Математические модели системы «человек-общество»

УДК 519.6
ББК 22.19
М 69

М и х а й л о в
А. П.,
П е т р о в
А. П.
Математические
модели
системы «человек–общество». — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2022. — 456 с. —
ISBN 978-5-9221-1909-2.

В монографии изложены подходы к математическому моделированию и изучены 
конкретные модели процессов из области демографии, психологии, социологии, 
политологии. В качестве методологической основы принята сформулированная 
академиком А.А. Самарским триада «модель–алгоритм–программа»,
описывающая ключевые этапы моделирования. Особое внимание уделяется
построению математических моделей на основании гипотез о поведении как
индивидов, так и социальных групп, с учетом теоретических представлений
и эмпирически полученных закономерностей, установленных в соответствующих 
отраслях научного знания. Для всех рассматриваемых моделей проведено
исследование аналитическими или численными методами, с содержательной
трактовкой математических результатов.
Книга предназначена научным работникам, преподавателям, аспирантам
и студентам, интересующимся проблемами применения математических методов 
и моделей к социальным и гуманитарным наукам.

ISBN 978-5-9221-1909-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2022

c⃝ А. П. Михайлов, А. П. Петров, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

Г л а в а 1. Некоторые традиционные математические методы социальных 
наук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Применение нелинейной регрессии в социологических исследованиях
17
1.1.1. Основные понятия регрессионного анализа . .. . . . . . . . . . .
18
1.1.2. Функциональная спецификация нелинейной регрессии . .. . .
22
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
29
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.2. Принцип максимального правдоподобия, пробит-анализ и логит–
анализ . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.2.1. Принцип максимального правдоподобия . .. . . . . . . . . . . . .
30
1.2.2. Пробит-анализ и логит-анализ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
39
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Приложение. Некоторые сведения из курса высшей математики
и математической статистики. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.3. Кластеризация. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.1. Входные данные для кластерного анализа . .. . . . . . . . . . . .
43
1.3.2. Иерархическая кластеризация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.3.3. Кластеризация в исследованиях парламентских голосований
48
1.3.4. Кластерный анализ в контексте социологического исследования . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
51
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
52
1.4. Введение в теорию коллективного выбора . .. . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.4.1. Вводные примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.4.2. Формализация проблемы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4.3. Правила большинства и парадокс Кондорсе . .. . . . . . . . . . .
59
1.4.4. Парадокс Кондорсе при бинарной процедуре . .. . . . . . . . . .
61
1.4.5. Правило Борда . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
1.4.6. Теорема Эрроу . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . .. . . . . . .
69
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Оглавление

1.5. Введение в теорию индексов влияния . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.5.1. Индекс Банцафа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.5.2. Взвешенное голосование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
73
1.5.3. Парадокс перераспределения депутатов между фракциями
75
1.5.4. Учет коалиционных предпочтений и парадокс вражды
. .. . .
77
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
80
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
80
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Г л а в а 2. Демография . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.1. Базовые макромодели демографии . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
83
2.1.1. Модель Мальтуса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
2.1.2. Логистическая модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
90
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.2. Модель Лотки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
2.2.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
96
2.2.2. Случай мальтузианских населений
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
99
2.2.3. Анализ устойчивости мальтузианского режима . .. . . . . . . .
102
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
104
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.3. Модель Лесли . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.3.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
2.3.2. Уравнение Эйлера–Лотки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
108
2.3.3. Возрастно-половая пирамида и демографические волны
. .. .
111
2.3.4. Учет продолжительного пребывания индивидов в старшей
группе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3.5. Об условиях применимости модели Лесли
. .. . . . . . . . . . .
116
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
121
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
2.4. Учет половой структуры: бипарентальные модели . .. . . . . . . . . . .
124
2.4.1. Модель, не учитывающая брачность
. .. . . . . . . . . . . . . . .
125
2.4.2. Модель, учитывающая брачность
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
132
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
140
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
140
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
2.5. Пример
имитационно-математического
моделирования
в
демографии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .

