Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 11 класс (углублённый уровень)

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Учебное издание
Потоскуев Евгений Викторович 
Звавич Леонид Исаакович
Математика: алгебра  
и начала математического анализа,  
геометрия
геоМетриЯ 
11 класс. Углублённый уровень 
Учебник
Центр математики, физики и астрономии 
Ответственный за выпуск П. А. Бессарабова 
Редактор Т. С. Зельдман. Художественный редактор А. А. Шувалова 
Технический редактор И. В. Грибкова 
Компьютерная вёрстка С. Л. Мамедовой. Корректор Г. И. Мосякина
Подписано в печать 25.08.2023. Формат 60 × 90 /16. Гарнитура «Школьная».  
Усл. печ. л. 24,1. Тираж         экз. Заказ №          .
Акционерное общество «Издательство «Просвещение».
Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская,  
д. 16, стр. 3, помещение 1Н.
Адрес электронной почты «Горячей линии» — vopros@prosv.ru. 
 
 

УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721
 
П64

Потоскуев, евгений Викторович.
Математика: алгебра и начала математического анализа, 
геометрия. Геометрия : 11-й класс : углублённый уровень : 
учебник / Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич. — 10-е изд., 
стер. — Москва : Просвещение, 2023. — 384 с. : ил.
ISBN 978-5-09-110488-2.
Учебник является частью УМК для 10—11 классов, предназначенного 
для изучения предмета на углублённом уровне. Обязательный материал 
структурирован по главам: преобразования пространства, многогранники 
и фигуры вращения. Есть в учебнике и дополнительный материал. 
Высокие результаты усвоения геометрии достигаются решением 
большого количества разнообразных задач, дифференцированных по 
уровню сложности, из задачника.
 УДК 373.167.1:514+514(075.3) 
ББК 22.151я721

П64

Учебник допущен к использованию при реализации имеющих 
государственную аккредитацию образовательных программ начального 
общего, основного общего, среднего общего образования организациями, 
осуществляющими 
образовательную 
деятельность, 
в 
соответствии 
с Приказом Министерства просвещения Российской Федерации № 254 
от 20.05.2020 (в редакции приказа № 766 от 23.12.2020).

ISBN 9785091104882
©  АО «Издательство «Просвещение», 2022
©  Художественное оформление. 
АО «Издательство «Просвещение», 2022 
Все права защищены

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник по стереометрии для 11 класса с углублённым изучением 
математики является частью комплекса «Математика: 
алгебра и начала математического анализа, геометрия. 
Геометрия. 11 класс. Углублённый уровень», в который, кроме 
учебника, входят задачник и методическое пособие.
Основная часть учебника соответствует программе курса 
геометрии с углублённым изучением математики. Программный 
материал изложен в первых трёх главах учебника.
Помимо основного текста, содержащего теоретический 
материал курса геометрии, в книге имеется следующее.
• Представленный в популярной форме дополнительный 
материал, изложенный в разделе «Дополнения», включает 
сведения о развитии отдельных «ветвей» геометрии и предназначен 
для развития математического кругозора учащихся 
и для гуманизации процесса изучения геометрии и обучения 
геометрией. Он может быть изучен как на занятиях в 
кружках, так и на уроках за счёт резервного времени, либо 
послужит основой для докладов и исследовательских работ 
учащихся.
• Список основных теорем курса стереометрии 11 класса.
• Формулы планиметрии, стереометрии и тригонометрии, 
которые в некоторой степени заменяют справочный 
ма териал.
В процессе изложения основного курса стереометрии авторы 
часто предлагают некоторые дополнения. Знаки 

....
 обозначают начало и окончание изложения дополнительного 
материала.
Символ « » означает окончание доказательства утверждения, 
а символ «
» — задача из задачника.
Развивая концепцию, лежащую в основе курса стереометрии, 
авторы не ставили целью построение его на строго ак-

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Предисловие 

сиоматической основе. О возможности такого построения 
можно прочитать в разделе «Дополнения».
Активное и эффективное изучение стереометрии возможно 
лишь при условии решения достаточно большого числа 
задач различной степени сложности. Поэтому теоретическому 
материалу каждого параграфа учебника соответствует 
набор задач в задачнике. Названия глав и параграфов задачника 
соответствуют их названиям в учебнике.
Рекомендации по обучению стереометрии в 11 классе на 
углублённом уровне приводятся в методическом пособии.
Учебный комплекс может быть полезен для всех изучающих 
или повторяющих курс стереометрии. Его можно использовать 
на факультативах и спецкурсах, он пригодится 
и для подготовки к поступлению в вузы.
Авторы выражают огромную благодарность рецензентам 
учебника Ирине Михайловне Смирновой, доктору педагогических 
наук, профессору МПГУ; Борису Петровичу Пигаре-
ву, кандидату педагогических наук, заслуженному учителю 
России; Илье Евгеньевичу Феоктистову, учителю школы 
№ 1741 г. Москвы, а также Тамаре Николаевне Потоскуевой, 
учителю математики, за внимательное прочтение рукописи 
и сделанные ценные конструктивные замечания и предложения.


