Модели телетрафика

МОДЕЛИ 

ТЕЛЕТРАФИКА

М. ПАГАНО
В.В. РЫКОВ
Ю.С. ХОХЛОВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Под общей редакцией В.В. Рыкова

Рекомендовано Учебно-методическим советом ВО 

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, 

обучающихся по направлениям подготовки  

01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 

02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 

02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии» 

(квалификация (степень) «бакалавр»)

Москва 
ИНФРА-М 

202

УДК 621.391(075.8) 
ББК 32.88я73
 
П12

Пагано М. 

Модели телетрафика : учебное пособие / М. Пагано, В.В. Рыков, 

Ю.С. Хохлов ; под общ. ред. В.В. Рыкова. — Москва : ИНФРА-М, 
2024. — 178 с. — (Высшее образование). — DOI 10.12737/textbook_5bd-
709f990a273.05500590.

ISBN 978-5-16-019526-1 (print)
ISBN 978-5-16-106633-1 (online)

Основная цель предлагаемого курса состоит в том, чтобы дать обзор 

существующих математических моделей трафика в телекоммуникационных 
системах, показать источники их происхождения и возможное применение. 
Материал курса опирается на традиционные курсы высшей 
математики, а также курсы теории вероятностей и теории случайных 
процессов в объеме, предлагаемом в технических университетах.

Соответствует требованиям Федеральных государственных образова-

тельных стандартов высшего образования последнего поколения.

Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата и маги-

стратуры, обучающихся по направлениям подготовки 01.03.02 (01.04.02) 
«Прикладная математика и информатика», 02.03.02 (02.04.02) «Фундаментальная 
информатика и информационные технологии», 02.03.01 (02.04.01) 
«Математика и компьютерные науки», а также может быть использовано 
при подготовке специалистов по другим направлениям, где изучаются 
дисциплины с подобным или близким содержанием. Надеемся, что издание 
привлечет также внимание аспирантов и специалистов, интересующихся 
математическим моделированием процессов в телекоммуникационных 
сетях.  

УДК 621.391(075.8)

ББК 32.88я73

П12

ISBN 978-5-16-019526-1 (print)
ISBN 978-5-16-106633-1 (online)

© Пагано М., Рыков В.В., 

Хохлов Ю.С., 2019

Р е ц е н з е н т ы:

Морозов Е.В., доктор физико-математических наук, профессор Петро-

заводского государственного университета;

Федоткин М.А., доктор физико-математических наук, профессор На-

ционального исследовательского Нижегородского государственного университета 
имени Н.И. Лобачевского

Предисловие

Настоящее издание представляет собой обработку материалов 
лекций, читавшихся в течение ряда лет профессором университета 
г. Пизы (Италия) М. Пагано студентам, обучающимся по специальности «
Теория вероятностей и математическая статистика», 
Российского университета дружбы народов, Петрозаводского, 
Тверского и Томского государственных университетов.
Профессор В.В. Рыков отредактировал и окончательно обработал 
текст, добавил некоторые результаты, относящиеся к теории 
периодических пуассоновских процессов, применению моделей 
систем массового обслуживания.
Профессор Ю.С. Хохлов предоставил материал по самоподоб-
ному трафику, моделям распределений с тяжелыми хвостами и долговременной 
зависимостью и методам оценивания характеристик 
таких моделей.
Основная цель курса: дать обзор существующих моделей трафика 
в телекоммуникационных системах, показать источники их 
происхождения и возможные применения. Таким образом, курс 
представляет собой в некотором смысле обзор существующих моделей 
трафика в телекоммуникационных системах. Естественно, 
невозможно представить все существующие модели, поэтому курс 
отражает интересы авторов в рассматриваемом направлении.
Основной единицей курса является параграф, поэтому нумерация 
формул, рисунков, таблиц, теорем и т.п. своя внутри каждого 
параграфа. В конце каждого параграфа приведены вопросы и задания 
для самоконтроля, упражнения, задачи и краткие библиографические 
замечания.
Большая часть материалов опирается на традиционные курсы 
теории вероятностей, случайных процессов и стохастических сетей. 
В данном пособии авторы избегают ссылок на первоисточники, так 
как они в большинстве случаев малодоступны российскому читателю. 
Вместо этого даются ссылки на более доступные учебные материалы 
и монографии с указанием имен авторов приводимых результатов. 
Упоминания первоисточников (возможно, без ссылок) 
содержатся либо в библиографических примечаниях, помещенных 
после каждого раздела, либо внутри текста.
Предварительную подготовку текста осуществили студентки 
кафедры ТВиМС РУДН Е. Вихарева, И. Стальченко, О. Швецова, 
которым авторы выражают искреннюю благодарность.