141
2.5.1. Общее описание имитационной модели
. .. . . . . . . . . . . . .
142
2.5.2. Моделирование рождаемости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Оглавление
5

2.5.3. Результаты вычислительных экспериментов и построение демографического 
прогноза для России . .. . . . . . . . . . . . . . . 146
2.5.4. Основные требования к имитационной модели . .. . . . . . . . .
148
Комментарии и библиографические указания . .. . . . . . . . . . . . . .
149
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

Г л а в а 3. Психология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
151
3.1. Методд парных сравнений и описание процесса восприятия . .. . . .
151
3.1.1. Закон сравнительных суждений
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.1.2. Метод парных сравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
155
3.1.3. Моделирование когнитивной системы индивида . .. . . . . . . .
159
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
Комментарии и библиографические примечания . .. . .. . . . . . . . . .
163
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
3.2. Простейшая модель подражательного поведения . .. . . . . . . . . . . .
165
3.2.1. Нейрологическая схема . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166
3.2.2. Уравнения модели на микроуровне
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
168
3.2.3. Учет внешних и внутренних стимулов . .. . .. . . . . . . . . . . .
173
3.2.4. Базовая математическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
3.2.5. Стационарные состояния базовой модели . .. . . . . . . . . . . .
176
3.2.6. Численный эксперимент с нестационарной моделью . .. . . . .
179
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
182
Комментарии и библиографические замечания . .. . . . . . . . . . . . .
182
Литература . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
3.3. Расширенная модель подражательного поведения . .. . . . . . . . . . .
183
3.3.1. Понятие социально-политического потенциала (СПП) . .. . . .
184
3.3.2. Основные предположения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
3.3.3. Построение модели
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
3.3.4. Конкретизация модели . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
3.3.5. Циклический режим эволюции электората . .. . . . . . . . . . .
193
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
196
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
196
3.4. Формирование мнений и установок индивидов, составляющих замкнутую 
группу . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
3.4.1. Построение и анализ модели формирования мнений . .. . . . .
197
3.4.2. Консенсус для некоторых типов групп индивидов . .. . . . . . .
200
3.4.3. Модель формирования установки действия . .. . . . . . . . . . .
203
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
206
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
206
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
207
3.5. Социальные взаимодействия в малой группе. .. . . . . . . . . . . . . . .
208
3.5.1. Традиционная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
3.5.2. Анализ традиционной модели и выявление ее проблемных
мест . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Оглавление

3.5.3. Построение и анализ скорректированной модели . .. . . . . . .
213
3.5.4. Учет структуры группы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
217
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
218
3.6. Структурный баланс в малой группе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
218
3.6.1. ХКХ-подход к структурному балансу . .. . . . . . . . . . . . . . .
219
3.6.2. Д-подход к структурному балансу . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
223
3.6.3. Социоматрицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
224
Упражнения . .. . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
225
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
3.7. Модель динамики отношений индивидов в малой группе . .. . . . . .
226
3.7.1. Основные предположения модели
. .. . . . . . . . . . . . . .. . . .
227
3.7.2. Анализ симметричных стационарных состояний для группы
из трех индивидов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
235
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
236
3.8. Динамическая модель близости позиций пользователей социальных
сетей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
3.8.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
3.8.2. Стационарное состояние согласия в случае двух индивидов
242
3.8.3. Стационарное состояние с несимметричными отношениями
243
3.8.4. Вычислительные эксперименты с моделью
. .. . . . . . . . . . .
245
Упражнения . .. . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
249
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250

Г л а в а 4. Социология . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
251
4.1. Латентно-структурный анализ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
4.1.1. Основные положения модели латентных классов . .. . . . . . .
251
4.1.2. Отнесение отдельных индивидов к конкретных латентным
классам . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.1.3. Пример применения модели латентных классов в социологическом 
исследовании . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 257
4.1.4. Латентно-структурный анализ в случае непрерывной латентной 
переменной
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.1.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
262
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
262
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
262
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
4.2. Модели марковского типа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
4.2.1. Динамика численности верующих . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
264
4.2.2. Элементы общей теории марковских процессов . .. . .. . . . . .
268
4.2.3. Вертикальная социальная мобильность
. .. . . . . . . . . . . . .
271

