Элементы теории систем и системного анализа

УДК 519.6
ББК 22.193

В31

Согласно 436-ФЗ от 29.12.2010 «О защите детей от 
информации, причиняющей вред их здоровью 
и развитию» данная продукция маркировке не подлежит. 

Рецензент   канд. техн. наук, доц. Ю.И. Привалова (СибАДИ) 

Работа утверждена редакционно-издательским советом СибАДИ в качестве 
учебно-методического пособия. 

В31 

Веремчук, Наталья Сергеевна.
Элементы теории систем и системного анализа :  учебно-методическое пособие  /  
Н.С. Веремчук. – Электрон. дан. – Омск : СибАДИ, 2022. – 1 электрон. опт. диск           
(DVD-R). – Загл. с этикетки диска.

Содержит сведения об элементах теории систем и системного анализа, необходимых 
при решении прикладных инженерных задач. Описываются методы и модели 
системного анализа, применяемые в организационных социально-экономических системах. 
Включены теоретический материал, примеры, задания для самостоятельного 
решения, контрольные вопросы по каждому из разделов.  
Имеет интерактивное оглавление в виде закладок. 
Рекомендуется для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Теория
систем и системный анализ». Предназначено для бакалавров по направлению
подготовки 09.03.03 «Прикладная информатика». 
Подготовлено на кафедре «Прикладная информатика». 

Текстовое (символьное) издание (2,37 Мб)
Системные требования: Intel, 3,4 GHz; 150 Мб; Windows XP/Vista 7; DVD-ROM; 
1Гб свободного места на жестком диске; программа для чтения  pdf-файлов: 
Adobe Acrobat Reader; Foxit Reader 

Редактор И.Г. Кузнецова 
Техническая подготовка Л.Р. Усачева 

Издание первое. Дата подписания к использованию 18.07.2022

Тираж 50 экз.

Издательско-полиграфический комплекс СибАДИ. 644080, г. Омск, пр. Мира, 5 
РИО ИПК СибАДИ. 644080, г. Омск, ул. 2-я Поселковая, 1 

© ФГБОУ ВО «СибАДИ», 2022 

ISBN 978-5-00113-193-9.

Введение 

Системный анализ относится к направлениям современной науки 
управления, которая возникла в период обострения социальных, экономических, 
технических, политических проблем, вызывавших необходимость 
поиска и обоснования новых решений в различных областях деятельности. 
Решения в науке, в управлении производством, при проектировании и 
технической эксплуатации машин, оборудования, сооружений должны 
приниматься быстро с минимальным риском ошибок. Этому способствует 
системный анализ, системный подход при решении конкретных научных, 
управленческих, проектных и других технических задач. 
Наука и практика по системному анализу бурно развиваются. Появились 
статьи, учебники, пособия, монографии по системному анализу в 
науке и технике, экономике, в управлении и менеджменте, в других направлениях 
деятельности [1, 2, 3, 4, 5]. Разрабатывается математический 
аппарат системного анализа, в частности методы исследования операций. 
В вузах различного профиля в учебные планы подготовки бакалавров, магистров, 
аспирантов вводят целиком или отдельные фрагменты системного 
анализа, системного подхода при решении конкретных проблем. 
Основные (базовые) разделы системного анализа – это прогнозирование 
развития систем, оптимизация технических и управленческих решений, теоретические 
основы принятия решений в условиях определенности, а также 
полной или частичной неопределенности. Дополнительными разделами могут 
быть системные подходы при решении конкретных проблем. 

1. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

В условиях современного мира при принятии решений о функционировании 
той или иной системы в различных предметных областях невозможно 
одним критерием охватить все предъявленные к ней требования. 
Так, например, в вопросах построения вычислительного кластера необходимо 
одновременно учитывать несколько критериев, отражающих производительность 
системы, временные затраты на пересылку данных между 
вычислительными элементами, энергопотребление, стоимость системы и 
многое другое. Хотелось бы, чтобы окончательный вариант вычислительного 
кластера удовлетворял условию оптимальности по каждому из частных 
критериев. Однако оптимизация по каждому из них в отдельности 
приводит к решениям, которые отличаются друг от друга. Данные различия 
связаны с тем, что рассматриваемые критерии являются противоречивыми. 
Так, попытка увеличить производительность системы добавлением 
новых вычислительных элементов приводит к увеличению стоимости системы.  

Таким образом, описание требований, предъявляемых к системе, по 
существу, носит множественный характер. Естественным является описание 
задачи выбора набором критериев, каждый из которых имеет свою 
физическую интерпретацию, определяемую соответствующей предметной 
областью. Задачи оптимальности, в которых при принятии решения учитываются 
несколько критериев, принято называть многокритериальными 
задачами оптимизации. 

