Математическая статистика. Практикум

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА. 

ПРАКТИКУМ

Т.Г. АПАЛЬКОВА
В.И. ГЛЕБОВ
С.А. ЗАДАДАЕВ
С.Я. КРИВОЛАПОВ
К.Г. ЛЕВЧЕНКО

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 519.22(075.8)
ББК 22.172я73
 
А76

Р е ц е н з е н т ы:

Н.В. Белотелов, кандидат физико-математических наук, доцент, 

старший научный сотрудник Федерального исследовательского 
центра «Информатика и управление» Российской Академии Наук;

О.В. Шашков, кандидат физико-математических наук, доцент, до-

цент департамента математики Финансового университета при Правительстве 
Российской Федерации

ISBN 978-5-16-017913-1 (print)
ISBN 978-5-16-110927-4 (online)

©  Апалькова Т.Г., Глебов В.И., 

Зададаев С.А., Кривола пов С.Я., 
Левченко К.Г., 2023

Апалькова Т.Г.

А76  
Математическая статистика. Практикум : учебное пособие / 

Т.Г. Апалькова, В.И. Глебов, С.А. Зададаев [и др.]. — Москва : 
ИНФРА-М, 2024. — 254 с. — (Высшее образование). — DOI 
10.12737/1896790.

ISBN 978-5-16-017913-1 (print)
ISBN 978-5-16-110927-4 (online)
В учебном пособии приведены условия задач и решения примеров 

по основным разделам математической статистики с использованием 
Microsoft Excel и языка R.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по экономи-

ческим специальностям.

УДК 519.22(075.8)

ББК 22.172я73

Авторский коллектив

Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации

Апалькова Тамара Геннадьевна — кандидат экономических 
наук, доцент, доцент департамента математики.
Глебов Владимир Ильич — кандидат физико-математических 
наук, доцент, доцент департамента математики.
Зададаев Сергей Алексеевич — кандидат физико-математических 
наук, доцент, руководитель департамента математики.
Криволапов Сергей Яковлевич — кандидат физико-математических 
наук, доцент, доцент департамента математики.
Левченко Кирилл Геннадиевич — кандидат физико-математических 
наук, доцент департамента математики.

Основные обозначения

( )
A
P
 — вероятность события A.
(
)
|
A B
P
 — условная вероятность события A при условии события 
B.
( )
X
F
x  — функция распределения случайной величины X.
( )
X
f
x  — плотность распределения случайной величины X.
(
)
X
E
 — математическое ожидание случайной величины X.
2
(
),
X
X
σ
Var
 — дисперсия случайной величины X.

X
σ  — стандартное (среднее квадратическое) отклонение случайной 
величины X.
(
)
k X
ν
 — начальный момент k-го порядка случайной величины X.
(
)
k X
μ
 — центральный момент k-го порядка случайной величины 
X.

X
A  — коэффициент асимметрии случайной величины X.

X
E  — коэффициент эксцесса случайной величины X.

med
x
 — медиана случайной величины X.

mod
x
 — мода случайной величины X.
xα — квантиль уровня α случайной величины X.

1
x
α
−α
ω
=
 — 100 %
α
-ная точка случайной величины X.
Bin( ; )
n p  — случайная величина, распределенная по биномиальному 
закону с параметрами n и p.
Pois( )
λ  — случайная величина, распределенная по закону Пуас-
сона с параметром λ.
Geom( )
p  — случайная величина, распределенная по геометрическому 
закону с параметром p.
( ; )
a σ
— случайная величина, распределенная по нормальному 
закону с параметрами a и σ.
zα — квантиль уровня α стандартной нормально распределенной 
случайной величины X.
( , )
a σ
— случайная величина, распределенная по логнор-
мальному закону с параметрами a и σ.
Unif( ; )
a b  — случайная величина, равномерно распределенная 
на отрезке [ ; ]
a b .
Exp( )
λ  — случайная величина, равномерно распределенная 
по экспоненциальному закону с параметром λ.

n
T  — случайная величина, распределенная по закону Стьюдента 
с числом степеней свободы n.

;n
tα  — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Стьюдента с числом степеней свободы n.

2n
χ  — случайная величина, распределенная по закону хи-квадрат 
с числом степеней свободы n.
2;n
α
χ
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону хи-квадрат с числом степеней свободы n.

;n k
F
 — случайная величина, распределенная по закону Фишера 
с числом степеней свободы n и k.

; ;n k
fα
 — квантиль уровня α случайной величины, распределенной 
по закону Фишера с числом степеней свободы n и k.
cov(
,
)
X Y  — ковариация случайных величин X и Y.

xy
r  — коэффициент корреляции случайных величин X и Y.

( )i
x
 — элемен ты вариационного ряда.

x — выборочное среднее.

(
)
2
2

1
ˆ
1 n

i
X
i
x
x
n =

σ
=
−
∑
 — выборочная дисперсия, смещенная оценка 

дисперсии генеральной совокупности.

2
ˆ
ˆ
X
X
σ
= + σ
 — выборочное стандартное отклонение.

(
)
2
2

1

1
1

n

i
i
s
x
x
n
=
=
−
− ∑
 — исправленная (уточненная) выборочная 

дисперсия, несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.


2
s
s
= +
 — исправленное выборочное стандартное отклонение.

