Записки горного института, 2019, № 4

 

рецензируемый 
научный журнал 

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР
В.С.Литвиненко, д-р техн. наук, профессор, академик Международной академии наук высшей школы, РАЕН, РАГН, МАНЭБ, ректор  
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
 
ЗАМЕСТИТЕЛЬ ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА  
В.Л.Трушко, д-р техн. наук, профессор, академик Международной академии наук высшей школы, РАЕН, РАГН, МАНЭБ,  зав. кафедрой механики 
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)  

РЕДАКЦ ИОННАЯ КОЛЛЕ ГИЯ 

О.Е.Аксютин, д-р техн. наук, чл.-кор. РАН, член правления, начальник департамента (ПАО «Газпром», Москва, Россия) 
А.А.Барях, д-р техн. наук, профессор, чл.-кор. РАН, директор (Пермский федеральный исследовательский центр УрО РАН, Пермь, Россия) 
В.Н.Бричкин, д-р техн. наук, зав. кафедрой металлургии (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Л.А.Вайсберг, д-р техн. наук, профессор, академик РАН, председатель Совета директоров и научный руководитель (НПК «Механобр-техника», Санкт-Петербург, Россия) 
С.Г.Гендлер, д-р техн. наук, профессор, академик РАЕН (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
О.М.Ермилов, д-р техн. наук, профессор, академик РАН, РАГН, зам. главного инженера по науке (ООО «Газпром добыча Надым» ПАО «Газпром», Надым, Россия) 
В.П.Зубов, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой разработки месторождений полезных ископаемых (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)
М.А.Иванов, д-р геол.-минерал. наук, профессор (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Г.Б.Клейнер, д-р экон. наук, профессор, чл.-кор. РАН, заместитель директора (Центральный экономико-математический институт РАН, Москва, Россия) 
Ю.Б.Марин, д-р геол.-минерал. наук, профессор, чл.-кор. РАН, президент (ООО «Российское минералогическое общество», Санкт-Петербург, Россия) 
С.С.Набойченко, д-р техн. наук, профессор, чл.-кор. РАН, заслуженный деятель науки и техники РФ, зав. кафедрой металлургии цветных металлов  
(Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия) 
М.А.Пашкевич, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой геоэкологии (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия)  
Т.В.Пономаренко, д-р экон. наук, профессор, доцент (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
О.М.Прищепа, д-р геол.-минерал. наук, академик РАЕН, управляющий директор (АО «ВНИГРИ», Санкт-Петербург, Россия) 
А.Г.Протосеня, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой строительства горных предприятий и подземных сооружений (Санкт-Петербургский горный университет, 
Санкт-Петербург, Россия) 
М.К.Рогачев, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторождений (Санкт-Петербургский горный университет, 
Санкт-Петербург, Россия) 
В.Е.Сомов, д-р экон. наук, канд. техн. наук, академик РАЕН, директор (ООО «Кинеф», Кириши, Россия) 
А.Г.Сырков, д-р техн. наук, профессор (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
А.А.Тронин, д-р геол.-минерал. наук, врио директора (Санкт-Петербургский научно-исследовательский центр экологической безопасности РАН, Санкт-Петербург, Россия) 
А.Е.Череповицын, д-р экон. наук, профессор, зав. кафедрой организации и управления (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Я.Э.Шклярский, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой общей электротехники (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
В.А.Шпенст, д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой электроэнергетики и электромеханики (Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия) 
Олег Анцуткин, профессор (Технологический университет, Лулео, Швеция) 
Хал Гургенчи, профессор (Школа горного машиностроения Квинслендского университета, Брисбен, Австралия) 
Волли Калм, доктор наук, ректор (Тартуский университет, Тарту, Эстония) 
Анджей Краславски, профессор (Лаппеенрантский технологический университет, Лаппеенранта, Финляндия) 
Эдвин Кроке, д-р наук, профессор (Институт неорганической химии Фрайбергской горной академии, Фрайберг, Германия) 
Илпо Мутикайнен, научный сотрудник химического факультета (Хельсинский университет, Хельсинки, Финляндия) 
Павел Власак, профессор, зав. кафедрой механики жидкостей и дисперсных сред (Институт гидродинамики Чешской академии наук, Прага, Чехия) 
Габриэль Вейсс, доктор наук, профессор, проректор по научной и исследовательской деятельности (Технический университет, Кошице, Словакия) 
 

Журнал индексируется Scopus, Web of Science Core Collection (ESCI), DOAJ

 

Журнал включен в базу данных РИНЦ  Научной электронной библиотеки http://elibrary.ru 

и в международную реферативную базу данных GeoRef 

 

Журнал включен Высшей аттестационной комиссией РФ в действующий Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, 

 в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук 

 

Разделы

•Геология    •Горное дело    • Нефтегазовое дело    • Металлургия и обогащение    • Электромеханика и машиностроение 

•Геоэкология и безопасность жизнедеятельности    •Геоэкономика и менеджмент  

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ • 2019 

У ч р е д и т е л ь  С а н к т - П е т е р б у р г с к и й  г о р н ы й  у н и в е р с и т е т

