Анализ и оптимизация в задачах дизайна устройств невидимости материальных тел

УДК 517.956.2
ББК 22.311
А 47

А л е к с е е в Г. В., Л е в и н В. А., Те р е ш к о Д. А.
Анализ и оптимизация 
в задачах дизайна устройств невидимости материальных тел. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 328 с. — ISBN 978-5-9221-1919-1.

Монография посвящена описанию и разработке методов решения задач
дизайна средств, обеспечивающих невидимость материальных тел от их обнаружения 
с помощью различных физических полей (электромагнитных, акустических, 
магнитных, тепловых). Основное внимание уделяется описанию, развитию 
и анализу оптимизационных методов решения задач дизайна устройств
невидимости. Освещаются как теоретические, так и вычислительные аспекты
методов. Описываются и анализируются две основные группы стратегий маскировки 
материальных тел: группы пассивных и активных стратегий.
Книга рассчитана на широкий круг специалистов в области математического 
моделирования физических процессов, а также студентов, магистрантов
и аспирантов физико-математических специальностей.

Н а у ч н ы й р е д а к т о р
чл.-корр. РАН В.В. Пухначев
Р е ц е н з е н т
доктор физ.-мат. наук, профессор Д.С. Аниконов

Научное издание

АЛЕКСЕЕВ Геннадий Валентинович
ЛЕВИН Владимир Алексеевич
ТЕРЕШКО Дмитрий Анатольевич

АНАЛИЗ И ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ ДИЗАЙНА

УСТРОЙСТВ НЕВИДИМОСТИ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТЕЛ

Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: Е.В. Сабаева
Оформление переплета: А.В. Андросов

Подписано в печать 21.10.2021. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 22,55. Тираж 100 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru. Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в ООО «Типография «Перфектум»
428000, г. Чебоксары, ул. Карла Маркса, 52

ISBN 978-5-9221-1919-1

ISBN 978-5-9221-1919-1

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ Г. В. Алексеев, В. А. Левин, Д. А. Терешко, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а 1.
Теоретический и численный анализ двумерных
задач дизайна цилиндрических тепловых оболочек. . . . . .
19
1.1. Постановка прямой и обратной задач для модели теплопереноса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22
1.2. Разрешимость прямой задачи теплопереноса . .. . . . . . . . .
27
1.3. Точное решение прямой задачи теплопроводности . .. . . . .
33
1.4. Применение оптимизационного метода. .. . . . . . . . . . . . . .
35
1.5. Единственность и устойчивость оптимальных решений . .
40
1.6. Естественная дискретизация экстремальных задач. Многослойные 
оболочки . .. . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.7. Результаты вычислительных экспериментов. .. .. .. .. .. .. . . . .
55

Г л а в а 2.
Оптимизация в двумерных задачах дизайна концентраторов 
потока тепла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
2.1. Постановка прямой задачи для модели теплопереноса . .. .
72
2.2. Постановка задач концентрирования потока тепла. Сведение 
к экстремальным задачам . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.3. Результаты вычислительных экспериментов. .. . . . . . . . . .
79

Г л а в а 3.
Численное решение задач дизайна сферических
слоистых тепловых оболочек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
3.1. Постановка прямой задачи. Анализ точного решения . .. . .
93
3.2. Постановка обратных задач. Применение оптимизационного 
метода. Экстремальные задачи. .. . . . . . . . . . . . . .
98
3.3. Анализ результатов вычислительных экспериментов . .. . . 101

Г л а в а 4.
Численное решение задач дизайна цилиндрических 
электрических маскировочных оболочек . . . . . . . . . . 111
4.1. Постановка прямой и обратной задач. Свойства точного
решения прямой задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2. Применение оптимизационного метода. .. . . . . . . . . .. . . . . 116

Оглавление

4.3. Дискретизация экстремальных задач. Применение метода
роя частиц . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.4. Результаты вычислительных экспериментов. .. . . . . . . . . . 123