Оглавление
7

4.2.4. Модели типа мувер-стейер . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
4.2.5. Расовая динамика . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
281
Литература . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
284
4.3. Социальная сегрегация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285
4.3.1. Качественная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
286
4.3.2. Конкретизация поведенческой гипотезы и построение математической 
модели
. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 292
4.3.3. Анализ математической модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294
4.3.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
299
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
299
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
4.4. Поведение индивидов при изменении количества степеней свободы
300
4.4.1. Введение: содержательная проблема теста гипотетического
монополиста и понятие о степени свободы . .. . . . . . . . . . . . 301
4.4.2. Основные определения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
4.4.3. Оценка товарных границ рынка
. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . .
304
4.4.4. Одновременное определение товарных и географических границ 
рынка . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
4.4.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
313
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
313
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
4.5. Распространение информации в социуме в отсутствие противодействия . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314
4.5.1. Базовая модель информационного нападения . .. . .. . . . . . . .
314
4.5.2. Учет дополнительных факторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
316
4.5.3. Модель информационного нападения, учитывающая три дополнительных 
фактора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
4.5.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
325
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
4.6. Информационное противоборство в социуме. .. . . . . . . . . . . . . . .
331
4.6.1. Базовая модель информационного противоборства . .. . . . . .
332
4.6.2. Условие победы при противоборстве произвольного количества 
партий . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
4.6.3. Учет дополнительных факторов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
4.6.4. Информационное противоборство при дестабилизирующем
воздействии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
4.6.5. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
342
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
343
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343

Оглавление

Г л а в а 5. Политология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
5.1. Политическое соперничество . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
344
5.1.1. Постановка задачи и формулировка модели . .. . . . . . . . . . .
344
5.1.2. Равновесные уровни власти и их устойчивость
. .. . . . . . . .
346
5.1.3. Некоторые вычислительные эксперименты с моделью . .. . . .
351
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
355
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
355
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
355
5.2. Моделирование этнополитической самоидентификации . .. . . . . . .
356
5.2.1. Политическая
самоидентификация
дагестанского
этноса
в конце 1990-х годов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.2.2. Моделирование динамики взаимодействующих электоратов
361
5.2.3. Динамика взаимодействия электоратов вблизи положения
равновесия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
5.2.4. Интерпретация результатов моделирования взаимодействующих 
электоратов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
Комментарии и библиографические примечания . .. .. . . . . . . . . . .
372
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
5.3. Основы моделирования системы «власть–общество» . .. . . . . . . . .
373
5.3.1. Построение модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
5.3.2. Динамика в рамках правовой системы: базовая модель в линейном 
случае
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 379
5.3.3. Анархическая и тоталитарная ловушки
. .. . . . . . . . . . . . .
382
5.3.4. Заключение . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
384
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . .. . . . . .
385
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
5.4. Cистема «власть–общество» в случае биполярной реакции общества
386
5.4.1. Биполярная реакция общества
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
5.4.2. Формирование структур с внутренними переходными слоями
388
5.4.3. Стационарные контрастные распределения власти
. .. . . . . .
389
5.4.4. Нестационарные контрастные распределения власти . .. . . . .
391
5.4.5. Конфедеративные распределения власти . .. . . . . . . . . . . . .
393
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
395
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
395
5.5. Коррупция и другие несовершенства властных иерархий . .. . . . . .
396
5.5.1. Учет коррупции в модели «власть–общество» . .. . . . . . . . .
396
5.5.2. Ущерб от коррупции, стоимость и эффективность ее ограничения
. .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
400
5.5.3. Сравнительный анализ стратегий ограничения коррупции . .
402
5.5.4. Учет некомпетентности иерархии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
405
5.5.5. Клановые отношения в иерархии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . .. . . . . . .
409
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
409

Оглавление
9

5.6. Динамика гонки вооружений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410
5.6.1. Построение базовой модели . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
411
5.6.2. Анализ базовой модели с постоянными коэффициентами . .. .
412
5.6.3. Нелинейная модель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
415
5.6.4. Обобщение на случай большего количества стран . .. . . . . .
420
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
422
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
422
Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422
5.7. Моделирование крупномасштабных исторических процессов . .. . . .
423
5.7.1. Введение . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
423
5.7.2. Элементы модели мировой динамики . .. . . . . . . . . . . . . . .
424
5.7.3. Динамика аграрных обществ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425
5.7.4. Моделирование системы древнегреческих полисов . .. . . . . .
430
Упражнения . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
Комментарии и библиографические примечания . .. . . . . . . . . . . .
433
Литература . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
434
Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
436
Об авторах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
451

