Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel и языка R

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  
БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»  
(ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Л.Р. Борисова, Н.И. Светлова, И.Ю. Седых

МАТЕМАТИКА  
И АНАЛИЗ ДАННЫХ  
С ПОДДЕРЖКОЙ MS EXCEL  
И ЯЗЫКА R
 
Учебное пособие

Под редакцией И.Ю. Седых

МОСКВА
2023

ISBN 978-5-00172-445-2

УДК 517(073)
ББК 22.16173
 
Б82
Авторы:
Борисова Л.Р., кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;

Светлова Н.И., кандидат пед. наук, ст. преподаватель департамента 
математики Финансового университета при Правительстве Российской Федерации;

Седых И.Ю., кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент департамента 
математики Финансового университета при Правительстве Российской 
Федерации.
Рецензенты:
Егупова М.В., доктор пед. наук, доцент, профессор кафедры теории и 
методики обучения математике и информатике ФГБОУ ВО МПГУ;
Жукова Г.С., доктор физ.-мат. наук, профессор, профессор департамента 
анализа данных и машинного обучения Финансового университета 
при Правительстве Российской Федерации.

Б82
Борисова Л.Р.
Математика и анализ данных с поддержкой MS Excel 
и языка R: Учебное пособие / Л.Р. Борисова, Н.И. Светлова, 
И.Ю. Седых; под ред. Седых И.Ю. — М.: Прометей, 
2023. — 728 с.

ISBN 978-5-00172-445-2
Данное учебное пособие «Математика и анализ данных с поддержкой MS 
Excel и языка R» разработано для учебного и методического обеспечения организации 
и проведения учебного процесса по дисциплине «Математика и анализ 
данных» для студентов, обучающихся по направлениям подготовки «Гостиничное 
дело», «Государственное и муниципальное управление», «Политология», 
«Социология», «Туризм», «Управление персоналом» по программе подготовки 
бакалавра в соответствии с Федеральными государственными образовательными 
стандартами высшего образования последнего поколения. 
В учебном пособии последовательно излагаются общие характеристики 
табличного процессора MS Excel и языка программирования R с дальнейшим 
применением их по мере изучения основных положений линейной 
алгебры, математического анализа, теории вероятностей и математической 
статистики. Каждый раздел начинается с изложения теоретического материала, 
снабженного большим количеством решенных примеров разного уровня 
сложности. Решение примеров проводится традиционным способом, а также 
для основных типов задач приводится реализация решения в MS Excel  
и с использованием языка R. В каждом разделе находятся задачи для самостоятельного 
решения, ответы к которым приведены в конце пособия.
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов, обучающихся 
по программам академического бакалавриата, изучающих вышеперечисленные 
разделы математики, и стремящихся освоить современные 
инструментальные средства и их применение при решении задач. Также 
оно может быть рекомендовано для программ прикладного бакалавриата, 
при обучении слушателей бизнес-школ, колледжей, также для программ 
повышения квалификации и всем желающим приобрести основы математических 
знаний.

©  Борисова Л.Р., Светлова Н.И., Седых И.Ю. 
2023
© Издательство «Прометей», 2023

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ..................................................................................7

Введение в MS Excel ......................................................................9

Введение в язык программирования R .....................................20

Раздел I 
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Глава 1. Векторы, матрицы, определители ...............................30
1.1. Матрицы и операции над ними ...............................30
1.2. Определитель квадратной матрицы .........................48
1.3. Обратная матрица .................................................56
1.4. Векторные пространства и п-мерные векторы ...........70
1.5. Ранг матрицы .......................................................79
Задачи для самостоятельного решения ........................85

Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений ........91
2.1. Основные понятия и определения ...........................91
2.2. Методы решений систем линейных уравнений ..........93
2.3. Однородные системы линейных уравнений ............. 110
Задачи для самостоятельного решения ...................... 117

