Обратный поток световой энергии в фокусе

УДК 535.42
ББК 22.243.4
О 23

К о т л я р В. В., С т а ф е е в С. С., Н а л и м о в А. Г. Обратный поток
световой энергии в фокусе. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 216 с. —
ISBN 978-5-9221-1932-0.

Еще в 424 г. до н.э. в пьесе древнегреческого поэта Аристофана «Облака»
упоминается о том, что с помощью фокусировки солнечного света можно
добывать огонь. С тех пор и до наших дней исследование поведения света
в фокусе вызывает интерес у оптиков. В фокусе сходится свет из разных областей 
пространства, который обладает разной амплитудой, фазой и состоянием
поляризации. Чтобы адекватно описывать свет в фокусе, следует использовать
все шесть проекций векторов напряженности электрического и магнитного
полей. В 1959 г. Б. Ричардсом и Э. Вольфом была создана аналитическая
теория строгого описания света вблизи острого фокуса, которая применяется
до сих пор. Проверить ее правильность сегодня можно с помощью разностного 
решения системы уравнений Максвелла в рамках одного из многих
коммерческих программных продуктов. Численный метод решения уравнений
Максвелла (FDTD-метод) был разработан А. Тафловом и М.И. Бродвином
в 1975 г. Один из интересных оптических эффектов, который имеет место
в остром фокусе световых полей, — эффект обратного потока энергии, о котором 
впервые упоминает в 1920 г. В.С. Игнатовский. В данной книге эффект
обратного потока энергии в фокусе лазерного света изучается теоретически на
основе формализма Ричардса–Вольфа, численно на основе разностного решения 
уравнений Максвелла и экспериментально. Выясняется природа данного
эффекта и условия, при которых он возникает.
Книга предназначена широкому кругу научных работников, инженеров,
работающих в области оптики, фотоники, лазерной физики, оптоинформаци-
онных технологий, оптического приборостроения. Также может быть полезной
бакалаврам и магистрам по специальностям «Прикладные математика и физика», «
Прикладная математика и информатика», «Оптика» и аспирантам,
специализирующимся в этих областях.

Институт систем обработки изображений РАН —
филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН;
Самарский национальный исследовательский университет
имени академика С.П. Королева

ISBN 978-5-9221-1932-0

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ В. В. Котляр, С. С. Стафеев,
А. Г. Налимов, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Г л а в а 1. Обратный поток для вихревых пучков и для пучков с цилиндрической 
поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря с круговой поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .

8
1.1.1. Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического 
вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.2. Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического 
вихря . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.1.3. Обратный поток энергии вблизи оптической оси в плоскости
фокуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1.4. Поперечные составляющие вектора Пойнтинга в плоскости
фокуса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.1.5. Моделирование FDTD-методом дифракции оптического вихря 
на зонной пластинке Френеля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

1.2. Обратный поток энергии в фокусе цилиндрического векторного
пучка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
16
1.2.1. Теоретическое обоснование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.2.2. Моделирование по формулам Ричардса–Вольфа . .. . . . . . . .
21
1.2.3. Моделирование с помощью FDTD-метода . .. . . . . . . . . . . .
24

1.3. Острая фокусировка света с поляризационной и фазовой сингулярностью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
1.3.1. Световое поле с комбинированной сингулярностью в фокусе
апланатической системы . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.3.2. Частные случаи из общей формулы . .. . . . . . . . . . . .. . . . .
30
1.3.3. Моделирование острой фокусировки оптического вихря с радиальной 
и азимутальной поляризацией высокого порядка . .
33

Г л а в а 2. Механизм формирования обратного потока энергии. . . .
39

2.1. Обратный поток при интерференции четырех плоских волн . .. . . .
39
2.1.1. Интерференция четырех плоских волн с линейной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
2.1.2. Формирование обратного потока на оптической оси в фокусе
светового поля с поляризационной сингулярностью . . . . . . .
43

Оглавление

2.2. Орбитальный поток энергии и поток спина . .. . . . . . . . . . . . . . .
45
2.2.1. Поток спина и орбитальный поток энергии в декартовых
координатах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2.2. Проекции
вектора
напряженности
электрического
поля
в остром фокусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.2.3. Поток спина и орбитальный поток энергии в фокусе
. .. . . .
49
2.2.4. Моделирование по формулам Ричардса–Вольфа . .. . . . . . . .
49

