Основы динамики полёта

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением  
по укрупненной группе специальностей и направлений подготовки  
«Авиационная и ракетно-космическая техника»  
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений,  
обучающихся по направлениям подготовки  
бакалавров 24.03.02 и магистров 24.04.02  
«Системы управления движением и навигация»  
и специальности 24.05.06  
«Системы управления летательными аппаратами»

С.Г. Баженов

Основы   
динамики  полёта

УДК 629.7.015
ББК 39.53
Б 16

Б а ж е н о в
С. Г.
Основы
динамики
полёта. —
М.: ФИЗМАТЛИТ,
2021. — 432 с. — ISBN 978-5-9221-1906-1.

В учебнике представлено детальное математическое описание движения
самолета, включающее основные системы координат, уравнения движения,
силы и моменты, действующие на самолет, и свойства атмосферы. Рассмотрены
установившиеся режимы полета, условия балансировки самолета на этих режимах, 
проведен анализ устойчивости возмущенного движения в окрестности
установившихся режимов. Проведен детальный анализ влияния параметров полета 
и особенностей компоновки самолета на устойчивость его движения и переходные 
процессы. Представлены основные характеристики управляемости
самолетов и направления автоматизации управления. Рассмотрены основные
элементы систем управления, в том числе датчики, вычислители и приводы,
а также средства человеко-машинного интерфейса. Описаны основные автоматические 
устройства улучшения характеристик устойчивости и управляемости
самолетов.
Книга предназначена студентам и аспирантам, обучающимся в авиационных 
вузах. Также она будет полезна инженерам и научным работникам, специализирующимся 
в области динамики полета и систем управления самолетов.

Рекомендовано
Федеральным
учебно-методическим
объединением
по
укрупненной
группе
специальностей
и
направлений
подготовки
«Авиационная
и
ракетно-космическая
техника»
в
качестве
учебника
для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям
подготовки бакалавров 24.03.02 и магистров 24.04.02 «Системы управления
движением и навигация» и специальности 24.05.06 «Системы управления
летательными аппаратами».

ISBN 978-5-9221-1906-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ С. Г. Баженов, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение. Предмет курса «Динамика полета» . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Список основных обозначений, русских и англоязычных сокращений . .. .
10

1. Математическая модель движения самолета . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1. Системы координат, используемые в задачах динамики полета . .. .
14
1.2. Уравнения движения самолета. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
26
1.3. Силы и моменты, действующие на самолет . .. . . . . . . . . . . . . . .
36
1.3.1. Истинная, приборная и индикаторная скорости самолета
. .
45
1.3.2. Средняя аэродинамическая хорда . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
46
1.3.3. Понятие об аэродинамическом фокусе . .. . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.4. Математическая модель аэродинамических сил и моментов
54
1.4. Понятие перегрузки. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
1.5. Представление параметров движения, сил, моментов и уравнений
движения в международной системе ISO. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.6. Органы управления и механизации самолета . .. . . .. . . . . . . . . . .
67
1.7. Понятие о моделях атмосферы и атмосферных явлениях . .. . . . . .
88

2. Анализ уравнений движения самолета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
2.1. Разделение движения на продольное и боковое . .. . . . . . . . . . . .
114
2.2. Балансировка самолета и линеаризация уравнений движения . .. . .
121
2.3. Методы исследования линейных динамических систем . .. . . . . . .
128

3. Продольное движение самолета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
3.1. Продольная балансировка в горизонтальном полете . .. . . . . . . . .
141
3.2. Градиент управляемости. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
152
3.3. Разделение
продольного
движения
на
короткопериодическое
и длиннопериодическое . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154

