Динамика мобильных систем с управляемой конфигурацией

УДК 62-50
ББК 22.2
Ч 49

Ч е р н о ус ь к о Ф. Л., Б о л о т н и к Н. Н. Динамика мобильных систем
с управляемой конфигурацией. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2022. — 464 с. —
ISBN 978-5-9221-1957-3.

Монография посвящена проблемам динамики и управления движением
мобильных роботов и других систем, способных за счет изменения конфигурации 
перемещаться в различных средах. Книга адресуется специалистам —
научным работникам и инженерам — в области теоретической и прикладной
механики, робототехники, теории управления, биомеханики, а также студентам
и аспирантам, изучающим перечисленные дисциплины.

Ре це н з е н т
доктор физико-математических наук
А. М. Формальский (НИИ механики МГУ)

Научное издание

ЧЕРНОУСЬКО Феликс Леонидович
БОЛОТНИК Николай Николаевич

ДИНАМИКА МОБИЛЬНЫХ СИСТЕМ

С УПРАВЛЯЕМОЙ КОНФИГУРАЦИЕЙ

Редактор В.С. Аролович
Оригинал-макет: К.А. Андреев
Оформление переплета: В.Ф. Киселёв

Подписано в печать 01.11.2022. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 29. Уч.-изд. л. 31,9. Тираж 300 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
«Наука/Интерпериодика»
117342, г. Москва, ул. Бутлерова, д. 17 Б
E-mail: porsova@fml.ru, sale@fml.ru
Сайт: http://www.fml.ru
Интернет-магазин: http://www.fmllib.ru

Отпечатано с электронных носителей издательства
в АO «Первая Образцовая типография»
Филиал «Чеховский Печатный Двор»
142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1
Сайт: www.chpd.ru. E-mail: sales@chpd.ru
Тел.: 8 (499) 270-73-59

ISBN 978-5-9221-1957-3

ISBN 978-5-9221-1957-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2022

c⃝ Ф. Л. Черноусько, Н. Н. Болотник, 2022

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

Г л а в а 1.
Перемещение многозвенных змееподобных механизмов
в динамическом режиме . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.1. О движении змееподобных систем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.2. Движение трехзвенника по горизонтальной плоскости . .. . . . . . . .
19
1.2.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.2.2. Элементарные движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.2.3. Анализ медленных движений
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.2.4. Анализ быстрых движений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
1.2.5. Построение произвольных движений из элементарных . .. . . .
28
1.2.6. Числовой пример . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.3. Движение двузвенника по горизонтальной плоскости. .. . . . . . . . .
35
1.3.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.3.2. Элементарные движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.3.3. Анализ медленных движений
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
1.3.4. Анализ быстрых движений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.3.5. Продольное перемещение двузвенника
. .. . . . . . . . . . . . . .
43
1.3.6. Произвольное перемещение двузвенника . .. . . . . . . . . . . . .
45
1.3.7. Частные случаи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.3.8. Примеры . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
51
1.4. Оптимизация конструктивных параметров и режимов движения
многозвенников . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
1.4.1. Максимизация средней скорости движения трехзвенника
. .
53
1.4.2. Максимизация средней скорости движения двузвенника . .. .
63
1.4.3. Обсуждение результатов оптимизации
. .. . . . . . . . . . . . . .
74
1.4.4. Учет затрат энергии на преодоление трения . .. . . . . . . . . . .
76
1.5. Обсуждение результатов и эксперименты. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
88

Г л а в а 2.
Квазистатическое
перемещение
многозвенных
механизмов . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96
2.1. О квазистатических движениях . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
2.2. Волнообразные движения многозвенника по шероховатой горизонтальной 
плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
2.2.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
98
2.2.2. Волнообразное движение с тремя подвижными звеньями . .. .
99
2.2.3. Волнообразное движение с четырьмя подвижными звеньями
101
2.2.4. Квазистатический подход . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
2.2.5. Начальный этап . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.2.6. Конечные этапы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
106
2.2.7. Основной этап при трех подвижных звеньях
. .. . . .. . . . . . .
107