Свидетельство о регистрации ПИ № ФС77-70453 от 20.07.2017
Лицензия ИД № 06517 от 09.01.02

Редакция:  начальник РИЦ В.Л.Лебедев;  редакторы:  Е.С.Дрибинская,  И.В.Неверова,  Н.И.Сочивко,  М.Г.Хачирова  

Компьютерная верстка:  В.И.Каширина,  Н.Н.Седых 

 

Издаются
с 1907 года 

ISSN 2411-3336

е-ISSN 2541-9404 

Подписной индекс в каталоге агентства

«Роспечать» 18067 

Адрес учредителя и редакции: 21-я линия, 2, Санкт-Петербург, Россия, 199106 
Тел. +7 (812) 328-8416;        факс +7 (812) 327-7359;  
Е-mail: pmi@spmi.ru              Сайт журнала: pmi.spmi.ru 

 Санкт-Петербургский горный университет, 2019 
Подписано к печати 23.08.2019. Формат 60  84/8. Уч.-изд.л. 26. 
Тираж 300 экз. Заказ 713. С 245. Отпечатано в РИЦ СПГУ. 

 

 

Содержание
 

370

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 370 

СОДЕРЖАНИЕ 

 

Горное дело 

 

Игнатьев С.А., Судариков А.Е., Имашев А.Ж. Современные математические методы  

прогноза условий поддержания и крепления горных выработок .....................................................     371 

Мазуров Б.Т., Мустафин М.Г., Панжин А.А. Метод оценки дивергенции векторных  

полей деформаций земной поверхности при разработке месторождений полезных ископаемых.....    376 

Новиков Е.А., Шкуратник В.Л., Зайцев М.Г. Проявления акустической эмиссии в мерз-

лых грунтах при одновременном влиянии на них переменных механических и термических 
воздействий.........................................................................................................................................    383 

Сидоров Д.В., Потапчук М.И., Сидляр А.В., Курсакин Г.А. Оценка удароопасности при 

освоении глубоких горизонтов Николаевского месторождения.......................................................    392 

Чебан А.Ю. Технология разработки сложноструктурного месторождения апатитов  

и выемочно-сортировочный комплекс для ее осуществления..........................................................    399 

 

Нефтегазовое дело 

 

Белоногов Е.В., Коровин А.Ю., Яковлев А.А. Повышение коэффициента приемистости  

путем динамической отработки нагнетательных скважин................................................................    405 

Галкин С.В., Кочнев А.А., Зотиков В.И. Прогнозная оценка эффективности технологии 

радиального бурения для башкирских эксплуатационных объектов месторождений Пермского 
края ...........................................................................................................................................    410 

Дроздов А.Н., Горбылева Я.А. Совершенствование эксплуатации насосно-эжекторных 

систем при изменяющихся расходах попутного нефтяного газа......................................................    415 

Запорожец Е.П., Шостак Н.А. Расчет эффективности одно- и многокомпонентных анти-

гидратных реагентов...........................................................................................................................    423 

Меньшиков С.Н., Джалябов А.А., Васильев Г.Г., Леонович И.А., Ермилов О.М. Простран-

ственные модели, разрабатываемые с применением лазерного сканирования на газоконденсатных 
месторождениях северной строительно-климатической зоны ..................................................    430 

Симонянц С.Л., Аль Тии М. Стимулирование процесса бурения верхним силовым приводом 

с использованием винтового забойного двигателя............................................................................    438 

Собота И., Маларев В.И., Коптева А.В. Расчет теплопроводности нефтенасыщенных 

песчаных грунтов................................................................................................................................    443 

 

Геоэкономика и менеджмент  

 

Алексеева М.Б., Богачев В.Ф., Горенбургов М.А. Системная диагностика стратегии раз-

вития промышленности Арктики......................................................................................................    450 

Зайцев А.Ю. Методический подход к обоснованию капитальных вложений золоторудных 

месторождений на основе удельных затрат.......................................................................................    459 

Скуфьина Т.П., Баранов С.В., Самарина В.П. Фактические и прогнозные оценки влия-

ния землетрясений на глобальную экономическую систему ............................................................    465 

Уланов В.Л., Уланова Е.Ю. Влияние внешних факторов на национальную энергетическую 

безопасность .......................................................................................................................................    474 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 
С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев 
Современные математические методы прогноза условий поддержания… 

371

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 371-375  ● Горное дело 

УДК 55.681.3 

 

Современные математические методы прогноза  

условий поддержания и крепления горных выработок 

 

С.А.ИГНАТЬЕВ1, А.Е.СУДАРИКОВ1, А.Ж.ИМАШЕВ2  
1 Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия 
2 Карагандинский государственный технический университет, Караганда, Казахстан 

 

Объектом исследования выступают математические методы прогнозирования горного давления для 