Глава 3. Линейные преобразования (операторы) ..................122
3.1. Определение линейного оператора и его матрица ..... 122
3.2. Собственные векторы и собственные числа ............. 125
Задачи для самостоятельного решения ...................... 133

Глава 4. Задачи оптимизации. Линейное 
программирование ....................................................................135
4.1. Выпуклые множества в п-мерном пространстве ....... 135
4.2. Основная задача линейного программирования ...... 140
4.3. Графический метод решения ................................ 145
4.4. Транспортная задача ........................................... 161
Задачи для самостоятельного решения ...................... 173

Раздел II 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Глава 5. Функции одной переменной .......................................219
5.1. Понятие функции. Основные свойства функций ...... 219
9.2. Основные элементарные функции и их графики ...... 222
5.3. Классификация функций. Преобразование  
графиков ........................................................... 232
Упражнения и задачи с решениями ............................. 236

Глава 6. Пределы и непрерывность .........................................245
6.1. Числовая последовательность и ее предел ............... 245
6.2. Предел функции ................................................. 249
6.3. Бесконечно малые и бесконечно большие  
величины .......................................................... 251
6.4. Основные теоремы о пределах. Признаки 
существования предела........................................ 254
6.5. Первый и второй замечательные пределы ............... 256
6.6. Вычисление пределов. Раскрытие 
неопределенностей различных типов ..................... 259
6.7. Непрерывность функции. Точки разрыва. 
Асимптоты ........................................................ 277
Упражнения и задачи с решениями ............................. 284

Глава 7. Дифференциальное исчисление ................................294
7.1. Определение и геометрический смысл производной . 294
7.2. Правила дифференцирования. Производные 
основных элементарных функций. Производная 
сложной функции ............................................... 298
7.3. Основные теоремы дифференциального 
исчисления. Правило Лопиталя ............................ 304
7.4. Интервалы монотонности. Экстремумы функции .... 310
7.5 Производные высших порядков. Точки перегиба 
функций ............................................................ 314
7.6/ Общая схема исследования функций  
и построения их графиков .................................... 317
7.8. Дифференциал функции ...................................... 340

7.9. Экономические приложения пределов 
и производной .................................................... 344
Задачи для самостоятельного решения ...................... 349

Глава 8. Интегральное исчисление ..........................................354
8.1. Первообразная функция. Неопределенный  
интеграл ............................................................ 354
8.2. Основные методы интегрирования ........................ 357
8.3. Определенный интеграл. Геометрический смысл 
определенного интеграла. Формула Ньютона — 
Лейбница .......................................................... 375
8.7. Геометрические приложения определенного 
интеграла .......................................................... 384
8.8. Несобственные интегралы .................................... 386
Задачи для самостоятельного решения ...................... 395

Глава 9. Функции нескольких переменных ............................398
9.1. Основные понятия. Частные производные 
функции нескольких переменных.......................... 398
9.2. Градиент функции двух переменных ...................... 401
9.3. Экстремум функции двух переменных ................... 404
9.4. Метод наименьших квадратов ............................... 405
Упражнения и задачи с решениями ............................ 409
Практико-ориентированные задачи .......................... 413
Задачи для самостоятельного решения ...................... 416

Раздел III  
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА, АНАЛИЗ ДАННЫХ

Глава 10. Случайные события ..................................................458
10.1. Случайные события и операции над ними ............. 458
10.2. Элементы комбинаторики .................................. 462
10.3. Различные определения вероятности ................... 467
10.4. Условная вероятность. Независимость событий ..... 477
10.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса  .... 486
10.6. Схема независимых испытаний ........................... 491
Задачи для самостоятельного решения ...................... 497

Глава 11. Случайные величины ...............................................503
11.1. Случайные величины. Функция распределения ..... 503
11.2. Дискретные случайные величины ....................... 505
11.3. Непрерывные случайные величины ..................... 518
11.4. Числовые характеристики случайных величин ...... 534
11.5. Предельные теоремы ......................................... 556
11.6. Функции случайных величин ............................. 569
11.7. Многомерные случайные величины ..................... 572
Задачи для самостоятельного решения ...................... 582

