Спиновые волны в средах с обменом и диссипацией

Рекомендовано 
Федеральным учебно-методическим объединением в системе 
высшего образования по укрупненной группе специальностей 
и направлений подготовки 03.00.00 «Физика и астрономия»  
в качестве учебного пособия для обучающихся по основным 
образовательным программам высшего образования  
по направлению подготовки «Физика»  
уровней бакалавриата (03.03.02) и магистратуры (03.04.02)  
специалитета по специальности  
«Фундаментальная и прикладная физика» (03.05.02)

УДК 537.874; 537.624
ББК 22.33
Ш 14

Ш а в р о в
В. Г.,
Щ е г л о в
В. И.
Спиновые
волны
в
средах
с обменом и диссипацией. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2021. — 496 с. —
ISBN 978-5-9221-1940-5.

Монография посвящена рассмотрению дисперсионных свойств спиновых
волн в средах, обладающих неоднородным обменным взаимодействием, а также
умеренной и малой диссипацией, каковыми в первую очередь являются пленки
железо-иттриевого граната (ЖИГ). Рассмотрены свойства гиротропной волны
в бигиротропной среде. Отмечено влияние диссипации на магнитостатические
волны дипольного характера. Основное внимание уделено коротким магнитостатическим 
волнам нанометровой длины, для которых проявления динамического 
размагничивания и неоднородного обменного взаимодействия являются
решающими факторами, формирующими закон дисперсии. Обсуждены перспективы 
применения нанометровых обменных волн в устройствах обработки
информации терагерцевого диапазона частот.
Монография предназначена специалистам, работающим в области физики
магнитных явлений, инженерам и конструкторам СВЧ-аппаратуры, а также
студентам и аспирантам соответствующих специальностей.

ISBN 978-5-9221-1940-5

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2021

c⃝ В. Г. Шавров, В. И. Щеглов, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

Список наиболее часто используемых сокращений . . . . . . . . . . . . .
11
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Г л а в а 1. Общие волновые процессы в магнитных средах (обзор литературы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16
1.1. Первое упоминание о спиновых волнах — тепловые магноны . .
16
1.2. Ферромагнитный резонанс и невзаимные устройства . .. . . . .. . .
17
1.3. Стабильные и нестабильные нелинейные процессы . .. . . . . . . .
17
1.4. Обменные волны по толщине пленки . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.5. Появление железоиттриевого граната . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.6. Магнитостатические резонансные типы . .. . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.7. Магнитостатические волны дипольного характера . .. . . . . . . . .
22
1.8. Магнитоупругие волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
1.9. Магнитооптические эффекты . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.10. Линии задержки с неоднородным полем . .. . . . . . . . . . . . . . .
25
1.11. Различие фазовой и групповой скоростей. .. . . . . . . . . . . . . . .
26
1.12. Магнитостатические волны в неоднородном поле . .. . . . . . . . .
26
1.13. Возбуждение волн импульсами света . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.14. Современные работы по магнитостатическим волнам . .. . . . . . .
30
1.15. Заключительное замечание . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
31
Выводы по главе 1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31

Г л а в а 2. Математический аппарат, используемый
при
расчете
дисперсионных свойств волн в магнитной среде . . . . . . . . . .
36
2.1. Основные виды электромагнитных волн в магнитной среде. .. . .
36
2.2. Роль магнитной проницаемости в распространении волн в магнитной 
среде. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
2.2.1. Тензор магнитной проницаемости
. .. . . . . . . . . . . . . .. .
38
2.2.2. Получение тензоров магнитной восприимчивости и проницаемости 
путем линеаризации уравнения движения
. .. . .
40
2.2.3. Общая схема получения тензора магнитной проницаемости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .

44
2.3. Уравнение Уокера. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
2.4. Граничные условия. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.5. Дисперсионное соотношение для магнитной пластины со свободными 
поверхностями (задача Дэймона–Эшбаха) . .. . . . . . . . . .
51
2.5.1. Полная формулировка задачи . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
2.5.2. Решение уравнений без граничных условий . .. . . . . . . . .
52