разработки рациональных паспортов крепления горных выработок и безопасного ведения добычных работ. 
Целью исследований являлась разработка методики использования современных методов вычислений и программных 
продуктов на основе нейронных сетей для уменьшения разброса факторов, влияющих на устойчивость 
горных выработок, и определение рациональных параметров крепления горных выработок. В работе 
рассмотрен алгоритм исследования геомеханических процессов, состоящий из нескольких этапов. На первом 
этапе предлагается использовать кластерный анализ условий расположения техногенных обнажений, который 
позволяет разделить все многообразие существующих условий заложения горных выработок. Использование 
кластерного анализа дает возможность сначала уменьшить разброс факторов, влияющих на устойчивость 
горных выработок в различных кластерах, а затем разработать и определить рациональные параметры 
крепления горных выработок в каждом кластере. После решения задачи кластерного анализа предлагается 
использовать программы, позволяющие на каждом кластере исследовать геомеханические процессы. На этом 
этапе предлагается применять как стандартные методы (нормативные методики, численное моделирование, 
использование аналогии и т.д.), так и наиболее современные методы – нейронные сети. Представленный в 
работе алгоритм решения задач геомеханики с использованием современных численных методов и пакетов 
прикладных программ на основе нейронных сетей позволит индивидуально подходить к вопросам расчета 
горного давления при меняющихся условиях расположения техногенных обнажений в горном массиве. 

 
Ключевые слова: геомеханика; горное давление; приконтурный массив; нагружение породы; кластер-

ный анализ; зона неупругих деформаций; нейронные сети 

 
Как цитировать эту статью: Игнатьев С.А. Современные математические методы прогноза условий 

поддержания и крепления горных выработок / С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев // Записки Горного 
института. 2019. Т. 238. С. 371-375. DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 
 
 
Введение. Наличие дополнительного давления горных пород на подземные техногенные 

обнажения является одной из главных причин несчастных случаев в шахте. Особенности проявления 
горного давления для своего управления требуют специальных знаний по механике 
сплошных и сыпучих сред, расчету элементов различных технологий отработки, особым способам 
и средствам натурных наблюдений, а также правильной интерпретации наблюдений в пространстве 
и во времени [2]. 

Постановка 
проблемы. 
Возрастание 
глубины 
разработки 
и 
усложнение 
горно-

геологических и горнотехнических условий требуют более надежных методов прогнозирования 
горного давления как для разработки рациональных паспортов крепления горных выработок, так 
и для безопасного ведения добычных работ. Увеличение применения анкерного крепления, по 
сравнению с рамным креплением, предполагает более точный прогноз геомеханических процессов, 
происходящих вокруг горных выработок. Существующие нормативные методики прогноза 
не всегда могут отразить многообразие факторов, оказывающих решающее влияние на проявления 
горного давления.  

Применяемые математические методы моделирования позволяют с большей точностью учи-

тывать многообразие различных факторов, от которых зависят проявления горного давления вокруг 
выработок [7]. Однако в большинстве случаев данные методы требуют настройки или адаптации 
программы под конкретные условия горного предприятия что, в свою очередь, усложняет 
их использование. Применение математических методов также сдерживается из-за существенной 
неоднородности горного массива на различных локальных участках. 

Методология. Определение напряженно-деформированного состояния (НДС) приконтурно-

го массива вокруг полости любой формы не представляет трудности в случае применения специализированных 
математических программ и современной компьютерной техники. Наибольшую 
сложность после определения НДС представляет нахождение зоны неупругих деформаций 

 

 

С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев 
Современные математические методы прогноза условий поддержания… 

DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 

 

372

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 371-375  ● Горное дело 

(ЗНД) или зоны разрушения вокруг полости определенной формы, которая и определяет горное 
давление. Эта зона служит основанием для разработки параметров крепления горной выработки. 
Трудность с определением главного фактора разрушения горной породы, несовпадение условий 
нагружения породы в массиве и при испытании образцов на прочность, масштабный эффект и 
природное изменение физико-механических свойств на разных участках исследуемого массива 
иногда сводят на нет сложные математические расчеты НДС массива.  

Здесь мы приходим к противоречию: методами сопротивления материалов и строительной 

механики можно провести точный расчет несущей способности крепи горной выработки только 
в случае знания величины и характера ее нагружения. Поскольку невозможно точно определить 
нагрузки на крепи при проявлении горного давления и характер нагружения, нельзя провести 
точный инженерный расчет горных конструкций, что приводит или к неоправданному завышению 
коэффициента надежности таких конструкций и перерасходу материалов крепи или к разрушению 
крепи, зачастую связанную с человеческими жертвами. 

В силу неопределенности и невозможности точного определения нагрузок решение задач 

такого типа не всегда должно начинаться с расчетов на прочность. Первоначально необходимо 
упорядочить условия заложения горных выработок с использованием математических методов, а 
затем разрабатывать более конкретные инженерные решения.  

Такой подход используется в экономических системах. Турбулентность внешней среды со-

временной мировой экономики не позволяет решать экономические задачи однозначно, как инженерные. 
Здесь на конечные экономические показатели оказывает влияние слишком большое 
число факторов. Еще в начале прошлого века математиками были разработаны методы (эконометрический 
анализ), помогающие определять наиболее существенное влияние внешней среды 
на тот или иной экономический показатель [8]. Развитие информационных технологий позволило 
резко упростить многие сложные математические вычисления, что сделало возможным применение 
математического аппарата широким кругом исследователей.  