Г л а в а 5.
Оптимизационный метод в трехмерных задачах
электрической маскировки материальных тел . . . . . . . . . . 133
5.1. Постановка прямой и обратной задач для трехмерной модели 
электропроводности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2. Анализ точного решения. Разрешимости прямой задачи. . 137
5.3. Применение оптимизационного метода. Формулировка и
анализ экстремальных задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4. Экстремальные задачи в случае слоистой оболочки. Применение 
метода роя частиц . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5. Анализ результатов вычислительных экспериментов . .. . . 152

Г л а в а 6.
Теоретический анализ задачи магнитной маскировки 
на основе оптимизационного метода . . . . . . . . . . . . 163
6.1. Постановка и анализ прямой задачи магнитного рассеяния 163
6.2. Формулировка и анализ обратной задачи магнитного рассеяния . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
171
6.3. Единственность и устойчивость оптимальных решений . . 177

Г л а в а 7.
Оптимизационный метод в двумерных задачах
электромагнитной маскировки . . . .. .. .. .. . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . 185
7.1. Постановка двумерной задачи рассеяния в однородной
среде, содержащей анизотропное проницаемое препятствие . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
186
7.2. Функциональные пространства. Предварительные результаты . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 
187
7.3. Разрешимость исходной задачи сопряжения. Оценки решений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 
192
7.4. Постановка и разрешимость экстремальных задач . .. . . . . 200
7.5. Единственность и устойчивость решений задач управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
209

Г л а в а 8.
Оптимизационный метод в трехмерных задачах
электромагнитной маскировки . . . .. .. .. .. . . . . . . .. .. .. .. .. . . . . 217
8.1. Постановка краевой задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8.2. Функциональные пространства. Предварительные результаты . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . 
221
8.3. Разрешимость краевой задачи. Вывод оценок решения. .. . 224
8.4. Постановка и разрешимость экстремальных задач . .. . . . . 231

Оглавление
5

8.5. Единственность и оценки устойчивости решений экстремальных 
задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
8.6. Анализ задачи маскировки для модели рассеяния на частично 
проницаемом изотропном препятствии . .. . . . . . 244
8.6.1. Постановка краевой задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 244
8.6.2. Функциональные пространства. Предварительные
результаты
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
8.6.3. Разрешимость краевой задачи. Вывод оценок решения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 
248
8.6.4. Постановка и разрешимость задачи управления
. . 253
8.6.5. Единственность и оценки устойчивости решений
экстремальных задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Г л а в а 9.
Оптимизационный метод в задачах акустической
маскировки материальных тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.2. Функциональные
пространства.
Анализ
разрешимости
прямой задачи акустического рассеяния. .. . . . . . . . . . . 268
9.3. Разрешимость экстремальной задачи. Система оптимальности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
279
9.4. Единственность и устойчивость оптимальных решений . . 287

Список литературы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Введение

В 1961 г. в статье [43] российского ученого Л.С. Долина было 
установлено свойство инвариантности уравнений Максвелла
относительно определенных пространственных преобразований
и проницаемостей среды (позже, в 1996 г., это свойство было
подтверждено в [341]). Основываясь на указанных результатах
об инвариантности, Л.С. Долин нашел вид неоднородностей, которые 
не возмущают внешнее электромагнитное поле. Отметим
также работу [225], вышедшую в 1975 г. В ней было показано на
основе использования принципа компенсации электромагнитного
рассеяния, что тело малых размеров эллипсоидальной формы,
состоящее из ядра и его покрытия, может стать при соответствующем 
выборе параметров покрытия почти невидимым в том
смысле, что будет обладать почти нулевым поперечным сечением
рассеяния.
Затем (примерно через 30 лет) в 2005–2006 гг. был опубликован 
еще ряд работ, в которых были предложены альтернативные
схемы обеспечения невидимости материальных тел. Отметим,
прежде всего, работы [237, 293], опубликованные в 2006 г. В них
была предложена идея маскировки скрываемых объектов путем
помещения их внутрь объемной маскировочной оболочки, заполненной 
неоднородной анизотропной средой со специальным
образом выбранными параметрами. Для нахождения указанных
параметров среды авторы цитированных работ разработали оригинальный 
метод, названный ими «transfomation optics» (ТО-подход). 
Указанный метод основан на установленном в [43, 341]
свойстве инвариантности уравнений Максвелла относительно
определенных деформаций пространства, т. е. таких преобразований 
координат, при которых производится соответствующее
изменение тензоров диэлектрической и магнитной проницаемостей. 
Из других работ в этой области отметим работу [102],
в которой на основе идеи компенсации рассеяния было предложено 
использовать плазмонические покрытия для обеспечения