Оглавление

2.5.3. Вывод дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . . . . . . .
58
2.5.4. Дисперсионное соотношение в полярной системе координат
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61
2.6. Частотные области существования объемных и поверхностных
волн . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.7. Замечание о дальнейшем рассмотрении . .. . . . . . . . . . . .. . . . .
65
2.8. Уравнение второго порядка со смешанной производной. .. . . . . .
65
2.8.1. Частный случай решения уравнения со смешанной производной . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67
2.8.2. Классическое решение уравнения со смешанной производной
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68
2.9. Методы решения уравнений высоких степеней . .. . . . . . . . . . .
75
2.9.1. Уравнения третьей степени . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
76
2.9.2. Уравнения четвертой степени
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Выводы по главе 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Г л а в а 3. Дисперсионные свойства гиромагнитной волны в пластине 
феррита с диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
3.1. Общий характер гиромагнитной волны в магнитной среде . .. . .
94
3.2. Уравнения электродинамики для безграничной бигиротропной
среды. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
3.3. Гиромагнитная и гироэлектрическая волны . .. . . . . . . . . . . . .
100
3.4. Поля гиромагнитной волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
3.5. Гиромагнитная волна в ферритовой пластине . .. . . . . . . . . . . .
104
3.5.1. Общая геометрия задачи
. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
104
3.5.2. Поля гиромагнитной волны в принятой геометрии
. .. . . .
105
3.5.3. Граничные условия . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
107
3.5.4. Дисперсионное соотношение в общем виде . .. . . . . . . . .
107
3.5.5. Дисперсионное соотношение, выраженное через волновое
число вдоль направления распространения волны . .. . . . . 110
3.6. Дисперсия гиромагнитной волны в пластине феррита без диссипации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113
3.6.1. Решение дисперсионного соотношения методом поиска
нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114
3.6.2. Дисперсия в большом интервале волновых чисел . .. . . . .
115
3.6.3. Дисперсия при малых значениях волнового числа
. .. . . .
117
3.6.4. Влияние диэлектрической проницаемости среды . .. . . . . .
121
3.7. Общий характер дисперсии гиромагнитной волны в среде с диссипацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

123
3.8. Дисперсионное соотношение для гиромагнитной волны в среде
с диссипацией . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
124
3.8.1. Получение компонент параметров A, B, C, D . . . . . . . .
126
3.8.2. Преобразование квадратного корня
. .. . . . . . . . . . . . . .
126
3.8.3. Преобразование левой части дисперсионного соотношения
128
3.8.4. Преобразование правой части дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
129

Оглавление
5

3.8.5. Система уравнений для компонент волнового числа . .. . .
130
3.8.6. Структура полученной системы уравнений
. .. . . . . . . . .
131
3.8.7. Тензор магнитной проницаемости . .. . . . . . . . . . . . . . . .
132
3.9. Универсальный характер полученного решения и его упрощенный 
вариант . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
3.10. Общая схема решения дисперсионного соотношения . .. . . . . . .
134
3.11. Дисперсия для действительной части волнового числа . .. . . . . .
135
3.11.1. Дисперсия в отсутствие диссипации . .. . . . . . . . . . . . .
135
3.11.2. Влияние диссипации среды . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
137
3.11.3. Дисперсионные кривые . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
3.12. Влияние диэлектрической проницаемости на дисперсию гиромагнитной 
волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
3.13. Дисперсия гиромагнитной волны при больших волновых числах
141
Выводы по главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144

Г л а в а 4. Дисперсионные свойства магнитостатических волн в касательно 
намагниченной пластине феррита с диссипацией . .
149

4.1. Общий характер дисперсии в среде с диссипацией . .. .. . . . . . .
149
4.1.1. Общая геометрия задачи
. .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
150
4.1.2. Дисперсионное соотношение в отсутствие диссипации
. .
150
4.1.3. Магнитная восприимчивость в среде с затуханием . .. . . .
151
4.1.4. Упрощенное преобразование параметра ϑ в случае комплексного 
волнового числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.1.5. Общий вид волновой функции и дисперсионного соотношения 
в случае комплексного волнового числа . .. . . . . . . 155
4.2. Дисперсионное соотношение для действительной части волнового 
числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
155
4.2.1. Преобразование левой части дисперсионного соотношения
156
4.2.2. Преобразование правой части дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 
157
4.2.3. Полное дисперсионное соотношение . .. . . . . . . . . . . . . .
158
4.2.4. Оценка предельных значений частот при типичных параметрах 
эксперимента . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.2.5. Предельный переход к соотношению Дэймона–Эшбаха . .
163
4.3. Дисперсионное соотношение для мнимой части волнового числа
164
4.3.1. Выделение из полного дисперсионного соотношения части,
соответствующей мнимой компоненте волнового числа . . 164
4.3.2. Дисперсионное соотношение для мнимой части волнового
числа в явном виде . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.4. Дисперсионные кривые при параметрах эксперимента . .. . . . . .
167
4.4.1. Дисперсионные кривые для длины волны при параметрах
эксперимента . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 167
4.4.2. Дисперсионные кривые для диссипации при параметрах
эксперимента . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.4.3. Зависимости амплитуды ПМСВ от частоты . .. . . . . . . . .
171