1.1. Постановка многокритериальной задачи оптимизации 

Одной из основных проблем, связанных с многокритериальными задачами, 
является проблема определения самого решения. Частным случаем 
задач многокритериальной оптимизации являются оптимизационные 
задачи с одним критерием, в которых понятие решения формулируется 
естественным образом.  
Математическая постановка любой задачи оптимизации включает в 
себя два объекта: D – множество допустимых решений и числовая функция 

R
D
f

:
, которую называют целевой функцией или критерием оптимизации. 
Эту целевую функцию следует максимизировать или минимизировать 
в области D.  
В зависимости от вида критерия получаем задачу максимизации 

( )
max;
f x
x
D






или минимизации 

( )
min;
.
f x
x
D






Если 
n
D
R

, то 
1
( )
( ,...,
)
n
f x
f x
x

. Любой x
D

 называется допустимым 
решением задачи. 
Решить задачу оптимизации – значит найти оптимальное решение, т. 
е. найти вектор 
*
*
: (
)
( ),
x
D f x
f x
x
D


 
 для задачи на максимум или 

*
*
: (
)
( ),
x
D f x
f x
x
D


 
 для задачи на минимум. 

Если 
n
D
R

, то получим задачу безусловной оптимизации. Если 

n
D
R

, т. е. область отлична от всего пространства, то имеем задачу  условной 
оптимизации, а ее решение называют условным экстремумом. 
Заметим, что принцип выбора решения однокритериальной задачи 
оптимизации условно можно назвать принципом экстремума.  
Многокритериальную задачу оптимизации в общем виде можно записать 
следующим образом: 

1
1

2
2

( )
;

( )
;

...
( )
;

,

n
n

f x
opt
f
x
opt

f
x
opt
x
D












где через 
( ),
1,..., ,
if x
i
n

 обозначены целевые функции задачи или критерии, 
которым решение должно удовлетворять, а 
i
opt {max, min}, 

1,..., .
i
n

 
В реальной постановке задачи могут оказаться разные критерии, как 
на максимум, так и на минимум. Например, задача с тремя критериями на 
максимум и одним критерием на минимум выглядит следующим образом: 

1

2

3

1

( )
max;

( )
max;

( )
max;

( )
min;
.

F x
F x
F x
g x
x
D














Для решения таких задач разработаны различные подходы. 

1.2. Методы решения задач многокритериальной оптимизации 

Описание и применение методов решения многокритериальной задачи 
рассмотрим на примере задачи с пятью критериями: 

1( )
max;
F x 

2( )
max;
F x 
 

3( )
max;
F x 

1( )
min;
g x 

2( )
min.
g
x 
 

Известны 
1
2
3
1
2
,
,
,
,
F
F
F
g
g
v
v
v
v
v
  веса критериев 
1
2
3
1
2
,
,
,
,
F F
F
g
g . 

Метод суммы. В этом методе из критериев формируется один общий 
максимизируемый критерий [1, 2]. В нем значения максимизируемых критериев 
складываются, а минимизируемых – вычитаются: 

1
2
3
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
max.
S x
F x
F x
F x
g x
g
x






 

Метод взвешивания критериев (свертки). В этом методе из критериев 
формируется один общий максимизируемый критерий. В нем значения 
максимизируемых критериев умножаются на свои веса и складываются, 
а минимизируемых     умножаются на веса и вычитаются: 

1
2
3
1
2
1
2
3
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
max.
F
F
F
g
g
V x
v
F x
v
F x
v
F x
v
g x
v
g
x











 

Метод пропорции (отношения, пропорциональности). В этом методе 
из критериев формируется один общий максимизируемый критерий 
[3, 4]. В нем значения максимизируемых критериев умножаются и делятся 
на произведение минимизируемых критериев: 

1
2
3

1
2

( )
( )
( )
( )
max.
( )
( )
F x
F x
F x
P x
g x
g
x





 

Метод идеальной точки (минимального отличия от идеала). В 
этом методе из критериев формируется один общий минимизируемый 
критерий. Для этого сначала определяются наилучшие значения каждого 
из критериев вне зависимости от остальных (идеалы): 
*
1
1
max
( );
F
F x

 

*
2
2
max
( );
F
F x

 
*
3
3
max
( );
F
F x

 
*
1
1
min
( );
g
g x

 
*
2
2
min
( ).
g
g
x

 

Далее минимизируется сумма квадратов отклонений критериев от их 

идеалов: 








2
2
2
*
*
*

1
1
2
2
3
3
( )
( )
( )
( )
I x
F x
F
F x
F
F x
F






  

                    




2
2
*
*

1
1
2
2
( )
( )
min.
g x
g
g
x
g





 

 
Метод главного критерия. В этом методе оптимизируется только 

один из критериев – самый важный, главный [4, 5]. Остальные критерии 
ограничиваются следующим образом: максимизируемые ограничиваются: 
снизу «не меньше», а минимизируемые    сверху «не больше». Ограничения 
выбираются из каких-либо обоснованных соображений. 

