Компьютерно-ориентированные методы динамических систем

КОМПЬЮТЕРНО-

ОРИЕНТИРОВАННЫЕ 

МЕТОДЫ ДИНАМИЧЕСКИХ 

СИСТЕМ

Г.С. ОСИПЕНКО

Москва 
ИНФРА-М 

2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 519.17(075.8)
ББК 22.181.2я73
 
О74

Р е ц е н з е н т ы:

О.В. Анашкин, доктор физико-математических наук, профессор, 

профессор Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;


А.И. Песчанский, доктор технических наук, профессор, профессор 

Севастопольского государственного университета

ISBN 978-5-16-018137-0 (print)
ISBN 978-5-16-111140-6 (online)
© Осипенко Г.С., 2023

Осипенко Г.С.

О74  
Компьютерно-ориентированные методы динамических систем : 

учебное пособие / Г.С. Осипенко. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 
295 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/1912470.

ISBN 978-5-16-018137-0 (print)
ISBN 978-5-16-111140-6 (online)
Рассматриваются методы исследования глобальных свойств динами-

ческих систем, основанные на построении символического образа данной 
системы. Символический образ — это ориентированный граф, который 
является приближением к динамической системе и строится посредством 
дискретизации фазового пространства. Символическая динамика, порожденная 
ориентированным графом, отражает динамику исследуемой 
системы. Символический образ является инструмен том теоретического 
исследования и основой компьютерно-ориентированных методов численного 
изучения нелокальных свойств динамических систем.

Соответствует требованиям федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направле-

нию «Прикладная математика и информатика». Будет полезно для аспирантов 
и исследователей, изучающих динамические системы и их применение.


УДК 519.17(075.8) 

ББК 22.181.2я73

Предисловие

Предлагаемое читателю учебное пособие написано на основе 
специальных курсов «Компьютерное моделирование динамических 
систем» и «Символический анализ динамических систем», которые 
читались в Санкт-Петербургском политехническом институте 
Петра Великого и в Санкт-Петербургском государственном университете, 
а также в Севастопольском филиале Московского университета 
имени М.В. Ломоносова.
Рассматриваемые компьютерно-ориентированные методы исследования 
глобальных свойств динамических систем основаны 
на использовании оригинального инструмента исследования, который 
называется символическим образом динамической системы. 
Символический образ — это ориентированный граф, который 
является приближением к динамической системе и строится 
посредством дискретизации фазового пространства. Символическая 
динамика, порожденная ориентированным графом, отражает 
динамику исследуемой системы. Символический образ 
является инструмен том теоретического исследования и основой 
компьютерно-ориентированных методов численного изучения нелокальных 
свойств динамических систем. Книгу можно рассматривать 
как продолжение лекций Dynamical Systems, Graphs, and 
Algorithms, серии Lecture Notes in Mathematics, vol. 1889 (2007). 
В предлагаемом издании излагаются теория и практика применения 
символического анализа. Основное внимание уделяется 
вопросам, которые не обсуждались или слабо освещены в упомянутой 
выше работе. Если результат уже доказан в этой работе, 
то здесь он приводится без доказательства. Для остальных результатов 
доказательства даются полностью. Материал наиболее 
полно отражает современное состояние данного направления исследований.

Книга предназначена для студентов бакалавриата и магистратуры 
по направлению подготовки «Прикладная математика 
и информатика». Кроме того, издание полезно для аспирантов 
и преподавателей естественно-научных факультетов и для исследователей, 
изучающих динамические системы и их применение. 
Для понимания большинства разделов достаточно знаний в объеме 
двух курсов математики для университетов. В последней главе 
излагаются алгоритмы теории графов, которые используются 
для компьютерной реализации описанных методов.

В результате изучения материалов учебного пособия студент 

будет:

знать

 
• дискретные динамические системы;

 
• численные методы дифференциальных уравнений;

 
• построение символического образа динамической системы;

 
• основные понятия теории графов;

 
• методы вычисления компонентов сильной связности;

 
• топологическую сортировку графа;

 
• алгоритмы определения экстремальных циклов;

уметь

 
• строить символический образ динамической системы;

 
• размещать и обрабатывать большие графы в компьютере;

 
• строить окрестность цепно-рекуррентного множества динами-

ческой системы;

 
• применять на практике методы и алгоритмы теории графов;

 
• строить аттракторы и их области притяжения;

 
• находить расширенный спектр усреднения функции;

 
• находить спектр Морса;

 
• применять численные методы для решения практических задач;

владеть

 
• методами и алгоритмами решения задач нелинейных систем 

дифференциальных уравнений;

 
• техникой применения методов теории графов для решения задач 

качественной теории динамических систем;

 
• методами решения прикладных задач.

