Основы теории информационно-измерительных и управляющих систем

УДК 519.7: 53.08:
681.2: 006.91
ББК 30.10
Н 73

Н о в и к о в
Н. Ю.
Основы
теории
информационно-измерительных
и
управляющих
систем.
—
М.:
ФИЗМАТЛИТ,
2022.
—
560
с.
—
ISBN 978-5-9221-1908-5.

В книге изложен новый, достаточно общий и эффективно применимый на
практике подход к анализу и синтезу информационно-измерительных и управляющим 
систем. Впервые в основу математической интерпретации и принципов 
построения этих систем положены фундаментальные и чрезвычайно
перспективные конструкции анализа — фильтры Картана и направленности
(обобщенные последовательности или сети) Мура и Смита, а также методы
теории множеств, топологии и функционального анализа. Аппарат моделирования 
и исследования свойств информационно-измерительных и управляющих
систем не ограничен применимостью понятия метрики или другой концепции,
использующей понятие числа, не сводится к применению в этих системах
только физических величин. Полученные результаты применимы в самых
разнообразных классических и неклассических приложениях информационно-
измерительных и управляющих систем, в математической и технической
физике, в теориях алгоритмической и информационной сложности, в технологиях 
многоуровневого поиска в больших базах данных, в медицине, биологии
и биоинформатике, генной инженерии, при создании систем искусственного интеллекта, 
нейросетей и виртуальных аналогов (цифровых двойников) реальных
объектов, при разработке тест-систем и моделировании социальных сетей.
Книга предназначена широкому кругу специалистов и научных работников,
использующих современные информационные технологии в области естественных, 
технических, биологических и социальных наук. Может быть использована 
как учебное пособие для аспирантов и студентов высших учебных
заведений.

ISBN 978-5-9221-1908-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2022

c⃝ Н.Ю. Новиков, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение в теорию информационно-измерительных и управляющих систем. 
Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Г л а в а 1.
Определение понятий теории информационно-измерительных 
и управляющих систем. Основные свойства шкал-
фильтров, шкал-решеток, шкал-направленностей, базисов шкал
и их связь с фундаментальными константами и единицами величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18
1.1. Определение, принцип построения и основные свойства шкал-
фильтров и шкал-решеток . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.2. Определение, принцип построения и основные свойства базисов
шкал, их связь с фундаментальными константами и единицами 
величин. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.3. Определение, принцип построения и основные свойства шкал-
направленностей,
шкал-последовательностей,
шкал-подна-
правленностей и принцип ассоциируемости шкал-фильтров
и шкал-направленностей . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.4. Определение и основные свойства измерительных сведений, точечных 
представителей измерительных сведений, принцип ас-
социируемости результатов измерений и неопределенностей
измерений. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Доказательства главы 1 . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106

Г л а в а 2.
Измерение, кодирование и управление в информационных 
системах. Основные свойства операций преобразования
шкал, процедур измерения, кодирования и управления, принцип
построения многомерных шкал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
2.1. Характеристические свойства истинных и условных истинных
(действительных или принятых по соглашению) точек, принцип 
топологической эквивалентности погрешности и неопределенности 
измерений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
2.2. Измерение, кодирование и управление, шкала группового эталона 
и индуцированная шкала . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
120
2.3. Основные свойства операций преобразования шкал, базисов
шкал, единиц измерений и процедур измерения, кодирования
и управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
2.4. Определение и основные свойства многомерных шкал, принцип
построения типовых измерительных шкал . .. . . . . . . . . . . .
233
Доказательства главы 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
260

Оглавление

Г л а в а 3.
Иерархия шкал информационных систем, иерархия процедур 
измерения, кодирования и управления, основные свойства 
эталонных шкал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
265
3.1. Мажоритарный принцип иерархического подчинения шкал, измерительных 
сведений, процедур измерения, кодирования
и управления, основное условие калибровки и поверки. .. . . .
265
3.2. Определения и основные свойства главной и максимальной эталонных 
шкал, минимальной и тривиальной шкал . .. . . . . . .
288
3.3. Условие существования максимальной эталонной шкалы группового 
эталона, структура и свойства максимальных эталонных
шкал . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
3.4. Принципы
преобразования
максимальных
эталонных
шкал
и их базисов, принцип иерархического подчинения отображенных 
шкал, их базисов и сходящихся процедур измерения,
условие поэлементной калибровки и поверки . .. . . . . . . . . .
315
Доказательства главы 3 . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333