Посвящается научной школе
Андрея Николаевича Тихонова —
Александра Андреевича Самарского —
Сергея Павловича Курдюмова

Введение

Использование и развитие математических методов для изучения
общественно-политических процессов — актуальное направление прогресса 
современной науки, позволяющее существенно обогатить традиционные 
методы анализа, прогноза и принятия решений в данной
сфере.
Историю этого направления можно отсчитывать от работы У. Пет-
ти [1] (написанной примерно в 1676 г. и опубликованной в 1690 г.),
Н. де Кондорсе [2] (опубликовано в 1785 г.) и Т. Мальтуса [3] (опубликовано 
анонимно в 1798 г.). Позже Д. И. Менделеев в своей обширной
монографии [4] анализировал функцию, аппроксимирующую возрастную 
структуру населения, а с наступлением эпохи социологических
опросов математическая статистика превратилась в стандартный инструмент 
социологов, экономистов и политологов. В целом к концу
первой трети XX века математические методы стали широко применяться 
в науках о человеке и обществе.
В современную эпоху можно говорить уже не только и не столько
о математических методах (включающих в себя в первую очередь
статистику и задачи оптимизации), сколько о математических моделях
в гуманитарных и социальных науках. Это стало возможным благодаря
не только прогрессу собственно математики и появлению современных
вычислительных средств, но и развитию методологии математического
моделирования [5–10].
Ее сущность состоит в замене исходного объекта его «образом»,
математической моделью и дальнейшем изучении модели с помощью
реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов.
Этот «третий метод» познания, конструирования, проектирования сочетает 
в себе многие достоинства как теории, так и эксперимента. Работа
не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает
возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных
затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях (
преимущества теории). В то же время вычислительные (компьютерные, 
симуляционные, имитационные) эксперименты с моделями
объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных
методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко
изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим 
подходам (преимущества эксперимента). Данный подход кратко
выражается триадой «модель–алгоритм–программа». При этом особо
подчеркивается роль математического моделирования как инструмента

Введение
11

переработки информации как таковой, т. е. «информационного сырья»,
в готовый продукт, т. е. в точное знание, на основании которого могут
приниматься управленческие решения и осуществляться контроль за
их выполнением.
Старт этой методологии и ее дальнейшее бурное развитие пришлись
на конец 40-х–начало 50-х годов прошлого столетия, когда СССР был
вынужден в кратчайшие сроки лишить США монополии на атомное
и термоядерное оружие и средства его доставки, чтобы в дальнейшем достичь 
паритета между двумя сверхдержавами. Отечественная прикладная 
математика, коллективы, возглавляемые академиками М.В. Келдышем, 
А.Н. Тихоновым, А.А. Дородницыным, Г.И. Марчуком, Н.Н. Моисеевым, 
О. М. Белоцерковским и другими выдающимися учеными,
справлялись с возникавшими перед ней проблемами зачастую быстрее
и точнее, чем заметно лучше материально обеспеченные заокеанские
конкуренты.
Если же говорить о методологии математического моделирования, 
ее развитии, теоретической и практической институционализации,
то наиболее значимый вклад в этот процесс внес академик А. А. Самарский [
5–9], сформулировавший представление о математическом
моделировании как методологическом императиве современной науки, 
а также его научная школа. При этом характерной чертой этой
научной школы всегда было стремление расширить рамки применения
методологии математического моделирования, в т. ч. в направлении
исследования системы «человек–общество».
Актуальность данного направления определяется в первую очередь
тем фактом, что в современном мире возрастает роль гуманитарных
взаимодействий, когда люди пытаются больше и осмысленней участвовать 
в разработке принимаемых государством и обществом решений, 
основанных на доверии, честности и сотрудничестве. Усложнение 
социальной реальности выражается в одновременном протекании
разнонаправленных процессов, таких как глобализация и борьба за
сохранение национального суверенитета, стремление к устойчивому
развитию и спонтанное возникновение «турбулентности» в международных 
отношениях. Эти усложнения создают новые вызовы наукам
о человеке и обществе, что требует разработки новых подходов, соответствующих 
сложности рассматриваемых явлений и процессов. Одним
из естественных ответов является развитие и применение методологии
математического моделирования к данной сфере.
В настоящее время данная методология прилагается к исследованию 
широкого круга проблем, в т. ч. к исследованию общества и власти. 
Первым в нашей стране значительным изданием, посвященным
математическим методам и моделированию в гуманитарных науках,
стала монография Г. В. Осипова, Э. П. Андреева «Методы измерения
в социологии» (издательство «Наука»), появившаяся в 1977 г., когда
социология еще рассматривалась в СССР всего лишь как сугубо прикладная 
научная дисциплина.