Оглавление

4.5. Распространение волны перпендикулярно направлению поля . .. .
172
4.5.1. Основные алгоритмы расчета
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
4.5.2. Схема определения времени установления . .. . . . . . . . . .
175
4.6. Роль диссипации в формировании дисперсии действительной
части волнового числа для прямых ПМСВ . .. . . . . . . . . . . . . .
176
4.6.1. Групповая скорость волны
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
4.6.2. Механизм ограничения дисперсионных кривых для прямых 
ПМСВ . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.7. Роль диссипации в формировании дисперсии волнового числа
для обратных ПМСВ . .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
4.7.1. Механизм ограничения дисперсионных кривых для обратных 
ПМСВ
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
4.8. Области существования прямых и обратных волн по параметру
затухания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
4.9. Роль диссипации в формировании дисперсии мнимой части волнового 
числа . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
188
4.10. Аналогия со случаем электромагнитных волн . .. . . . . . . . . . . .
190
4.11. Распространение волны в произвольном направлении относительно 
поля . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
4.11.1. Волновое число и дисперсионные соотношения . .. . . . . .
193
4.12. Дисперсия прямых ПМСВ при изменении действительной части
волнового числа. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
194
4.12.1. Малое затухание . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
194
4.12.2. Большое затухание . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
196
4.13. Дисперсия обратных ПМСВ при изменении действительной части 
волнового числа . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
199
4.13.1. Малое затухание . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
199
4.13.2. Большое затухание . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
201
4.14. Дисперсия ПМСВ при изменении мнимой части волнового числа
204
4.14.1. Малое затухание . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
204
4.14.2. Большое затухание . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
207
4.15. Возбуждение ПМСВ линейным преобразователем . .. . . . . . . . .
209
4.16. Замечание о наблюдении прямых ПМСВ в эксперименте . .. . . .
210
4.17. Некоторые рекомендации для наблюдения диссипативных ПМСВ
в эксперименте . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Выводы по главе 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
212

Г л а в а 5. Влияние поля размагничивания на дисперсию поверхностной 
волны Дэймона–Эшбаха. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
5.1. Обоснование необходимости рассмотрения влияния размагничивания 
на дисперсию магнитостатической волны . .. . . . . . . .. . .
219
5.2. Общий
характер
влияния
динамического
размагничивания
на распространение магнитостатической волны . .. . . . . . . . . . .
220
5.3. Эффективные поля магнитостатической волны . .. . . . . . . . . . .
221
5.3.1. Дипольное поле магнитостатической волны . .. . . . . . . . .
222
5.3.2. Размагничивающее поле дипольной волны в тонкой пластине
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
224

Оглавление
7

5.3.3. Параметр размагничивания дипольной волны
. .. . . . . . .
226
5.3.4. Нормировка параметра размагничивания . .. . . . . . . . . . .
227
5.3.5. Зависимость поля размагничивания от волнового числа . .
228
5.4. Тензор магнитной восприимчивости с учетом размагничивания
230
5.5. Уравнение Уокера с учетом размагничивания . .. . . . . . . . . . . .
234
5.5.1. Решение уравнения Уокера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
5.5.2. Критическая частота волны
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
243
5.6. Полная формулировка задачи о распространении поверхностной
волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
247
5.7. Решение в трех областях. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
5.8. Вывод дисперсионного соотношения из решения и граничных
условий . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
252
5.8.1. Левая часть дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . . .
255
5.8.2. Последовательность расчета левой части . .. . . . . . . . . . .
256
5.8.3. Правая часть дисперсионного соотношения . .. . . . . . . .. .
256
5.8.4. Последовательность расчета правой части . .. . . . . . . . . .
261
5.9. Действительная и мнимая части дисперсионного соотношения
262
5.10. Дисперсия поверхностной волны с учетом размагничивания . .. .
263
5.10.1. Степень деформации дисперсионной кривой . .. . . . . . . .
266
5.11. Дисперсионная кривая при изменении параметра размагничивания. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

267
5.12. Структура распределения намагниченности внутри пластины . .
269
5.13. Динамический потенциал внутри пластины . .. . . . . . . . . . . . .
272
5.14. Степень влияния поля размагничивания на дисперсию волн при
различной толщине пластины . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
Выводы по главе 5 . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277

Г л а в а 6. Влияние обменного взаимодействия и динамического
размагничивания на дисперсию поверхностной волны Дэймо-
на–Эшбаха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
281
6.1. Обоснование необходимости рассмотрения влияния неоднородного 
обменного взаимодействия на дисперсию магнитостатической 
волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
281
6.2. Общий характер влияния обменного взаимодействия на распространение 
магнитостатической волны . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
283
6.3. Эффективные поля магнитостатической волны . .. . . . . . . . . . .
283
6.4. Тензор восприимчивости с учетом размагничивания и обмена . .
285
6.4.1. Уравнения движения для компонент намагниченности . .. .
285
6.4.2. Линеаризация уравнений движения . .. . . . . . . . . . . . . .
286
6.4.3. Тензор динамической восприимчивости . .. . . . . . . . . . . .
287
6.5. Уравнение Уокера для обменных волн . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
290
6.5.1. Решение уравнения Уокера . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
292
6.5.2. Упрощение коэффициентов уравнения Уокера
. .. . . . . . .
296
6.6. Двойственный характер поперечного волнового числа . .. . . . . .
298
6.7. Действительная и мнимая части поперечного волнового числа
в отсутствие обмена . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300

Оглавление

6.8. Влияние размагничивания на поперечное волновое число . .. . . .
304
6.9. Уравнение для определения поперечного волнового числа при заданном 
продольном волновом числе с учетом обменного взаимодействия. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .

309
6.9.1. Алгоритмизация решения системы уравнений для компонент 
поперечного волнового числа . .. . . . . . . . . . . . . . . 314
6.10. Соотношение между компонентами волнового числа в реальных
условиях . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
315
6.11. Проявление двойственности поперечного волнового числа . .. . .
316
6.12. Расчет компонент поперечного волнового числа по полной системе 
уравнений методом поиска нуля. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
317
6.12.1. Замечание о предпочтительном выборе мнимой компоненты 
поперечного волнового числа . .. . . . . . . . . . . . . . 321
6.12.2. Нули функции, определяющей компоненты поперечного
волнового числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.12.3. Влияние обменного взаимодействия на компоненты поперечного 
волнового числа
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
6.13. Качественная интерпретация наблюдаемых явлений. .. . . . . . . .
326
6.13.1. Роль динамического размагничивания . .. . . . . . . . . . . .
326
6.13.2. Роль обменного взаимодействия
. .. . . . . . . . . . . . . . .
331
6.13.3. Роль жесткости системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
6.14. Дисперсионное соотношение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
6.14.1. Общая структура компонент тензора магнитной проницаемости . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 
335
6.14.2. Общая постановка задачи о распространении поверхностной 
волны . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
6.14.3. Решение общей задачи методом разделения переменных
336
6.14.4. Вывод дисперсионного соотношения из решения и граничных 
условий
. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 337
6.15. Общая структура компонент поперечного волнового числа . .. . .
339
6.15.1. Компоненты поперечного волнового числа в отсутствие
обмена
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.15.2. Компоненты поперечного волнового числа при наличии
обменного взаимодействия . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 340
6.15.3. Последовательность расчета компонент поперечного волнового 
числа при наличии обмена
. .. . . . . . . . . . . . . . . 340
6.16. Общая схема получения закона дисперсии . .. . . . . . . . . . . . . .
341
6.17. Получение компонент тензора проницаемости и промежуточных
параметров . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
342

6.17.1. Компоненты тензора проницаемости при kx → k(+)
x
. . . .
342
6.17.2. Последовательность расчета компонент тензора проница-

емости при kx → k(+)
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

6.17.3. Компоненты тензора проницаемости при kx → k(−)
x
. . . .
346
6.17.4. Последовательность расчета компонент тензора проница-

емости при kx → k(−)
x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

Оглавление
9

6.17.5. Промежуточные параметры ε(+) и ε(−) . . . . . . . . . . .. .
350
6.17.6. Последовательность расчета промежуточных параметров 
ε(+) и ε(−) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
6.18. Схема структуры дисперсионного соотношения. .. . . . . . . . . . .
351
6.18.1. Левая часть дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . .
352
6.18.2. Последовательность расчета левой части . .. . . . . . . . . .
353
6.18.3. Правая часть дисперсионного соотношения . .. . . . . . . .
354
6.18.4. Последовательность расчета правой части . .. . . . . . . . .
355
6.19. Действительная и мнимая части дисперсионного соотношения
356
6.19.1. Последовательность расчета действительной и мнимой
частей дисперсионного соотношения . .. . . . . . . . . . . . . . 357
6.20. Общая схема получения закона дисперсии . .. . . . . . . . . .. . . . .
358
6.21. Примеры расчета закона дисперсии в реальных ситуациях . .. . .
359
6.21.1. Классическая обменная волна в безграничном пространстве 
и в тонкой пластине . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
6.21.2. Дисперсия с размагничиванием и обменом . .. . . . . . . . .
361
6.21.3. Зависимость дисперсии от толщины пластины . .. . . . . .
363
6.21.4. Зависимость дисперсии от величины обменного взаимодействия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
365
6.22. Замечание об ограничении диапазона по волновому числу . .. . .
367
6.23. Особые случаи дисперсии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
367
6.23.1. Дисперсионное соотношение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
368
6.23.2. Дисперсия при больших волновых числах . .. . . . . . . . .
370
6.23.3. Дополнительное решение дисперсионного соотношения
375
Выводы по главе 6 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
379

Г л а в а 7. Влияние обмена и размагничивания на ограничение волнового 
числа в задаче Дэймона–Эшбаха с диссипацией. . . . .
389
7.1. Общие замечания о постанове задачи об ограничении волнового
числа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
389
7.2. Дисперсионное соотношение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
393
7.3. Время собственного пробега волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
394
7.3.1. Влияние дискретности развертки по волновому числу
на время собственного пробега волны . .. . . . . . . . . . . . . 397
7.4. Время релаксации . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
399
7.4.1. Определение времени релаксации для колебаний намагниченности . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
400
7.4.2. Задача о возбуждении однородной прецессии намагниченности
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
401
7.4.3. Схема определения времени релаксации . .. . . . . . . . . . .
402
7.4.4. Времена релаксации магнитных колебаний при различном
затухании
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 403
7.5. Сравнение времен релаксации и собственного пробега волны . .
406
7.6. Времена собственного пробега и релаксации в диапазоне частот
408
7.6.1. Время собственного пробега . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
7.6.2. Время релаксации . .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
410