Список обозначений и сокращений

R — действительная прямая;
1{A} — индикаторная функция события A;
сov(X, Y) — ковариация;
сov(u, v) = covY(Y(u), Y(v)) — ковариационная функция;
ρ(u, v) — корреляционная функция;

С = σ
μ — коэффициент вариации;

ρ(X, Y) — коэффициент корреляции;
Z = {…, –1, 0, +1, ...}, Z+ = {0, 1, 2, ...} — ряд натуральных чисел;
N(μ, σ2) — семейство нормально распределенных случайных величин (
с.в.) с параметрами μ, σ2;
P, M, D — символы вероятности, математического ожидания, 
дисперсии;
F(x), x > 0 — функция распределения (ф.р.) с.в.;

1
0
( ) :
( ),
;
F x
F x
x
=
−
>
 

( )
x
Φ
 — функция стандартного нормального распределения;
⇒ — слабая сходимость распределений случайных величин и векторов 
или конечномерных распределений случайных процессов;
BH — дробное броуновское движение с параметром H;
Lα — α-устойчивое движение Леви.
Архитектура:
 
• дифференцированного обслуживания — Differentiated Services 
(DiffServ);
 
• интегрированного обслуживания — Integrated Services (IntServ);
 
• открытых систем.
Время двойного оборота — Round Trip Time (RTT).
Закон больших чисел (ЗБЧ):
 
• усиленный закон больших чисел (УЗБЧ).
Интернет:
 
• асинхронный режим передачи — Asynchronous Transfer Mode 
(ATM);
 
• интернет-протокол — Internet Protocol (IP);
 
• максимальный размер пачки — Maximum Burst Size (MBS);
 
• мультипротокольная коммутация меток — Multiprotocol Label 
Switching (MPLS):
 
• окно перегрузки — control windows (cwnd);
 
• пропускная способность соединения (Throughput);

• протокол пользовательских дейтаграмм — User Datagram Pro-
tocol (UDP);
 
• протокол управления допустимостью соединения — Connec-
tion Admission Control (CAC);
 
• протокол управления передачей — Transmission Control Pro-
tocol (TCP);
 
• случайное раннее обнаружение — Random Early Detection 
(RED);
 
• ширина полосы пропускания (Bandwidth).
Модели регрессионного типа:
 
• модель авторегрессии порядка p — AutoRegressive process 
(AR(p));
 
• модель скользящего среднего порядка q — Moving Average 
process (MA(p, q));
 
• модель авторегрессии и скользящего среднего порядков p и q — 
AutoRegressive Moving Average process (ARMA(p, q));
 
• проинтегрированная модель авторегрессии и скользящего 
среднего порядков p, d, q — AutoRegressive Integrated Moving 
Average process (ARIMA(p, d, q)).
Обслуживание:
 
• взвешенное справедливое — Weighted Fair Queuing (WFQ);
 
• в порядке поступления — First Come First Served (FCFS) или 
First In First Out (FIFO);
 
• в случайном порядке — Service In Random Order (SIRO);
 
• инверсионная — Last Come First Served (LCFS) или Last In 
First Out (LIFO);
 
• приоритетная дисциплина обслуживания — Priority Service:
 
– с динамическими приоритетами;
 
– с относительным приоритетом — Head of the Line (HoL);
 
– с прерыванием — Preemptive Resume (PR):
 
с прерыванием и дообслуживанием — Prolong Pre-
emptive  Resume (PPR);
 
с прерыванием и обслуживанием заново — Repeat 
 Pre emptive Resume (RPR);
 
с прерыванием и потерей прерванного вызова — Lost 
Preemptive Resume (LPR);
 
• равномерного разделения прибора — Processor Sharing (PS);
 
• циклического обслуживания — Round Robin (RR);
 
• качество обслуживания — Quality of Service (QoS).
Преобразование:
 
• Лапласа (ПЛ);
 
• Лапласа — Стилтьеса (ЛСП).