З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Глава
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  
ПРОСТРАНСТВА

§ 1. Отображения пространства

Множество, элементами которого являются числа, называется 
числовым множеством. Аналогично, множество, элементами 
которого являются точки, называется точечным 
множеством. Примерами точечных множеств являются точка, 
отрезок, прямая, треугольник, куб, шар, плоскость, всё 
пространство.
Пусть V и V′ — различные точечные 
множества.
Говорят, что между множествами V 
и V′ установлено соответствие g, если 
каждой точке М множества V сопоставляется 
некоторая точка М′ множества 
V′ (рис. 1). При этом пишут M′ = g (М) 
или g (М) = M′.
Дадим определения некоторых видов 
соответствий между двумя множествами.


Определение. Соответствие g между множествами V 
и V′, при котором каждой точке M множества V сопоставляется 
единственная точка М′ множества V′, 
называется отображением множества V «в» 
множество V′. 
 
Точка M′ называется образом точки М при отображении 
g, а точка М — прообразом точки М′ при том же 
отображении g. Записывают g: V 
« »
в
 V′.

Замечание. Отображение множества V «в» множество V′ 
называют инъективным отображением или, короче, 
инъекцией множества V в множество V′, если образы 
любых двух различных точек множества V различны.

Рис. 1

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Преобразования пространства 

6 
Глава 1

Если F — геометрическая фигура множества V (F ⊂ V), то 
фигура F′ ⊂ V′, состоящая из образов всех точек фигуры F 
при отображении g, называется образом фигуры F при этом 
отображении.

Определение. Соответствие g между множествами V 
и V′, при котором каждая точка М′ множества V′ имеет, 
по крайней мере, один прообраз М во множестве V, 
называется отображением множества V «на» множество 
V′ (рис. 2). При этом пишут g: V 
«
»
на
 V′.

Замечание. Отображение V 
«
»
на
 V′ называют также 
сюръективным отображением или сюръекцией множества 
V на множество V′.

Сравнивая отображение V 
« »
в
 V′ и отображение 
V 
«
»
на
 V′, замечаем, что:
а) как при отображении «в», так и при отображении «на» 
любая точка М ∈ V имеет единственный образ M′ ∈ V′;
б) при отображении «в» не исключено существование во 
множестве V′ точек, которые не имеют прообраза в V 
(см. рис. 1), в то время как при отображении «на» не исключено 
существование в V′ таких точек, которые имеют в V более 
одного прообраза (рис. 2).
Это означает, что g (V) ⊆ V′ при отображении «в» и g (V) = V′ 
при отображении «на».

Определение. Соответствие g между множествами V 
и V′, при котором каждая точка множества V имеет 
единственный образ в V′ и каждая точка множества 
V′ имеет единственный прообраз в V, называется 
взаимно-однозначным (или биективным) 
отображением множества V на множество V′ (рис. 3).

Рис. 3
Рис. 2

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§ 1. Отображения пространства

7

Из этого определения следует: при биективном (взаимно-
однозначном) отображении множества V на множество V′ 
две любые различные точки множества V отображаются 
на две различные же точки множества V′ (образы любых 
двух различных точек различны) и две любые различные 
точки множества V′ являются образами двух различных 
точек множества V.
Фигура, которая при отображении g пространства отображается 
на себя, называется неподвижной фигурой этого отображения.

В качестве отображения одной фигуры на другую рассмотрим 
параллельное проектирование в пространстве.
На рисунке 4, а верхнее основание A1B1C1D1 (множество V) 
куба ABCDA1B1С1D1 отображается на плоскость α (множество 
V′), пересечением которой с кубом является четырёхугольник 
EKHT. Это отображение осуществляется параллельным 
проектированием в направлении боковых рёбер куба.
Каждая точка квадрата A1B1C1D1 отображается (проектируется) 
на одну точку плоскости α (на точку четырёхугольника 
ЕKНТ), но ни одна точка плоскости α, не принадлежащая 
четырёхугольнику ЕKНТ, не имеет прообраза в квадрате 
A1B1C1D1.
Значит, данное отображение квадрата A1B1C1D1 на 
плоскость α является инъективным (отображением «в»).
На рисунке 4, б в качестве множества V принято объединение 
верхнего и нижнего оснований куба, а в качестве множества 
V′ — четырёхугольник EKHT. Отображение осуществляется 
также параллельным проектированием в направлении 
боковых рёбер куба. При этом проектировании на 

Рис. 4

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Преобразования пространства 

8 
Глава 1

каждую точку четырёхугольника ЕKНТ отображаются две 
точки, одна из которых принадлежит основанию AB CD куба, 
другая — основанию A1B1C1D1. Это означает, что рассматриваемое 
отображение — отображение «на» (сюръекция).
Рисунок 4, в иллюстрирует отображение (параллельное 
проектирование) верхнего основания A1B1C1D1 (множества 
V) на четырёхугольник ЕKНТ (множество V′). В данном 
случае имеем взаимно однозначное (биективное) отображение 
квадрата A1B1C1D1 на четырёхугольник EKHT.
Попробуйте придумать другие примеры отображений одного 
множества на другое.