Оглавление

7.7. Время релаксации в широком диапазоне частот . .. . . . . . . . . .
413
7.8. Влияние толщины пластины на ограничение волнового числа . .
415
7.9. Некоторые практические рекомендации . .. . . . . . . . . . . . . . . .
419
Выводы по главе 7 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
420

Г л а в а 8. Спин-волновой резонанс в тонких магнитных пленках
в отсутствие поверхностной анизотропии. . . . . . . . . . . . . . .
424
8.1. Краткий обзор основных исследований спин-волнового резонанса . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .

425
8.2. Общая геометрия задачи. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
8.3. Модель поверхностной анизотропии . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
427
8.3.1. Тензор магнитной восприимчивости . .. . . . . . . . . . . . . .
431
8.3.2. Интеграл перекрытия в модели поверхностной анизотропии
. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 
432
8.3.3. Развитие модели поверхностной анизотропии
. .. . . . . . .
435
8.3.4. Оценка величины поверхностной анизотропии . .. . . . . . .
436
8.3.5. Обсуждение модели поверхностной анизотропии
. .. . . . .
438
8.4. Модель жесткой струны . .. .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
440
8.4.1. Сопротивление изгибу жесткой струны . .. . . . . . . . . . . .
441
8.4.2. Волновое уравнение с третьей производной . .. . . . . . . . .
444
8.4.3. Колебания смещения в жесткой струне . .. . . . . . . . . . . .
447
8.4.4. Спектр резонансных частот колебаний жесткой струны . .
453
8.4.5. Замечание о роли интеграла перекрытия в задаче о струне
456
8.5. Модель спиновой цепочки . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
457
8.5.1. Эффективные
поля, действующие на цепочку спинов
в магнитной пленке . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
8.5.2. Механизм выпрямления спиновой цепочки . .. . . . . . . . .
459
8.5.3. Прецессия намагниченности спиновой цепочки
. .. . . . . .
460
8.5.4. Решение с учетом граничных условий
. .. . . . . . . . . . . .
461
8.5.5. Интеграл перекрытия . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
463
8.6. Некоторые дополнительные замечания . .. . . . . . . . . . . . . .. . .
464
Выводы по главе 8 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
466

Г л а в а 9. Вопросы дальнейших исследований и применения обменных 
волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
469
9.1. Некоторые вопросы, требующие дальнейшей разработки. .. . . . .
469
9.2. Возможные применения обменных волн. .. . . . . . . . . . . . . . . .
471
Выводы по главе 9 . .. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
473
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
475

Список наиболее часто используемых сокращений

ФМР
— ферромагнитный резонанс
МСВ
— магнитостатическая волна
ПМСВ — поверхностная магнитостатическая волна
ОМСВ — объемная магнитостатическая волна
ЭМВ
— электромагнитная волна
СВЧ
— сверхвысокая частота
ЖИГ
— железоиттриевый гранат

Введение

Спиновые волны, распространяющиеся в магнитных средах и содержащих 
такие среды структурах, составляют основу для широкого класса 
устройств обработки информации в диапазоне сверхвысоких частот.
Среди таких устройств можно упомянуть фильтры, линии задержки,
фазовращатели, преобразователи частоты, ограничители, шумоподави-
тели, невзаимные и нелинейные устройства и другие. В качестве вол-
новедущих сред используются пленки и пластины ферритов, в первую
очередь — железоиттриевого граната (ЖИГ), имеющего рекордно низкие 
магнитные потери.
Диапазоны частот, охватываемые такими волнами — от десятков
мегагерц до единиц и более терагерц. Длины волн составляют от
нескольких сантиметров до единиц нанометров.
В основе перечисленных и множества других устройств лежат физические 
свойства спиновых волн, в первую очередь, законы их дисперсии 
в различных условиях с учетом как дипольного, так и обменного
взаимодействия, в том числе в средах, обладающих диссипацией.
Настоящая монография посвящена обзору свойств спиновых волн
в наиболее распространенных случаях. Основное внимание уделяется 
довольно коротким волнам, для рассмотрения которых достаточно
магнитостатического приближения. Некоторые вопросы рассмотрены
также для более длинных волн в рамках полной электродинамики,
однако из них выбраны только те, которые логически вытекают из
свойств магнитостатических волн и являются их продолжением.
В силу ограниченности объема за рамками рассмотрения остаются
весьма актуальные и активно развиваемые в последние годы положения 
спинтроники, учитывающие электрическую природу электронов
как носителей магнитных спинов, а также свойства ударного изменения 
намагниченности под действием мощных импульсов света от
фемтосекундного лазера. Этим вопросам авторы предполагают уделить
внимание в других монографиях.
Настоящая монография является пятой в серии предлагаемых авторами 
книг, посвященных ферромагнитному резонансу и динамике
намагниченности.
Первая книга [1] посвящена распространению магнитостатических
волн в неоднородно намагниченных пластинах и пленках. Вторая [2] —
таким же волнам, распространяющимся в сложных структурах, в первую
очередь, в решетках с различной величиной шага. В третьей книге [3]
рассмотрен ферромагнитный резонанс при изменении ориентации намагниченности 
и в четвертой книге [4] рассматривается динамика

