Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Артур Бенджамин

МАГИЯ 
МАТЕМАТИКИ

Как найти x 
и зачем это нужно

Arthur Benjamin

THE
 MAGIC
OF MATH

Solving for x 
and Figuring Out Why

BASIC BOOKS
A Member of the Perseus Books Group
New York

Артур Бенджамин

МАГИЯ 
МАТЕМАТИКИ

Как найти x 
и зачем это нужно

Перевод с английского

Москва
2016

УДК 51
ББК 22.1
 
Б46

ISBN 978-5-9614-5588-5 (рус.)
ISBN 978-0-465-05472-5 (англ.)

© Arthur Benjamin, 2015
 
Публикуется с разрешения издательства 
BASIC BOOKS, an imprint of PERSEUS 
BOOKS LLC. (США) при содействии 
Агентства Александра Корженевского 
(Россия)
© Издание на русском языке, 
перевод, оформление. 
ООО «Альпина Паб лишер», 2016

УДК 51
ББК 22.1

Бенджамин А.

Магия математики: Как найти x и зачем это нужно / Артур Бенджамин ; 
Пер. с англ. — М. : Альпина Паб лишер, 2016. — 342 с.

ISBN 978-5-9614-5588-5

Почему нельзя было раньше узнавать о числах, алгебре и геометрии 
в такой увлекательной форме? «Магия математики» — та книга, о которой 
вы мечтали в школе. Используя множество необычных примеров — игральные 
карты, шарики мороженого, измерение гор, — Артур Бенджамин рассказывает 
вам о красоте математических формул. Все, от чего раньше голова 
шла кругом, теперь оказывается простым и ясным.
В книге объясняется и то, что не столь хорошо знакомо неискушенному 
читателю: треугольник Паскаля, математическая бесконечность, магические 
свойства некоторых чисел, последовательность Фибоначчи, золотое 
сечение. Это расширит и обогатит ваши знания, а чем глубже вы постигаете 
математику, тем более захватывающей оказывается ее магия.

Б46

Все права защищены. Никакая часть этой книги не 
может быть воспроизведена в какой бы то ни было 
форме и какими бы то ни было средствами, включая 
размещение в сети Интернет и в корпоративных сетях, 
а также запись в память ЭВМ для частного или публичного 
использования, без письменного разрешения владельца 
авторских прав. По вопросу организации доступа 
к электронной библиотеке издательства обращайтесь 
по адресу mylib@alpina.ru.

Переводчик Д. Глебов

Научный редактор А. Чижова

Редактор В. Потапов

Эту книгу я посвящаю своей жене Дине
и нашим дочерям — Лорел и Ариэль

Содержание

 
Вступление. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0 
Предисловие  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1 
Магия чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 
Магия алгебры  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 
Магия 9  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 
Магия счета  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5 
Магия последовательности Фибоначчи  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 
Магия доказательств. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7 
Магия геометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 
Магия числа 

9 
Магия тригонометрии  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

10 
Магия чисел i и e  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11 
Магия исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

12 
 Магия бесконечности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

 
Итого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

 
Благодарности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339

Вступление

Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит. 
М.В. Ломоносов

Не люблю длинных предисловий. Хочется сразу начать читать книгу. 
Но здесь не совсем обычная книга. Кажется, что слово «магия» предполагает 
некоторые фокусы и трюки. Не скрою, они здесь есть, и многим 
это понравится. Правда, книга не об этом. 
Мы задаемся вопросом, зачем нам нужна математика. Особенно гуманитариям. 
Мой личный опыт научил меня определенному отношению 
к этому вопросу. Навыки математического мышления оказались нужны 
всем и каждому. Если вы, конечно, любите размышлять, а не зубрить. 
Если вам доставляет удовольствие сам процесс логических рассуждений. 
Парадокс именно в том, что магия, волшебство математики проявляется 
постепенно, как рассвет. Не сразу, но заметно. Не ярко, но очень красиво.
 Вдруг вы замечаете у себя умение логически мыслить и рассуждать, 
грамотно и четко формулировать мысли, делать верные логические выводы. 
Вдруг вам просто становится после этого легче общаться с людьми. 
Особенно математика важна для развития ребенка. Она дает возможность 
сразу правильно и рационально мыслить. Причем навсегда. Мне 
повезло в жизни. У меня было два прекрасных преподавателя. Оба стали 
моими Учителями. Один преподавал язык и литературу и утверждал, что, 
«не зная грамматики — не выучишь математики». Второй преподавал 
математику и «приводил в порядок наши мысли». Они крепко дружили 
между собой. И, похоже, они считали оба эти предмета волшебно полезными 
для нашей жизни. Одно оказалось неотделимо от другого. Особенно 
сильно это проявилось позднее, когда я стал играть (иногда небезуспешно) 
в различные интеллектуальные игры. Вот такая магия получилась.