Г л а в а 4.
Топологическая структура шкал информационно-измерительных 
и управляющих систем, основные свойства опорных
и наблюдаемых в шкале точек. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
338
4.1. Определения и критерии опорной и наблюдаемой в шкале точек
338
4.2. Принцип эталонирования опорных точек, основное условие измерений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351
4.3. Свойства опорных и наблюдаемых точек многомерных шкал,
принцип неопределенности . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
373
4.4. Свойства шкал с опорными точками, принцип повышения точности 
измерений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
Доказательства главы 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
403
Заключение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
407
П р и л о ж е н и е. Сводка результатов. Справочник . .. . . . . . . . . . . . . . .
415

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
538
Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
547
Annotation . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557
Table of contents . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
558

Введение в теорию информационно-измерительных
и управляющих систем. Постановка задачи

Что значит знать?
Вот, друг мой, в чем вопрос.

«Фауст». В. Гёте

Мы живем в удивительном мире, многие знания о котором получаем 
в результате наблюдений и измерений, на основе которых пытаемся 
изменять этот мир, управлять происходящими в нем процессами.
Несмотря на весьма древнюю историю измерительных и управленческих 
методов, в самых различных областях человеческой деятельности
в связи с растущими потребностями общества постоянно возникают
все новые направления и приложения информационно-измерительных
и управляющих приемов, которые видоизменяются, перестраиваются,
сопоставляются и комбинируются друг с другом, выходя далеко за
условия своего первоначального применения. Вся история классической 
науки связана с постоянной разработкой и практической реализацией 
новых методов и средств измерений физических и не только физических 
величин. Однако с середины XX в. начинается интенсивное
проникновение метрологии с ее развитым аппаратом апробированных
временем методов и средств измерений в различные новые области
опытного получения и применения информации, в том числе и в такие,
которые никогда не соприкасались с традиционным для классической
метрологии измерением физических величин. Да и сами классические
представления о принципах построения эталонов многих единиц физических 
величин разительно изменились в последние десятилетия [3,
33, 39, 71, 125, 133]. Это не удивительно, ведь даже измеряемые
расстояния сейчас отличаются более чем на 40 порядков.
Идея измерения, являющаяся одной из основ науки и современного
индустриального общества, настолько жизненно важна, что порой она,
воспринимаясь очевидной, некритически используется на практике,
а важно знать ее фундаментальные свойства и ограничения. Даже
беглый взгляд на измерения в физике, химии, медицине, астрономии,
квантовой механике, биологии и биоинформатике, экологии, пищевой
и фармацевтической промышленности, криминалистике, радиолокации,

Введение в теорию

в цифровых системах связи, сейсмологии, пассивной и активной гидролокации, 
наземной и космической навигации, геодезии и картографии, 
металлургии, сельском хозяйстве, археологии, генетике и генной
инженерии, на попытки проведения измерений в виртуальных компьютерных 
мирах, психологии, при метрологическом сопровождении
программного обеспечения и цифровых технологий, при создании виртуальных 
аналогов (цифровых двойников) реальных объектов, систем
искусственного интеллекта и нейросетей, в теориях алгоритмической,
информационной сложности и в технологиях многоуровневого поиска
в больших базах данных, при разработке тест-систем и моделировании
социальных сетей, в других важных для общества областях опытного
получения информации — все это позволяет задать вопрос: сопровождается 
ли развитие современной метрологии согласованностью
и единством между существующими и возникающими направлениями 
или, напротив, наблюдается тенденция к принципиальному
отличию многих новых процедур измерения от классических метрологических 
подходов. Безусловно, в каждом таком направлении
решаются сложнейшие научные, технические и организационные проблемы 
со своими предметными областями и специфическими методами
исследований. Не менее сложные проблемы возникают и решаются
при теоретических исследованиях и практической реализации самых
разнообразных процедур управления.
Разрабатываемая на современной математической основе теория
информационно-измерительных и управляющих систем (далее используются 
эквивалентные формулировки — теория измерения, кодирования 
и управления или теория информационных систем)
пытается дать позитивный ответ на этот вопрос. Являясь системой
взаимосвязанных и согласующихся понятий (определений) и утверждений (
принципов), теория измерения, кодирования и управления
систематизирует отношения, существующие в различных классических
и неклассических направлениях современной метрологии и теории
управления, и создает некоторое общее ядро этих важных и весьма
диверсифицированных направлений.
В рамках предлагаемого теорией информационно-измерительных
и управляющих систем подхода не предполагается различный взгляд на
возможности и способы применения разработанных понятий к сущностям «
объективной реальности» и к субъективным созданиям человеческого 
разума с их весьма разнообразными свойствами — «виртуальной 
реальности» (от лат. virtualis — возможный, способный проявиться), 
к классическим макроскопическим измерениям и к микроскопиче-