Введение
7

невидимости субволновых объектов, работу [267], в которой
использовались резонансы определенного типа для маскировки
точечных объектов, и работу [266], в которой для подавления
рассеяния скрываемого объекта было предложено использовать
активные источники.
После выхода указанных работ в мировой литературе стал
наблюдаться все возрастающий интерес к развитию эффективных 
методов и стратегий, обеспечивающих невидимость объектов 
для волн и полей различной природы (электромагнитных,
акустических, магнитных, тепловых и др.). Несмотря на сложнейшие 
математические и физические аспекты создания основ
теории, такой интерес мотивируется чрезвычайно важными технологическими 
приложениями к широкому множеству проблем
от маскировки объектов специального назначения до неинвазив-
ной медицинской диагностики.
Разработанные к настоящему времени методы и стратегии 
обеспечения невидимости можно разбить на два основных
класса: классы пассивных и активных стратегий. Среди пассивных 
стратегий различают, прежде всего, уже упомянутые
выше «transformation optics» или ТО-подход, метод компенсации 
рассеяния за счет плазмонических покрытий («plasmonic
cloaking») [102–108], либо за счет структурированных металлических 
поверхностей — метаповерхностей («mantle cloak-
ing») [143], и метод подавления рассеяния за счет аномальных 
локализованных резонансов («anomal localized
resonan-
ces») [267]. Класс активных стратегий основан на использовании 
для подавления рассеяния маскируемого объекта активных 
источников способа, который напоминает разработанный
в 1970-е гг. метод подавления шума. Он берет свое начало от метода 
активного гашения звуковых полей, впервые предложенного
российским ученым Г.Д. Малюжинцем в 1960-х гг. (см. [56]).
Представление об упомянутых методах и ряде других методов
маскировки можно найти в обзорных статьях [44, 49, 73–75, 107,
141, 209, 256, 346, 358, 368], а также в книге [14].
Самым известным и хорошо изученным среди пассивных
методов маскировки является разработанный в [293] ТО-подход, 
на который будем ниже ссылаться как на метод оптических 
преобразований (МОП). В физическом плане метод состоит