Введение
13

намагниченности, в первую очередь, волновые процессы, в магнитных
средах, находящихся в условиях ориентационных переходов.
В настоящей монографии распределение материала по главам следующее.

ПЕРВАЯ ГЛАВА содержит краткий обзор литературы, посвященной 
развитию физики и техники спиновых волн за последние 70 лет,
начиная с шестидесятых годов, когда впервые было обнаружено и экспериментально 
доказано существование магнитостатических волн дипольного 
характера, позволивших создать первые линии задержки,
обладающие уникальными свойствами.
Во ВТОРОЙ ГЛАВЕ приводится основной математический аппарат,
используемый для расчета свойств магнитостатических волн. Получен
тензор магнитной восприимчивости, уравнение Уокера и решение задачи 
Дэймона–Эшбаха, касающейся распространения поверхностных
магнитостатических волн в касательно намагниченной ферритовой пластине.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена расширению решения задачи типа Дэй-
мона–Эшбаха на случай достаточно длинных волн, частично выходящих 
за рамки магнитостатического приближения. Эта глава развития
в дальнейшем материале монографии не имеет и приведена здесь для
полноты картины.
В ЧЕТВЕРТОЙ ГЛАВЕ рассмотрены магнитостатические волны,
распространяющиеся в пластине, обладающей магнитной диссипацией.
Показано, что в рамках магнитостатического приближения диссипация
проводит к ограничению волнового числа по величине, препятствуя
возбуждению достаточно коротких волн.
ПЯТАЯ ГЛАВА посвящена рассмотрению дипольных волн с учетом 
динамического размагничивания, обусловленного неоднородностью
распределения намагниченности в волне вдоль ее направления распространения. 
Показано, что учет размагничивания особенно важен
для достаточно коротких волн, длина которых исчисляется единицами
микрометров.
В ШЕСТОЙ ГЛАВЕ рассматривается роль обменного взаимодействия, 
являющегося особенно существенным для волн короче единиц
микрометров. Рассмотрение проведено в геометрии задачи Дэймона–
Эшбаха, существенным моментом является решение задачи для случая
отсутствия поверхностной анизотропии, до сих пор считавшейся необходимым 
атрибутом существования обменных волн в тонких пластинах.
В СЕДЬМОЙ ГЛАВЕ показано, что квадратичный закон дисперсии
обменных волн позволяет обойти ограничение по волновому числу, имеющему 
место в диссипативной среде. При этом становится возможным
возбуждение магнитостатических обменных волн, длина которых составляет 
единицы нанометров, а допустимые частоты в условиях довольно
невысокого подмагничивания простираются до десятков терагерц.
ВОСЬМАЯ ГЛАВА посвящена рассмотрению распространения обменных 
волн по толщине тонкой магнитной пленки с возбуждением

Введение

соответствующих спин-волновых резонансов. Показано, что решающую 
роль в таком возбуждении играет не поверхностная анизотропия,
а жесткость спиновой цепочки, связанной обменным взаимодействием.
В ДЕВЯТОЙ ГЛАВЕ упомянуты некоторые соображения, касающиеся 
корректности классического рассмотрения обменных волн, а также
приведены возможные области их практического применения.
В основном содержании монографии используются материалы работ [
5–38], отражающих основные результаты, полученные авторами
в период с 2014 по 2020 годы. На другие работы приведены соответствующие 
ссылки.
Определенный опыт работы авторов со студентами и начинающими
исследователями показывает, что при первоначальном ознакомлении
с предметом заметные трудности вызывает освоение математического
аппарата, значительная часть которого рассеяна в статьях, не всегда
легко стыкующихся друг с другом. С целью преодоления подобного 
положения вторая глава монографии посвящена более или менее
подробному описанию математического аппарата, используемого при
расчетах волновых процессов в магнитных средах.
Основной текст монографии также рассчитан на возможность последовательного 
воспроизведения приведенных математических выкладок, 
по мере возможности, без обращения к дополнительным источникам 
и чрезмерного напряжения умственных возможностей читателя.
Такое стремление не позволило авторам избежать некоторых незначительных 
повторений, призванных облегчить понимание текста текущего 
раздела без обращения к предыдущим. В этом плане монографию
можно рассматривать как некий рабочий инструмент, призванный научить 
восприимчивых читателей пользоваться требуемым математическим 
аппаратом, по крайней мере, в той степени, в какой это доступно
авторам.
Как и в предыдущих монографиях данной серии, в описанных здесь
работах принимали участие многочисленные соавторы. Так, в теоретических 
работах, касающихся дисперсионных свойств магнитостатических 
волн в диссипативной среде, важная роль принадлежит
П. А. Макарову, а также его ученицам Ю. И. Келлер, Л. А. Мальцевой
и М. А. Уляшевой. В обсуждении ряда работ того периода, а также
предоставлении значительного количества весьма полезных ссылок,
принимал участие В. С. Власов.
На начальном этапе работ по размагничиванию и обменному взаимодействию 
значительная роль принадлежала В. И. Зубкову.
В экспериментальных работах по исследованию дисперсии магнитостатических 
волн, особенно малой длины, принимал участие Э. Г. Локк.
Его роль, а также вклад работавших с ним А. Ю. Анненкова и С. В. Ге-
руса подробно освещены в первой монографии настоящей серии.
Начальному этапу работы весьма способствовало стимулирующее
внимание и полезные замечания С. В. Яковлева, П. Е. Зильбермана,
А. Ф. Кабыченкова, В. В. Коледова, С. В. Тарасенко, Л. Н. Котова,