Введение в теорию
7

ским (квантовым) измерениям. Современная квантовая физика и квантовая 
химия часто изучают настолько причудливую «объективную реальность», 
что для ее понимания и экспериментального исследования
требуются шкалы с соответствующими этой реальности свойствами.
В своих математических конструкциях теория информационно-измерительных 
и управляющих систем учитывает, что сложнейшие реалии
современного мира требуют адекватных, достаточно общих и строгих
математических методов моделирования измерительных и управленческих 
процессов и систем и их метрологического обеспечения. Можно 
сказать, что подход теории измерения, кодирования и управления
к «объективной» и «виртуальной» реальности вполне конструктивен
и соответствует подходу Альберта Эйнштейна к физическим величинам 
и изучению окружающего нас мира: «Время и пространство — это
категории нашего мышления, а не условия нашего существования».
Полученные в теории информационно-измерительных и управляющих
систем результаты могут быть использованы широким спектром естественных, 
технических, биологических и социальных наук.
Потребности общества в измерениях всегда приводили к обоснованию, 
созданию, использованию и преобразованию тех или иных шкал
для разнообразных свойств (величин). Это прежде всего коснулось
шкал физических величин. Используемые с незапамятных времен при
измерениях физических величин шкалы стали настолько привычны
и интуитивно понятны, что, казалось бы, вообще нет необходимости
выявлять те положения, которые лежат в их основе. Многие важные
метрологические понятия и конструкции до сих пор не формализованы
и, воспринимаясь лишь интуитивно, носят, скорее, методологический
характер, а не свойственный точной науке характер математически
исследуемой, доказуемой и экспериментально проверяемой теории. Однако 
ясность в исходных математических посылках теории измерения,
кодирования и управления важна не только для систематизации результатов, 
но и для развития метрологии и теории управления в новых,
неклассических направлениях. Положенный в основу современной теории 
измерения, кодирования и управления подход позволяет использовать 
опережающие достижения теории множеств, общей топологии,
функционального анализа и математическими методами исследовать
широкий круг проблем, связанных с вопросами измерения, управления 
и метрологического обеспечения этих процедур. Благодаря использованию 
фундаментальных положений математики удается установить 
единство весьма удаленных направлений в современных теориях

Введение в теорию

измерения и управления и обеспечить возможность применения результатов 
разрабатываемой теории в различных прикладных областях.
Понятия шкалы и измерения относятся к числу основополагающих 
общенаучных понятий, и с расширением сферы применимости
метрологического подхода смысл этих понятий подвергается вполне
естественному обобщению, продвигаясь от традиционной механической 
или геометрической трактовки измерения к общей и достаточно 
универсальной топологической трактовке. Основанная на фундаментальных 
конструкциях анализа теория измерения, кодирования
и управления своими теоретическими положениями и практическими
решениями подтверждает, что введение в метрологическую практику 
новых общих теоретико-множественных понятий (шкал-фильтров,
шкал-решеток и шкал-направленностей для разнообразных множеств
свойств, базисов шкал, процедур измерения в шкалах, опорных и наблюдаемых 
в шкале точек, измерительных сведений и их точечных
представителей, сравнимости и мажорируемости шкал в иерархических
многоуровневых системах частично упорядоченных шкал) не противоречит 
традициям классической метрологии. Сложившиеся ключевые
положения классической метрологии при использовании в теории измерения, 
кодирования и управления удовлетворяют критериальному
принципу соответствия теорий и по-прежнему весьма эффективны
и актуальны как в традиционных, так и в самых разнообразных новых
прикладных областях, несмотря на революционные преобразования как
в технике самих измерений, так и в возникшей широте их новых
направлений.
Роль основных приложений теории измерения, кодирования и управления 
возрастает в связи с активным внедрением систем искусственного 
интеллекта и процессорных измерительных средств в различные
информационно-измерительные и управляющие комплексы, оперирующие 
разнородной информацией измерительного и неизмерительного
характера. Наметилась явная тенденция отхода от обособленности
традиционных средств измерительной техники и переходу к комплексированию 
и сопряжению таких средств с самыми разнообразными информационно-
управляющими системами, например с системами управления 
технологическими процессами, экспертными системами, системами 
технической, медицинской диагностики, системами контроля,
испытаний и многими другими [142]. Современные информационно-
измерительные системы часто конструируются как единое целое без
возможности доступа извне к измерительным цепям и рассматриваются