Введение

С течением времени сформировался ряд направлений, представленных 
такими социологами, политологами и математиками, как А. И. Антонов, 
В. М. Карпова, Г. Б. Прончев (Социологический факультет МГУ
им. М. В. Ломоносова), В. А. Шведовский (Высшая школа современных
социальных наук МГУ), В. Ж. Келле (Институт философии РАН),
Г. Г. Татарова (Институт социологии РАН), Ю. Н. Толстова, А. С. Ахременко (
Высшая школа экономики), Ю. Н. Гаврилец (Центральный экономико-
математический институт РАН), Д. А. Новиков, А. Г. Чхар-
тишвили и Ф. Т. Алескеров (Институт проблем управления РАН),
Г.Г. Малинецкий, М.Е. Степанцов (Институт прикладной математики
им. М. В. Келдыша РАН), С. Ю. Малков (Академия военных наук),
М. Г. Дмитриев, В. К. Финн и М. А. Михеенкова (ФИЦ ИУ РАН),
М. А. Александров (РАНХиГС), О. Г. Прончева (МФТИ) и другими
исследователями.
Их результаты публикуются, в частности, в ежегодном издании
«Математическое моделирование социальных процессов», полностью
посвященном данной тематике (к настоящему времени вышло 20 выпусков 
сборника, изданных в МГУ им. М. В. Ломоносова и ИПМ
им. М. В. Келдыша РАН под ред. А. П. Михайлова). Работы, использующие 
математические модели и методы, регулярно появляются в таких
журналах, как «Социология: методология, методы, математическое моделирование» (
Институт социологии РАН, выходит с 1991 г. под ред.
Г. Г. Татаровой, затем под ред. И. Ф. Девятко) и «Информационные
войны» (издается Центром исследований проблем безопасности РАН
и Академией военных наук с 2007 г., гл. ред. В. Л. Шульц), а также
в ряде других изданий. При этом приходится признать, что российская
практика не вполне успевает за мировыми тенденциями, в частности,
в области публикационной активности.
Так, за рубежом давно издаются научные журналы, полностью
посвященные данной тематике, например с 1971 г. выходит The Journal
of Mathematical Sociology (издательство Taylor and Francis), с 1981 г. —
журнал Mathematical Social Sciences (издательство Elsevier). Активно
действуют профильные объединения ученых: так, Секция математической 
социологии Американской социологической ассоциации не только
организует научные исследования, но и участвует в образовательной
деятельности, в частности выделяет студентам гранты на выполнение
дипломных работ в области математической социологии.
В дальнейшем роль математических методов будет только возрастать, 
причем по той же причине, что и роль всей социологической 
и политической науки — ведь современное общество не только
усложняется, но и пытается осознать свою возрастающую сложность.
Все более востребованными становятся, например, научно обоснованные 
оценки последствий информационных процессов, сопутствующих
им политических, экономических и социальных решений. Мировая
практика свидетельствует, что исследования в данных областях проводятся 
с возрастающей ролью математических методов и моделей.

Введение
13

Их актуальность для практической деятельности, в т. ч. по отражению
информационных угроз, связана с необходимостью интеллектуальной
поддержки принятия решений: в частности, опирающаяся на соответствующие 
комплексы математических моделей, в перспективе —
на информационно-моделирующие системы поддержки принятия решений.