2.3. Тороидальные потоки поляризации вблизи фокуса. .. . . . . . . . . . .
53
2.3.1. Формулы Ричардса–Вольфа для случая узкой кольцевой
апертуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.3.2. Результаты моделирования фокусировки поляризационного
вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58

Г л а в а 3. Экспериментальное
исследование
обратного
потока
энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . .
64

3.1. Металинза для формирования обратного потока . .. . . . . . . . . . . .
64
3.1.1. Расчет рельефа поверхности спиральных металинз . .. . . . . .
66
3.1.2. Моделирование работы спиральной металинзы с m = 1
. .. .
71
3.1.3. Расчет проекции вектора Умова–Пойнтинга в фокусе спиральной 
металинзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.1.4. Поток энергии в фокусе для спиральной металинзы с m = 2
77

3.2. Измерение обратного потока в фокусе металинзы . .. . . . . . . . . . .
79
3.2.1. Изготовление металинзы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
80
3.2.2. Моделирование методом конечных разностей во временной
области (FDTD-метод) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
3.2.3. Измерение поперечной интенсивности в фокусе металинзы
84

3.3. Измерение обратного потока энергии с помощью микрообъектива
90
3.3.1. Эксперимент по обнаружению обратного потока в фокусе
оптического вихря с круговой поляризацией
. .. . . . . . . . . .
91
3.3.2. Эксперимент по обнаружению обратного потока в фокусе
поляризационного вихря второго порядка . .. . . . . . . . . . . .
96
3.3.3. Силы, действующие на наночастицу в обратном потоке
энергии . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

Г л а в а 4. Обратный поток в ближней зоне и вблизи поверхности
раздела сред . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
102

4.1. Обратный поток энергии в ближней зоне. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
102
4.1.1. Интенсивность и продольная проекция вектора Пойнтинга
104
4.1.2. Обратный поток энергии в начальной плоскости . .. . . . . . .
107
4.1.3. Поперечные проекции вектора Пойнтинга . .. . . . . . . . . . . .
108
4.1.4. Моделирование
. .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

Оглавление
5

4.2. Оптический эффект «углового трактора» . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
113
4.2.1. Угловой трактор в параксиальном случае . .. . . . . . . . . . . .
114
4.2.2. Угловой
трактор
в
фокусе непараксиального
оптического
вихря
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.2.3. Эксперимент по вращению микросфер полистирола в пучке
Бесселя с круговой поляризацией
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . 119

4.3. Обратный поток вблизи выходной поверхности градиентной линзы
121
4.3.1. Градиентная секансная линза . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
122
4.3.2. Результаты моделирования фокусировки света градиентной
секансной линзой . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.3.3. Градиентная секансная линза с металлизацией
. .. . . . . . . .
125
4.3.4. Градиентная секансная линза с отверстием . .. . . . . . . . . . .
125

4.4. Сила, действующая на частицу вблизи обратного потока . .. . . . . .
126
4.4.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
4.4.2. Падающее поле — левая круговая поляризация и фазовый
вихрь m = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.4.3. Падающее поле — круговая поляризация без фазового вихря
131
4.4.4. Влияние размера частицы на величину проекцию силы . .. . .
132

Г л а в а 5. Спин-орбитальная конверсия в фокусе . . . . . . . . . . . . .
134

5.1. Обратный поток в фокусе для вихревого поля с линейной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134
5.1.1. Теоретическое основание . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
135
5.1.2. Поток энергии в фокусе . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
137
5.1.3. Спин-орбитальная связь в фокусе . .. . . . . . . . . . . . .. . . . .
138
5.1.4. Моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
139

5.2. Инверсия продольной составляющей спинового углового момента
142
5.2.1. Спиновой угловой момент в фокусе гауссова пучка с круговой
поляризацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 145
5.2.2. Спиновой угловой момент в фокусе оптического вихря с топологическим 
зарядом 2 и круговой поляризацией
. .. . . . . . 147
5.2.3. Моделирование
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149