Распределение:
 
• гиперэкспоненциальное;
 
• гипоэкспоненциальное;
 
• Кокса;
 
• показательное;
 
• с почти отсутствующей памятью (ПОП-распределение);
 
• с длинными хвостами (Long tails distributions);
 
• субэкспоненциальное (Subexponential distribution);
 
• с правильно меняющимся хвостом;
 
• с тяжелыми хвостами (Heavy tails distributions);
 
• фазового типа — Phase-type distribution (PH-распределение);
 
• Эрланга.
Свойство:
 
• долговременной зависимости — Long Range Dependence 
(LRD);
 
• кратковременной зависимости — Short Range Dependence 
(SRD).
Система:
 
• маршрутизатор — Router;
 
• массового обслуживания (СМО);
 
• оконечная — End systems or Hosts;
 
• средства пользователя и серверы — Servers.
Случайная величина (с.в.):
 
• независимые одинаково распределенные случайные величины (
н.о.р. с.в.);
 
• плотность распределения с.в. (п.р.);
 
• функция распределения с.в. (ф.р.);
 
• производящая функция вероятностей (п.ф.в.);
 
• производящая функция моментов с.в. и ее распределения 
(п.ф.м.).
Случайный поток событий:
 
• ведущая функция;
 
• движение;
 
• марковский — Markov Arrival Process (MAP):
 
– с групповым поступлением пакетов — Batch Markov Arrival 
Process (BMAP);
 
• перемешивание;
 
• полумарковский (ПМПС);
 
• пуассоновский (ПП):  
 
– общий (ОПП);
 
– однородный:
 
интенсивность;

– разрежение;
 
• рекуррентный;
 
• cтационарный;
 
• сумма (наложение).
Случайный процесс (с.п.):
 
• винеровский, процесс броуновского движения;
 
• дробное броуновское движение — Fractional Brownian Motion 
(FBM);
 
• восстановления:
 
– простой;
 
– общий, с запаздыванием;
 
– стационарный;
 
– плотность восстановления;
 
– функция восстановления;
 
• гауссовский;
 
• диффузионный;
 
• коэффициенты:
 
– сноса и диффузии;
 
• Леви:
 
– устойчивый процесс Леви;
 
– дробное движение Леви;
 
• марковский (МП);
 
• марковский процесс восстановления (МПВ);
 
• марковский процесс поступления требований — Markov 
Arrival Process (MAP);
 
• MAP с групповым поступлением пакетов — Batch Markov 
Arrival Process (BMAP);
 
• марковский скачкообразный (МП);
 
• рождения и гибели (ПРГ):
 
– интенсивности рождения и гибели;
 
• МП с дискретным временем, марковская цепь (МЦ):
 
– вложенная марковская цепь;
 
– поглощающая;
 
– граф переходов МЦ;
 
• полумарковский (ПМП);
 
• полумарковская цепь (ПМЦ);
 
• полурегенерирующий (ПРП):
 
– переходная вероятность ПРП;
 
• пуассоновский (см. также Пуассоновский поток, ПП);
 
• дважды стохастический пуассоновский процесс — Double 
Stochastic Poisson Process (DSPP).

 
• общий пуассоновский поток (процесс) (ОПП):
 
– периодический пуассоновский процесс (ППП);
 
– сложный пуассоновский;
 
– простейший (простейший поток):
 
интенсивность;
 
• составной пуассоновский процесс;
 
• марковский модулированный пуассоновский процесс — 
Markov Modulated Poisson Process (MMPS);
 
• обрывающийся пуассоновский процесс — Interrupted Poisson 
Process (IPP);
 
• ведущая функция ПП;
 
• мгновенная интенсивность пуассоновского процесса;
 
• с независимыми приращениями (ПНП);
 
• точечный (ТП);
 
• маркированный (МТП);
 
• рекуррентный ТП (РТП);
 
• самоподобный;
 
• параметр Хёрста, H;
 
• самоподобный со стационарными приращениями — self-
similar process with stationary increments (H-sssi);
 
• простейший точечный процесс, или простейший поток (ПП);
 
• считающий, счетчик.
Теория массового обслуживания (ТМО).
Центральная предельная теорема (ЦПТ).