МАГИЯ МАТЕМАТИКИ

Мозг требует таких же тренировок, как и любая другая мышца человеческого 
организма. Когда-то, лет 30 назад, я работал в Федерации боди-
билдинга, как смешно это ни звучит. Должен заметить, что тогда меня 
сильно удивило интеллектуальное развитие спортсменов, особенно занимающих 
призовые места на самых престижных турнирах. Оказалось, что 
для подготовки надо быть почти кандидатом медицинских наук. Ну а когда 
человек начинает читать разную литературу, его любопытство направляет 
ум в самые невероятные места. Призер «Мистер Олимпия» Олег Отрох 
специально занимался математикой. Она помогала ему добиться нужной 
концентрации. Кроме того, он был убежден, что математика защищает его 
разум от всяких Паркинсонов и Альцгеймеров. Роберт Фишер — между 
прочим, чемпион мира по шахматам — научился читать и писать только 
потому, что иначе он не мог записывать шахматные партии, как того 
требовали правила. И вот тут он открыл для себя, как помогает ему мыслить 
математика. Не мог оторваться до последних своих дней. 
Вы еще задаетесь вопросом, зачем вам нужна математика? Особенно 
гуманитариям? Выходит, не только сдачу в магазине считать. Мой личный 
опыт научил меня определенному отношению к этому вопросу. Навыки 
математического мышления оказались нужны всем и каждому. Вся эволюция 
человека от узелков на веревочках и абака до суперкомпьютеров 
прошла рука об руку с математикой. Даже просто оценивая картину 
в музее или памятник на улице, мы подсознательно обращаем внимание 
на пропорции. Благодаря математике мы умеем видеть красоты мира 
и природы. Каждый раз, выбирая смартфон или компьютер, мы невольно 
оперируем математическими терминами. Мы гордимся своими селфи, 
произнося слово «мегапиксели» как заклинание. Вот такая математика. 
Она не только делает нас разумнее, тренирует наш мозг, развивает нас 
как личность. Она просто помогает нам жить.
А магия? А что магия? Магия в книге есть. Забавная, замечательная, 
необыкновенная и неожиданная. Причем даже для тех, кто полагает, что 
знает эту самую математику. Хочется, чтобы вы ее тоже увидели своими 
глазами. Увидели и насладились. Это очень красиво.

P.S. А парочку фокусов и трюков я все-таки запомнил.

Александр Рубин,
маркетолог, экономист, инженер, член российского отделения IAA, игрок 
и один из основателей клуба «Что? Где? Когда?» в Днепропетровске

ГЛАВА НОМЕР НОЛЬ

Предисл0вие

Всю мою жизнь меня тянуло к магии. Не счесть, сколько кудесников 
видел я на своем веку, как и не счесть, сколько чудес я сотворил собственными 
руками. Но я не перестаю восхищаться тем, как работает магия, 
как из простых и понятных вроде бы д ействий и алгоритмов вдруг рождается 
поразительное, непостижимое искусство — искусство, которое 
я так обожаю постигать. Несколько основных принципов — и вот я уже 
сам придумываю трюки.
Примерно то же чувство я испытываю, когда дело касается математики. 
С самого детства шестым чувством я ощущал, что в числах кроется 
истинная магия. Как вам, например, вот это? Задумайте любое число 
в промежутке от 20 от 100. Задумали? Сложите между собой составляющие 
его цифры. Вычтите получившуюся сумму из задуманного вами 
числа. И снова сложите цифры. Получилось 9? Если нет — перепроверьте 
свои вычисления. Здорово, правда? Вся математика построена на таких 
вот фокусах, о которых в школах нам почему-то не рассказывают. В этой 
книжке я покажу вам, как с помощью обычных чисел, фигур и простой 
логики творить настоящие чудеса. Добавим немного алгебры и геометрии, 
и перед нами откроются двери в производственные цеха фабрики 
магии, а может, и самого человеческого естества.
Эта книжка полна чисел, алгебры и математического анализа, геометрии 
и тригонометрии. Но есть в ней и много такого, что не столь 
хорошо знакомо неискушенному читателю и при этом не объяснено 
в мельчайших подробностях: треугольник Паскаля, математическая бес-