5.3. Круговая поляризация в фокусе при освещении светом с линейной
поляризацией . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
5.3.1. Поток энергии и спиновой угловой момент в фокусе . .. . . . .
154
5.3.2. Моделирование
. .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
158

5.4. Орбитально-спиновая конверсия, «фотонный вертолет» и полная
магнетизация . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
5.4.1. Спин-орбитальная конверсия в фокусе . .. . . . . . . . . . . . . .
162
5.4.2. Орбитально-спиновая конверсия в фокусе и лента Мебиуса
168
5.4.3. Фотонные колеса или фотонный вертолет . .. . . . . . . . . . . .
172
5.4.4. Только продольная компонента спина в фокусе (полная маг-
нетизация) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 173

Оглавление

Г л а в а 6. Поток энергии в фокусе пучка с дробной и гибридной
цилиндрической поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

6.1. Обратный поток в фокусе пучка с цилиндрической поляризацией
дробного порядка. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176
6.1.1. Фокусировка цилиндрических векторных пучков с порядком
от нуля до единицы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.1.2. Фокусировка цилиндрических векторных пучков с порядком
больше единицы . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

6.2. Поперечный поток энергии в остром фокусе света с циркулярно-
азимутальной поляризацией высокого порядка . .. . . . . . . . . . . . .
184
6.2.1. Интенсивность света с гибридной поляризацией в фокусе . .
185
6.2.2. Поток энергии в фокусе для света с гибридной поляризацией
188
6.2.3. Спиновый угловой момент в фокусе поля с гибридной поляризацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
190
6.2.4. Результаты моделирования фокусировки света с гибридной
поляризацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

Заключение . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
196

Литература . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

Введение

В 1874 году Н. А. Умов ввел понятие о плотности потока энергии
любой физической природы. А в 1884 году Д. Г. Пойнтинг ввел понятие
о плотности потока электромагнитной энергии. Поэтому иногда говорят
о векторе потока электромагнитной энергии как о векторе Умова–
Пойнтинга, а иногда только о векторе Пойнтинга. Вектор Пойнтинга P
равен количеству электромагнитной энергии, протекающей за одну секунду 
через единичную площадку, нормаль к которой перпендикулярна
к направлениям векторов напряженности электрического E и магнитного 
H полей. Поэтому тройка векторов (E, H, P) в каждой точке
пространства должна образовывать правую тройку векторов. Для квазимонохроматического 
света среднее значение за период колебаний
вектора P определяется в системе СГС как:
P = c

8πRe (E∗ × H) ,
(1)

где c — скорость света в вакууме, Re — значок действительной части
комплексного числа, ∗ — знак комплексного сопряжения. Вектор Пойн-
тинга P входит в интегральный закон сохранения энергии для электромагнитного 
поля под интегралом по замкнутой поверхности. В этом его
физический смысл. Но также вектор Пойнтинга входит и в дифференциальный 
закон сохранения энергии (теорема Пойнтинга):
∂W
∂t = −∇ · P − JE,
(2)

где W — плотность электромагнитной энергии, t — переменная времени, 
J — плотность тока свободных зарядов. Так как вектор Пойнтинга
входит в дифференциальный закон сохранения энергии (2) в виде
дивергенции, то это порождает неоднозначность в его определении.
Действительно, добавление к вектору P ротора от любой непрерывной
функции не приводит к изменению выражения для закона сохранения
энергии, так как div rot = 0. Но на практике никаких противоречий
эксперимента с определением (1) не возникает. За исключением эффекта 
обратного потока энергии. Первое упоминание об обратном потоке
световой энергии было сделано в 1920 году В. С. Игнатовским. Этот
эффект заключается в том, что при свободном распространении света
вдоль некоторого направления, в пространстве могут быть области,
в которых вектор Пойнтинга направлен в обратном направлении. Есть
ли в этом физический смысл, или это недостаток определения (1)?
Недавно эффект обратного потока энергии был обнаружен в остром
фокусе вихревых пучков. Данная книга посвящена детальному изучению 
эффекта обратного потока энергии в фокусе лазерного света.