Оглавление

2.2.8. Основной этап при четырех подвижных звеньях . .. . . . . . . .
109
2.2.9. Определение моментов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
2.2.10. Обсуждение результатов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.3. Квазистатические движения трехзвенного мобильного механизма
с замкнутым контуром по шероховатой горизонтальной плоскости
115
2.3.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
115
2.3.2. Квазистатические движения с одной подвижной точкой.
Управляемость системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
118
2.3.3. Построение оптимальной траектории движущейся точки . .. .
121

Г л а в а 3.
Движение цепочек тел в сопротивляющихся средах . . . .
128
3.1. О локомоции за счет продольных перемещений. .. . . . . . . . . . . . .
128
3.2. Математическая модель прямолинейного движения цепочки тел . .
132
3.2.1. Описание модели и уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . .
132
3.2.2. Уравнение движения центра масс . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
134
3.2.3. Движение центра масс цепочки тел в среде с линейным
законом сопротивления
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
3.3. Оптимальное прямолинейное движение системы двух тел по плоскости 
с сухим трением в режиме кусочно-постоянной силы взаимодействия. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

138
3.3.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
3.3.2. Расчет движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
3.3.3. Максимизация средней скорости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
145
3.4. Оптимальное
прямолинейное
перемещение
системы
двух
тел
по плоскости с сухим трением в режиме движения с кусочно-постоянной 
относительной скоростью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
147
3.4.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
148
3.4.2. Анализ уравнений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
149
3.4.3. Средняя скорость
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
153
3.4.4. Энергозатраты
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
3.4.5. Оптимизация . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
154
3.5. Безреверсное периодическое прямолинейное движение системы
двух взаимодействующих тел на горизонтальной шероховатой плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

159
3.5.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
160
3.5.2. Безразмерные переменные
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
162
3.5.3. Условие существования безреверсного периодического движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163
3.5.4. Анализ и параметрическая оптимизация периодического без-
реверсного режима движения . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
173
3.6. Оптимальное управление движением системы двух взаимодействующих 
тел на горизонтальной шероховатой плоскости. .. . . . . . . . .
175
3.6.1. Постановка задач оптимального управления
. .. . . . . . . . . .
175
3.6.2. Вспомогательная задача оптимального управления для центра
масс системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
3.6.3. Решение задачи 3.6.1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180
3.6.4. Решение задачи 3.6.2 . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185
3.6.5. Параметрическая максимизация средней скорости оптимального 
движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187

Оглавление
5

3.7. Оптимальное управление цепочкой взаимодействующих тел вдоль
прямой на горизонтальной шероховатой плоскости . .. . . . . . . . . .
189
3.7.1. Постановка задач оптимального управления . .. . . . . . . . . . .
190
3.7.2. Вспомогательная задача об оптимальном движении центра
масс . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
3.7.3. Оптимальное управление для задач 3.7.1 и 3.7.2 . .. . . . . . . .
193
3.7.4. Оптимальное управление при ограничении на относительные
смещения тел . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
3.8. Поступательное движение цепочки тел в вязкой сопротивляющейся
среде . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
3.8.1. Механическая система . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
3.8.2. Поступательное движение системы
. .. . . . . . . . . . . . . . . .
202
3.8.3. Линейное сопротивление
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
204
3.8.4. Квадратичное сопротивление . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206

