, Ti, W. Кристаллы микрозональны (зоны 
роста незначительно различаются Ta/Nb отношением), насыщены минеральными включениями и прожилками, 
в которых определены циркон, минералы группы пирохлора и другие. Для колумбита-(Fe) и колумбита-(Mn) 
характерно повышенное содержание Ta2O5 вплоть до перехода к танталиту-(Fe) и танталиту-(Mn), что позволяет 
исключить из рассмотрения в качестве их коренного источника в районе Маюко породы формации субщелочных 
редкометалльных гранитов и их метасоматитов (альбититов и грейзенов) и карбонатиты, а рассматривать в 
качестве вероятного коренного источника берилловые и комплексные сподуменовые редкометалльные пегматиты 
смешанного петрогенетического семейства LCT-NYF (по П.Черни). Результаты проведенных исследований 
важно учитывать при разработке методики проведения поисковых работ в данном районе. 

 
Ключевые слова: минералы подгруппы колумбита; колумбит-(Fe) – ферроколумбит; колумбит-(Mn) – 

манганоколумбит; танталит-(Mn) – манганотанталит и танталит-(Fe) – ферротанталит; аллювиальные россыпи; 
коренной источник минералов; редкометалльные пегматиты; район Маюко; Республика Конго 

 
Как цитировать эту статью: Луфуанди Матондо И.П. Состав и вероятный коренной источник ко-

лумбита из аллювиальных отложений района Маюко (Республика Конго) / И.П.Луфуанди Матондо, 
М.А.Иванов // Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 139-149. DOI: 10.31897/PMI.2020.2.139 

 
 

Введение. В 1945 г. в районе Маюко, расположенном на юго-западе Республики Конго, во 

время разработки золотоносных россыпей в тяжелой фракции аллювиальных отложений современных 
речных долин наряду с золотом были обнаружены зерна колумбита*. С тех пор какие-
либо данные о коренном источнике этого тантало-ниобиевого минерала в материалах геологических 
организаций Республики Конго, а также в научной литературе не появились. Эта находка 
уже давно обращает на себя внимание в связи с проблемой поисков месторождений редких металлов, 
стоящей перед геологической службой Республики Конго. Крупные месторождения 
ниобия и тантала на африканском континенте известны на соседних территориях со сходным 
геологическим строением – в Демократической Республике Конго, Руанде и других странах. Поэтому 
результаты исследований, представленные в данной статье, отвечают вполне актуальной 
задаче по определению природы вероятного коренного источника этого весьма ценного минерального 
сырья и учету этих данных при выборе оптимальной методики поисковых работ в данном 
районе. 

В основу проведенных исследований положены результаты гранулометрии, изучения хими-

ческого состава и неоднородности зерен колумбита в десяти шлиховых пробах, которые были 
получены в процессе опробования аллювиальных отложений и маршрутного изучения района.  

Расположение и геология района Маюко. Район Маюко находится в департаменте Ниари 

в зоне тропических лесов, покрывающих гранитоидный массив Шайю. Этот массив входит в состав 
кратона Конго и прослеживается на территориях как Республики Конго, так и соседнего Габона. 
В геологическом отношении этот массив изучен слабо. Маршрутные исследования Коссона 
(Сosson), Девигна (Devigne), Доннота (Donnot), Буоно (Boineau), Николини (Nicolini), Новикофф 

                                                   
* Под колумбитом в данной статье понимаются следующие минеральные виды группы колумбита – эвксенита под-

группы колумбита: колумбит-(Fe) – ферроколумбит, колумбит-(Mn) – манганоколумбит, танталит-(Mn) – манганотанталит 
и танталит-(Fe) – ферротанталит (в соответствии с современной классификацией минералов, принятой Международной 
минералогической ассоциацией). 

 

 

И.П.Луфуанди Матондо, М.А.Иванов 
Состав и вероятный коренной источник колумбита… 

DOI: 10.31897/PMI.2020.2.139 

 

140

Записки Горного института. 2020. Т. 242. С. 139-149  ● Геология 

(Novikoff) и Кесси (Kessi), изложенные в геологическом отчете N.Watha-Ndoudy*, позволили 
оконтурить этот массив и построить схематичную геологическую карту. Установлено, что в его 
пределах широко распространены биотитовые и амфиболовые гранодиориты, кварцевые диориты, 
в меньшей степени чарнокитоиды. Биотитовые разности гранодиорита характеризуются высоким 
содержанием микроклина и кислого плагиоклаза. Возраст пород массива оценивается как 
позднеархейский [10]. 