§ 2. Преобразования пространства

2.1. Определение преобразования. 
Центральная симметрия пространства

До сих пор мы рассматривали отображения одного множества 
на другое, отличное от первого. Однако представляют 
интерес взаимно однозначные (биективные) отображения 
множества на себя.

Определение. Взаимно однозначное отображение 
множества на себя называется преобразованием 
этого множества.
В дальнейшем мы будем рассматривать преобразования 
пространства.
Определение. Биективное отображение пространства 
на себя называется преобразованием пространства.

Если преобразование пространства обозначить буквой g, 
то запись g (A) = А′ означает, что точке А пространства ставится 
в соответствие точка A′ этого пространства. Точка A′ 
называется образом точки А, а точка А — прообразом точки 
А′ при данном преобразовании g.
Два преобразования g1 и g2 пространства называются 
равными, если образы любой точки пространства при этих 
преобразованиях совпадают, т. е. для любой точки М имеет 
место

1
1
2
2
(
) = 
= 
.
(
) = 
g
M
M
g
g
g
M
M

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

§ 2. Преобразования пространства

9

Если F — некоторая фигура пространства, то запись 
g (F) = F′ означает, что образы всех точек фигуры F составляют 
фигуру F′; фигура F′ называется образом фигуры F 
при данном преобразовании g. Так, при преобразовании 
пространства образом всех точек пространства является 
само это пространство.
Точка A пространства, которая при преобразовании g отображается 
на себя (g (А) = А), называется неподвижной 
точкой этого преобразования.
Фигура F называется неподвижной фигурой данного 
преобразования g, если эта фигура преобразованием g отображается 
на себя, т. е. g (F) = F. Ясно, что любое множество 
неподвижных точек преобразования g является неподвижной 
фигурой при этом преобразовании, но обратное утверждение 
оказывается не всегда верным, т. е. среди точек неподвижной 
фигуры F преобразования g могут быть точки, сами по себе не 
являющиеся неподвижными точками этого преобразования 
g. Например, при любом преобразовании пространства само 
пространство может быть рассмотрено как неподвижная фигура, 
в то время как не всякая точка пространства при этом 
преобразовании отображается на себя.
В дальнейшем нас будет интересовать прежде всего наличие 
неподвижных прямых и неподвижных плоскостей при 
каждом из рассматриваемых преобразований пространства.
Рассмотрим одно из преобразований пространства.
Выберем произвольную точку O пространства. Точка M′ 
называется симметричной точке М относительно 
точки О, если точка О делит отрезок MM′ пополам (рис. 5). 
Точка О считается симметричной самой себе.
Зададим теперь следующее отображение пространства на 
себя: любой точке М пространства поставим в соответствие 
точку М′, симметричную ей относительно точки О.
Так как любой отрезок имеет 
единственную середину, то мы получаем 
взаимно однозначное (биектив-
ное) отображение пространства на 
себя, т. е. преобразование пространства. 
При этом точка O отображается 
на себя (является неподвижной 
точкой данного преобразования).
Рис. 5

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.

Преобразования пространства 

10 
Глава 1

Определение. Преобразование пространства, при 
котором каждая точка пространства отображается на 
точку, симметричную ей относительно точки О, называется 
центральной симметрией пространства 
относительно точки О. При этом точка О отображается 
на себя и называется центром симметрии.

Будем обозначать центральную симметрию пространства 
с центром О символом ZO. Если при этой симметрии точка М 
отображается на точку M′, то пишут: 
ZO(М) = M′ или M′ = ZO(M).
Из определения симметричных точек следует: если точка 
M′ симметрична точке М относительно центра O, то точка М 
симметрична точке M′ относительно того же центра O, т. е.
ZO(M) = M′ ⇔ ZO(M′) = M.
В этом случае говорят, что точки М и M′ симметричны  
относительно центра О.
Центральная симметрия имеет только одну неподвижную 
точку — центр симметрии.
Ещё одним примером преобразования пространства является 
его тождественное преобразование.

Определение. Преобразование пространства, которое 
каждую его точку отображает на себя, называется 
тождественным преобразованием.

Будем обозначать тождественное преобразование буквой 
Е. При тождественном преобразовании пространства 
каждая его точка является неподвижной точкой, а каждая 
фигура — неподвижной фигурой.
Говорят, что преобразование пространства задано в координатах (
задано формулами), если каждой точке М(х; у; z) 
пространства ставится в соответствие точка M′(x′; y′; z′) такая, 
что

1

2

3

 = ( , , ),
 = 
( , , ),

 = 
( , , ).

x
f x y z
y
f x y z
z
f x y z

Например, тождественное преобразование отображает 
каждую точку пространства на себя и задаётся формулами: 
x′ = x, y′ = у, z′ = z; центральная симметрия с центром в на-

З © АО «Издательство «Просвещение» для коллекции ООО «ЗНАНИУМ »

.