Г л а в а 4.
Локомоция многозвенных систем в жидкости. . . . . . . . .
209
4.1. Плавание живых существ и бионических мобильных систем . .. . . .
209
4.2. Оптимальное управление многозвенной системой с цилиндрическими 
шарнирами в среде со степенным законом сопротивления . .. . .
212
4.2.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212
4.2.2. Анализ уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
4.2.3. Случай кусочно-постоянной угловой скорости
. .. . . . . . . . .
219
4.2.4. Задача оптимального управления . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . .
221
4.2.5. Решение задачи 4.2.1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
222
4.2.6. Решение задачи 4.2.2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
228
4.2.7. Оптимальное решение
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
4.2.8. Случай квадратичного сопротивления . .. . . . . . . . .. . . . . . .
233
4.2.9. Учет подъемной силы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
233
4.3. Плавание при помощи двузвенных конечностей . .. . . . . . . . . . . .
235
4.3.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
4.3.2. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
237
4.3.3. Случай малых углов отклонения . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . .
240
4.3.4. Случай конечных углов отклонения . .. . . . . . . . . . . . . . . .
241
4.4. Упрощенная модель гребли . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
245
4.4.1. Механическая модель
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
246
4.4.2. Анализ и интегрирование уравнений движения
. .. . . . . . . .
248
4.4.3. Свойства решения . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
251
4.4.4. Численное моделирование . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
4.4.5. Циклические движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253

Г л а в а 5.
Прямолинейные
периодические
движения
систем
с подвижными внутренними телами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
256
5.1. Локомоционные
системы
с
подвижными
внутренними
телами
и капсульные роботы . .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .
256
5.2. Периодическое движение системы с внутренним телом вдоль прямой 
на шероховатой горизонтальной плоскости . .. . . . . . . . . . . . .
264
5.2.1. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
264
5.2.2. Относительное периодическое движение внутреннего тела . .
267
5.2.3. Двухфазное движение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273

Оглавление

5.2.4. Оптимизация двухфазного движения . .. . . . . . . . . . . . . . .
275
5.2.5. Трехфазное движение
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
280
5.2.6. Оптимизация трехфазного движения
. .. . . . . . . . . . . . . . .
286
5.2.7. Обсуждение результатов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
298
5.3. Оптимальные движения системы с подвижным внутренним телом
в средах с различными законами сопротивления . .. . . . . . . . . . . .
299
5.3.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299
5.3.2. Относительное движение внутреннего тела . .. . . . . . . . . . .
301
5.3.3. Схема решения задачи параметрической оптимизации . .. . . .
302
5.3.4. Кусочно-линейное сопротивление . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
303
5.3.5. Квадратичное сопротивление . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306
5.3.6. Сухое трение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
308
5.3.7. Оптимизация в случае сухого трения . .. . . . . . . . . . . . . . .
312
5.4. Оптимальное управление прямолинейным движением системы с подвижным 
внутренним телом в сопротивляющейся среде . .. . . . . . .
317
5.4.1. Описание системы и постановка задач оптимального управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

317
5.4.2. Существование периодического движения с ненулевым смещением 
за период . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
323
5.4.3. Краевая задача принципа максимума
. .. . . . . . . . .. . . . . . .
327
5.4.4. Общая схема решения задачи оптимального управления . .. .
330
5.4.5. Функции r(v) класса ℜ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
334
5.4.6. Решение краевой задачи принципа максимума для некоторых
функций r(v) из класса ℜ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
337
5.4.7. Движение в среде со степенным законом сопротивления при
малом коэффициенте трения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
5.5. Оптимальное управление системой с двумя внутренними телами. .
343
5.5.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
5.5.2. Свойства оптимального движения
. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
346
5.5.3. Построение оптимального управления . .. . . . . . . . . . . . . . .
349
5.5.4. Предельные случаи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
352
5.6. Движение систем с подвижными внутренними телами и вибрационное 
перемещение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
365
5.6.1. Вибрационное перемещение частицы при прямолинейных колебаниях 
платформы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
5.6.2. Вибрационное перемещение частицы при плоскопараллельном
поступательном движении платформы
. .. . . . . . . . . . . . . .
368