Оглавление

3.4. Продольное короткопериодическое движение . .. . . . . . . . . . . . . .
158
3.4.1. Собственная
частота
продольного
короткопериодического
движения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159
3.4.2. Основные факторы, определяющие положение аэродинамического 
фокуса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.4.3. Запас устойчивости по перегрузке σn . . . . . . . . . . . . . . . .
169
3.4.4. Демпфирование
продольного
короткопериодического
движения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
171
3.4.5. Эффективность стабилизатора и руля высоты . .. . . . . . . . .
175
3.4.6. Переходные процессы продольного короткопериодического
движения. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
3.4.7. Влияние на динамику продольного короткопериодического
движения взлетного веса и компоновки ЛА . .. . . . . .. . . . .
184
3.5. Продольное длиннопериодическое движение . .. . . . . . . . . . . . . .
197
3.5.1. Моментная устойчивость по скорости . .. . . . . . . . . . . . . .
202
3.5.2. Силовая устойчивость по скорости . .. . . . . . . . . . . . . . . .
204
3.5.3. Динамика длиннопериодического движения с учетом изменения 
высоты полета . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
205
3.6. Выбор горизонтального оперения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208

4. Боковое движение самолета . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
216
4.1. Линеаризация уравнений бокового движения. .. . . . . . . . . . . . . .
216
4.2. Разделение бокового движения на движения крена и рыскания . .
220
4.3. Изолированное движение рыскания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.3.1. Факторы, определяющие путевую устойчивость . .. . . . . . . .
223
4.3.2. Демпфирование движения рыскания . .. . . . . . . . . . . . . . .
227
4.3.3. Переходные процессы движения рыскания . .. . . . . . . . . . .
228
4.4. Изолированное движение крена. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
231
4.5. Взаимодействие движений крена и рыскания . .. . . . . . . . . . . . . .
236
4.5.1. Поперечная устойчивость бокового движения . .. . . . . . . . .
237
4.5.2. Спиральное движение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
4.5.3. Влияние поперечной устойчивости и весовой составляющей
на корни уравнений бокового движения . .. . . . . . . . . . . . .
249
4.5.4. Влияние угла атаки на корни бокового движения
. .. . . . . .
251
4.5.5. Влияние движения крена на движение рыскания. «Голландский 
шаг» . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
254
4.5.6. Влияние движения рыскания на движение крена. Критерий 
λ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
4.6. Уравнения бокового движения в полусвязанной системе координат
273

5. Пространственное движение самолета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
276
5.1. Формы взаимодействия бокового и продольного движений . .. . . . .
277
5.1.1. Кинематическое взаимодействие . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
5.1.2. Аэродинамическое взаимодействие . .. . . . . . . . . . . . . . . .
280
5.1.3. Инерционное взаимодействие . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
283
5.2. Установившиеся режимы пространственного движения . .. . . . . . .
287

Оглавление
5

5.3. Понятие об инерционном вращении . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
5.4. Понятие о сваливании . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
296
5.5. Элементарная теория штопора . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302

6. Принципы автоматизации управления самолетом . . . . . . . . . . . .
312
6.1. Иерархическое построение комплекса управления самолетом . .. . .
315
6.2. Элементы человеко-машинного интерфейса . .. . . . . . . . . . . . .. . .
323
6.2.1. Рычаги управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
6.2.2. Информационное поле кабины экипажа. Пилотажный и многофункциональный 
дисплеи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330
6.3. Структурное построение комплекса управления самолетом. .. . . . .
337
6.3.1. Элементы информационной части системы управления . .. . .
339
6.3.2. Построение вычислительной части системы управления . .. .
344
6.3.3. Элементы системы связей. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
6.3.4. Элементы исполнительной части системы управления
. .. . .
349

7. Понятие об управляемости самолета . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
360
7.1. Летчик как элемент системы управления . .. . . . . . . . . . . . . . . .
361
7.1.1. Восприятие летчиком угловых скоростей и перегрузок . .. . .
362
7.1.2. Модель летчика для задачи компенсаторного слежения
. .. .
364
7.2. Основные характеристики управляемости . .. . . . . . . . . . . . . . . .
369
7.3. Критерии управляемости самолетов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377
7.3.1. Критерий Нила–Смита
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
378
7.3.2. C∗-критерий . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380
7.3.3. САР-критерий . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
381

8. Улучшение устойчивости и управляемости самолета с помощью
системы управления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
8.1. Демпфер тангажа . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
385
8.2. Автомат продольной устойчивости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393
8.3. Выбор коэффициента прямой цепи. Принцип «ϕ0–ϕбал» . .. . . . . . .
398
8.4. Интегральная система управления. Ограничители параметров движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

