Рискология

РИСКОЛОГИЯ

А.В. СИГАЛ
М.А. БАКУМЕНКО
Е.С. РЕМЕСНИК

Москва
ИНФРА-М
2024

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

УДК 330.131.7(075.8)
ББК 65.01я73
 
С34

А в т о р ы:
А.В. Сигал, доктор экономических наук, профессор, профессор кафедры 
бизнес-информатики и математического моделирования Физико-технического 
института Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского 
(предисловие; разделы I, II);
М.А. Бакуменко, кандидат экономических наук, доцент, доцент кафедры 
бизнес-информатики и математического моделирования Физико-технического 
института Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского 
(раздел III);
Е.С. Ремесник, кандидат экономических наук, доцент кафедры бизнес-информатики 
и математического моделирования Физико-технического института 
Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского (раздел 
II)
Р е ц е н з е н т ы:
Н.В. Апатова, доктор экономических наук, доктор педагогических наук, 
профессор, заведующий кафедрой бизнес-информатики и математического 
моделирования Крымского федерального университета имени В.И. Вернадского;

Р.М. Нижегородцев, доктор экономических наук, заведующий лабораторией 
экономической динамики и управления инновациями Института проблем 
управления имени В.А. Трапезникова Российской академии наук;
Н.В. Смирнов, доктор физико-математических наук, доцент, профессор кафедры 
моделирования экономических систем Санкт-Петербургского государственного 
университета

ISBN 978-5-16-017989-6 (print)
ISBN 978-5-16-110994-6 (online)
© Сигал А.В., Бакуменко М.А., 
Ремесник Е.С., 2023

Сигал А.В.
С34  
Рискология : учебное пособие / А.В. Сигал, М.А. Бакуменко, Е.С. Ре-
месник. — Москва : ИНФРА-М, 2024. — 463 с. — (Высшее образование). — 
DOI 10.12737/1901877.
ISBN 978-5-16-017989-6 (print)
ISBN 978-5-16-110994-6 (online)
В учебном пособии изложены основные разделы теории экономического 
риска. Пособие ориентирует обучающихся на освоение методов 
и моделей принятия управленческих решений в экономике, при этом особое 
внимание уделено анализу рисков инвестиционных проектов. Изложение 
теоретического материала иллюстрируется числовыми примерами.
Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
подготовки «Бизнес-информатика».

УДК 330.131.7(075.8)
ББК 65.01я73

Основные сокращения и обозначения

APM — Arbitrage Pricing Model — модель арбитражного ценообразования

BCR — Benefit/Cost Ratio — коэффициент выгод и затрат
CAPM — Capital Asset Price Model — модель оценки финансовых 
активов
CC — Commercial Component — коммерческая компонента
CEI — Commercial Efficiency Index — показатель коммерческой 
эффективности
CPI — Costs Profitability Index — индекс доходности затрат
DPP — Discounted Payback Period — дисконтированный срок 
окупаемости
EG — Expected Gains — ожидаемый выигрыш
EL — Expected Losses — ожидаемые потери
ELR — Expected Loss Ratio — коэффициент ожидаемых потерь
EMV — Expected Monetary Value — ожидаемая денежная стоимость

EV — Expected Value — ожидаемое значение
IMI — Image Improvement Index — имиджевая компонента
IPI — Investment Profitability Index — индекс доходности инвестиций

IRR (ВНД) — Internal Rate of Return — внутренняя норма доходности

МРТ (СТП) — Modern Portfolio Theory — современная теория 
портфеля
NPV (ЧДД) — Net Present Value — чистый дисконтированный 
доход
NV (ЧД) — Net Value — чистый доход
PI — Profitability Index — индекс прибыльности
PP (ПО) — Payback Period — период окупаемости
ROI — Return on Investment — возврат инвестиций
АУП — административно-управленческий персо нал
ДЕ — денежная единица
ДПОД — денежный поток от операционной деятельности
ДСВ — дискретная случайная величина
ДЭ — детерминированный эквивалент
ИП — инвестиционный проект
ИС — информационная ситуация
ИС (в МАИ) — индекс согласованности (в МАИ)