Г л а в а 1

ОБРАТНЫЙ ПОТОК ДЛЯ ВИХРЕВЫХ ПУЧКОВ

И ДЛЯ ПУЧКОВ С ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ

ПОЛЯРИЗАЦИЕЙ

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
с круговой поляризацией

Начиная с работы [1] стало известно об обратном потоке энергии 
при распространении светового поля в свободном пространстве.
В местах обратного потока продольная компонента вектора Пойн-
тинга принимает отрицательные значения. Этому явлению в оптике
посвящено относительно не много работ [1–10]. В [1] показали, что
при фокусировке плоской волны с линейной поляризацией с помощью
апланатической системы в плоскости фокуса в области первого темного 
кольца интенсивности имеется область, в которой поток световой
энергии направлен в обратную сторону по отношению к направлению
распространения падающей плоской волны. В [2] теоретически было
показано наличие отрицательного значения продольной составляющей
вектора Пойнтинга на оптической оси у линейной комбинации двух
пучков Бесселя m-го порядка с ТЕ и ТМ поляризациями. В [3] рассмотрена 
практически реализуемая ситуация (фокусировка с помощью
апланатической системы) и теоретически и численно показано, что
при фокусировке моды Лагерра–Гаусса порядка (0, m) = (0, 2) и левой
круговой поляризацией (σ = −1) на оптической оси в фокусе у продольной 
проекции вектора Пойнтинга имеются отрицательные значения. 
В [4] рассмотрена суперпозиция двух произвольных световых
полей, у которых разные проекции волнового вектора на продольную
ось. Показано, что у таких световых полей имеют место локальные
области, в которых продольная компонента силы, действующей на
микрочастицу, направлена против волнового вектора светового пучка.
В [5] численно показано наличие обратного потока на оптической оси
в фокусе вихревой металинзы. В [6] численно показано наличие обратного 
распространения энергии в векторном пучке Бесселя с дробным
топологическим зарядом. Такой световой пучок, фактически, является
линейной комбинацией счетного числа обычных мод Бесселя. В [7]
теоретически получены выражения для плотности вектора Пойнтинга
для векторных Х-пучков и получены необходимые условия для появления 
обратного потока энергии. В [8] численно показано наличие
обратного течения энергии в непараксиальном ускоряющемся 2D пучке
Эйри. В [9] теоретически с помощью локального волнового векто-

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
9

ра рассматриваются условия, которые нужно наложить на световое
поле, чтобы оно локально проявляло обратное распространение (или
имел место обратный поток энергии). В [10] численно показано, что
в вихревом поле с неоднородной поляризацией, сформированном спиральной 
металинзой, вблизи оптической оси имеет место обратный
поток световой энергии. Кроме того, известны теоретические работы
по изучению свойств вектора Пойнтинга и вектора орбитального углового 
момента в произвольных и вихревых скалярных и векторных
световых полях [11–14]. В [11] исследуются параксиальные вихревые
пучки с несколькими фазовыми сингулярностями в поперечном сечении 
пучка. В [12] найдены спиральные траектории потока энергии для
пучков Бесселя и Лагерра–Гаусса, а в [13] исследуется «оптический
ток» (optical current) в вихревых пучках.
В данном разделе для произвольного оптического вихря с целым
топологическим зарядом m и круговой поляризацией получены явные
выражения для всех проекций векторов напряженности электрического
и магнитного полей вблизи фокуса, а также выражения для интенсивности (
плотности энергии) и потока энергии (проекции вектора
Пойнтинга) в плоскости фокуса в апланатической оптической системе. 
Из полученных выражений следует, что вблизи оптической оси
в плоскости фокуса оптического вихря c m > 2 и левой круговой
поляризацией обратный поток энергии на самой оптической оси равен
нулю и растет по модулю как степень 2(m − 2) радиальной координаты.
Также из полученных формул следует, что вблизи плоскости фокуса
обратный поток энергии вращается вокруг оптической оси.