Глава 12. Математическая статистика ....................................588
12.1. Выборка и ее представление ................................ 588
12.2. Выборочные числовые характеристики ................ 603
12.3. Точечные оценки ............................................... 605
12.4. Интервальные оценки ........................................ 620
12.5. Проверка статистических гипотез ........................ 632
Задачи для самостоятельного решения ...................... 672

Глава 13. Парная линейная регрессия ....................................683
13.1. Построение модели парной линейной регрессии .... 683
13.2. Оценка качества уравнения регрессии. 
Коэффициент детерминации ................................ 688
13.3. Проверка значимости уравнения регрессии .......... 689
Задачи для самостоятельного решения ...................... 695

Ответы ........................................................................................697

Литература.................................................................................724

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие «Математика и анализ данных 
с поддержкой MS Excel и языка R» разработано 
для учебного и методического обеспечения организации 
и проведения учебного процесса по дисциплине «Математика 
и анализ данных» для студентов, обучающихся 
по направлениям подготовки «Гостиничное дело», «Государственное 
и муниципальное управление», «Политология», «
Социология», «Туризм», «Управление персоналом» 
по программе подготовки бакалавра в соответствии 
с Федеральными государственными образовательными 
стандартами высшего образования последнего поколения. 
Преподавание дисциплины «Математика и анализ 
данных» студентам, обучающимся по вышеперечисленным 
направлениям, имеет ряд особенностей, на которые 
стоит обратить внимание. Прежде всего, это широта круга 
охватываемых вопросов в течение ограниченного промежутка 
времени. Ситуация осложняется еще и тем, что 
дисциплина начинает преподаваться в первом семестре 
первого курса — то есть студентам — вчерашним школьникам. 

Все это требует от преподавателя больших усилий 
по организации и проведению учебного процесса. И надо 
помнить, что цель изучения дисциплины «Математика 
и анализ данных» (как и других дисциплин математического 
цикла) — научить студентов учиться, то есть находить, 
воспринимать и использовать в своей будущей профессиональной 
деятельности необходимую информацию. 
А источников этой информации в современной ситуации 
достаточно много (как традиционных, так и новейших).
В учебном пособии последовательно излагаются 
общие характеристики табличного процессора MS Excel 
и языка программирования R с дальнейшим применением 
их по мере изучения основных положений линейной 
алгебры, математического анализа, теории вероятностей 
и математической статистики. Пособие включает 

в себя главы «Введение в MS Excel», «Введение в язык 
программирования R» и три раздела: «Линейная алгебра», «
Математический анализ», «Теория вероятностей, 
математическая статистика и анализ данных». Каждый 
раздел начинается с изложения теоретического материала, 
снабженного большим количеством решенных примеров 
разного уровня сложности. Решение примеров проводится 
традиционным способом, а также для основных 
типов задач приводится реализация решения в MS Excel 
и с использованием языка R. В каждом разделе находятся 
задачи для самостоятельного решения, ответы к которым 
приведены в конце пособия.
В основе пособия лежат курсы лекций и материалы 
практических занятий, разработанные авторами по дисциплинам 
математического цикла по соответствующим 
направлениям подготовки в Финансовом университете 
при Правительстве Российской Федерации. Разделы 
1 — «Линейная алгебра», 2 — «Математический анализ» 
и 3 — «Теория вероятностей, математическая статистика 
и анализ данных» написаны И.Ю. Седых; все 
материалы, касающиеся применения MS Excel, разработаны 
Н.И. Светловой; все материалы, касающиеся 
использования языка R, разработаны Л.Р. Борисовой.
Пособие предназначено, в первую очередь, для студентов, 
обучающихся по программам академического 
бакалавриата, изучающих вышеперечисленные разделы 
математики, и стремящихся освоить современные инструментальные 
средства и их применение при решении 
задач. Также оно может быть рекомендовано и для программ 
прикладного бакалавриата, при обучении слушателей 
бизнес-школ, колледжей, также для программ 
повышения квалификации и всем желающим приобрести 
основы математических знаний.