Материал учебного пособия разбит на главы, в каждой главе из-

лагаются результаты, которые относятся к выбранной теме. Доказательства 
новых результатов излагаются полностью.

В главе 1 описаны основные понятия: динамическая система 

и способы ее задания, кодировка множеств, символическая динамика 
на ориентированном графе, детерминизм и ограниченная точность 
реального задания динамической системы.

В главе 2 дано определение символического образа и опи-

саны основные параметры и свойства. Показано, что допустимые 
пути на символическом образе соответствуют псевдотраекториям 
системы.

Глава 3 посвящена исследованию связи путей на символическом 

образе и траекторий динамической системы. Показано, что множество 
путей на графе сходится к множеству траекторий системы 
в тихоновской топологии, если диаметр дискретизации сходится 

к нулю. Теорема о локализации цепно-рекуррентного множества 
является результатом этой главы.

В главе 4 изучаются аттракторы, их области притяжения и филь-

трации динамических систем. Показано, что с помощью символического 
образа можно построить поглощающую окрестность любого 
аттрактора и получить оценку снизу области притяжения. Фильтрация 
динамической системы строится на основании топологической 
сортировки вершин символического образа.

Глава 5 посвящена построению инвариантных мер динамической 

системы. Поток на символическом образе есть вероятностное распределение 
на ребрах, удовлетворяющее закону Кирхгофа. Потоки 
являются приближением для инвариантных мер исходной системы. 
Показано, что множество потоков на символическом образе сходится 
к множеству инвариантных мер в слабой топологии, если 
диаметр дискретизации сходится к нулю.

Глава 6 посвящена изучению эргодических мер. Простой поток 

на графе — это равномерное распределение на замкнутом цикле 
(без повторения вершин). Простые потоки символического образа 
являются аналогом эргодических мер. Показано, что согласованные 
простые потоки сходятся к эргодическим мерам, если диаметр дискретизации 
сходится к нулю.

В главе 7 определяются топологическая и метрическая энтропии 

символического образа, исследуется их связь с аналогичными понятиями 
динамической системы. Показано, что можно построить 
инвариантную меру максимальной энтропии.

Глава 8 посвящена изучению спектра усреднения функции 

над псевдотраекториями динамической системы. Показано, что 
спектр состоит из отрезков, каждый из которых порожден компонентой 
цепно-рекуррентного множества и совпадает с усреднением 
функции над инвариантными мерами. Излагается метод вычисления 
спектра усреднения, который основан на вычислении экстремальных 
циклов оснащенного символического образа.

Глава 9 посвящена исследованию показателей Ляпунова и вы-

числению спектра Морса, который есть усреднением функции над 
псевдотраекториями динамической системы, порожденной дифференциалом 
Df на проективном расслоении. Исследован спектр 
Морса в случае гомоклинического касания.

Глава 10 посвящена исследованию гиперболичности и струк-

турной устойчивости динамической системы. Показано, что система 
гиперболична в некоторой области, если спектр Морса в этой области 
не содержит нуля. Поэтому символический образ позволяет 
численно проверить гиперболичность. Изучаются методы проверки 

структурной устойчивости. Показано, что существует метод, позволяющий 
проверить структурную устойчивость системы за конечное 
число шагов, что дает возможность компьютерной проверки.

Глава 11 посвящена численным экспериментам. Описана 

компьютерно-ориентированная технология исследования динамических 
систем, основанная на результатах предыдущих глав. Показана 
локализация цепно-рекуррентного множества отображения 
Жюлиа, рассмотрен пример построения аттрактора и его области 
притяжения для уравнения Дуффинга. Реализован тест на гиперболичность 
цепно-рекуррентного множества отображения Икеды. 
Описан пример построения гомоклинической траектории. Рассмотрены 
биологические системы с памятью. Исследована динамика 
макроэкономической модели «нацио нальный доход — ставка 
процента — уровень цен», где описан переход к хаосу.

В главе 12 собраны результаты, необходимые для понимания 

лекций. Излагаются алгоритмы теории графов, которые используются 
для компьютерной реализации методов символического анализа.

Глава 1.  