Например, пусть для нашего примера самым главным критерием яв-

ляется 
1( ).
F x  Будем требовать максимизации 
1( ).
F x  Для остальных крите-

риев есть обусловленные какими-либо условиями требования: 
2( )
F x  не 

может быть меньше некоторого значения 
2min
F
; 
3( )
F x  не может быть 

меньше некоторого значения 
3min
F
; 
1( )
g x  не может быть больше некото-

рого значения 
1max
g
; 
2( )
g
x  не может быть больше некоторого значения 

2max
g
. 

Тогда задача выбора решения, сформированная по методу главного 

критерия, запишется так: 

1

2
2min

3
3min

1
1max

2
2max

max;

;
;
;

.

F

F
F

F
F

g
g

g
g














 

 

Метод последовательных уступок. В этом методе сначала оптими-

зируется самый важный критерий и определяется его самое наилучшее 
значение (идеал). На следующем шаге допускается некоторое фиксированное 
ухудшение от этого оптимального значения (уступка) с целью 
улучшения ситуации по второму по значимости критерию. Получается 
условный идеал второго критерия. Далее допускается уступка от него с 
целью оптимизации третьего критерия и так далее. 

При уступке для максимизируемого критерия от его идеала отнимаем 

соответствующую уступку, при уступке для минимизируемого критерия 
добавляем величину уступки. 

Уступки могут быть абсолютные (которые прибавляются к идеалу 

или вычитаются из него) или относительные (которые приводят к добав-

лению или вычитанию определенного количества процентов от соответствующего 
идеала). 

Например, пусть для нашего случая: 
• самый главный критерий это 
1;
F  

• следующий по значимости 
2;
F  

• потом 
1;
g  

• потом 
2;
g
 

• и, наконец, 
3.
F  

Из некоторых соображений установлены максимально допустимые 

уступки: 

 
1F

     абсолютная уступка для 
1;
F  

 
2
F

     относительная уступка для 
2;
F  

 
1
g

     относительная уступка для 
1;
g  

 
2
g

     абсолютная уступка для 
2,
g
 

для последнего критерия задавать уступку не надо. 

Тогда применение метода будет осуществляться по этапам: 
1. Оптимизируем 

1
max.
F 
 

В результате определяем идеал 
*
1 .
F  

2. Оптимизируем 

2
max
F 
 

при ограничении 

*

1
1
1.
F
F
F


 

В результате определяем условный идеал 
*
2 .
F  

Заметим, что условный идеал 
*
2
F чаще всего не совпадает с абсолют-

ным идеалом 
*
1 ,
F
 так как условный идеал получен при дополнительном 

условии. 

3. Оптимизируем 

1
min
g 
 

при ограничениях 

*

1
1
1

*

2
2
2

;

(1
).

F
F
F

F
F
F




 






 

В результате определяем условный идеал 
*
1.
g  

4. Оптимизируем 

2
min
g 
 

 

при ограничениях 

*

1
1
1

*

2
2
2

*

1
1
1

;

(1
);

(1
).

F
F
F

F
F
F

g
g
g







 










 

В результате определяем условный идеал 
*
2.
g  

5. На последнем шаге оптимизируем 

3
max
F 
 

при ограничениях 

*

1
1
1

*

2
2
2

*

1
1
1

*

2
2
1

;

(1
);

(1
);

.

F
F
F

F
F
F

g
g
g

g
g
g







 













 


 

Значения 
*x , при которых достигается последнее оптимальное значе-

ние, являются решением задачи многокритериальной оптимизации по методу 
последовательных уступок. 

Пример 1. Инвестор рассматривает 10 вариантов бизнес-проекта. Для 

него важны три критерия. Самым важным для инвестора является годовая 
прибыль проекта (желательно, чтобы она была максимальной). Кроме того, 
он хочет, чтобы необходимый объем первоначальных инвестиций был 
как можно меньше. Третьим по степени важности является желание создать 
социально-ориентированное предприятие, что будет характеризоваться 
высоким общим объемом годовой заработной платы. 

Варианты проектов с соответствующими показателями приведены в 

табл. 1. 