КРИ — коэффициент рентабельности инвестиций
ЛПР — лицо, принимающее решения
МАИ — метод анализа иерархий
МОКА — модель оценки капитальных активов
МСФО — Международные стандарты финансовой отчетности
НР — надбавка за риск
НСВ — непрерывная случайная величина
ОВ — ожидаемый выигрыш
ОВЗ — область возможных значений
ОС — отношение согласованности
ПДНО — прибыль до налогообложения
ПП — программное приложение
ППНО — прибыль после налогообложения
ПР — премия за риск
РИП — реальный инвестиционный проект
СВ — случайная величина
СВДТ — случайный вектор дискретного типа
СВНТ — случайный вектор непрерывного типа
СИ — случайный индекс
СКО — среднеквадратичное отклонение
СМО — система массового обслуживания
СНГ — Содружество Независимых Государств
СС — страховая сумма
ФОТ — фонд оплаты труда
ЦСВ — целочисленная случайная величина
ЦБ — ценная бумага
ЭР — экономический риск
∀ — квантор всеобщности «для любого», «для всех»
∃ — квантор существования «существует», «имеется»
— символ кратности
∩ — символ пересечения множеств
∪ — символ объединения множеств
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠

r
k  — биномиальный коэффициент с верхним индексом r и ни-

жним индексом k
(a1; a2; …; an) — вектор (упорядоченный набор), элементами которого 
являются перечисленные объекты
{a1; a2; …; an} — множество, которому принадлежат перечисленные 
элемен ты a1, a2, …, an
{x | P(x)} — множество всех x, удовлетворяющих заданному 
условию P(x)

x  — модуль (абсолютное значение) действительного числа x
[P(x)] — нотация Айверсона, которая равняется единице, если 
заданное условие P(x) истинно, и равняется нулю, если заданное 
условие P(x) ложно
⎢ ⎥
⎣ ⎦
x  — пол (целая часть или антье) действительного числа x
⎡ ⎤
⎢ ⎥
x  — потолок действительного числа x
x  — ближайшее целое число к действительному числу x
{x} — дробная часть действительного числа x
x  — расстояние действительного числа x до ближайшего целого 
числа
As(X) — коэффициент асимметрии СВ X
kn
A  — число соответствующих размещений
kn
A— число соответствующих размещений с повторениями
Cn(n1; n2; …; nk) — соответствующий полиномиальный (мульти-
номиальный) коэффициент (число соответствующих разбиений 
множества)
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠

kn
n
C
k  — число соответствующих сочетаний

kn
C— число соответствующих сочетаний с повторениями
E(f) — область значений функции f(x)
Ek(X) — коэффициент эксцесса СВ X
D(f) — область определения функции f(x)
D(X) = Dx = σ 2 (X) — дисперсия (вариация) СВ X
M(X) = mx = m — математическое ожидание СВ X
Me(X) — медиана СВ X
Mo(X) — мода СВ X
N — множество всех натуральных чисел
N(x; n) — количество всех элемен тов мультимножества Spec(x), 
не превосходящих n
n! — факториал числа n, где n ∈ Z0
P(A) — вероятность события A
Pn — число соответствующих перестановок
Pn(k1; k2; …; kn) — число соответствующих перестановок с повторениями

R = (–∞; +∞) — множество всех действительных чисел
Spec(x) — спектр действительного числа x
x mod y — бинарная операция mod
xc — число x в степени c

m
x , 
m
x  — число x в убывающей, возрастающей факториальной 
степени m
Z — множество всех целых чисел

Z0 — множество всех целых неотрицательных чисел
σ(X) = σx = σ — СКО СВ X
Δ0f(x) — разность нулевого порядка
Δ1f(x) = Δf(x) — разность 1-го порядка
Δ2f(x) — разность 2-го порядка
Δkf(x) — разность k-го порядка
Π — символ произведения
Σ — символ суммы
Ω — достоверное событие; пространство элементарных событий
∅ — невозможное событие; пустое множество