1.1.1. Распределение интенсивности в плоскости фокуса оптического 
вихря. Рассмотрим с помощью формул Ричардса–Вольфа [1]
интенсивность и поток энергии (проекции вектора Пойнтинга) в плоскости 
острого фокуса произвольного оптического вихря с круговой поляризацией, 
сфокусированного апланатической системой. Выражения
для трех проекций вектора напряженности электрического поля оптического 
вихря в области фокуса были получены в [14]. Ниже мы приведем 
также три проекции вектора напряженности магнитного поля,
выражение для интенсивности и для трех проекций вектора Пойнтинга.
Для напряженности электрического поля с круговой поляризацией
E = Exex + iσEyey, где ex, ey — единичные векторы вдоль декартовых
координат, будем считать, что при σ = 1 — правая поляризация, а при
σ = −1 — левая поляризация, следуя [14]. Для оптического вихря
с топологическим зарядом m и произвольной функцией аподизации
зрачка (действительная функция Am(θ))

Am(θ, ϕ) = Am(θ) exp(imϕ),
(1.1)

где (θ, ϕ) — углы, задающие точку на сходящемся сферическом волновом 
фронте, запишем проекции электрического вектора E вблизи фокуса

Гл. 1. Обратный поток для вихревых пучков

в апланатической системе в цилиндрических координатах (r, ϕ, z), следуя [
14]:

Ex(r, ϕ, z) = −im+1eimϕI0,m + γ+I2,m+2e2iϕ + γ−I2,m−2e−2iϕ,

Ey(r, ϕ, z) = imeimϕσI0,m − γ+I2,m+2e2iϕ + γ−I2,m−2e−2iϕ,

Ez(r, ϕ, z) = −2imeimϕγ+I1,m+1eiϕ − γ−I1,m−1e−iϕ,

(1.2)

где

I0,m = B

a0

sin θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 + cos θ)Jm(x) dθ,

I1,m±1 = B

a0

sin2 θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θJm±1(x) dθ,

I2,m±2 = B

a0

sin θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 − cos θ)Jm±2(x) dθ,

(1.3)

где B = kf/2, α = arcsin(NA), x = kr sin θ, γ± = (1 ± σ)/2, Jν(x) —
функция Бесселя, k — волновое число света, f — фокусное расстояние
апланатической системы с числовой апертурой NA.
На основе (1.2) можно записать выражение для интенсивности
в плоскости фокуса (z = 0) произвольного оптического вихря (1.1):

Im(r, ϕ, z = 0) =

= 2
I2
0,m + γ+
I2
2,m+2 + 2I2
1,m+1
+ γ−
I2
2,m−2 + 2I2
1,m−1
.
(1.4)

Из (1.4) видно, что распределение интенсивности в плоскости фокуса 
имеет осевую симметрию, так как не зависит от азимутального
угла ϕ. И так как у интегралов Ip,q, входящих в (1.3) и (1.4) второй 
индекс показывает порядок функции Бесселя, то из (1.4) можно
заключить, что на оптической оси (r = 0) интенсивность будет равна
нулю при любом m > 2. При m = 1, 2 на оптической оси интенсивность
оптического вихря с левой круговой поляризацией (σ = −1) будет
отлична от нуля. Но в обоих случаях (m = 1, 2) световой поток не
будет распространяться вдоль положительного направления оптической
оси: при m = 1 поток энергии на оси будет нулевой, а при m = 2 —
обратный.

1.1.2. Продольная проекция вектора Пойнтинга в фокусе оптического 
вихря. Чтобы доказать наличие обратного потока в фокусе 
оптического вихря с произвольным целым топологическим заря-

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
11

дом m ̸= 0, приведем выражения для трех проекций вектора напряженности 
магнитного поля:

Hx(r, ϕ, z) = −imσI0,meimϕ + 2im+1γ+ sin ϕI1,mei(m+1)ϕ +

+ 2im+1γ− sin ϕI1,mei(m−1)ϕ +

+ imγ+ei(m+2)ϕ I2,m+2 − 2(m + 1)

kr
I1,m+1
−

− imγ−ei(m−2)ϕ I2,m−2 − 2(m − 1)

kr
I1,m−1
,

Hy(r, ϕ, z) = −im+1I0,meimϕ − 2im+1γ+ cos ϕI1,mei(m+1)ϕ −

− 2im+1γ− cos ϕI1,mei(m−1)ϕ −

− im+1γ+ei(m+2)ϕ I2,m+2 − 2(m + 1)

kr
I1,m+1
−

− im+1γ−ei(m−2)ϕ I2,m−2 − 2(m − 1)

kr
I1,m−1
,

Hz(r, ϕ, z) = im+1γ+ei(m+1)ϕ I2,m+1 + 2m

kr I0,m
−

− im+1I0,m−1eimϕ (σ cos ϕ + i sin ϕ) + im+1γ−I2,m−1ei(m−1)ϕ,

(1.5)