Использование корреляционно-регрессионного анализа, построение парных и множествен-

ных линейных моделей при исследовании геомеханических процессов встречается в большинстве 
диссертационных работ и научных исследований в горном деле. Применение этих методик 
всегда ограничено конкретными условиями, для которых проводились исследования, хотя следует 
отметить, что данные методы позволяют в некоторых случаях использовать простые математические 
зависимости для моделирования сложных процессов в массиве. 

Более сложным и трудоемким можно назвать процесс исследований, применяющий более 

современные методы вычисления и более современные программные продукты. В этом случае на 
первом этапе проводится кластерный анализ условий расположения техногенных обнажений, 
дающий возможность разделить все многообразие существующих условий заложения горных 
выработок. На втором и последующих этапах предлагается применение программ, позволяющих 
обнаружить связь между природными факторами и параметрами крепления выработок (такая 
связь может быть найдена с использованием как самых простых корреляционных моделей, так и 
современных нейросетей). Предлагаемая методика позволит сначала уменьшить разброс факторов, 
влияющих на устойчивость горных выработок в различных кластерах, а затем разработать и 
определить рациональные параметры крепления горных выработок в каждом кластере. 

В отличие от задач классификации, кластерный анализ не требует априорных предположе-

ний о наборе данных, не накладывает ограничения на представление исследуемых объектов, позволяет 
анализировать показатели различных типов данных (интервальные данные, частоты, бинарные 
данные). При этом необходимо помнить, что переменные должны измеряться в сравнимых 
шкалах. 

Кластерный анализ позволяет сократить количество данных для моделирования [5]. Задачи 

кластерного анализа можно объединить в следующие группы: разработка типологии или классификации; 
исследование полезных концептуальных схем группирования объектов; представление 
гипотез на основе исследования данных; проверка предположения, что типы, выявленные различными 
способами кластерного анализа, должным образом отображены в имеющихся данных. 
Как правило, при практическом применении кластерного анализа возможно комплексное решение 
одной или несколько из указанных задач. 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 
С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев 
Современные математические методы прогноза условий поддержания… 

373

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 371-375  ● Горное дело 

Размер кластера может быть определен либо по радиусу кластера, либо по среднеквадратич-

ному отклонению объектов для этого кластера. Объект относится к кластеру, если расстояние от 
объекта до центра кластера меньше радиуса кластера. Если это условие выполняется для двух и 
более кластеров, объект является спорным. Неоднозначность данной задачи может быть устранена 
экспертом или аналитиком. 

Кластерный анализ опирается на два основных предположения: 1) выявленные признаки 

объекта должны допускать разбиение некоторой совокупности объектов на кластеры; 2) правильность 
выбора должного масштаба или необходимых единиц величин, отражающих признаки 
объекта (в некоторых случаях требуется применение стандартизованных величин). 

После решения задачи кластерного анализа должна быть задействована программа, позво-

ляющая на каждом кластере исследовать геомеханические процессы. В этом случае мы приходим 
или к стандартным методам, которые используются в горном деле (нормативные методики, 
численное моделирование, метод аналогии и т.д.), или к наиболее современному методу, получившему 
в настоящее время большое распространение, – нейронным сетям (НС) [6]. 

Широкий круг задач, решаемых НС, не позволяет в настоящее время создавать универсаль-

ные, мощные сети, вынуждая разрабатывать специализированные НС, функционирующие по 
различным алгоритмам. Несмотря на существенные различия, отдельные типы НС обладают несколькими 
общими чертами. 

В основе каждой НС лежат достаточно простые и однотипные элементы, имитирующие ра-

боту нейронов мозга [1]. Под нейроном подразумевается искусственный нейрон, который и есть 
ячейка НС. Каждый нейрон как аналог нервных клеток головного мозга, которые могут быть 
возбуждены, характеризуется своим текущим состоянием. Он обладает группой однонаправлен-
ных входных связей, соединенных с выходами других нейронов, а также имеет аксон – выходную 
связь, с которой сигнал (возбуждения или торможения) поступает на синапсы следующих 
нейронов. Итак, к общим чертам, присущим всем НС, следует отнести принцип параллельной 
обработки всех поступающих сигналов, который достигается путем объединения достаточно 
большого числа нейронов в специфические слои и слияния определенным образом нейронов 
различных созданных слоев. 

Число слоев и нейронов в каждом слое может быть любым, однако по факту оно ограничено 

техническими возможностями компьютера (память, частота процессора и т.д). Чем сложнее НС, 
тем масштабнее задачи, подвластные ей. Современный уровень развития компьютерной техники 
(мощное оборудование и программная поддержка) позволяет решать достаточно сложные задачи 
со множеством входящих параметров. Выбор структуры НС осуществляется в соответствии с 
особенностями и сложностью задачи. Для решения некоторых отдельных типов задач уже существуют 
оптимальные, на сегодняшний день, конфигурации. 