Введение
15

В. А. Котова. Многие экспериментальные аспекты работы обсуждались
с П. М. Ветошко.
В многочисленных обсуждениях оригинальных работ авторов, лежащих 
в основе данной монографии, принимали участие: А. В. Вашков-
ский, Ю. И. Беспятых, И. Е. Дикштейн, В. В. Тарасенко, В. Д. Харитонов, 
Е. И. Нефедов, Г. С. Макеева, Ф. В. Лисовский, Е. Г. Мансветова,
Г. В. Арзамасцева, Н. Н. Кирюхин, А. В. Вороненко, Д. Г. Шахназарян,
В. В. Кильдишев, Л. А. Красножен.
Важнейшая роль в создании благоприятных условий для работы,
постоянное к ней внимание и неоднократное оказание значительной
помощи принадлежит академику РАН Ю. В. Гуляеву.
Непосредственное выполнение работы, в том числе написание настоящей 
монографии, оказалось возможным благодаря помощи члена-
корреспондента РАН С. А. Никитова.
Значительная часть статей, положенных в основу настоящей монографии, 
была опубликована в электронном «Журнале радиоэлектроники», 
за что авторы приносят благодарность коллективу редакции
и ответственному секретарю Е. В. Корженевской.
Практически все работы были выполнены с деятельным участием
многочисленного технического персонала, без помощи которого выполнение 
приведенного труда было бы совершенно невозможным.
Всем перечисленным участникам и соавторам работ авторы выражают 
огромную признательность, отдают низкий поклон и приносят
глубочайшую благодарность. Величайшее спасибо Вам, дорогие соратники, 
друзья и помощники!

Г л а в а 1

ОБЩИЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ
В МАГНИТНЫХ СРЕДАХ (ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ)

Настоящая глава служит вводным разделом в основной текст монографии 
и представляет собой краткий обзор литературы, посвященной
волновым процессам в магнитных средах. Основное внимание уделяется 
магнитостатическим волнам (МСВ), в первую очередь, обменного
характера.
Некоторое внимание уделено также электромагнитным, магнитным
дипольным и магнитоупругим волнами в том числе приведены данные
о волновых процессах сверхбыстрого характера, имеющих место при
фемтосекундном изменении состояния среды.
Обзор в основном, кроме нескольких особо важных случаев, не
включает в себя работы авторов данной монографии, так как этим
работам посвящена основная часть текста, составляющая последующие
главы.
Обзор не ставит целью критический разбор сегодняшнего состояния
работ по волновым процессам в магнитных средах, а призван дать читателю 
лишь общее представление о вопросе, позволяющее более свободно
ориентироваться в основном содержании последующего текста.
Не претендуя на полноту, обзор представляет собой краткое весьма 
конспективное перечисление только основных работ и основных
результатов. Данные представлены в историческом плане с повышенным 
вниманием к волнам обменного характера. За более полной информацией 
по всем затронутым вопросам читатель может обратиться
к предыдущим монографиям настоящей серии [1–4].

1.1. Первое упоминание о спиновых волнах —
тепловые магноны

Исторически первым, или, во всяком случае, достаточно ранним,
упоминанием о волнах в магнитных средах, по-видимому, можно считать 
работы Блоха–Гейзенберга, выполненные в 30-х годах XX века.
Краткий обзор этих работ с достаточно подробным изложением математического 
аппарата можно найти в монографии [39]. В этих работах
интерпретация экспериментально наблюдаемого уменьшения намагниченности 
ферромагнетика по мере увеличения температуры выполнена 
на основе введения волновых функций электронов, обладающих
спиновым магнитным моментом. Повышение температуры приводит

1.3. Стабильные и нестабильные нелинейные процессы
17

к возбуждению спиновых волн обменного характера, что нарушает
жесткое упорядочение спинов, обусловленное обменным взаимодействием, 
в результате чего общая намагниченность уменьшается. Такие
спиновые волны получили название магнонов по аналогии с волнами
упругого характера — фононами. Спектр магнонов носит шумовой характер, 
так что спиновые волны имеют длину порядка единиц и долей
микрометра. Когерентное возбуждение спиновых волн, позволяющее
использовать их для обработки информации, в те времена осуществить
было затруднительно из-за крайне малой их длины. Поэтому реальное
освоение обменных волн, в первую очередь в области конструирования
устройств, временно приостановилось.