Данной тенденции соответствует позиция как высшего руководства
нашей страны, так и научно-педагогической общественности относительно 
значимости информационно-математических технологий в инновационном 
развитии глобального информационного общества.
При построении математических моделей в естественных и технических 
науках используются фундаментальные законы природы, вариационные 
принципы, различного рода аналогии. Нередко бывает полезным 
также применение иерархических и феноменологических подходов. 
Применительно к гуманитарным наукам использование этого
богатого исследовательского арсенала сопряжено с принципиальными 
трудностями. Существенное присутствие «человеческого фактора»,
сознательное участие в социальных процессах как отдельных людей,
так и целых социальных общностей порождает ряд фундаментальных
проблем, препятствующих созданию отвечающих реальности математических 
моделей в этой сфере. К ним относятся следующие.
1. Отсутствие
так
называемых
фундаментальных
законов,
т. е. твердо установленных и допускающих точное количественное
выражение универсальных связей между изучаемыми величинами
(ср. с различием между правилами и законами в науке, введенным
немецким и американским психологом К. Левином [11]).
2. Плохая «измеримость» социальных показателей. Даже если понятно, 
что необходимо измерять, то требуются немалые интеллектуальные 
ухищрения для приближения к истине с приемлемой точностью.
Ведь социальные объекты не слишком благосклонны к открытости.
3. Имеет место сильная разномасштабность (от малых социальных
групп до этносов и суперэтносов), разнородность и нелинейность изучаемых 
социальных объектов.
4. Постоянное усложнение социальных объектов, их «рефлективность», 
означающая, в частности, то, что новые знания становятся рано
или поздно частью объектов, изменяют их свойства и характеристики.
Отсюда постоянное развитие математических моделей, их усложнение
в «погоне» за изучаемым объектом.
К этим и другим трудностям добавляется специфическая для гуманитарных 
наук зависимость от власти, от политической конъюнктуры,
от тех или иных ожиданий общества. В результате в науке между
«двумя культурами» (выражение британского писателя, физикохимика
и государственного деятеля Ч. П. Сноу [12]) создается труднопреодолимый 
барьер, мешающий их взаимному проникновению и пониманию.
Проблема взаимоотношений между математическим моделированием
в существенно различных областях науки многоаспектна и требует

Введение

отдельного обсуждения. В то же время применительно к методологии 
математического моделирования ввиду ее универсальности можно
указать несколько «мостиков» между «двумя культурами», построение
которых способно служить первым шагом в преодолении взаимного
отчуждения, в их взаимообогащении.
В случае анализа социальных и политических процессов стандартные 
требования к построению и изучению математических моделей 
необходимо дополнить (по меньшей мере) следующими принципами, 
образующими «Кодекс математика», исследующего систему
«Человек–Общество».
1. Не покушаться на твердо установленные факты и закономерности, 
избегать соблазна научных «революций», прикрытых математическим «
флером».
2. Не подменять собой «предметников» — социологов, демографов,
политологов (или, во всяком случае, ясно очерчивать границу между
применяемой исследователем математической методологией и его собственными 
воззрениями на изучаемый предмет).
3. По возможности придерживаться здравого позитивизма, трезво
оценивая, какие из социальных и политических процессов можно моделировать 
с достаточной степенью достоверности, а для каких еще
преждевременно говорить об исследовании с необходимой полнотой.
4. Разделять исследования фундаментально-ориентированные (направленные 
на выяснение общих свойств объектов и в то же время
связанные с крупной реальной проблемой) и конкретно-прикладные
(опирающиеся на полученные ранее фундаментальные знания и дающие 
количественные характеристики).
Важнейшую роль при этом играет анализ поведенческих характеристик 
вовлеченных в процесс акторов. Как правило, при построении
конкретных моделей формулируются поведенческие гипотезы, основанные 
на содержательных теориях и/или эмпирически установленных
закономерностях. Вычислительные эксперименты с различными поведенческими 
гипотезами позволяют установить наиболее состоятельную
из них. Данная книга последовательно проводит указанную логику:
от поведенческой гипотезы — к построению модели и изучению ее
свойств. Помимо вычислительного эксперимента, для анализа моделей
используются хорошо разработанные методы теории дифференциальных 
и интегро-дифференциальных уравнений (в частности, качественные 
и асимптотические методы), линейной алгебры, теории марковских
процессов и т. д. Таким образом, последовательность действий при моделировании 
включает в себя общую постановку проблемы, построение
концептуальной модели, определение участвующих акторов и связей
между ними, введение основных переменных и параметров, характеризующих 
изучаемый объект, вывод соответствующих математических
соотношений, их анализ вычислительными и аналитическими методами, 
содержательную трактовку результатов и разработку рекомендаций 
на основе проведенного моделирования. В случае необходимости