где

I0,m = B

a0

sin θ cos3/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 + cos θ)Jm(x)dθ,

I0,m−1 = B

a0

sin2 θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 + cos θ)Jm−1(x)dθ,

I1,m = B

a0

sin3 θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θJm(x)dθ,

I2,m±2 = B

a0

sin θ cos3/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 − cos θ)Jm±2(x)dθ,

I2,m±1 = B

a0

sin2 θ cos1/2 θAm(θ)eikz cos θ(1 − cos θ)Jm±1(x)dθ.

(1.6)

С помощью (1.2), (1.3), (1.5) и (1.6) найдем продольную проекцию
вектора Пойнтинга [1] S = cRe[E × H∗]/8π:

Sz = c

8πRe
ExH∗
y − EyH∗
x
,
(1.7)

Гл. 1. Обратный поток для вихревых пучков

с точностью до константы c/8π, где c — скорость света в вакууме,
Re(...) — действительная часть числа, в плоскости фокуса (z = 0):

Smz = 2I0,m
I0,m + I1,m
+

+ 2γ+I2,m+2
I2,m+2 + I1,m − 2(m + 1)

kr
I1,m+1
+

+ 2γ−I2,m−2
I2,m−2 + I1,m − 2(m − 1)

kr
I1,m−1
,
(1.8)

Из (1.8) видно, что продольный поток энергии имеет круговую
симметрию. Наличие в (1.8) слагаемых с отрицательными знаками
показывает, что в плоскости фокуса можно найти локальные области,
в которых продольная проекция вектора Пойнтинга будет отрицательной. 
Интересно выяснить, может ли эта локальная область располагаться 
вблизи оптической оси.

1.1.3. Обратный поток энергии вблизи оптической оси в плоскости 
фокуса. Из (1.8) следует, что при m = 1 продольный поток
энергии оптического вихря с левой круговой поляризацией
S1z− = 2 I0,1
I0,1 + I1,1
+ I2,1
I2,1 − I1,1
(1.9)
на оптической оси (r = 0) равен нулю, а при m = 2 продольный поток
для левой круговой поляризации

S2z− = 2
I0,2
I0,2 + I1,2
+ I2,0
I2,0 + I1,2 − 2

krI1,1
(1.10)

на оптической оси — обратный:

S2z−(r = 0, z = 0) =

= −2B2

⎛

⎝

a0

sin θ cos1/2 θA2(θ)(1 − cos θ)dθ

⎞

⎠

2

⩽ 0.
(1.11)

То есть вблизи оптической оси поток энергии (1.10) распространяется 
в обратном направлении по отношению к падающему потоку
энергии. При m = 3 вместо (1.10) получим:

S3z− = 2
I0,3
I0,3 + I1,3
+ I2,1
I2,1 + I1,3 − 4

krI1,2
.
(1.12)

Из (1.12) следует, что вблизи оптической оси (kr ≪ 1) в плоскости
фокуса имеет место обратный поток энергии, который на самой оси
равен нулю и возрастает по модулю квадратично с ростом радиальной
переменной r:

S3z−(r → 0)≈−B2(kr)2

2

⎛

⎝

a0

sin2 θ cos1/2 θA3(θ)(1−cos θ) dθ

⎞

⎠

2

<0.