Поздние фазы проявления гранитоидного магматизма в массиве представлены гранитами – 

равномернокристаллическими и с порфировидными выделениями щелочного полевого шпата. 
Они залегают в виде небольших массивов и жильных тел, сопровождаются дайками аплитов и 
пегматитов [10]. Кроме того, отмечаются тела пикритов, пироксенитов и долеритов*. 

Пегматиты массива Шайю связывают со второй фазой гранитоидного магматизма, пред-

ставленной лейкократовыми гранитами. Пегматиты разделяют на две группы:  

• П1 – залегающие непосредственно в гранитах в виде штоков и жил сложной формы и со-

стоящие из микроклина, кварца, биотита, а также хлорита и гематита*. 

 • П2 – находящиеся в крупных массивах метаморфических пород в виде штоков и жил мощ-

ностью до 10 м преимущественно согласных форм залегания и состоящие из плагиоклаза, мик-
роклина, кварца, биотита и мусковита; второстепенными минералами являются турмалин (шерл) 
и хлорит. Характерны структуры блоковые и графические. Размер индивидов полевых шпатов 
достигает 30 см в поперечнике. В крупно- и гигантокристаллических структурных разновидностях 
этих пород плагиоклаз преобладает над микроклином. В графическом пегматите, наоборот, 
главным минералом является микроклин. Тела пегматитов П2 ассоциируют с кварцевыми 
жилами. 

Породы массива Шайю в нескольких районах перекрыты протерозойскими комплексами 

пород осадочного чехла – конгломератами, аркозовыми песчаниками, аргиллитами, доломитами, 
глинистыми и битуминозными сланцами [10].  

В гранитоидных полях массива Шайю присутствуют массивы метаморфических пород до-

гранитного мигматито-гнейсового комплекса [10], относящиеся к двум зеленокаменным поясам – 
Занага и Маюко. Оба массива находятся на территории Республики Конго. В строении их толщ 
принимают участие амфиболиты, гнейсы, железистые кварциты (итабириты и джеспилиты). 
Массивы этих пород составляют тела, ограниченные в плане со всех сторон тектоническими 
контактами с вмещающими гранитоидами. Подобно ксенолитам, такие тела в плане имеют остроугольную 
форму залегания, но в отличие от обычных ксенолитов характеризуются весьма значительными 
размерами в плане – до 150 км2. Очевидно, что такие образования представляют собой 
части погребенных метаморфических толщ.  

Породы зеленокаменного пояса Маюко представлены амфиболитами, амфиболовыми, био-

титовыми и двуслюдяными гнейсами и железистыми кварцитами. Толща этих пород смята в 
линейные складки северо-восточного простирания и прослеживается в северо-восточном направлении 
в виде полосы длиной 20 км и шириной 5 км. Их возраст оценивается как архейский в 
пределах 3000-3100 млн лет*.  

Считается, что породы Маюко имеют параметаморфический генезис, сформировались в ус-

ловиях амфиболитовой фации регионального метаморфизма, хотя первично осадочное происхождение 
амфиболитов, входящих в их состав, считается недоказанным*.  

Метаморфические породы секутся жильными телами пегматитов П2. Пегматиты П1 выявле-

ны на границе метаморфических пород района Маюко с гранитами массива Шайю в долине реки 
Леую*. 

В практическом отношении район Маюко известен проявлениями железистых кварцитов 

(джеспилитов) и россыпного золота [13]. В речных отложениях известны находки алмаза, корунда, 
ильменита, рутила и хромита. В связи с обнаружением в аллювиальных отложениях минералов 
подгруппы колумбита этот район считается перспективным для поисков коренных месторождений 
руд тантала и ниобия. 

                                                   
* Noël Watha-Ndoudy. Caratéristiques morphologiques et géochimiques des grains d'or: application а la prospection des plac-

ers de Mayoko (Congo).1993. 1993 INPL113N.