Введение
15

может быть проведено уточнение всех компонентов моделирования для
получения более углубленного и точного знания об изучаемом объекте.
При работе над книгой авторы выбирали модели, отражающие проблематику 
системы «человек–общество» и основанные на содержательных 
представлениях о поведении индивидов. При этом в нее сознательно 
не включена такая крупная область, как моделирование в экономике. 
Это было сделано по двум причинам, первая из которых является
тривиальной — уже существует обширная литература, посвященная этому 
направлению. Вторая причина состоит в том, что в экономике поведение 
описывается на основании представления о Homo Economicus —
рациональном субъекте, принимающем решения на основе принципа
максимизации целевой функции. Эта поведенческая гипотеза имеет
довольно ограниченную перспективу за пределами экономики, так как
она оставляет в стороне принятие решений на основании когнитивного
диссонанса, подражания, эмоций и многих других факторов, значимых
в социальной и политической жизни.
Что касается стиля книги, то мы стремились избегать громоздких 
и строгих процедур (которые заинтересовавшийся читатель может
найти в специальных изданиях), а обращали основное внимание на
описание идей и соответствующих им примеров. Поэтому книга содержит 
большое количество иллюстраций и упражнений, ее материал без
особых затруднений может быть использован для формирования учебных 
курсов по различным конкретным направлениям математического
моделирования в данной сфере.
Часть материала книги апробирована в лекционных курсах, которые
читались авторам в течение многих лет на факультете управления
и прикладной математики МФТИ и на трех факультетах МГУ —
вычислительной математики и кибернетики, социологическом и факультете 
глобальных процессов.
Материал состоит из пяти глав, в первой из которых представлен
ряд предварительных примеров применения традиционных математических 
методов в социальных науках. Остальные четыре главы посвящены 
моделированию в демографии, психологии, социологии и политологии: 
в общей сложности здесь 26 разделов, каждый из которых
посвящен одной конкретной модели (иногда — нескольким близким
моделям) и содержит краткое введение, а также набор упражнений для
самостоятельной работы. Комментарии, библиографические примечания 
и список литературы приведены в конце каждого раздела единым
блоком; к этому списку относятся номера ссылок на литературу в данном 
пункте. Формулы, таблицы и рисунки нумерованы по пунктам.
Таким образом, книга допускает как чтение подряд, с начала до конца,
так и по тематическим главам и отдельным разделам.
Подбор материала и манера его изложения отвечают концепциям
отечественной школы математического моделирования, всегда находившейся 
на мировом уровне и широко трактующей данную методологию.

Литература

Авторы считают своим приятным долгом поблагодарить академика
РАН Б.Н. Четверушкина, академика РАН Ю.С. Осипова, академика 
РАН В.А. Садовничего, академика РАН Е.И. Моисеева, д.ф.н.
В.И. Добренькова за постоянную поддержку данного направления
исследований. Авторы благодарны д.соц.н., к.ф.-м.н. В. А. Шведов-
скому, д.ф.-м.н. М.Г. Дмитриеву, к.ф.-м.н. Г. Б. Прончеву, к.ф.-м.н.
Е. Д. Корнилиной, к.ф.-м.н. О. Г. Прончевой, к.ф.-м.н. А. И. Маслову
за многолетнее сотрудничество, а также члену-корреспонденту РАН
И. Г. Поспелову, д.ф.-м.н. Г. Г. Малинецкому, к.ф.-м.н. М. Е. Степан-
цову, к.соц.н. В. М. Карповой, д.ф.-м.н. В. А. Дородницыну, д.ф.-м.н.
Н. В.
Змитренко,
д.ф.-м.н.
М. М.
Горбунову-Посадову,
инженеру
С. М. Неретину за полезные обсуждения.