401
8.4.1. Коррекция сигналов перегрузки и угловой скорости тангажа
в астатическом АПУ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
8.5. Автоматизация управления самолетом в поперечном канале. Демпфер 
крена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
408
8.6. Автоматизация управления самолетом в путевом канале. Демпфер
рыскания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
417

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428

Предисловие

Основной целью предлагаемой вниманию читателей книги является 
ознакомление студентов и аспирантов университетов авиационных 
специальностей с базовыми понятиями динамики полета и систем 
управления самолетов. Книга основана на годовом курсе лекций
«Динамика полета», который автор читал в течение более десяти
лет на факультете аэромеханики и летательной техники Московского
физико-технического института (ФАЛТ МФТИ). В ней использованы
как материалы профессоров Г.С. Бюшгенса, Г.В. Александрова, Г.И. Загайнова 
и А.И. Дынникова, читавших данный курс ранее, так и более 
современные материалы сотрудников отделения динамики полета
и систем управления Центрального аэрогидродинамического института
имени профессора Н.Е. Жуковского (ЦАГИ) Л.Е. Зайчик, Ю.П. Яшина,
В.И. Желонкина и других.
Книга является по своей сути учебником; ее целью автор ставит
представление необходимого объема материала, который требуется для
начала успешной работы в области динамики полета и систем управления. 
Издание рассчитано на читателей с минимальной подготовкой
в области динамики полета, поэтому материал излагается максимально
простым языком. В то же время математический уровень книги достаточно 
высок, поскольку она предназначена студентам и выпускникам
передовых авиационных вузов, имеющим достаточно хорошую базовую
подготовку по математике, механике, аэродинамике и теории автоматического 
управления. Для более качественного усвоения содержания используется 
большое количество иллюстраций, закреплению материала
должны способствовать задачи и контрольные вопросы, приведенные
в конце каждого раздела.
Дисциплина «Динамика полета» охватывает большое количество
вопросов, которые не могут быть подробно рассмотрены в годовом
курсе. По этой причине в книгу включены лишь проблемы динамики
самолетов или летательных аппаратов самолетного типа. Не рассматриваются 
летно-технические характеристики и траекторное управление,
влияние упругости конструкции и ряд других важных вопросов. Кроме

Предисловие
7

того, некоторые вопросы освещены в общих чертах, с целью ознакомления 
с базовыми понятиями. Это касается построения комплекса
управления самолетом и его элементов, пилотажных характеристик,
критериев управляемости, человеко-машинного интерфейса, приводов
и др. Однако в книге приведен обширный список источников, в которых 
можно получить более подробную информацию по вопросам, не
рассмотренным с необходимой глубиной.
Одной из побудительных причин к написанию книги является
определенный дефицит учебных пособий по динамике полета и системам 
управления. Из литературы этой направленности, выпущенной
в последние годы, можно выделить хороший учебник, вышедший под
редакцией академика Г.С. Бюшгенса [1]. Другие книги либо изданы
очень давно [2, 3], либо недоступны широкому кругу читателей [4–8],
либо являются, скорее, монографиями [9–14], чем учебниками, что
препятствует пониманию материала неподготовленными читателями.
К сожалению, в настоящее время утрачена практика перевода и издания 
наиболее значимых книг зарубежных авторов по данной тематике;
англоязычные книги малодоступны [15–19], усвоение материала по
ним затруднено как его сложностью, так и языковым барьером. Информация 
из Википедии и других источников сети Интернет (при всей
своей доступности, полезности и разнообразии) требует критического
отношения и тщательной фильтрации, страдает фрагментарностью и не
создает целостной картины предмета изучения. Тесное общение со студентами 
ФАЛТ МФТИ убедило автора в необходимости книги, которая
послужила бы основой для начала работы и своеобразным навигатором
в дальнейшем расширении и углублении знаний из доступных источников, 
чему послужит приведенная в издании библиография.