Предисловие

Учебное пособие содержит краткие теоретические сведения 
по основным разделам математической статистики. Каждый раздел 
снабжен примерами решения задач и содержит большое количество 
задач для самостоятельного решения. Для задач приведены ответы 
(если не предполагается случайного ответа).
Цель предлагаемого пособия — помочь студентам, изучающим 
математическую статистику, приобрести навыки применения ее результатов 
к решению различных прикладных вопросов.
Подбор материала является традиционным для курса математической 
статистики, излагаемого студентам экономических специальностей 
университетов, и включает предварительную обработку 
и визуализацию данных, точечное и интервальное оценивание параметров, 
проверку гипотез, элемен ты дисперсионного анализа.
В главе 1 приводится справочный материал о математических 
средствах языка R, используемых в дальнейшем изложении. 
В главе 2 рассмотрены методы первичной обработки статистических 
данных, средства визуализации данных в R и Excel.
В главе 3 рассмотрены выборочные характеристики случайных 
величин, методы получения описательной статистики средствами R 
и Excel. В главе 4 рассматриваются средства оценивания функции 
распределения и плотности распределения.
Глава 5 посвящена точечному оцениванию основных параметров 
случайных величин. Подробно рассмотрены свойства получаемых 
оценок. В главе 6 рассматриваются два основных метода получения 
точечных оценок: метод момен тов и метод максимального правдоподобия.

Глава 7 посвящена интервальному оцениванию. Рассмотрены 
методы получения интервальных оценок математического ожидания, 
дисперсии и вероятности события, в том числе с использованием 
соответствующих функций языка R.
В главе 8 рассматриваются методы проверки гипотез. Изучены 
критерии, касающиеся математического ожидания, дисперсии и вероятности 
события: критерии согласия (хи-квадрат, Колмогорова, 
критерии нормальности); критерии однородности (хи-квадрат 
и Колмогорова — Смирнова) и независимости; непараметрические 
критерии Уилкоксона и Манна — Уитни.
Глава 9 посвящена введению в дисперсионный анализ. Рассмотрены 
методы однофакторного и двухфакторного дисперсионного 
анализа и их реализации в Excel и R.

Пособие соответствует требованиям ФГОС ВПО к профессиональным 
образовательным программам по специальности 38.03.01 
«Экономика». Предназначено для студентов экономических специальностей.

В результате изучения материалов учебного пособия студент 
будет:
знать
 
• основные понятия теории вероятностей и математической статистики;
 
• 
методы точечного и интервального оценивания параметров случайных 
величин;
 
• способы проверки статистических гипотез о параметрах и законах 
случайных величин;
уметь
 
• выбирать вероятностные модели, подходящие для исследования 
соответствующих случайных признаков;
 
• моделировать с помощью метода статистических испытаний 
случайные признаки, описывающие статистические системы;
 
• использовать компьютерные технологии при реализации математических 
методов и моделей;
владеть навыками
 
• вычислительной работы в Excel и RStudio.

Глава 1. 

ВВЕДЕНИЕ В СРЕДСТВА ЯЗЫКА R

Установка. Для установки R по ссылке https://cran.r-proect.org 
скачайте загрузчик R. Для установки RStudio по ссылке https://
www.rstudio.com/products/rstudio/downloads/ скачайте загрузчик 
RStudio.
Оператором комментария является символ решетки #. Строчные 
и прописные буквы различаются.
Для вывода на экран нужно набрать имя переменной или использовать 
функцию печать print().
Для вывода справки о функции с именем F — набрать ?F.
Загрузка библиотек. Библиотеки, отсутствующие в базовой 
версии языка, необходимо установить один раз для каждого 
компьютера. Например, требуется библиотека Matrix. Команда 
для установки — install.packages("Matrix"). В дальнейшем всякий 
раз, когда нужно использовать этот пакет, необходимо в начале 
сессии запускать команду активации: library(Matrix).
Арифметические операции. Присваивание: x < –10 или x = 10. 
Сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень: 
+, −, *, /, ^. Целочисленное деление: целая часть — %/%; остаток 
от деления — %%.
Типы данных. Логические (logical): TRUE — истина; FALSE — 
ложь.
Проверка на равенство: ==.

Пример 1.1
a <- 5
a == 4
FALSE
Целочисленные (integer).
Вещественные числа (numeric).
Комплексные числа (complex).
Текстовые (character).
Списки (list).
Проверить тип.

Пример 1.2
x <- 1:7
is.integer(x)
TRUE

Векторы. Могут содержать данные только одного типа.
Способы задания векторов
1. Функция c().

Пример 1.3
c(1,3,7)
print(c)
1,3,7

2. Совокупность последовательных целых чисел.

Пример 1.4
1:10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5:0
5 4 3 2 1 0

3. Функция seq(from, to, by).

Пример 1.5
seq(2, 14, 3)
2 5 8 11 14

4. Совокупность одинаковых чисел: rep(x, times).

Пример 1.6
rep(0,5)
0 0 0 0 0

Индексирование

Пример 1.7
a <- 11:20
print(a[3])
13
print(a[6:8])
16 17 18
print(a(c(2,4,6)))
12 14 16
Все, кроме первых пяти:
print(a[−c(1:5)])
16 17 18 19 20

С помощью условного оператора:
print(a[a > 18])
19 20
print(a[a > 10 & a < 15])   # & — "".
11 12 13 14
print(a[a == 12 | a == 20])  # | — "".
12 20 

Атрибуты вектора
Тип данных — функция mode().
Длина вектора — функция length().

Пример 1.8
a <- c(1,4,8)
mode(a)
"numeric"
length(a)
3

Действия над векторами. Арифметические операции выполняются 
почленно:
a <- c(1,2,3)
b <- c(5,0,-1)
print(a+b)
6 2 2
print(a*b)
5 0 -3
print(2^b)
32.0 1.0 0.5
Скалярное произведение векторов:
crossprod(a,b)
2
Сортировка — функция sort()

Пример 1.9
a <- c(7,3,5,9,6,3,4)
b <- sort(a)
print(b)
3 3 4 5 6 7 9
c <- sort(a, decreasing=TRUE) # 
  
 
 
 
# print(c)
9 7 6 5 4 3 3