Г л а в а 6.
Плоские движения тела под влиянием внутренних масс
при наличии сухого трения между телом и плоскостью. . . . . . .
371
6.1. Об управлении движением твердого тела с подвижными внутренними 
массами на плоскости. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
371
6.2. Движение тела по плоскости под воздействием двух подвижных
масс . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
6.2.1. Механическая система . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
375
6.2.2. Задача управления
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
6.2.3. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
378
6.2.4. Построение управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
380

Оглавление
7

6.3. Плоские движения тела, управляемые с помощью подвижной материальной 
точки . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
6.3.1. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
6.3.2. Типы движений
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
389
6.3.3. Прямолинейные движения
. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
390
6.3.4. Вращение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
6.3.5. Управляемость . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398

Г л а в а 7.
Управление
ориентацией
твердого
тела
посредством
внутренних подвижных масс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
401
7.1. Управление угловым движением твердых тел с внутренними точечными 
массами в отсутствие внешних сил. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
401
7.2. Плоские оптимальные движения тела, управляемого при помощи
внутренней массы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404
7.2.1. Механическая система . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
404
7.2.2. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
405
7.2.3. Постановки задач оптимального управления . .. . . . . . . . . . .
406
7.2.4. Оптимальное управление
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
7.2.5. Решения задач 7.2.1а–7.2.3а
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410
7.2.6. Модификация законов управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
416
7.3. Плоские повороты при наличии фазового ограничения . .. . . . . . . .
419
7.3.1. Основные уравнения и ограничения . .. . . . . . . . . . . . . . . .
419
7.3.2. Анализ траекторий
. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
421
7.3.3. Численные результаты и их обсуждение . .. . . . . . . . . . . . .
424
7.4. Оптимальное управление плоским поворотом для нелинейной системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

426
7.4.1. Постановка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
427
7.4.2. Оптимальное управление
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
428
7.5. Пространственное движение тела, управляемое посредством внутренней 
массы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
431
7.5.1. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
432
7.5.2. Переориентация как последовательность плоских поворотов
433
7.5.3. Упрощенный плоский поворот . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
434
7.6. Управление ориентацией тела при помощи нескольких подвижных
масс . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
437
7.6.1. Уравнения движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
438
7.6.2. Преобразование основного уравнения . .. . . . . . . . . . . . . . .
440
7.6.3. Задача переориентации . .. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
441
7.6.4. Относительные движения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
442
7.6.5. Обсуждение результатов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
445

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
448

Предисловие

Книга посвящена проблемам динамики и управления движением
мобильных систем, способных перемещаться за счет целенаправленного 
изменения их конфигурации. У этих систем отсутствуют такие
традиционные движители как колеса, ноги, гусеницы, гребные винты;
их движение осуществляется путем изменения формы или взаимного
расположения составляющих тел при сохранении контакта с внешней
средой. Такие способы перемещения широко распространены в живой
природе (ползание змей и червей, плавание рыб и иных животных)
и используются для осуществления локомоции мобильных робототехнических 
систем. Среди мобильных роботов можно выделить бионические 
системы, движение которых в значительной степени имитирует
движение живых прототипов, и системы, не имеющие прямых аналогов
в живой природе.
К последним относятся капсульные мобильные роботы, состоящие
из жесткого корпуса и внутренних тел, управляемых при помощи приводов 
и совершающих определенные движения относительно корпуса.
За счет этих движений и вызванных ими движений корпуса изменяются 
силы сопротивления внешней среды, что создает возможность
управления перемещением корпуса как целого. Капсульные системы
просты конструктивно, не требуют сложных трансмиссионных механизмов 
для передачи движений от приводов к движителям, легко
поддаются миниатюризации. Корпус капсульного робота может быть
герметичным и гладким, без выступающих деталей. Эти свойства делают 
капсульные роботы перспективными для использования в «ранимых» 
средах, в том числе внутри тела человека в целях медицинской
диагностики и доставки медикаментов. В настоящее время в мире
наблюдается повышенный интерес к капсульным локомоционным системам.