Введение. Предмет курса «Динамика полета»

В курсе «Динамика полета» изучаются вопросы, связанные с математическим 
описанием движения самолета и основными свойствами
этого движения. Говоря проще, в результате изучения курса мы должны 
получить ответ на главный вопрос — почему и как самолет летает?
Этот вопрос включает в себя три основных составляющих:
1) как достигается равновесие сил и моментов при движении
самолета;
2) как обеспечивается устойчивость движения;
3) как управляется самолет.
Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо анализировать движение 
самолета, для чего требуется соответствующий математический
аппарат. В рамках данного курса самолет рассматривается как динамическая 
система, т. е. может быть описан системой обыкновенных
дифференциальных уравнений. Вопросы обтекания самолета набегающим 
потоком воздуха и работы двигателя являются прерогативой
курсов гидро- и аэродинамики, газовой динамики и силовых установок
и в предлагаемом курсе будут рассматриваться в объеме, необходимом
для описания аэродинамических сил и моментов, а также сил и моментов 
от двигателя.
Несмотря на то, что обтекание самолета, внутренние течения и процессы 
в двигателе описываются уравнениями в частных производных,
математическая модель сил и моментов использует их описание как
стационарных функций от многих переменных, которые представляются 
в виде многомерных таблиц. Используемые в настоящее время
модели нестационарной аэродинамики построены на базе обыкновенных 
дифференциальных уравнений, т. е. представление самолета в виде
динамической системы сохраняется.
Традиционно изучение систем обыкновенных дифференциальных
уравнений начинается с нахождения точек равновесия. Применительно
к самолету эта процедура называется балансировкой, что подразумевает 
определение установившихся режимов и их параметров — высоты,
скорости, угла атаки, тяги двигателя, отклонений органов управления

Введение. Предмет курса «Динамика полета»
9

и др. Самый простой установившийся режим — это горизонтальный полет 
с постоянной скоростью. Кроме того, установившимися режимами,
при разной степени допущений, являются виражи, набор высоты и снижение, 
полет с установившейся перегрузкой и т. д. При определенных
условиях даже штопор и инерционное вращение можно рассматривать
в качестве установившихся режимов.
Следующим шагом в изучении динамических систем является анализ 
устойчивости положений равновесия. Этому ключевому для динамики 
самолета вопросу будет уделено много внимания. Также будут
рассмотрены меры по улучшению устойчивости самолета — как путем 
выбора аэродинамической компоновки, так и с помощью системы
управления.
Очень важный вопрос для динамики полета — обеспечение управляемости. 
В самой простой форме под ним подразумевается обеспечение 
балансировки самолета на установившемся режиме, что требует
создания подъемной силы и силы тяги, равных силам тяжести и аэродинамического 
сопротивления, достаточной эффективности органов
управления (рули высоты, направления, элероны и др.) для компенсации 
аэродинамических моментов. Также управляемость подразумевает
возможность перевода самолета из одного установившегося режима
в другой и выполнение заданных маневров, определяемых назначением
самолета. В реальности исследование и обеспечение управляемости
включает очень большой круг вопросов, касающихся автоматизации
управления, оценки самолета летчиком, интерфейса «самолет–летчик»,
методики стендовых и летных исследований и т. д.

Список основных обозначений,
русских и англоязычных сокращений

Список основных сокращений

АДТ — аэродинамическая труба;
АП — автопилот;
АП-25 — Авиационные правила, часть 25;
АРМ — автономная рулевая машинка;
АСШУ — автоматизированная система штурвального управления;
АТ — автомат тяги;
АФЧХ — амплитудно-фазовая частотная характеристика;
(Б)ИНС — (бесплатформенная) инерциальная навигационная система;
БРУ — боковая ручка управления;
БУК — блок управления и контроля;
ВО — вертикальное оперение;
ВПП — взлетно-посадочная полоса;
ВС — воздушное судно;
ВСС — вычислительная система самолетовождения;
ВСУП — вычислительная система управления полетом (автопилот);
ВСУТ — вычислительная система управления тягой (автомат тяги);
ГМРП — гидромеханический рулевой привод;
ГО — горизонтальное оперение;
ГП — горизонтальный полет;
ГС — гидравлическая система;
ДЛУ — датчик линейных ускорений;
ДУС — датчик угловых скоростей;
ЛА — летательный аппарат;
П(М)О — программное (математическое) обеспечение;
ПГО — переднее горизонтальное оперение;
РВ — руль высоты;

Список основных обозначений, русских и англоязычных сокращений
11

РМ — рулевая машинка;
РН — руль направления;
РП — рулевой привод;
РУД — рычаг управления двигателем (сектор газа);
САУ — система автоматического управления (автопилот/автомат тяги);
САХ — средняя аэродинамическая хорда;
СВС — система воздушных сигналов;
СДУ — система дистанционного управления;
СП — сервопривод;
ССУ — силовая система управления;
СУУ — система устойчивости и управляемости;
ЦВ — цифровой вычислитель;
ЦТ — центр тяжести;
ЭГРП — электрогидравлический рулевой привод;
ЭДСУ — электродистанционная система управления.