Предисловие

Учебное пособие предназначено для обучающихся вузов по направлению 
подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика».
Под рискологией будем понимать теорию экономических рисков, 
т.е. науку об основных закономерностях, принципах и инструментарии 
выявления, учета, анализа и моделирования экономического 
риска, оценки уровня экономического риска и управления им.
Существует много различных определений термина «экономический 
риск». Приведем два определения этого понятия, первое 
из которых будет характеризовать экономический риск (ЭР) 
в узком смысле, второе — ЭР в широком смысле. Под ЭР (в узком 
смысле) будем понимать возможность неблагоприятных событий 
и нежелательных последствий, в частности возможность отклонения 
результатов деятельности от желаемых (ожидаемых) значений. 
Под ЭР (в широком смысле) будем понимать экономическую 
категорию, отображающую характерные особенности восприятия 
лицом, принимающим решения (ЛПР), случайности, неполноты 
информации, неопределенности и конфликтности, объективно существующих 
и внутренне присущих процессам принятия управленческих 
решений в экономике, в частности управлению, а также 
процессам определения целей и оцениванию альтернативных вариантов 
действий. Отметим, что любые процессы принятия управленческих 
решений в экономике отягощены возможными опасностями 
и неиспользованными возможностями.
В отличие от, например, неопределенности и конфликтности, 
которые имеют объективный характер, ЭР — это экономическая 
категория, обладающая диалектическим объективно-субъективным 
характером. Количественная оценка уровня ЭР представляет 
собой многомерную величину, характеризующую возможность 
отклонения от целей, от желательного (ожидаемого) результата, 
возможность неудачи, в том числе возможность возникновения 
потерь. При оценке уровня ЭР следует учитывать влияние контролируемых (
управляемых) и неконтролируемых (неуправляемых) 
факторов, прямых и обратных связей.
Первой фундаментальной монографией по теории экономического 
риска стала вышедшая в свет в 1921 г. книга «Риск, неопределенность 
и прибыль» американского экономиста Фрэнка Хайне-
мана Найта (1885–1972). Монография Найта посвящена проблемам 
предпринимательства и совершенной конкуренции, принадлежит 

к золотому фонду экономической науки и общепризнанно считается 
одной из самых выдающихся работ в истории экономической 
мысли.
Дисциплину «Рискология», изучаемую бакалаврами Крымского 
федерального университета имени В.И. Вернадского, обучающимися 
по направлению подготовки 38.03.05 «Бизнес-информатика», 
можно условно разделить на следующие составные части.
1. Анализ экономического риска.
2. Система показателей количественной оценки уровня экономического 
риска.
3. Теория полезности и моделирование экономического риска.
4. Управление экономическим риском.
5. Элемен ты теории статистических игр.
Структурно учебное пособие состоит из трех крупных частей: 
«Раздел I. Сведения из конкретной математики и теории вероятностей», «
Раздел II. Теория экономических рисков», «Раздел III. 
Анализ рисков инвестиционных проектов, реализуемых в реальном 
секторе экономики».
Для удобства читателей в первом разделе учебного пособия 
приведены необходимые сведения из таких тем конкретной математики, 
как «Целочисленные функции», «Элемен ты комбинаторики», «
Биномиальные коэффициенты», а также важнейших тем 
теории вероятностей: «Основные понятия теории вероятностей», 
«Основные теоремы теории вероятностей», «Последовательности 
независимых испытаний Бернулли», «Одномерные случайные величины», «
Многомерные случайные величины».
Подчеркнем, что рискология, крайне важная для полноценного, 
корректного, адекватного и эффективного моделирования экономики 
наука, в значительной мере базируется на теории вероятностей 
и математической статистике (особенно такая ее часть, как 
система показателей количественной оценки уровня экономического 
риска) и на теории игр и статистических решений (особенно 
управление экономическим риском и риск-менеджмент).
Теория вероятностей — это математическая наука, изучающая 
закономерности случайных явлений и массовых однородных случайных 
событий. Математическая статистика — это математическая 
наука, изучающая приближенные методы поиска законов 
и оценок числовых характеристик случайных величин по результатам 
эксперимен тов или наблюдений.
Теория вероятностей как самостоятельная наука зародилась 
в 1654 г. в переписке известных французских ученых Б. Паскаля 
(1623–1662) и П. Ферма (1601–1665) по поводу решения двух зна-