Процесс рациональной работы НС, т.е. действия, которые она способна выполнять, зависит 

от устойчивости синаптических связей, поэтому, задавшись определенной структурой НС, отвечающей 
какой-либо задаче, ученый должен найти рациональные значения всех переменных весовых 
коэффициентов (некоторые синаптические связи могут быть постоянными). 

Этот важный этап называется первоначальным обучением НС, и от того, насколько пра-

вильно он будет выполнен, зависит объективность решения поставленных перед сетью проблем 
в дальнейших исследованиях. Кроме параметра качества подбора весов важную роль играет необходимое 
время, выделенное на обучение системы. Как правило, эти два параметра связаны обратной 
зависимостью и их приходится выбирать, идя на компромисс и используя опыт исследователя. 


Представленный алгоритм решения задач геомеханики с использованием современных чис-

ленных методов и пакетов специализированных прикладных программ позволит индивидуально 
подходить к вопросам горного давления при меняющихся условиях расположения техногенных 
обнажений в массиве и тем самым обеспечит разработку рациональных параметров крепления 
горных выработок 

Обсуждение. В качестве примера сложности определения зоны неупругих деформаций  в 

трещиноватом массиве была выбрана горная выработка арочной формы. Расчет напряжений в 
окрестности горной выработки был произведен методом граничных интегральных уравнений [3]. 

 

 

С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев 
Современные математические методы прогноза условий поддержания… 

DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 

 

374

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 371-375  ● Горное дело 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Контролируемые точки располагаются на лучах на равном расстоянии, задаваемом в зави-

симости от требуемой точности и в соответствии с формой поперечного сечения выработки 
(рис.1). 

Нагружение массива задается напряжением на бесконечности, выраженным в долях H (где 

 – удельный вес пород, H – глубина расположения выработки). Прочностные свойства пород 
массива задаются по слоям: сцепление – в долях H, прочность на растяжение – в долях H, тангенс 
угла внутреннего трения. При наличии плоскостей ослабления задаются также прочностные 
свойства на этих плоскостях и угол расположения трещины. 

При решении данной задачи в упругой постановке были получены напряжения в окрестно-

сти горной выработки, которые определились из исходного напряженного состояния массива, 
формы и размеров горной выработки.  

В дальнейшем была определена условная зона неупругих деформаций вокруг выработки. 

Под условной зоной неупругих деформаций понимают зону, в пределах которой напряжения, 
определенные путем решения задачи теории упругости, не удовлетворяют условиям прочности 
[11, 12]. В качестве перехода приконтурного горного массива в неустойчивое состояние были 
выбраны два условия: по растягивающим напряжениям и критерию Кулона – Мора. Согласно 
рассмотренным условиям выработка считается неустойчивой, если хотя бы одно из условий не 
выполняется. 

В качестве базового был рассмотрен пример определения ЗНД при значении параметра 

р/Н равном 0,5 (где р – предел прочности пород на растяжение), что привело к образованию 
зоны разрушения вокруг моделируемой выработки (0,4-0,8 м). При этом зона разрушения равномерно 
охватывает контур выработки (рис 2, а). 

В качестве второго варианта был рассмотрен тот же массив горных пород с введением тре-

щиноватости согласно исследованиям, проведенным в работах [4, 9, 10] при расстоянии между 

 

Рис.2. Размеры зоны неупругих деформаций 

а 
б 
в 

Начальный шаг по лучу Sh 

Остальные шаги по лучу Sh 

Количество точек на луче

для сканирования nt

Рис.1. Расчетные схемы: а – схема определения лучей на контуре выработки; б – схема луча для сканирования массива 

а 
б 

 

 

DOI: 10.31897/PMI.2019.4.371 
С.А.Игнатьев, А.Е.Судариков, А.Ж.Имашев 
Современные математические методы прогноза условий поддержания… 

375

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 371-375  ● Горное дело 

трещинами около 1 м. Прочностные характеристики массива уменьшены в 2 раза без учета направления 
трещиноватости (рис.2, б). Это привело к образованию более существенной зоны разрушения 
вокруг моделируемой выработки (1,0-1,3 м), при этом зона разрушения равномерно охватывала 
контур выработки. 

В условия третьего варианта были введены три системы трещин с учетом ослабления проч-

ностных характеристик по направлению трещиноватости (рис.2, в). В этом случае наиболее объективным 
результатом является упругое решение поставленной задачи в окрестности горной выработки. 
В дальнейшем, сравнивая результаты, полученные различными методами теории прочности, 
придем к различным результатам определения ЗНД и нагрузки на крепь выработки.  
В этом случае можно рекомендовать исследователям указывать, по какому критерию была определена 
условная зона неупругих деформация и какие особенности данного критерия свойственны 
именно этому горному предприятию.  

Заключение. Решение задач геомеханики по определению устойчивости техногенных об-

нажений всегда связано с трудностями оценки прочности приконтурных горных пород, а также с 
возможностью изменения данного параметра в зависимости от природных и техногенных факторов. 
Все это приводит к значительному увеличению запаса прочности при креплении горных выработок. 