1.2. Ферромагнитный резонанс
и невзаимные устройства
Решающее продвижение в деле освоения магнитных волн произошло 
в 40-х годах 20-го века и было связано с открытием явления ферромагнитного 
резонанса, имеющего место в диапазоне сверхвысоких
частот (от сотен мегагерц до сотен гигагерц) [40–42]. Для интерпретации 
динамики намагниченности было введено уравнение Ландау–
Лифшица:
dM
dt = −γM × H.
(1.1)

Это уравнение, будучи первоначально предложенным для описания
динамики доменов [43], вскоре нашло широчайшее применение для
представления динамической восприимчивости ферромагнетика, возбуждаемого 
переменным полем [1–4, 40–44].
Узкополосный характер ферромагнитного резонанса, возбуждаемого
в магнитных диэлектриках, в первую очередь в ферритах, позволил
создать эффективные фильтры, дециметрового и сантиметрового диапазонов 
частот [40–42, 45, 46].
С освоением волноводной техники возникло значительное разнообразие 
невзаимных устройств, использующих правовинтовой характер
прецессии намагниченности.
К таким устройствам можно отнести фазовращатели, вентили, циркуляторы, 
как фарадеевские, так и дифференциальные, игрек-циркуляторы 
и другие [47–50].
Теоретическое
обоснование
электродинамики
таких
устройств,
в первую очередь использующих волноводную технику, можно найти
в [40–42, 47, 51].

1.3. Стабильные и нестабильные
нелинейные процессы
Нелинейный характер прецессии намагниченности послужил поводом 
к использованию для обработки информации стабильных нелинейных 
процессов, таких как умножение частоты и детектирование [52–59].

Гл. 1. Общие волновые процессы в магнитных средах

Перспектива достижения крайне низкого уровня шума породила
многочисленные попытки создания параметрического усилителя на
феррите [60–64]. В экспериментах было достигнуто усиление в десятки
децибел, однако шум при этом оказался примерно таким же, как
в обычных широко использовавшихся в то время электронных лампах,
что значительно превышало ожидаемый уровень.
С другой стороны, попытки использовать невзаимные волноводные
устройства на высоком уровне мощности выявили аномально большой
рост потерь при достижении мощностью определенного порогового
уровня. Явление было названо «дополнительным поглощением». В этом
случае электромагнитные колебания на выходе устройства также становились 
нестабильными и содержали большую примесь хаотического
шума [65, 66].
Теоретическое обоснование нестабильным нелинейным процессам
было дано на основе модели параметрического возбуждения спиновых
волн обменного характера [40–42, 67, 68]. Возбуждение происходило
на половинной частоте накачки, имело пороговый характер и обеспечивало 
перекачку энергии первичного сигнала в параметрически
возбуждаемый резервуар коротких обменных волн с последующей релаксацией 
их в решетку. При этом за порогом возбуждения колебания
сигнала, то есть уровень дополнительного поглощения, становились
неустойчивыми, приобретая шумовой характер. Именно такое их поведение 
обеспечивало высокий уровень шума параметрического усилителя, 
ограничивающего его дальнейшую разработку.
Шумовой характер колебаний в запороговом состоянии первоначально 
был объяснен на основе модели автомодуляции, происходящей по
причине различия времен поперечной и продольной релаксаций намагниченности [
66]. Позднее для интерпретации подобных явлений была
привлечена модель турбулентности спиновых волн за порогом их параметрического 
возбуждения [69, 70].
Таково было исторически второе обращение к волнам обменного характера. 
Тогда экспериментальная база еще не позволяла осуществить
их когерентное возбуждение, однако появилось множество работ, посвященных 
исследованию обменных волн в процессе их параметрического
возбуждения. Определенную библиографию (хотя далеко не исчерпывающую) 
таких работ, вышедших в 60–70-х гг. XX века, можно найти
в монографиях [66, 70], а также [40–42].

1.4. Обменные волны по толщине пленки

Параллельно с исследованием ферромагнитного резонанса в магни-
тодиэлектриках, в первую очередь в ферритах, проводилось изучение
резонансных явлений в проводящих материалах. Вследствие сильного 
скин-эффекта, не допускающего проникновение поля сверхвысоких
частот внутрь образца, в экспериментах использовались тонкие метал-