Список англоязычных сокращений

ACE — Actuator Control Electronics — электроника управления приводом;

ADIR(U/S) — Air Data Inertial Reference (Unit/System) — блок/система
воздушных данных и инерциальной информации;
AFDS — Autopilot and Flight Director System — система автоматического 
и директорного управления полетом;
CS — Control System — система управления;
ЕBНА — Electrical Backup Hydraulic Actuator — гидравлический привод 
с резервным электрическим питанием;
ЕНА — Electric
Hydrostatic
Actuator
—
электрогидростатический
привод;
ELAC — Elevator Aileron Computer — вычислитель управления рулем
высоты и элеронами;
EMA — Electro Mechanical Actuator — электромеханический привод;
FAR-25 — Federal Airworthiness Regulations — Федеральные Нормы
летной годности США;
FBW — Fly-By-Wire — электродистанционная система управления;
FMS — Flight Management System — система самолетовождения;
PFC(U) — Primary Flight Computer (Unit) — вычислитель (блок) основной 
системы управления;
SЕC — Spoiler Elevator Computer — вычислитель управления спойлерами 
и рулем высоты.

Список основных обозначений, русских и англоязычных сокращений

Список основных обозначений

S, м2 — площадь крыла;
L, м — размах крыла;
ba, м — средняя аэродинамическая хорда;
s — оператор преобразования Лапласа;
Xв, мм — перемещение ручки управления (или штурвальной колонки)
по тангажу;
Xэ, град — отклонение ручки управления (или штурвала) по крену;
Xн, мм — перемещение педалей;
αРУД, град — отклонение рычага сектора газа;
ωx, град/с — (угловая) скорость крена;
ωy, град/с — (угловая) скорость рыскания;
ωz, град/с — (угловая) скорость тангажа;
nx, ny, nz — продольная, нормальная и поперечная перегрузки в связанной 
системе координат;
nxa, nya, nza — тангенциальная, нормальная скоростная и боковая
перегрузки в скоростной системе координат;
γ, град — угол крена;
ϑ, град — угол тангажа;
ψ, град — угол рыскания, угол поперечной V-образности крыла;
α, град — угол атаки;
β, град — угол скольжения;
θ, град — угол наклона траектории;
Ψ, град — угол пути;
γс, град — скоростной угол крена;
Vпр (Vias), км/ч — приборная скорость;
V0 (Vtas), м/с — истинная скорость;
M — число Маха;
Re — число Рейнольдса;
aзв, м/с — скорость звука;
H, м — высота полета;
ρ, кг/м3 — плотность воздуха;
q, Н/м2 — скоростной напор (динамическое давление потока воздуха);
m, кг — масса самолета;
G = mg, Н — вес самолета;
P, Н — тяга двигателя;
Ra — вектор аэродинамических сил;
Xa = −Rxa, Н — аэродинамическая сила сопротивления;
Ya = Rya, Н — аэродинамическая подъемная сила;

Список основных обозначений, русских и англоязычных сокращений
13

Za, Н — аэродинамическая боковая сила;
Ixx, Iyy, Izz, Ixy [кг · м2] — элементы тензора инерции — моменты
инерции самолета;
p, кг · м/с — импульс самолета (количество движения);
K, кг · м2/с — момент импульса самолета (момент количества движения);

δэ, град — угол отклонения элеронов;
δн, град — угол отклонения руля направления;
δв, град — угол отклонения руля высоты;
ϕ, град — угол отклонения стабилизатора;
ϕдв, град — угол установки двигателя;
δинт, град — угол отклонения интерцепторов;
δз, град — угол отклонения закрылков;
δпр, град — угол отклонения предкрылков.