В книге построены и исследованы математические модели динамики 
мобильных систем с изменяемой конфигурацией разнообразных
типов. Освещаются вопросы управляемости таких систем, т. е. их возможности 
перемещаться за конечное время из одного произвольно
заданного положения в другое. Строятся различные режимы движения,
при этом основное внимание уделяется периодическим режимам, при
которых конфигурация системы (взаимное расположение составляющих 
тел) и скорости ее тел относительно среды изменяются перио-

Предисловие
9

дически. Находятся оптимальные конструктивные параметры и оптимальные 
законы управления, при которых мобильная система движется
с максимальной средней скоростью или с минимальными затратами
энергии на единицу пути.
Исследованы движения мобильных систем в различных средах при
разных законах сопротивления внешней среды. Основное внимание
уделено силам сопротивления типа сухого трения и силам, зависящим
от скорости движения линейно или квадратично.
Книга содержит семь глав. В первых двух главах изучаются многозвенные 
змееподобные мобильные системы, звенья которых соединены
цилиндрическими (вращательными) шарнирами так, что система перемещается 
за счет изгибных изменений ее конфигурации. Перемещение
происходит по горизонтальной плоскости при наличии сухого кулонова
трения между телами системы и плоскостью. Рассматриваются динамические (
гл. 1) и квазистатические (гл. 2) режимы движения.
При динамических режимах чередуются медленные и быстрые фазы. 
В медленных фазах часть звеньев движется, а другие звенья покоятся, 
удерживаемые силами трения; управляющие моменты в шарнирах
при этом должны быть невелики, чтобы силы трения смогли удерживать 
неподвижными часть звеньев. В медленных фазах происходит смещение 
центра масс системы относительно поверхности перемещения.
Для того, чтобы смещение центра масс было значительным, медленные 
фазы должны иметь относительно большую продолжительность.
В быстрых фазах, наоборот, моменты в шарнирах намного превосходят
по величине моменты сил трения, а продолжительность этих фаз мала.
Быстрые фазы значительно изменяют конфигурацию системы почти без
смещения ее центра масс относительно среды.
В квазистатических режимах быстрые фазы отсутствуют, и все
звенья системы движутся с малыми скоростями и ускорениями, так что
все движение можно трактовать как непрерывную последовательность
состояний равновесия и при расчетах пользоваться уравнениями статики. 
В гл. 2, кроме змееподобной многозвенной системы с вращательными 
шарнирами, рассмотрена также система треугольной конфигурации
с поступательными шарнирами. Перемещение этой системы происходит
за счет изменения длин сторон треугольника.
В гл. 3 изучаются локомоционные системы, моделируемые совокупностью 
твердых тел, последовательно соединенных поступательными
шарнирами в цепочку. Все тела цепочки взаимодействуют с внешней
средой. Управление системой осуществляется приводами, реализующими 
силовое взаимодействие между соседними телами. Рассчитываются
управления, обеспечивающие поступательное перемещение системы
в периодическом режиме в средах с различными законами сопротивления. 
Проводится оптимизация параметров конструкции и законов