ВВЕДЕНИЕ В MS EXCEL

Табличный процессор MS Excel предназначен 
для решения многофункциональных задач обработки разнотипной 
информации с применением множества инструментальных 
средств и встроенных функций. Таблицы 
состоят из строк, столбцов и листов. Вся информация 
заносится в клетки, адреса которых получаются из буквы 
столбца и номера строки (А9, С16, D29). Текущая клетка 
обведена утолщенной рамкой — курсором.
Примерный вид окна табличного процессора с описанием 
его элементов показан на рисунке ниже.

Практическая работа 1.  

Электронные таблицы. Основы работы

Тренировочная работа №1. Ввод текста в таблицу

1. Откройте электронные таблицы. 
2. Создайте таблицу:

A
B
C
D

1
Вид изделия
Название 
изделия
Цена  
в рублях
Стоимость 
в рублях

2

3

3. Для этого в клетки А1, B1, C1, D1 введите название 
граф, не обращая внимания на то, что вводимый текст 
не помещается в клетке.
Чтобы изменить выравнивание:
• Выделите диапазон ячеек A1:D1.
• Откройте в контекстном меню Формат ячеек. Щелкните 
на вкладке Выравнивание. В данной вкладке выберите 
нужные опции: Выравнивание: по горизонтали, 
по вертикали, Отображение: перенос по словам.
4. Измените шрифт в ячейках A1:D1, установив: 
Arial, полужирный, 12пт.
5. Измените ширину столбцов так, чтобы таблица 
смотрелась как в приведенном тексте .
6. Создайте обрамление таблицы предварительно 
выделив диапазон ячеек А1:D3.
7. Добавьте столбец после столбца В и введите текст 
в ячейку С1 Количество упаковок. 
8. Добавьте заголовок к таблице. Для этого вставим 
строку перед строкой с номером. Введем текст заголовка 
Список товаров в ячейку А1, установив Arial, полужир-
ный, 14пт.
9. Расположите заголовок таблицы по центру, предварительно 
выполнив объединение ячеек. 

10. Добавьте к заголовку еще одну строку с текстом 
кондитерской фирмы «Мишка-Машка», расположите 
его тоже по центру таблицы.
11. Добавьте еще одну пустую строку для отделения 
заголовка от таблицы.
Введите текст в ячейки таблицы так, чтобы получилась 
таблица:

A
B
C
D
E

1
Список товаров

2
кондитерской фирмы “Мишка-Машка”

3

4
Вид изделия

Название 
изделия
Количество 

упаковок  
по 0,5 кг

Цена 
в рублях
Стоимость 

в рублях

5
Шоколад 
(100 гр)
Аленка
100
12

6
Конфеты
Весна
21
67

7
Карамель
Чебу-
рашка
35
65

8
Карамель
Гусиные 
лапки
45
48

9
Конфеты
Мишка 
косолапый


34
120

10
Конфеты 
Каракум
27
98

11
Итого

Тренировочная работа №2. Ввод чисел  
в рабочую таблицу

1. Переименуйте Лист 2, дав ему новое имя — Задание 
2. Откройте лист Задание 2
2. Введите соответствующие значения в ячейки.

A
B
C
D
Е

1

2
501000000
(123)
–123
1/3
1 1/2

3
0,000000005
123,4567
123,4567
123,4567
123,4567

4
123,4567
123,4567
123,4567
123,4567

3. Как представлены числа в ячейках А2:D3 и почему?