Введение

в построении вокруг маскируемого тела такой пространственной 
структуры в виде объемной оболочки, которая «заставляет»
падающие на маскируемый объект волны огибать тело и далее
распространяться без проникновения в объект и без рассеяния.
Похожая идея применения объемной оболочки для обеспечения
невидимости, но с использованием приближений геометрической 
оптики и конформных отображений, реализована в [237].
В то же время используемая в [102] схема, основанная на идее
компенсации электромагнитного рассеяния скрываемого объекта, 
приводит к подавлению лишь нескольких первых мод поля
электромагнитного рассеяния, делая тем самым объект почти
невидимым, а точнее, почти прозрачным относительно используемого 
для детектирования поля. Важно отметить, что предложенные 
в [102], [237] и [293] схемы обеспечения невидимости
скрываемых объектов фактически привели к созданию нового
направления в оптике и, по существу, в физике, получившего
в англоязычной литературе название «cloaking».
Подчеркнем,что маскировка является одним из основных способов 
обеспечения невидимости материальных тел. В этом плане
термины «невидимость» и «маскировка» образуют два близких
понятия. В англоязычной литературе их аналогами являются термины «
invisibility» и с некоторой степенью точности «cloaking».
Указанные термины образуют еще два часто используемых в научной 
литературе термина «invisibility cloaking» и «invisibility
cloak». Аналогом последнего термина в русскоязычной литературе 
является «маскирующее покрытие» или «маскировочная
оболочка».
Через год после выхода статей [237, 293] идеи, лежащие в основе 
МОП, были перенесены на случай акустической маскировки
сначала в 2D-случае [157], а затем и в 3D-случае [137, 158].
В том же 2007 г. МОП был распространен в [342] для исследования 
проблем магнитостатической, а также электростатической 
невидимости, рассматриваемых как частный случай
проблем невидимости относительно электромагнитных волн при
стремлении к нулю частоты волны.
Далее в 2008 г. вышли первые работы [145, 164], в которых
соответствующий аналог МОП, названный в [195] «thermody-
namics transformation», был применен для исследования задач

Введение
9

тепловой маскировки, тогда как в [165] этот метод был применен
для решения некоторых задач маскировки поверхностных волн
на воде. В работе [366] аналог МОП был применен для исследования 
задач маскировки. В физике возникло целое направление,
связанное с распространением МОП на волновые явления и физические 
поля разных типов: волны на воде [162], поверхностные
электромагнитные [272] либо акустические [168] волны, волны
вещества [192, 366], сейсмические волны [77], а также магнитостатические [
309], электростатические [355], нестационарные
тепловые либо диффузионные поля [195], гидродинамические
и магнитогидродинамические поля [155, 328, 329]. В дальнейшем 
МОП стал использоваться для решения задач дизайна ряда 
других важных электромагнитных, акустических и тепловых
функциональных устройств. К ним можно отнести концентраторы, 
служащие для накопления энергии (см. [244, 304]), вращательные 
оболочки, служащие для вращения электромагнитных
либо акустических полей [138, 140], суперлинзы [253, 292],
устройства иллюзиона или камуфляжа, служащие для преобразования 
характеристик рассеяния исходного (маскируемого)
объекта в характеристики рассеяния другого объекта или даже 
нескольких других объектов [206], и ряд других устройств
(см. более подробно об этом в [316]). Еще одно направление
связано с развитием, наряду с указанными выше методами,
новых схем маскировки. К ним относятся, в частности, ковровая [
240], метаповерхностная [143], импедансная [32, 121]
и внешняя [199, 233] маскировки.
Важно отметить, что в основополагающей работе [293] были 
выведены точные аналитические формулы для диагональных
компонент в сферических координатах тензоров диэлектрической
и магнитной проницаемостей среды, заполняющей маскировочную 
оболочку в виде сферического слоя Ω = {x = (x, y, z) : a <
< r = |x| < b}. Указанные формулы имеют вид:

εrr = μrr =
b

b − a
(r − a)2

r
,

εθθ = μθθ =
b

b − a,
εϕϕ = μϕϕ =
b

b − a.
(1)

В другом важном случае, отвечающем цилиндрической маскировочной 
оболочке в виде полого цилиндра с поперечным сечением

Введение

в виде кольца Ω = {x = (x, y) : a < r = |x| < b}, 2D-аналоги
формул (1) имеют вид [314]

εrr = μrr = r − a

r
,
εϕϕ = μϕϕ =
r

r − a,

εzz = μzz =
b

b − a

2 r − a

r
.
(2)