Предисловие

управления с целью максимизации средней скорости движения. Основное 
внимание в гл. 1–3 уделяется движению многозвенных систем
по жесткой поверхности с трением, большей частью сухим.
В гл. 4 исследуется движение систем с изменяющейся конфигурацией 
в жидкости. Строятся режимы управления мобильными системами, 
имитирующими плавание рыб, земноводных (лягушек), спортивное
плавание людей, а также процесс гребли.
Глава 5 посвящена капсульным системам, перемещающимся вдоль
прямой по плоскости при наличии сухого трения между поверхностью
перемещения и корпусом. Построены и исследованы оптимальные режимы 
поступательного движения капсульных систем по прямой.
В гл. 6 исследуются двумерные движения капсульных систем
по горизонтальной плоскости при наличии сил сухого трения между системой 
и плоскостью. Показано, что при определенных условиях имеет
место управляемость таких систем, т. е. возможность их перемещения
из начального состояния в заданное конечное состояние на плоскости.
Глава 7 посвящена управлению движением систем, содержащих
подвижные внутренние массы, при отсутствии внешних сил. В этом
случае нельзя управлять движением центра масс, однако можно управлять 
ориентацией корпуса. Такая ситуация представляет интерес для
управления ориентацией космических аппаратов в свободном полете,
а также для управления ориентацией мобильного робота в случаях его
быстрых поворотов, когда влиянием внешних сил можно пренебречь по
сравнению с внутренними силами, обусловленными движением внутренних 
масс. Построены режимы управления ориентацией при помощи
одной или нескольких внутренних масс.
Каждая глава открывается вводным разделом, в котором характеризуются 
содержание, актуальность и значимость проблем, решению
которых посвящена данная глава, обсуждаются предшествующие результаты 
и дается краткий обзор соответствующих публикаций.
Материал книги основан на результатах исследований авторов,
выполненных в Институте проблем механики им. А.Ю. Ишлинского
(ИПМех РАН) в период с 2000 г. по настоящее время. В некоторых
исследованиях принимали участие сотрудники института А.М. Нуну-
паров, Т.Ю. Фигурина и А.М. Шматков, а также И.Н. Борисенко,
П.А. Губко, С.П. Карманов, Н.Ю. Наумов, А.С. Смышляев, Н.А. Соболев, 
К.С. Сорокин и М.М. Шундерюк, которые в разные годы были
студентами и аспирантами Московского физико-технического института 
и обучались на кафедре механики и процессов управления при
ИПМех РАН. Всем им авторы выражают благодарность.
Авторы признательны И.Е. Солодовниковой за большую помощь
при подготовке рукописи.

Предисловие
11

Книга адресуется специалистам (исследователям и инженерам)
в области теоретической и прикладной механики, биомеханики, процессов 
управления, оптимизации и робототехники. Она будет полезна
преподавателям высших учебных заведений, а также студентам и аспирантам, 
изучающим перечисленные дисциплины.
Ряд исследований, отраженных в книге, финансировались Министерством 
образования и науки Российской Федерации (государственное 
задание АААА-А20-120011690138-6), Российским научным
фондом (проект 18-11-00307) и Российским фондом фундаментальных
исследований (проекты 20-01-00378 и 21-54-12004).

Г л а в а 1

ПЕРЕМЕЩЕНИЕ МНОГОЗВЕННЫХ

ЗМЕЕПОДОБНЫХ МЕХАНИЗМОВ

В ДИНАМИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ

1.1. О движении змееподобных систем

Движение змей и других животных, не имеющих конечностей,
издавна привлекало внимание ученых в области механики и биомеханики. 
Как известно, змеи способны быстро перемещаться в различных
направлениях (не только вперед, но и вбок) по поверхностям и в средах
с разными физическими и механическими свойствами (рис. 1.1.1). Змеи
появились на Земле в результате эволюции некоторых пресмыкающихся 
типа ящериц, которые утратили конечности и смогли реализовать 
эффективные способы движения за счет длинного, гибкого и силь-

Рис. 1.1.1. Змея в пустыне

1.1. О движении змееподобных систем
13

ного тела. Как известно, у некоторых змей сохранились небольшие
кости, являющиеся рудиментарными остатками исчезнувших конечностей.