Современные численные методы (метод конечных элементов, метод граничных интеграль-

ных уравнений)  достаточно точно определяют уровень дополнительных напряжений в горном 
массиве вокруг выработки, но не способны учесть все разнообразие свойств горных пород. 

Применение методов кластерного анализа, нейронных сетей совместно с современными чис-

ленными методами может дать возможность более полно учесть все многообразие горно-
геологических и горнотехнических условий в окрестности выработки и тем самым более рационально 
обеспечивать ее устойчивость. 

 
 

ЛИТЕРАТУРА 

 

1. Боровиков В.П. Нейронные сети. STATISTICA Neural Networks: Пер. с англ. М.: Горячая линия – Телеком,  

2008. 392 с.   

2. Гальянов А.В. Исторические вехи развития горного искусства // Маркшейдерия и недропользование. 2011.  

№ 1. С. 62-71. 

3. Колоколов С.Б. Механизм формирования зон разрушения вокруг подготовительных выработок и их воздействия на 

поддерживающую крепь: Автореф. дис. … д-ра техн. наук: 01.02.07 / Академия наук Респ. Казахстан. Ин-т математики и 
механики. Алма-Ата, 1992. 35 с. 

4. Ставрогин А.Н. Пластичность горных пород / А.Н.Ставрогин, А.Г.Протосеня. М.: Недра, 1979. 304 с. 
5. Судариков А.Е. К вопросу о сегментации рынка на базе современных информационных технологий / 

А.Е.Судариков, В.В.Леонов // Труды Карагандинского университета бизнеса, управления и права. 2004. № 1 (Х). С. 93-96. 

6. Судариков А.Е. Нейросети – теория сложных систем в экономике // Труды университета. Карагандинский государ-

ственный технический ун-т (Караганда). 2008. № 2. С. 69-72. 

7. Судариков А.Е. Численное моделирование геомеханических процессов и графические пакеты прикладных программ / 

А.Е.Судариков, Р.А.Мусин // Актуальные проблемы горно-металлургического комплекса Казахстана: Труды Международной 
научно-практической конференции. Караганда: Изд-во КарГТУ, 2005. С. 29-31.  

8. Судариков А.Е. Эконометрика. Караганда: Карагандинский университет бизнеса, управления и права, 2002. 198 с.  
9. Litvinenko V. Advancement of geomechanics and geodynamics at the mineral ore mining and underground space develop-

ment // Geomechanics and Geodynamics of Rock Masses: Proceedings of the 2018 European Rock Mechanics Symposium. St. Pe-
terburg. 22 May 2018. Taylor and Francis Group, London, UK. 2018. Vol. 1. P. 3-16. 

10. Protosenya A.G. Elastoplastic problem for noncircular openings under Coulomb’s criterion / A.G.Protosenya, 

M.A.Karasev, N.A.Belyakov // Journal of Mining Science. 2016. Vol. 52. Iss. 1. P. 53-61.  

11. Protosenia A. Introduction of the method of finite-discrete elements into the Abaqus/Explicit software complex for model-

ing deformation and fracture of rocks / A.Protosenia, М.Karasev, V.Ochkurov // Eastern European Journal of Enterprise Technolo-
gies. 2017. Vol. 6. № 7(90). P. 11-18. 

12. Trushko V.L. Predicting strength of pillars in fractured rock mass during development of apatite-nephelinic ores /   

V.L.Trushko, A.G.Protosenya, P.E.Verbilo // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2018. 13 (8). P. 2864-2872.  

 
Авторы: С.А.Игнатьев, канд. техн. наук, заведующий кафедрой, Ignatev_SA@pers.spmi.ru (Санкт-Петербургский 

горный университет, Санкт-Петербург, Россия), А.Е.Судариков, канд. техн. наук, доцент, Sudarikov_AE@pers.spmi.ru 
(Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия), А.Ж.Имашев, PhD, заведующий кафедрой (Карагандинский 
государственный технический университет, Караганда, Казахстан). 

Статья поступила в редакцию 17.01.2019. 
Статья принята к публикации 26.02.2019. 

 

 

Б.Т.Мазуров, М.Г.Мустафин, А.А.Панжин 
DOI: 10.31897/PMI.2019.4.376 

Метод оценки дивергенции векторных полей деформаций земной поверхности … 

376

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 376-382 ● Горное дело 

УДК 528.481/622.83  
 

Метод оценки дивергенции векторных полей деформаций  

земной поверхности при разработке месторождений полезных ископаемых 
 

Б.Т.МАЗУРОВ1, М.Г.МУСТАФИН2 , А.А.ПАНЖИН3 

1 Сибирский государственный университет геосистем и технологий, Новосибирск, Россия 
2 Санкт-Петербургский горный университет, Санкт-Петербург, Россия 
3 Институт горного дела Уральского отделения РАН, Екатеринбург, Россия 
 

Для эффективной и безопасной разработки месторождений необходимо хорошее геомеханическое 