Введение в теорию
9

при метрологическом обеспечении также в целом, включая неизмери-
тельные функции и подсистемы [41].
Принципиальной особенностью интеллектуальных и процессорных
средств измерений является наличие в составе их измерительной цепи
достаточно сложной и мощной перепрограммируемой вычислительной
системы, непосредственно участвующей в получении результатов измерений. 
При этом весьма существенная часть измерительной процедуры
реализуется в числовой (кодовой) форме под управлением сложного
программного комплекса. В таких автоматизированных информационно-
измерительных и управляющих комплексах может даже не быть
визуализированной шкалы, а полученная от первичных измерительных 
преобразователей и обработанная по разнообразным алгоритмам
измерительная информация количественного и качественного характера 
часто не представляется оператору наглядно в виде чисел на
некотором табло, непосредственно преобразуясь в управляющее воздействие, 
передаваемое соответствующим исполнительным преобразователям. 
Тем не менее, такая измерительная информация всегда,
пусть и в неявном (невизуализированном) виде, представлена в некоторой 
шкале или системе шкал, подчиняющихся вполне определенным
метрологическим требованиям.
В классической метрологии с ее развитой системой эталонов единиц 
физических величин, часто воспринимаемой со стороны лишь как
специальный и довольно сложный раздел технической физики, изучают
явления, свойства которых, определяемые опытным путем, можно соотнести 
с числом. Введение в практику измерений числовых шкал имело 
в свое время историческое значение, позволив систематизировать,
упорядочить, сжать для анализа и представить в различных шкалах
огромный массив накопленных естествознанием фактов, немало способствуя 
установлению научного мировоззрения. Важным элементом
в процессе получения этих систематизированных в числовых шкалах
знаний являлись общезначимые меры и системы единиц измерений,
стимулировавшие прогресс естественных, технических наук и упорядочившие, 
в частности, выражение физических законов и представление
взаимосвязей между характеристиками различных объектов и явлений [
126].
Однако многие явления реальности, изучаемые эмпирическими
(от греч. empeiria — опыт), экспериментальными или опытными методами (
разумеется, научными), казалось бы, не могут стать объектом
метрологии, поскольку они не относятся к классическим физическим
величинам или не могут быть выражены числом, что существенно

Введение в теорию

ограничивает возможности систематизации и научного анализа значительной 
части измерительной (по существу) информации. В то же
время в метрологической литературе уже отмечалось, что принципиальным 
в метрологии является сравнимость свойств, измеримость
величин и метрологическая обеспеченность процесса измерений, а не
условное отнесение наблюдаемого свойства к физическим или нефизическим 
величинам [71, 123, 134]. В метрологической практике приходится 
оперировать с разнообразными и весьма важными измеримыми
величинами, не являющимися физическими величинами в смысле стандартизованных 
определений [25, 36, 138].
Важно отметить, что многие метрологические понятия по своей
значимости далеко выходят за пределы представимости результатов
измерений вещественными и комплексными числами, традиционно широко 
используемыми в классической метрологии для представления
числовыми значениями в соответствующих шкалах тех или иных измеряемых 
свойств (величин). Полученные в теории измерения, кодирования 
и управления результаты обобщают классический подход
к построению числовых шкал, не предполагают обязательного сопоставления 
наблюдаемому свойству множества действительных чисел,
не всегда используют понятия расстояния между точками (элементами)
множества свойства и по существу опираются лишь на теоретико-множественные 
и топологические понятия класса, множества и окрестности [
1]. Числовое значение измеряемого свойства (величины)
при этом рассматривается как частный случай отношения двух
величин, когда одна из них принимается за меру другой.
Вместе с тем на практике широко используются и другие типы
отношений, не сводящиеся к пропорциональности величин. Международный 
словарь основных и общих терминов в метрологии определяет:
«Величина, которая не может быть выражена как единица измерения,
умноженная на число, может быть выражена путем отнесения к условной 
опорной шкале измерений, или ссылкой на методику измерения,
или обоими способами» [121, 161]. Реальность этого факта существенна 
не только для необходимых обобщений, но и для распространения
многих достижений современной метрологии на новые практически
значимые направления, в частности на прикладные исследования множеств 
свойств (величин) с заданной в них топологической структурой, 
отличной от метрической. Сфера применения неметрических шкал
постоянно расширяется, а соответствующий аппарат для них еще не
развит должным образом. Необходимость развития теории измерения,
кодирования и управления, разработки ее методологии и математиче-