менитых задач: задачи шевалье де Мере о подбрасывании игральных 
костей и задачи Л. Пачоли о разделе ставки. Итальянский математик, 
один из основателей современных принципов бухгалтерии 
монах-францисканец Лука Бартоломео де Пачоли (1445–1517) еще 
в 1494 г. опубликовал работу «Сумма [знаний] арифметики, геометрии, 
дробей, пропорций и пропорцио нальности». В этой книге, 
среди прочего, приведено несколько задач о справедливом разделе 
ставки при незавершенной игре двух лиц, подбрасывающих монету. 
Поиск правильного решения этих задач о справедливом разделе 
ставки занял более чем 150 лет, хотя им занимались ведущие математики 
XVI и XVII вв.
Паскаль и Ферма, решив задачу Луки Пачоли, заложили основы 
теории вероятностей, что впоследствии позволило использовать вероятностные 
меры риска. Задача Луки Пачоли сыграла в истории 
науки особую роль. Многие исследователи считают 1494 г., год издания 
книги Луки Пачоли, содержащей задачи о разделе ставки, 
датой зарождения сразу трех наук: теории вероятностей, теории игр 
и рискологии.
Конкретная математика как самостоятельная наука зарождалась 
в последние десятилетия ХХ в. В это время в США Дж. Хаммерсли 
написал статью «О снижении уровня математической подготовки 
в школах и университетах благодаря “современной математике” 
и подобной ей жидкой интеллектуальной похлебке» в связи с тем, 
что так называемая абстрактная математика как выхолощенная интеллектуальная 
дисциплина «страшно далека от народа».
Американский математик и специалист в области компьютерных 
наук Д.Э. Кнут (род. 1938), приступив к написанию своей фундаментальной 
многотомной монографии «Искусство программирования 
для ЭВМ», столкнулся с проблемой отсутствия в его арсенале 
важных математических инструмен тов, позволяющих решать 
конкретные задачи, а также доско нально и обоснованно интерпретировать 
компьютерные программы.
Название «конкретная математика» «отцы-основатели» этой 
дисциплины Р.Л. Грэхем, Д.Э. Кнут и О. Паташник объясняют 
следующим образом: «КОНКРЕТНАЯ математика — это математические 
основы информатики, позволяющие применять технику 
работы с КОНтинуальными (непрерывными) объектами для работы 
с дисКРЕТНЫМИ объектами». Например, суммирование 
может выполняться по формулам, аналогичным вычислению 
определенных интегралов. Использование методов конкретной 
математики позволяет выполнять анализ и оптимизацию алгоритмов, 
быстрее получать результаты и значительно уменьшать 

общий объем вычислений. Приемы конкретной математики играют 
важную роль при вычислении вероятностей различных событий, 
числовых характеристик случайных величин и значений их статистических 
оценок.
В связи с особым значением, которым в современной экономике 
характеризуются как оценка эффективности инвестиций, 
так и сама инвестиционная деятельность, а также существенными 
особенностями анализа рисков инвестиционных проектов, эта тематика 
подробно освящена в отдельном разделе учебного пособия.
В результате изучения дисциплины «Рискология» обучающиеся 
должны приобрести компетенции, необходимые в будущей 
профессио нальной деятельности для самостоятельного системного 
применения экономико-математических методов анализа, моделирования 
и учета экономического риска, при этом обучающиеся 
должны:
знать
 
• аппарат комбинаторики, теории вероятностей и математической 
статистики для обработки, анализа, моделирования и управления 
экономическим риском;
 
• аппарат рискологии для обработки, анализа и систематизации 
информации;
уметь
 
• применять аппарат комбинаторики, теории вероятностей и математической 
статистики для обработки, анализа, моделирования 
и управления экономическим риском;
 
• применять аппарат рискологии;
владеть
 
• навыками по применению аппарата комбинаторики, теории вероятностей 
и математической статистики для обработки, анализа, 
моделирования и управления экономическим риском;
 
• навыками по применению аппарата рискологии для анализа 
по теме исследования.
Для успешного освоения материала, изложенного в учебном 
пособии, читатели должны владеть основными разделами курса 
«Высшая математика», «Теория вероятностей и математическая 
статистика», «Теория игр», «Имитационное моделирование».
Учебное пособие подготовлено согласно требованиям образовательного 
стандарта, учебного плана и учебной программы дисциплины «
Рискология», утвержденным Ученым советом ФГАОУ 
ВО «Крымский федеральный университет имени В.И. Вернадского».