обеспечение. Сегодня широко применяют программные комплексы на основе метода конечных элементов 
для оценки напряженно-деформированного состояния массива горных пород. Для их качественного использования 
необходимо знание граничных условий и интегральных механических характеристик пород. С этой 
целью в горном деле всегда применяли натурные наблюдения. Основным источником данных об исходном и 
техногенном измененном напряженно-деформированном состоянии массива горных пород являются натурные 
измерения параметров процесса сдвижения. Изменения маркшейдерско-геодезических данных (координат, 
высот, направлений) за время между циклами измерений позволяют отобразить поле векторов смещения 
определяемых пунктов. Векторы смещений в совокупности дают представление о фактической картине напряженно-
деформированного состояния земной поверхности. На этой основе можно вычислить тензоры деформации 
на исследуемом участке, направления и размеры сжатий и растяжений, сдвиговые компоненты. 
Однако есть дифференциальные характеристики любых физических векторных полей – ротор и дивергенция. 
Дивергенция представляет собой одно число (скаляр), относящееся к определенной точке. Векторное поле 
в целом может быть описано скалярным полем дивергенции. Дивергенция отражает знак изменения объема 
в бесконечно малом объеме среды и изменение величины векторов в непосредственной близости от рассматриваемой 
точки для всех направлений. В статье предлагается метод вычисления дивергенции по дискретным 
геодезическим наблюдениям смещений только на поверхности изучаемой территории. Для этого необходимо 
составить формулы, моделирующие поле векторов для любой точки поверхности. Предложено использовать 
степенные полиномы, описывающие смещения по трем направлениям (x, y, z). По этим формулам можно вычислять 
векторы поля в любом месте поверхности, значит, формировать векторные трубки. Для них будут 
далее определяться площади входных и выходных сечений и значения дивергенции. Тем самым повышается 
качество оценки геодинамического состояния рассматриваемой территории, что позволит более точно выполнять 
моделирование нарушенного выработками массива горных пород с применением современных программных 
комплексов.  

 
Ключевые слова: маркшейдерско-геодезические данные; техногенный массив пород; напряженно-

деформированное состояние; векторное поле; дивергенция; векторные трубки; полиномиальные модели 

 
Как цитировать эту статью: Мазуров Б.Т. Метод оценки дивергенции векторных полей деформаций 

земной поверхности при разработке месторождений полезных ископаемых / Б.Т.Мазуров, М.Г.Мустафин, 
А.А.Панжин // Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 376-382. DOI 10.31897/PMI.2019.4.376 
 
Введение. Геомеханическое обеспечение технологии разработки месторождений играет 

важную роль в решении проблемы повышения эффективности и безопасности извлечения полезных 
ископаемых из недр и во многом определяет выбор оптимальных параметров систем разработки 
и стратегии ведения очистных работ на горнодобывающих предприятиях [2]. Обобщение 
напряженно-деформированного состояния (НДС) массива горных пород (МГП) выполняется на 
основе данных о физико-механических свойствах образцов горных пород и их использовании в 
программных комплексах по моделированию НДС МГП [8, 15]. Вместе с тем различные условия 
формирования рассматриваемого МГП, включая тектонику, блочное строение, неоднородность и 
трехфазное взаимодействие элементов среды, требуют натурных измерений для корректировки 
теоретических расчетов. Основным, а зачастую единственным источником данных об исходном 
и техногенно измененном напряженно-деформированном состоянии массива горных пород являются 
натурные измерения параметров процесса сдвижения [4, 5, 9, 17]. В данном случае под 
сдвижением горных пород – явлением, сопровождающим добычу полезного ископаемого, понимается 
весь комплекс деформационных процессов, протекающих в массиве горных пород при 
формировании исходного напряженно-деформированного состояния за пределами области влияния 
горных разработок и его трансформации внутри нее [5, 9, 10, 12].  

Постановка проблемы. Основными факторами, определяющими формирование напряженно-

деформированного состояния массива горных пород, являются: иерархически блочное строение; 

 

 

Б.Т.Мазуров, М.Г.Мустафин, А.А.Панжин 
DOI: 10.31897/PMI.2019.4.376 

Метод оценки дивергенции векторных полей деформаций земной поверхности …  

377

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 376-382 ● Горное дело 

кинематическая активность; вторичное 
структурирование; концентрация современных 
геодинамических движений 
на границах вторичных структурных 
блоков [2, 4, 5, 9, 13]. Под их воздействием 
в массиве горных пород формируется 
мозаичное, относительно однородное по 
своим усредненным интегральным параметрам, 

напряженно-деформированное 

состояние.  

Для выявления параметров и зако-

номерностей формирования исходного 
напряженно-деформированного состояния 
массива горных пород необходимо: 

– экспериментально оценить уро-

вень 
современных 
геодинамических 

движений и параметры формируемого 
ими 
напряженно-деформированного 

состояния, изменяющегося во времени; 

– исследовать степень неоднород-

ности 
напряженно-деформированного 

состояния, обусловленную вторичным 
структурированием 
массива 
горных 

пород под влиянием современных геодинамических 
движений и формирования 
вторичного поля напряжений в области 
горных работ. 