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В КУРС

1. ЧТО ТАКОЕ ИНТЕРНЕТ?

1.1. Общие сведения
Удивительное создание человеческого разума последних лет — 
Интернет — интенсивно развивается, охватывая все направления 
человеческой деятельности и отрасли современной индустрии. 
 Понятно, что Интернет является привлекательным и для математического 
сообщества. В некотором смысле открытые системы (к которым 
относится и так называемый общедоступный Интернет, 
или просто Интернет) похожи на само человеческое сообщество. 
 Однако если последнему потребовалось несколько десятков тысячелетий, 
чтобы разработать свои методы объединения в группы 
и процедуры взаимоотношений, Интернет прошел этот путь за несколько 
десятков лет.
Интернет соединяет миллиарды компьютеров, создавая глобальную 
инфраструктуру связи, хранения и передачи информации 
и ее обработки. Более того, Интернет агрессивно вторгается во все 
новые области человеческой деятельности (или они используют 
его), такие как мобильная телефония, домашнее обслуживание 
и т.п., создавая впечатляющий объем новых приложений.
В этом кратком введении в курс, посвященном моделям трафика 
в Интернете, используются некоторая базовая терминология 
и его основные понятия [5]. Интернет состоит из технических 
и программных средств. Технические средства включают в себя:
 
• средства пользователя и серверы (servers). Большинство из этих 
средств — это традиционные настольные персональные компьютеры (
Personal Computers — PC), рабочие станции на основе 
UNIX. К ним относятся также современные средства, такие как 
мобильные компьютеры, мобильные телефоны, телевизоры 
и другие существующие, проектируемые или изобретаемые 
средства проникновения в Интернет, например интернет-вещей 
(Internet of Things — IoT). На языке Интернета все эти устройства 
называются оконечными системами (end systems or hosts).
Число пользователей Интернета с 1999 (тогда их было 280 млн) 
по 2013 г. увеличилось в 10 раз и, по различным оценкам, в начале 
2017 г. составляло около 3,5 млрд [52];

• оконечные системы связаны каналами связи (links). Есть много 
типов каналов — коаксиальный кабель, медный провод, оптоволокно, 
беспроводная радиосвязь и т.п. Различные каналы передают 
данные с различными скоростями. Скорость передачи 
информации каналом (бит/с, b/s) часто называют шириной полосы 
пропускания (bandwidth); она существенно влияет на трафик 
в сети и, следовательно, должна учитываться при его моделировании;
 
• 
маршрутизаторы (routers). Задачей маршрутизаторов является 
построение маршрута между оконечными системами.
К программным средствам Интернета относятся:
 
• различные протоколы установления соединений и передачи информации;
 
• 
программные средства многочисленных приложений.
Для организации согласованной работы различных провайдеров, 
локальных, корпоративных, национальных и прочих сетей 
были разработаны интернет-стандарты, которые содержат общие 
требования, используемые для решения различных проблем Интернета.

Интернет и компьютерные сети вообще интенсивно используют 
протоколы для выполнения различных задач. Понятие протокола 
(как и многое другое) пришло в Интернет из нашей повседневной 
практики, где мы постоянно используем протоколы для установления 
контакта и ведения диалога. В нашем общении также существуют 
многочисленные протоколы. Они включают звуковой 
(аудио), визуальный (видео), контактный и другие виды общения. 
Отметим, что содержательная часть диалога остается за рамками 
протокола. Ясно, что протоколы не работают, когда люди начинают 
общение на «разных» (в прямом и переносном смысле) языках.
Аналогичная ситуация имеет место в сетевых протоколах. Сетевой 
протокол подобен правилам общения между людьми, 
за исключением того, что объектами, обменивающимися сообщениями 
и предпринимающими действия, являются технические 
и программные компоненты сети (например, компьютеры, маршрутизаторы 
или другие устройства).
Любая деятельность в Интернете, которая включает две или 
более удаленные взаимодействующие единицы, управляется с помощью 
протоколов. Например, протоколы в маршрутизаторах 
определяют путь пакета от источника к месту назначения, встроенные (
технические) протоколы в картах сетевого интерфейса двух 
физически связанных компьютеров управляют потоком битов 
в «проводе» между двумя картами сетевого интерфейса, протоколы