Соответствующие аналоги формул (1), (2) для случаев акустической 
и статической маскировки можно найти, например,
в [137, 157, 158].
Подчеркнем, что формулы (2) описывают неоднородные анизотропные 
среды, обладающие характеристической сингулярностью 
на внутренней границе r = a. Под сингулярностью мы
понимаем тот факт, что азимутальные компоненты εϕϕ, μϕϕ
стремятся к бесконечности, тогда как радиальные и продольные
компоненты εrr, μrr и εzz, μzz стремятся к нулю при r → a.
Что касается формул (1), отвечающих 3D-случаю, то роль сингулярных 
компонент в (1) играют радиальные компоненты εrr
и μrr, которые стремятся к нулю при r → a. Подчеркнем, что
именно благодаря отмеченной сингулярности компонент тензоров
диэлектрической и магнитной проницаемостей оболочки, спроектированные 
на основе формул (1) или (2), соответственно
в 3D- или 2D-случаях, обеспечивают абсолютную маскировку
любого тела, помещенного внутрь указанной оболочки. Важно
отметить, что указанный эффект абсолютной маскировки имеет
место для любой падающей электромагнитной волны. Соответствующие 
результаты на уровне строгих теорем были доказаны
в статье [351], где предложена альтернативная теория вывода
формул для описания электромагнитных маскировочных оболочек 
и концентраторов.
Исследования в области электромагнитной невидимости, начатые 
в [237, 293], в дальнейшем были продолжены в работах 
как авторов работ [237, 293], так и ряда других авторов.
Ряд научных групп стали заниматься математическим обоснованием 
приведенных в [237, 293] результатов. Другие группы
исследовали различные важные дополнительные свойства маскировочных 
оболочек, оставаясь в рамках метода оптических
преобразований. Еще одно направление связано с разработкой

Введение
11

альтернативного способа вывода компонент сред маскировочной
оболочки и концентратора. Указанный способ основан на формулировке 
специальной краевой задачи для уравнений Максвелла, 
позволяющий уже совсем другим способом (отличным
от МОП) находить параметры неоднородной анизотропной среды, 
обеспечивающей маскировочный либо концентрационный
эффекты соответствующих устройств. Отметим, в частности, работы [
112, 113, 187–194, 232, 242, 243, 245–248, 284], посвященные 
применению различных методов регуляризации для решения
задач маскировки в случае скалярных волн, описываемых уравнением 
Гельмгольца.
Перечисленные выше схемы маскировки принято относить
к схемам (или стратегиям) прямого дизайна, поскольку они
основаны на предварительном нахождении решений прямых задач 
для рассматриваемых моделей электромагнетизма, акустики
и др. Нужно отметить, что решения задач маскировки, полученные 
с помощью перечисленных выше стратегий прямого дизайна,
обладают различного рода недостатками. Так, решениям (2),
полученным в [314] с помощью МОП, отвечают непрерывно
изменяющиеся от 0 до ∞ материальные параметры, описывающие 
сингулярную неоднородную анизотропную среду, которую
невозможно реализовать технически из-за отсутствия природных
материалов такого типа. Отсутствие в природе легко доступных
материалов с указанными выше экзотическими свойствами явилось 
мощным стимулом для значительной части исследователей
заниматься разработкой новых материалов, называемых метама-
териалами, служащих для технической реализации полученных
решений задач маскировки.
Существует ряд (других) способов преодоления указанных
выше недостатков, связанных с технической реализацией полученных 
решений. Один из способов состоит в замене исходной
задачи точной маскировки задачей приближенной маскировки,
решения которой допускают относительно простую реализацию.
Указанный способ использовался в ряде работ (см., например, [
136, 307, 353, 354, 375]). Важным частным случаем указанного 
способа является способ, основанный на замене исходной 
сингулярной «непрерывной» оболочки слоистой оболочкой,