Тренировочная работа №3. Форматирование чисел

1. Отформатируйте ячейки с числами введенными 
в предыдущем упражнении в следующих форматах 

Адрес 
ячейки
Формат
Число десятичных знаков 
после запятой

В3
Числовой
0

С3
Числовой
2

D3
Числовой
5

Е3
Дробный

В4
Процентный

С4
Экспоненциальный
(научный)

D4
Денежный (руб)

Е4
Денежный ($)

2. Удалите содержимое ячеек D4 и Е4 и введите в них 
любые числа. Обратите внимание, что при удалении 
содержимого формат ячейки не удаляется. 
3. Перейдите на лист Задание 1 и задайте числам 
в столбце Цена в рублях денежный формат.

Тренировочная работа №4. Заполнение соседних ячеек 
одинаковыми данными

1. Переименуйте Лист 3, дав ему новое имя — Задание 
3. Откройте лист Задание 3.

2. Введите в ячейку А1 текст (например, Утро). Вновь 
выделите ячейку А1. Рамка выделения имеет в правом 
нижнем углу утолщение в виде прямоугольника. Это так 
называемый маркер заполнения.
3. Подведите указатель мыши к маркеру заполнения. 
Добейтесь, чтобы указатель мыши принял вид тонкого 
черного креста. Удерживая нажатой левую кнопку мыши, 
переместите указатель на несколько ячеек вниз.
4. В ячейки С1 — С5 введите расписание занятий 
на сегодня.
5.  Выделите блок ячеек (С1 — С5), рамка выделения 
имеет общий маркер заполнения.
6. Протащите маркер заполнения на несколько ячеек 
вправо. Отрегулируйте ширину столбцов.
7. Выделите все блоки ячеек, кроме С1-С5 и удалите 
данные из этих ячеек (клавишей Delete).

Тренировочная работа №5. Использование списков 
для автозаполнения

1. В одну из ячеек введите название любого месяца.
2. Протащите маркер заполнения на несколько ячеек 
вниз. Вместо ожидаемого копирования произошло заполнение 
ячеек в соответствии с последовательным списком месяцев 
года. В электронных таблицах есть несколько списков 
заготовок: названия месяцев, дни недели, дата, время и т. п.).
3. Удалите все месяцы, кроме одного.
4. Выделите месяц и протащите маркер заполнения 
вверх. 
5. Выделите месяц и протащите маркер вправо, 
а затем влево. 
6. Проделайте то же самое для любого дня недели, 
затем с датой — 29.03.2017, потом с временем — 13:25:44. 

Тренировочная работа №6. Задание правила 
для заполнения

Иногда возникает необходимость заполнять соседние 
ячейки не одинаковыми данными, а в соответствии 

с каким-либо правилом. Самым распространенным примером 
может служить обычная нумерация (например, 
для нумерации столбцов или строк).
1. В ячейку D5 введите число 1. В ячейку D6 введите 
число 2. 
2. Выделите обе ячейки и протащите общий маркер 
заполнения вниз на несколько ячеек.
3. Повторите все действия предыдущего задания, 
только протащите маркер заполнения не вниз, а вверх, 
вправо, влево.
4. По аналогии с предыдущим примером составьте 
последовательности: нечетных чисел, четных чисел, 
чисел, кратных трем.
5. В ячейку E5 введите дату 06.10.2017. В ячейку 
E6 — 06.11.2017. Отметьте обе ячейки и протяните маркер 
заполнения на несколько ячеек вниз. 

Практическая работа №2.  

Ввод формулы в ячейку

Функциями называют объединения нескольких вычислительных операций 
для решения определенной задачи. Функции в электронных таблицах 
представляют собой формулы, которые имеют один или несколько аргументов. 
В качестве аргументов указываются числовые значения или адреса ячеек. 
Содержимое ячейки типа формула начинается со знака = и содержит 
указание, какие вычисления должны быть выполнены. При этом отображаемое 
в ячейке значение будет являться результатом вычислений.
Формулы автоматически пересчитывают свои значения, как только 
один из их аргументов изменен.

Тренировочная работа №1. Ввод формул  
в рабочую таблицу

Создайте заготовку для пункта обмена валюты таким 
образом, чтобы оператор мог вести число — сумму обмениваемых 
долларов и немедленно получить ответ в виде