(1.13)
Из сравнения (1.11) и (1.13) видно, что обратный поток при m = 3
примерно в 3–4 меньше, чем для m = 2. Далее приведем выражение,

1.1. Обратный поток в фокусе оптического вихря
13

аналогичное (1.11) и (1.13) для оптического вихря с левой круговой
поляризацией и произвольным целым топологическим зарядом. Вблизи
оптической оси (kr ≪ 1) в плоскости фокуса для продольной проекции
вектора Пойнтинга имеет место приближенное выражение

Smz−(r → 0) ≈ −
2B2(kr)2(m−2)

22(m−2) [(m − 2)!]2 ×

×

⎛

⎝

a0

sinm−1 θ cos1/2 θAm(θ)(1 − cos θ)dθ

⎞

⎠

2

< 0.
(1.14)

Из (1.14) видно, что при любом целом m > 2 на оптической оси
обратный оси поток равен нулю, а вблизи оси с ростом радиальной
переменной обратный поток растет по модулю как степень 2(m − 2)
радиальной переменной.
1.1.4. Поперечные составляющие вектора Пойнтинга в плоскости 
фокуса. Можно показать, что поперечный поток энергии (как прямой, 
так и обратный) у оптического вихря с левой круговой поляризацией 
вблизи плоскости фокуса вращается. Для этого найдем поперечные
составляющие вектора Пойнтинга:
Sx− = −Qm(r) sin ϕ,
Sy− = Qm(r) cos ϕ,
(1.15)
где

Qm(r) = (I0,m + I2,m−2)
I2,m−1 + I0,m−1
+

+ 2I1,m−1
I0,m − I2,m−2 + 2(m − 1)

kr
I1,m−1
.
(1.16)

Из (1.15) видно, что в плоскости фокуса поток энергии вращается
вокруг оптической оси по часовой или против часовой стрелки, в зависимости 
от знака функции Qm(r). Вблизи плоскости фокуса поток
энергии будет вращаться по спирали. Можно показать, что для m = 2
и m = 3 и левой круговой поляризации обратный поток энергии будет
распространяться вдоль оптической оси по спирали, вращаясь против
часовой стрелки. Например, при m = 2 вместо (1.16) получим:

Q2(r) = (I0,2 + I2,0) I2,1 + I0,1
+ 2I1,1
I0,2 − I2,0 + 2

krI1,1
.
(1.17)

Заменяя в (1.17) функции Бесселя, входящие в интегралы (1.3)
и (1.6) первыми членами ряда Тейлора, вблизи оптической оси (kr ≪ 1)
вместо (1.17) получим приближенное выражение:

Q2(r → 0) ≈ (kr)B2

a0

sin θ cos1/2 θA2(θ)(1 − cos θ) dθ ×

×

a0

sin3 θ cos1/2 θA2(θ) dθ > 0.
(1.18)

Гл. 1. Обратный поток для вихревых пучков

При a < π/2 и A2(θ) > 0 выражение (1.18) положительное, и значит
поперечный поток энергии для оптического вихря с m = 2 вблизи
оптической оси вращается против часовой стрелки.

1.1.5. Моделирование FDTD-методом дифракции оптического 
вихря на зонной пластинке Френеля.
Мы провели моделирование 
острой фокусировки оптического вихря зонной пластинкой
FDTD-методом. На рис. 1.1 показаны распределения фазы составляющих 
Ex и Ey падающего вихревого светового поля при m = 2
и m = 3 с левой круговой поляризацией, а также фаза зонной пластинки 
Френеля (черные кольца — фаза 0, белые кольца — фаза π).
Зонная пластинка размером 10 × 10 мкм в материале с показателем
преломления 1,5 и с глубиной бинарного рельефа 532 нм фокусирует
падающее поле с длиной волны λ = 532 нм на расстоянии λ. На рис. 1.2
показаны распределения продольной составляющей вектора Пойнтинга
в фокальной плоскости (z = λ) при m = 2 (рис. 1.2, а) и m = 3
(рис. 1.2, б), а также сечения продольной составляющей вектора Пойн-
тинга вдоль оси x (рис. 1.2, в) и распределения интенсивности при
m = 2 (рис. 1.2, г) и m = 3 (рис. 1.2, д). Рисунки 1.2, a–д подтверждают
наличие обратного потока световой энергии вблизи фокуса и оптической
оси (или на самой оптической оси при m = 2). Стрелки на рис. 1.2, г, д

Рис. 1.1. Распределения фазы составляющих Ex (a, в) и Ey (б, г) падающего
поля при m = 2 (a, б) и при m = 3 (в, г) соответственно, а также фаза
зонной пластинки Френеля, осуществляющей острую фокусировку оптического
вихря (д)