Авторы
А. П. Михайлов,
А. П. Петров
29 мая 2021 г.

Литература

1. Petty W. Political Arithmetic. 1690.
2. de Condorcet N. Essai sur l’application de l’analyse а la probabilitй des
dйcisions rendues а la pluralitй des voix. 1785.
3. An Essay On The Principle Of Population. 1798 (автор — Т. Мальтус;
издание вышло анонимно).
4. Менделеев Д. И. К познанию России. СПб., изд-во А. С. Суворина, 1906
(М., Дрофа, 2002).
5. Самарский А. А. Современная прикладная математика и вычислительный
эксперимент // Коммунист, 1983, № 18. C. 31–42.
6. Самарский А. А. Неизбежность новой методологии // Коммунист, 1989,
№ 1. C. 82–92.
7. Самарский А. А., Михайлов А. П. Компьютеры и жизнь // Советская
педагогика, 1987.
8. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи.
Методы. Примеры. М.: Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1997, 320 с. (англ. перевод:
Samarskii A. A., Mikhailov A. P. Principles of Mathematical Modeling. Ideas,
Methods, Examples London and New York. Taylor and Francis, 2002).
9. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование в информационную 
эпоху // Вестник РАН. 2004. Т. 74. № 9.
10. Четверушкин Б. Н., Михайлов А. П. Триада Самарского. К 100-летию
со дня рождения академика А. А. Самарского // Вестник Российской
академии наук. 2019. Т. 89, № 2. С. 187–193.
11. Левин К. Закон и эксперимент в психологии / К. Левин. Динамическая
психология. Сб. статей. С. 23–53.
12. Сноу Ч. П. Две культуры. М.: Прогресс. 1973.

Г л а в а 1

НЕКОТОРЫЕ ТРАДИЦИОННЫЕ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

СОЦИАЛЬНЫХ НАУК

1.1. Применение нелинейной регрессии
в социологических исследованиях

Исследование связей между переменными, описывающими те или
иные характеристики социума, является одной из распространенных
математических задач, возникающих при проведении социологических
исследований.
В качестве примеров можно привести связь между уровнем безработицы 
и уровнем преступности либо между количеством голосов,
поданных за определенного кандидата на некотором избирательном
участке, и средним доходом избирателей этого участка.
В некоторых случаях теоретические соображения или математические 
модели позволяют выбрать математическую формулу этой связи —
так называемую функциональную спецификацию, другими словами,
указать ее качественный вид — линейная, экспоненциальная, логистическая 
и т. д. В этом случае основной целью эмпирической обработки
данных является нахождение параметров связи, например коэффициентов 
линейной функции. Однако чаще всего социологические либо
математические основания для выбора функциональной спецификации
отсутствуют, и тогда этот выбор является неоднозначным. Так, в некоторых 
обстоятельствах для описания связи можно выбрать как экспоненциальную, 
так и степенную, либо какую-либо более сложную
функциональную зависимость. При этом выбранная функция должна
как минимум не противоречить социологическому смыслу исследуемого 
явления или процесса. Известно, например, что каким бы ни был
демографический процесс, численность населения не может возрастать
быстрее, чем экспоненциальным образом [1]; соответственно при статистической 
обработке эмпирических данных, для описания зависимости
численности населения от времени, не могут использоваться функции,
возрастающие быстрее экспоненты.
Предмет настоящего раздела ограничен данным кругом вопросов.
В частности это означает, что здесь не рассматриваются вопросы,
связанные с проверкой гипотез, применимостью метода наименьших
квадратов и т. д. Первый пункт раздела содержит базовые сведения
регрессионного анализа, изучаемые в общем курсе математической
статистики для социологов. Во втором пункте рассматривается конкретный 
пример анализа данных, полученных в ходе эмпирического
исследования.