Таким образом, необходимо полу-

чение инструментальным путем двух 
основных видов информации: параметров 
интегрального движения массива, 
вызванного природными и техногенными 
факторами, а также данных об 
иерархически блочной структуре горного массива и его изменениях во времени. 

Данные о параметрах интегрального сдвижения горного массива можно получить только 

прямыми маркшейдерско-геодезическими методами с использованием глобальной навигационной 
спутниковой системы (ГНСС) и традиционной (тахеометры и нивелиры) геодезии [14, 16, 17, 
19-23]. При этом в основу методики положены многократные мониторинговые измерения сдви-
жений специально оборудованных реперов, включающих пункты Государственной геодезической 
сети, опорной маркшейдерской сети и наблюдательных станций.  

Сопоставление исходных и переопределенных в результате мониторинга пространственных 

координат реперов позволяет математически построить как векторы сдвижений, так и поле главных 
деформаций. При этом территориальные масштабы маркшейдерско-геодезических измерений 
различны: от десятков и сотен километров до первых метров [10, 14, 20, 23]. Примеры визуализации 
сдвижений и деформаций показаны на рис.1 и 2 для прибортового массива Киемба-
евского ГОКа. 

В дальнейшем путем группировки данных о процессе сдвижения выделяют основные кла-

стеры деформируемых структурных блоков и определяют границы между ними. По результатам 
геомеханического моделирования сопоставляют теоретическую и фактическую модели деформирования 
массива, нарушенного техногенной выемкой, и определяют параметры не только вторичного, 
но и исходного поля напряжений. 

Методология. Для решения задач, связанных с геомеханическим прогнозом и локализацией 

очагов интенсивных деформаций, необходимо определение не только векторов сдвижений и 

 

Рис.1. Горизонтальные векторы современных геодинамических 

движений в районе карьера за 2006-2017 годы 

 

 

Б.Т.Мазуров, М.Г.Мустафин, А.А.Панжин 
DOI: 10.31897/PMI.2019.4.376 

Метод оценки дивергенции векторных полей деформаций земной поверхности … 

378

Записки Горного института. 2019. Т. 238. С. 376-382 ● Горное дело 

тензоров деформаций, но и дифференциальной 
характеристики векторного 
поля, называемой дивергенцией. 

Дивергенция – одна из часто ис-

пользуемых дифференциальных характеристик 
векторного поля, представляющая 
собой одно число (скаляр), 
относящееся к определенной 
точке. Векторное поле в целом описывается 
скалярным полем дивергенции, 
которая отражает изменение величины 
векторов в непосредственной близости 
от рассматриваемой точки во всех направлениях. 
Дивергенция относится к 
числу объемных производных векторного 
поля. В математической записи 
определение дивергенции следующее: 

,
lim
div
V
F
F

V






 
(1) 

где 
F

 – поток векторного поля F че-

рез сферическую поверхность площадью 
S, которая ограничивает объем V.  

В общем случае допускается лю-

бая форма области с поверхностью S и 
объемом V. Но существует требование 
нахождения всей поверхности в бесконечно 
малой окрестности исследуемой 
точки. Таким образом, дивергенция (
1) должна быть локальной опера-

цией. С физической точки зрения дивергенция векторного поля количественно характеризует 
данную точку пространства как источник или сток этого поля. Примером интерпретации может 
служить озеро с двумерным векторным полем горизонтального движения воды. Положительную 
дивергенцию поля скоростей течения дают родники, бьющие со дна озера, отрицательную – подводные 
стоки с утекающей водой: 

0
div

F
 – точка поля является стоком; 

0
div

F
 – стоков и источников нет или они компенсируют друг друга; 

0
div

F
 – точка поля является источником. 

Вычисление дивергенции отражает местоположение вершин и впадин на картине градиен-

тов (направлений наискорейшего спуска). На вершинах дивергенция положительна, во впадинах, 
соответственно, отрицательна. 

Математическая теория поля [1, 3] может быть использована не только для описания тече-

ний в жидкостях и газах, но и для изучения потоков вещества в мантии и ядре Земли, при исследовании 
деформаций в сильно текущих горных породах осадочного покрова и в массах пород, 
испытывающих региональный метаморфизм в глубине земной коры. Сложные деформации слоев 
в гнейсах развивались при значительном протекании масс, закономерности которого можно понять, 
опираясь на математическую теорию потоков в жидкостях. Эта же теория может быть использована 
и для познания роли магматических расплавов в развитии тектонических процессов 
[13, 16, 19, 22, 23], вулканизма [6, 7], а также для изучения современных смещений крупных деформированных 
массивов приповерхностных структур земной коры. 

Для реализации формулы (1) в реальных условиях дискретной координатизации земной по-

верхности и ее трехмерных сдвижений необходимо использовать понятия потока векторного поля 
и векторной трубки. 

 

Рис.2. Тензоры горизонтальных деформаций, вызванных современными 

геодинамическими движениями в районе карьера за 2006-2017 годы