Введение

состоящей из конечного числа слоев, каждый из которых заполнен 
своей собственной однородной изотропной либо анизотропной (
в общем случае) средой. В этом способе исходная задача
маскировки сводится к определению неизвестных параметров
сред, заполняющих отдельные слои слоистой оболочки, исходя
из выполнения с той или иной степенью точности условий маскировки. 
Начиная с работы [214], данный способ применялся
в большом количестве работ по маскировке в волновых и статических 
полях (см., например, [108, 139, 148, 214, 218, 219, 223,
271, 286, 319, 340, 347, 361–363]).
Другой способ преодоления трудностей технической реализации 
состоит в том, чтобы при решении задач маскировки учесть
хотя бы некоторые из требований, налагаемых априори на решение, 
т. е. на маскировочные оболочки. Учитывая, что задачи маскировки 
относятся по своему физическому смыслу к обратным
задачам, естественно использовать методы решения обратных
задач. Поскольку в теории обратных задач, начиная с основополагающих 
работ А.Н. Тихонова, достаточно активно используются 
оптимизационные методы [69], часть исследователей для
решения задач маскировки стала применять оптимизационные
методы. На этом пути возникло новое направление в теории
невидимости, получившее в [345, 346] название стратегии обратного 
дизайна («inverse design strategy»). Отметим первые в этой
области работы [298] и [343], в которых для решения задач маскировки 
стали применяться методы численной оптимизации: итерационный 
метод Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno (см. [125])
в [298] и генетический алгоритм в [343]. В дальнейшем при
применении метода оптимизации для решения задач дизайна
маскировочных оболочек и других функциональных устройств,
служащих для управления физическими полями, использовались
в основном эволюционные алгоритмы глобальной оптимизации
типа генетического алгоритма (см. [183, 269–271, 321, 339, 340,
361–363]), либо метод роя частиц (см. [218, 319]). Ряд работ посвящен 
применению для решения задач дизайна маскировочных
оболочек, концентраторов и других функциональных устройств
метода топологической оптимизации. Отметим среди них статьи [
169–177, 235, 288, 330, 337, 352].

Введение
13

Цикл работ по применению методов оптимизации для решения 
задач дизайна маскировочных оболочек и других функциональных 
устройств был опубликован авторами. Совокупность
выполненных ими работ можно разбить на две группы.
К первой группе относятся работы, посвященные теоретическому 
анализу обратных экстремальных задач, к которым сводятся 
рассматриваемые задачи маскировки в результате применения 
оптимизационного метода. Отметим среди них статьи [
7–12, 15, 16, 19–23, 55, 67, 80–85, 87–91, 94]. В этих
статьях исследуются вопросы по обоснованию применения оптимизационного 
метода для решения обратных задач дизайна
устройств маскировки относительно волновых (электромагнитных 
или акустических), либо статических (тепловых, электрических 
либо магнитных) полей, а также устанавливаются важные
свойства оптимальных решений.
Во вторую группу входят работы [17, 18, 24–28, 86, 92,
93, 95–101, 254, 323], посвященные численному анализу экстремальных 
задач, возникающих при применении оптимизационного 
метода для решения задач дизайна устройств невидимости,
концентраторов и других функциональных устройств с использованием 
в качестве метода вычислительной оптимизации одного
из численных методов глобальной оптимизации. В большинстве
статей в качестве указанного метода авторы используют метод
роя частиц по схеме, предложенной в работах [17, 18], посвященных 
разработке численных алгоритмов решения задач дизайна
устройств тепловой невидимости.
Используемый в цитируемых работах подход к разработке
эффективных численных алгоритмов решения задач дизайна специальных 
функциональных устройств основан на использовании 
дополнительных свойств оптимальных решений рассматриваемых 
задач. Указанные свойства, в зависимости от выбора
используемого функционала качества и множества управлений,
на котором он минимизируется, были установлены в последних
работах авторов по решению задач дизайна устройств невидимости 
относительно статических полей с помощью оптимизационного 
метода. В частности, в [96, 97] было доказано, что при
выборе в качестве множества управлений M-мерного куба для
оптимального решения выполняется аналог принципа bang-bang.