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

1.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Дискретная динамическая система порождается отображением 

:
→
f M
M, где M является ограниченной замкнутой областью в Rd 

или компактным римановым многообразием. Предполагается, что f 
есть гомеоморфизм, т.е. f есть непрерывное отображение и существует 
обратное отображение f–1, которое является непрерывным. 
Состояние системы определяется точкой 
∈
x
M, и динамика зада-

ется итерационным равенством

 
(
)
1
+ =
n
n
x
f x
, 
(1.1)

где последующее состояние системы xn+1 однозначно определяется 
предшествующим состоянием xn посредством отображения f. Равенство (
1.1) называют разностным уравнением, а целые числа 

∈
n
трактуются как дискретное время. Эволюция состояния 

системы определяется последовательностью точек 
1
{
,
+ =
n
n
x
x
 

(
),
}
∈
=
n
f x
n
, которая именуется траекторией или орбитой точки 

0
=
x
x  и обозначается Tr(x). В этом случае

 
( )
{
}
( )
,
=
=
∈
n
n
Tr x
x
f
x
n
, 

где 
0
1
( )
,
( )
(
) ( )
−
−
=
=
n
n
f
x
x
f
x
f
x . Множество M называют фазовым 

пространством системы, и, как правило, оно обладает некоторой 
структурой. Например, с теоретической точки зрения удобно считать, 
что M есть компактное риманово многообразие. Для дискретной 
системы выполнено групповое свойство

 
( )
( )
(
);
,
.
+
=
∈
n m
n
m
f
x
f
f
x
n m


Непрерывная динамическая система обычно задается как авто-

номная система дифференциальных уравнений

 
( ).
=
dx
F x
dt
  
(1.2)

Пусть 
( , )
Φ t x  есть решение системы (1.2) с начальными дан-

ными 
(0, )
Φ
=
x
x  и отображение 
( , )
Φ t x  определено для всех 

,
∈
∈
t
x
M
. Эволюция состояния непрерывной системы опреде-

ляется кривой 
0
{
( ,
),
}
= Φ
∈
x
t x
t
, которая называется траекторией 

точки x0. Непрерывная динамическая система также обладает групповым 
свойством [23, с. 27]:

 
(
)
(
)
(
)
,
,
,
;
,
.
Φ
+
= Φ
Φ
∈
t
s x
t
s x
s t


Непрерывная динамическая система порождает дискретную 

систему посредством отображения ( )
(1, )
= Φ
f x
x , которое есть сдвиг 

на единицу времени вдоль траекторий системы дифференциальных 
уравнений (1.2). При этом динамика построенной дискретной 
системы определяет динамику непрерывной системы (1.2).

Периодические системы дифференциальных уравнений имеют 

вид

 
(
)
,
=
dx
F t x
dt
, 
(1.3)

где ( , )
F t x  — векторное поле, периодическое по t с периодом T. 

Пусть 
( , )
Φ t x  есть решение системы (1.3) с начальными данными 

(0, )
Φ
=
x
x. Система (1.3) генерирует дискретную динамическую 

систему посредством отображения ( )
( , )
= Φ
f x
T x , которое явля-

ется сдвигом на период вдоль решений системы дифференциальных 
уравнений. Отображение ( , )
Φ T x  называют отображением 

Пуанкаре. А. Пуанкаре ввел описанное отображение и показал, 
что динамика построенной дискретной системы определяет динамику 
периодической системы дифференциальных уравнений (
1.3).

Постановка задачи. Пусть динамическая система задана уравне-

нием (1.1). Наша цель состоит в определении глобальных свойств 
динамики системы компьютерно-ориентированными методами без 
какой-либо предварительной информации о свойствах системы. 
Вся информация о динамике может быть получена посредством 
компьютерно-ориентированных алгоритмов из заданных отображения 
f и области M. Для этого будет разработана и обоснована 
компьютерно-ориентированная технология исследования динамики, 
основанная на анализе символического образа. Символический 
образ динамической системы — это ориентированный граф, 
построенный для покрытия фазового пространства довольно мелкими 
ячейками. Такая технология позволяет локализовать множество 
цепно-рекуррентных траекторий, определить аттракторы 
и их области притяжения, инвариантные меры, оценить метриче-

скую и топологическую энтропии, построить спектр усреднения 
функции, вычислить спектр Морса, определить гиперболичность 
и структурную устойчивость.