Введение в теорию
11

ского аппарата в значительной мере стимулирована именно запросами
практики.
Однако разработка метрологических и математических аспектов
теории измерения, кодирования и управления идет существенно медленнее, 
чем реальное и весьма успешное использование самых разнообразных 
метрических и неметрических шкал в измерительной практике. 
Сегодня налицо очевидное несоответствие между потребностями
общества в достоверных измерениях в различных новых областях
опытного (эмпирического, экспериментального) получения информации 
и существующими метрологическими возможностями обеспечения
этих потребностей. Представляется, что необходимость устранения такого 
несоответствия назрела в полной мере.
Для развиваемого метрологического подхода весьма важно, что
именно наличие той или иной измерительной шкалы и процедуры
измерения в этой шкале (при этом не обязательно числовой шкалы или
явно выделенного числового отсчетного устройства) является принципиально 
важным, а часто и определяющим признаком отнесения
той или иной системы, устройства, комплекса к средствам измерений,
к информационно-измерительным системам или к сложным многофункциональным 
объектам, выполняющим разнообразные, в том числе
и метрологически обеспечиваемые измерительные функции. Из этих
позиций, по существу информационных, и исходит теория измерения,
кодирования и управления.
При этом первоочередной задачей является разработка основ формализованного 
описания различных шкал над самыми разнообразными 
множествами свойств, математическое исследование иерархической
структуры частично упорядоченной системы шкал, а также формализация 
понятий процедур измерения и управления, результата измерений, 
измерительного сведения, неопределенности измерений. Именно
формализованное описание создает предпосылки обоснованного расширения 
в новых направлениях системы метрологического обеспечения
измерительных в своей основе процедур и прикладной реализации разнообразных 
измерительных и управляющих алгоритмов нового уровня
сложности.
Отметим, что начало систематического изучения современной проблематики 
измерений и свойств различных измерительных шкал
и процедур измерений было положено трудами Г. Галилея, Р. Декарта,
П. Ферма, И. Ньютона, Х. Гюйгенса, Г. Лейбница, Л. Эйлера, Ж. Ла-
гранжа, П. Лапласа, У. Гершеля, О. Коши, К. Гаусса, Г. Ламе, Г. Гельмгольца, 
Д. Менделеева, Г. Кирхгофа, Дж.К. Максвелла, Г. Лоренца,

Введение в теорию

Н. Лобачевского, Б. Римана, Г. Кантора, А. Лебега, К. Куратовского,
П. Александрова, Т. Калуцы, О. Клейна, М. Планка, А. Эйнштейна,
Г. Минковского, Э. Хаббла, Н. Бора, В. Гейзенберга, Э. Шрёдингера,
П. Дирака, Р. Фейнмана, Дж. фон Неймана, Л. Ландау, А. Колмогорова, 
Н. Винера, К. Шеннона, А. Тихонова и других ученых [3, 11, 16, 19,
24, 45, 87, 88, 109, 112, 126, 136, 148].
Существенным для возможных применений предлагаемого теорией
измерения, кодирования и управления подхода к традиционным классическим 
и новым неклассическим направлениям метрологии является
то, что в своей основе математический аппарат теории измерения,
кодирования и управления и процедур измерений в шкалах впервые 
опирается на фундаментальные конструкции современного анализа — 
фильтры Картана, решетки и направленности (обобщенные
последовательности или сети) Мура и Смита [6, 21–23, 59, 64, 76,
156, 157]. Разработанный аппарат не ограничен применимостью понятия 
метрики или другой концепции, использующей понятие числа, не
сводится к изучению только физических величин. Однако все представляемые 
ниже результаты теории измерения, кодирования и управления
справедливы, разумеется, и при использовании традиционных числовых 
множеств, применимы в метрологии и управлении к измерениям
классических физических величин в различных числовых шкалах.
Кроме того, результаты теории измерения, кодирования и управления 
применимы не только к традиционно используемым в метрологической 
практике отдельным средствам измерений, но и к разнообразным
многофункциональным информационно-измерительным и управляющим 
системам, выполняющим различные метрологически обеспечиваемые 
измерительные и исполнительные функции. Они применимы при
построении и метрологическом обеспечении разнообразных радиолокационных, 
гидролокационных, навигационных комплексов, в системах
наведения и управления оружием, в системах принятия решений, при
построении экспертных систем, баз данных и баз знаний, при экологическом 
мониторинге, в медицине, управлении, при создании различных
технологических манипуляторов и в других важных для общества
областях эмпирического или опытного получения и преобразования
измерительной информации.
Подход настоящего исследования позволяет считать теорию измерения, 
кодирования и управления самостоятельным научным направлением, 
возникшим на стыке вопросов измерения, кодирования, управления 
и метрологического обеспечения этих процедур. Методология и математический 
аппарат теории информационно-измерительных и управ-