Таблица 1 

Варианты проектов с показателями 

 

Вариант 
проекта

Годовая прибыль, млн 

руб.

Начальные 
инвестиции,

млн руб.

Общая годовая 

зарплата, 
млн руб.

1
1000
2200
500

2
1300
1800
300

3
700
1800
900

4
1600
2500
500

5
900
1600
1000

6
800
1700
1000

7
1000
2000
600

8
1100
1800
250

9
1600
2500
900

10
1300
3000
700
 

Задание. 
1. Определите парето-оптимальные варианты проектов, т. е. проекты, 

для которых нельзя найти альтернативные варианты, не худшие по всем 
критериям. 

2. Из парето-оптимальных проектов выберите лучший по каждой из 

шести методов: 

2.1. Методу суммы критериев. 
2.2. Методу свертки (взвешивания) критериев. 
Считать веса критериев следующими: вес первого критерия 10, вес 

второго критерия 7, вес третьего критерия 3. 

2.3. Методу пропорции. 
2.4. Методу идеальной точки (минимального отличия от идеала). 
2.5. Методу главного критерия. 
Главным для инвестора является прибыль. Но инвестор не хочет 

вкладывать более 2300 млн руб. и настаивает, чтобы совокупная заработная 
плата на предприятии была не ниже 500 млн руб. 

2.6. Методу последовательных уступок. 
После определения оптимальной прибыли допускается снижение при-

были не более чем на 600 млн руб. После определения минимальных инвестиций 
для таких условий допускается их увеличение не более чем на 15%. 

 
Решение 1 части. 
Определим парето-оптимальные решения. 
Для этого будем сравнивать попарно проекты по всем критериям. 

Следует учесть, что по прибыли и зарплате – чем больше, тем лучше; по 
инвестициям     чем меньше, тем лучше. 

Сравним 1-й и 2-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект хуже, чем 2-й (1000 < 1300); 
 по инвестициям:  1-й хуже, чем 2-й (2200 >1800); 
 по зарплате: 1-й проект лучше, чем 2-й (500 > 300). 
Так как есть разные варианты сравнения, то на основе данного срав-

нения исключить 1-й или 2-й проект нельзя. 

Сравним 1-й и 3-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект лучше, чем 3-й (1000 > 700); 
 по инвестициям:  1-й проект хуже, чем 3-й (2200 >1800). 
Так как есть разные варианты сравнения, то на основе данного срав-

нения исключить 1-й или 3-й проект нельзя. 

Сравним 1-й и 4-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект хуже, чем 4-й (1000 < 1600); 
 по инвестициям: 1-й проект лучше, чем 4-й (2200 > 2500).  

Так как есть разные варианты сравнения, то на основе данного срав-

нения исключить 1-й или 4-й проект нельзя. 

Сравним 1-й и 5-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект лучше, чем 5-й (1000 > 900); 
 по инвестициям:  1-й проект хуже, чем 5-й (2200 > 1600). 
Так как есть разные варианты сравнения, то исключить 1-й или 5-й 

проект нельзя. 

Сравним 1-й и 6-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект лучше, чем 6-й (1000 > 800); 
 по инвестициям: 1-й проект хуже, чем 6-й (2200 > 1700). 
Так как есть разные варианты сравнения, то исключить 1-й или 6-й  

проект нельзя. 

Сравним 1-й и 7-й проекты: 
 по прибыли: 1-й проект равен 7-му (1000 = 1000); 
 по инвестициям: 1-й проект хуже, чем 7-й (2200 > 2000); 
 по зарплате: 1-й проект хуже, чем 7-й (500 < 600). 
По всем вариантам сравнения 7-й проект лучше или не хуже, чем 1-й. 

Значит, 1-й проект можно исключить из рассмотрения. 

Дальше сравниваем с остальными 2-й проект. 
Можно показать (проверьте самостоятельно), что 2-й проект не может 

сравниваться с проектами 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10-м. 

При сравнении 2-го и 8-го проектов видно, что: 
 по прибыли: 2-й проект лучше 8-го (1300 >1100); 
 по инвестициям: 2-й проект одинаков с 8-м (1800 = 1800); 
 по зарплате:  2-й проект лучше 8-го (300 > 250). 
Значит, на основе данного сравнения можно исключить из рассмотре-

ния 8-й вариант проекта. 

Так как после всех сравнений 2-й вариант проекта не исключается, то 

он будет парето-оптимальным. 

Путем дальнейших сравнений исключаются все варианты, кроме 2, 5, 7, 

9-го (определите, относительно каких проектов исключаются остальные). 

 
Ответ 1. 
Парето-оптимальные (или парето-эффективные) стратегии приведены 

в табл. 2.