1.2. КОДИРОВКА

Современная теория и практика динамических систем ставит 

задачу описания глобальной структуры траекторий и свойств динамики 
системы. Важнейшим инструмен том, позволяющим исследовать 
такие сложные явления, как хаос, странные аттракторы 
и т.д., является метод символического анализа динамики систем. 
Название отражает основную идею: описание динамики посредством 
кодировки траекторий последовательностями символов.

Как пример, рассмотрим кодировку точек канторова множества, 

которое получается из отрезка следующим образом. Отрезок делится 
на три равные части, и средний (открытый) отрезок выбрасывается. 
Каждый из оставшихся отрезков снова делится на три 
части, и выбрасывается средняя часть и т.д. Все, что останется 
после бесконечного повторения описанной процедуры, является 
канторовым множеством. Каждая точка этого множества есть 
предел вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю. 
Будем кодировать последовательность вложенных отрезков с помощью 
двух символов 0 и 1. На каждом шаге мы выбираем один 
из двух отрезков — левый или правый. Выбор левого отрезка кодируем 
0, выбор правого отрезка кодируем 1. Например, последовательность 
0110… означает, что сначала был выбран левый отрезок, 
на втором шаге деления выбран правый отрезок, на третьем — снова 
правый, на четвертом — левый и т.д. Таким образом, бесконечная 
последовательность из нулей и единиц кодирует последовательность 
вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, 
а в пределе будет точка канторова множества. Каждая точка кан-
торова множества однозначно определяется последовательностью 
из нулей и единиц. Отметим, что вместо 0 и 1 можно взять любые 
два символа, например л и п, что интерпретируется как левый 
и правый. Тогда каждой точке канторова множества соответствует 
бесконечная последовательность (слово) из двух символов (букв) л 
и п. Таким образом, кодировка не зависит от вида конкретных символов, 
а определяющим является их последовательное чередование.

На множестве всех последовательностей из двух символов 

можно ввести расстояние, которое порождено расстоянием на исходном 
отрезке. Для определенности будем считать, что отрезок 
есть [0, 1], а кодировка осуществляется символами 0 и 1. Тогда 

при каждом делении число отрезков увеличивается вдвое, а длина 
отдельного отрезка уменьшается в 3 раза. После N делений длина 
отдельного отрезка составляет 3–N.

Пусть ω и σ — две последовательности из нулей и единиц, ко-

торые кодируют числа α и β из канторова множества. Предположим, 
что в этих последовательностях совпадают первые N 
элемен тов, но (N + 1)-е элемен ты различны. Тогда числа α и β 
лежат в одном отрезке длиной 3–N, но на следующем делении они 
оказались в разных отрезках, между которыми лежит отрезок 
длиной 3–(N + 1). Следовательно, расстояние ( , )
ρ α β  между α и β удо-

влетворяет неравенствам

 
(
)
(
)
1/3
1
,
1/3
+
≤ ρ α β ≤
N
N. 

Поэтому мы можем положить расстояние между последователь-

ностями ω и σ равным 3–N или 3–(N + 1). Аналогично мы можем определить 
расстояние для последовательностей из любых символов.

1.3. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА

Впервые кодировку применил Ж. Адамар в 1898 г. [63] при ис-

следовании геодезических потоков на поверхностях отрицательной 
кривизны. Основателем методов символической динамики считается 
X. Морс [81]. Название символическая динамика ввели Х. Морс 
и Ж. Хедлунд [82].

В 1935 г. Г. Биркгоф [51] впервые применил символическую 

динамику для кодировки траекторий вблизи гомоклинической орбиты. 
С. Смейл использовал ту же технику при построении так называемой 
подковы — простой модели хаотической динамики [107]. 
В.М. Алексеев применил метод символической динамики для исследования 
задач небесной механики [1, 2]. Он использовал термин 
символический образ для обозначения пространства допустимых последовательностей 
при кодировании траекторий системы.

Краткое описание символической динамики. Пусть имеется ко-

нечный набор символов 
{ , , ,
}
=
…
S
a b c
. Рассмотрим множество бес-

конечных в обе стороны последовательностей

 
{
}
{
}
2
1
0
1
2
,
,
,
,
,
x
x
x
x
x x
−
−
=
= …
…
Σ
 

символов из S. В пространстве последовательностей Σ можно ввести 
расстояние, как это описано выше: если последовательности x и y 
совпадают на отрезке 
≤
i
N , т.е.