Отметим некоторые качественные (с точки зрения механики) отличия 
движения змей и других организмов, не имеющих конечностей
(червей; некоторых рыб, например, угрей), от движения других животных 
и насекомых, обладающих конечностями.
Живые организмы, обладающие конечностями, при перемещениях
по поверхности контактируют с ней лишь в
отдельных точках.
При этом точки контакта не остаются неизменными: происходит смена
опорных ног при ходьбе и беге. В отличие от этого, змеи практически 
постоянно контактируют с поверхностью земли по всей своей
длине и поэтому в полной мере испытывают влияние сил трения.
Как известно, силы трения, действующие на каждый элемент движущегося 
тела, направлены против его скорости. В то же время для
того, чтобы змея сдвинулась с места, результирующая сил трения
должна быть направлена в сторону движения. Это достигается за счет
изгиба тела змеи путем создания изгибающих моментов, направленных
вертикально, то есть перпендикулярно опорной поверхности. Заметим,
что при ходьбе и беге, а также при движении колесных аппаратов
управляющие моменты сил приложены вдоль горизонтальных осей,
параллельных опорной поверхности.
Исследованию биомеханики змей посвящено значительное число
работ. Одной из первых работ, где построена математическая модель,
объясняющая движение змеи в терминах классической механики, была
статья [53]. В ней рассмотрено движение змеи в криволинейной трубе с
гладкими стенками и показано, что тяговое усилие может быть создано
за счет опоры змеи на стенки трубы. Дальнейшей разработке этой
модели движения посвящены работы [39, 50, 54, 109, 199].
Классификация движения змей дана в книге [32], где указаны три
типа движений, изображенные на рис.1.1.2–1.1.4. Движения, показанные 
на рис. 1.1.2, осуществляются за счет опоры тела змеи на гладкие
вертикальные стержни. В природных условиях вместо стержней могут
быть использованы камни, препятствия или неровности почвы. Здесь,
как и в [53], тяговое усилие создается за счет нормальных реакций
препятствий (стержней или стенок криволинейного канала). Движения, 
изображенные на рис. 1.1.3, реализуются в прямолинейных трубах
за счет сил трения змеи о стенки. Змея упирается в стенки в средней
части своего тела, при этом возникают нормальные реакции и связанные 
с ними силы трения о стенки трубы, диаметр которой больше диаметра 
поперечного сечения тела змеи; силы трения и создают тяговое
ускорение. Подтягивая головную и хвостовую части тела, змея затем
меняет точки опоры и снова перемещает вперед центр масс своего тела.

Гл. 1. Перемещение многозвенных змееподобных механизмов

1

2

3

4

5

6

7

8

9

H G F E D C B A
H G F E D C B A

10

11

12

13

14

15

16

17

18

Рис. 1.1.2. Движение змеи с использованием вертикальных стержней

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

1

2
3
4
5

6
7

8
9

10
11

12
13
14
15
16
17

1,5 äþéìà
2
äþéìà
,5

Рис. 1.1.3. Движение змеи внутри прямолинейных труб различных диаметров

1.1. О движении змееподобных систем
15

0

60
50
40
30
20
10
0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10
11

12

13

14

15

16

Рис. 1.1.4. Прямолинейное движение змеи

Различие движений, показанных на рис. 1.1.2 и на рис. 1.1.3, состоит
в том, что для движения на рис.1.1.2 важна криволинейность канала,
но несущественны силы трения, а на рис. 1.1.3 канал прямолинеен,
но силы трения играют существенную роль. Движения, показанные на
рис. 1.1.4, возможны лишь за счет продольного перемещения («перетекания») 
части массы тела змеи вдоль ее корпуса.
Вопросам биомеханики змей и других организмов, не имеющих
конечностей, посвящена также книга [35].
Отметим, что описанные выше типы движений змей не объясняют
их перемещения путем изгиба корпуса вдоль плоской горизонтальной
поверхности без препятствий, когда тяговое усиление может быть создано 
только за счет сил трения корпуса о плоскость. Такое объяснение
дано в гл. 1 и 2, где исследованы движения многозвенных систем
по горизонтальной плоскости при наличии сухого трения.
В последние десятилетия интерес к механике перемещения змей
усилился в связи с развитием робототехники. В ряде работ [120–123,
137, 158, 183, 184, 226] исследуется кинематика многозвенных аппаратов, 
имитирующих движение змей. Описанный в [183] мобильный